Esquema de distribuição dos tratamentos: Fatorial ... · CROQUI 80 80 80 120 120 40 120 40 40 0 0...

Esquema de distribuição dos tratamentos:

Fatorial;

Parcelas subdivididas.

1

Experimento em esquema de Experimento em esquema de Experimento em esquema de Experimento em esquema de parcelas subdivididasparcelas subdivididas

2

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

São estudados dois ou mais fatores simultaneamente.

As parcelas experimentais são divididas em subparcelas.

Experimentos em esquema de parcelas subdivididasExperimentos em esquema de parcelas subdivididas

São conhecidos também como experimentos “splitplot”

Esses fatores são chamados primários e secundários.

3

Esses fatores são chamados primários e secundários.

Na instalação os níveis do fator primário são distribuídos aleatoriamente àsparcelas segundo algum tipo de delineamento experimental (DIC, DBC ouDQL).

Os fatores secundários são aleatorizados nas subparcelas, etc...).

AplicaçõesAplicações

Quando os níveis de um fator exigem grandes quantidades do materialexperimental (por exemplo, métodos de preparo do solo) e o outro fatornão;

Quando informações prévias asseguram que as diferenças entre os níveis deum dos fatores são maiores do que às do outro fator;

Quando se deseja maior precisão para comparações entre níveis de um dos

´

Quando se deseja maior precisão para comparações entre níveis de um dosfatores;

Quando existe um fator de maior importância e outro de importânciasecundária, onde o de maior importância deve ser aplicado àssubparcelas e o de menor importância às parcelas.

Nas situações práticas onde é difícil a instalação do experimento noesquema fatorial.

4

Um pesquisador, com o objetivo de verificar o efeito da dose de adubação fosfatada e seu tipo de aplicação na produtividade da cultura do milho (kg/ha), instalou um

experimento em que cada uma das doses de adubação fosfatada (0, 40, 80 e 120 kg/ha) foram aleatorizadas nas parcelas, segundo um DBC (4 blocos), e o tipo de aplicação

(Cova, Sulco e Lanço) foram aleatorizadas as subparcelas.

Exemplo 1Exemplo 1

Fatores:

Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) I=4

e

Tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) K=3

T1: 0-Cova,

T2: 0-Sulco,

Tratamentos (I . K=12): T3: 0-Lanço,

T : 40-Cova, Tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) K=3 T4: 40-Cova,

...,

T12: 120-Lanço.

5

04080 120C L S S L CCS L L S C

CROQUICROQUI

80

80

80

120

120

12040

40

40

0

0

0

Aleatorização em 2 etapas:

1.o) Nas parcelas; e2.o) Depois nas subparcelas.

Bloco 1

Bloco 2

Bloco 3

Bloco 4

CL S S LCC SL L SC

C LS S L CC S L LS C

CL S SL CCS L LSC

Modelo estatísticoModelo estatístico

ijkikkijijijk abbeawmy )(

em que,

yijk é a observação no j-ésimo bloco, do i-ésimo nível do fator A e k-ésimo nível do fator B;

Considere um DCB (com J blocos) em esquema de parcelas subdivididas, onde o fator A (tendo I níveis) foi aplicado as parcelas e o fator B (com K níveis), as subparcelas. Para tal

experimento, o modelo estatístico é dado por:

yijk é a observação no j-ésimo bloco, do i-ésimo nível do fator A e k-ésimo nível do fator B;

m é média geral;

wj é o efeito devido ao j-ésimo bloco;

ai é o efeito devido ao i-ésimo nível do fator A;

eij é o erro associado à parcela (ij)

bk é o efeito devido ao k-ésimo nível do fator B;

(ab)ik é o efeito da interação entre os fatores A e B;

ijk é o erro associado à subparcela (ijk)

6

FV gl.

Blocos

Doses

Resíduo(a)

(Parcelas)

Exemplo 1Exemplo 1

ANOVAANOVA

4 – 1 = 3

4 – 1 = 3

15 – 3 – 3 = 9

(16 – 1 = 15)(Parcelas)

Aplicação

Doses Aplicação

Resíduo(b)

Total (subparcelas)

OBS: A unidade de cálculo passa a ser a subparcela!

7

(16 – 1 = 15)

3 – 1 = 2

(4 – 1)(3 – 1) = 6

47 – (6 + 2 + 15) = 24

(4 4 3) – 1 = 47

Como seguir a análise?Como seguir a análise?Como seguir a análise?Como seguir a análise?

8

Hipóteses a serem testadasHipóteses a serem testadas

A primeira hipótese a ser testada em um experimento em parcelassubdivididas é o efeito da interação, que é dado pelas hipóteses:

H0: não há efeito da interação dos fatores(A independente de B, e/ou vice e versa)

9

Ha: Há efeito da interação dos fatores(A dependente de B, e/ou vice e versa)

FV gl. SQ QM Fcalc Ftab

Blocos K – 1 SQBloco QMBloco – –

Fator A I – 1 SQA QMA – –

Resíduo(a) n1 = (K – 1)(I – 1) SQRes(a) QMRes(a) – –

ANOVAANOVA

Considere a análise de um experimento instalado segundo o DBC com K repetições noesquema em parcelas subdivididas, em que o fator A com I níveis foi designado àsparcelas e o fator B com J níveis foi designado às subparcelas.

(Parcelas) KI – 1 SQParcelas QMParcelas – –

Fator B J – 1 SQB QMB – –

A B (I – 1)(J – 1) SQA B QMA B F[(I – 1)(J – 1), n2]

Resíduo(b) n2 = I(J – 1)(K – 1) SQRes(b) QMRes(b) – –

Total (subparcelas) IJK – 1 SQTotal – – –

)(Re bsQM

BQMA

Temos 2 alternativas para A B: a) Não ser significativa; oub) Ser significativa 10



Fator A I – 1 SQA QMA F[(I – 1), n1]

a) Se o efeito da interação não for significativo, ou seja, os efeitos dos fatoresatuam de forma independente, então estudaremos os efeitos principais de cadafator como antes. Assim, o teste F para cada fator individual é realizado comoilustrado na tabela:

)(Re asQM

QMA



Fator B J – 1 SQB QMB F[(J – 1), n2]

A B (I – 1)(J – 1) SQA B QMA B Não significativo



)(Re bsQM

QMB

11

Fator B Fator B H0: mB1 = mB2 = ... = mBk

(ou seja, todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator B, são estatisticamente nulos)

As hipóteses para os efeitos principais serão:

Fator A Fator A H0: mA1 = mA2 = ... = mAI

(ou seja, todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator A, são estatisticamente nulos)

H1: mAk mAq, k q, k, q = 1, ..., I.(existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator A, que é estatisticamente diferente de zero)

(ou seja, todos os possíveis contrastes entre as médias dos níveis do fator B, são estatisticamente nulos)

H1: mBl mBh, l h, l, h = 1, ..., k.(existe pelo menos um contraste entre as médias dos níveis do fator B, que é estatisticamente diferente de zero)

12

OBS Se o teste F for significativo, para A (e/ou B) qualitativo, aplica-se um teste decomparações múltiplas de médias para comparar os níveis do fator em que existe adiferença. Se o teste F for significativo, para A (e/ou B) quantitativo, aplica-se a regressãopor polinômios ortogonais para comparar os níveis do fator em que existe a diferença.

b) Se o efeito da interação for significativo, ou seja, o efeito de um fator dependedo nível do outro fator, devemos fazer o desdobramento do efeito da interação.



Fator A I – 1 SQA QMA – –




Desdobramento para estudar Desdobramento para estudar A dentro de B A dentro de B (A/B)(A/B)

Desdobramento para estudar Desdobramento para estudar B dentro de A B dentro de A (B/A)(B/A)

Logo, deve-se realizar:

e/ou


A B (I – 1)(J – 1) SQA B QMA B Significativo



13


Para comparar os níveis de um fator primário em cada nível do fator secundário,é necessário fazer uma combinação das duas estimativas obtidas para o erroexperimental bem como do número de graus de liberdade associado as mesmas.

Esta combinação é denominada de resíduo combinado (ResComb).

A estimativa do quadrado médio deste resíduo combinado é obtida por

bsQMJasQM )(Re)1()(Re

J

bsQMJasQMsCombQM

)(Re)1()(ReRe

O número de graus de liberdade associado a esta estimativa é obtido pelafórmula dos graus de liberdade de Satterhwaitte (n*) dada por:

)(Re.

)(Re)1(

)(Re.

)(Re

)(Re)1()(Re*

22

2

bsgl

bsQMJ

asgl

asQM

bsQMJasQMn

14


A dentro B1 I – 1 SQA/B1 F[(I – 1), n*]

A dentro B2 I – 1 SQA/B2 F[(I – 1), n*]

... ... ... ... ... ...


)1(

/ 1

I

BSQA

)1(

/ 2

I

BSQA

/ BSQA

sCombQM

BQMA

Re

/ 1

sCombQM

BQMA

Re

/ 2

BQMA/A dentro BJ I – 1 SQA/BJ F[(I – 1), n*]

ResComb n* – QMResComb – –

Se H0 for rejeitada para algum A dentro de Bj (j = 1, ..., J), isso significa que entre os níveisde A, apenas no nível Bj existe diferença entre os tratamentos. Para descobrir onde está essadiferença procede-se:

Se o fator A é qualitativo: Teste de comparações múltiplas.

Se o fator A é quantitativo: Regressão.

)1(

/

I

BSQA J

sCombQM

BQMA J

Re

/

15

Desdobramento para estudar Desdobramento para estudar B dentro de A B dentro de A (B/A)(B/A)


B dentro A1 J – 1SQB/A1 F[(J– 1), n2]

B dentro A2 J – 1 SQB/A2 F[(J – 1), n2]

... ... ... ... ... ...

)1(

/ 1

J

ASQB

)1(

/ 2

J

ASQB

/ ASQB I

)(Re

/ 1

bsQM

AQMB

)(Re

/ 2

bsQM

AQMB

/ AQMB IB dentro AI J – 1 SQB/AI F[(J – 1), n2]

Resíduo(b) n2 SQRes(b) QMRes(b) – –

Se H0 for rejeitada para algum B dentro de Ai (i = 1, ..., I), isso significa que entre os níveisde B, apenas no nível Ai existe diferença entre os tratamentos. Para descobrir onde está essadiferença procede-se:

Se o fator B é qualitativo: Teste de comparações múltiplas.

Se o fator B é quantitativo: Regressão.

)1(

/

J

ASQB I

)(Re

/

bsQM

AQMB I

16

Há uma redução do número de graus de liberdade do erro,comparativamente ao esquema fatorial, redução esta decorrente daexistência de dois erros, o resíduo (a) referente às parcelas e o resíduo (b),correspondente às subparcelas dentro das parcelas;

Conseqüentemente, há uma tendência de se obter maior valor para a

DesvantagensDesvantagens

Conseqüentemente, há uma tendência de se obter maior valor para aestimativa do erro experimental. Portanto, em experimentos com parcelassubdivididas, todos os efeitos são avaliados com menor precisão que nosexperimentos fatoriais correspondentes.

Por isso, sempre que possível, é preferível utilizar experimentos fatoriaisem lugar dos experimentos em parcelas subdivididas.

17

Banzatto e Kronka (1992), apresentam o ensaio citado por Steel e Torrie (1980), no qual são comparadas 4 variedades de aveia e 4 tratamentos de sementes quanto aos efeitos

sobre a produção. As variedades foram distribuídas aleatoriamente nas parcelas de cada um dos quatro blocos do ensaio e os tratamentos de sementes foram aleatoriamente

distribuídos nas quatro subparcelas de cada parcela.

As variedade utilizadas (fator A) foram:

A1 – Testemunha (não tratado)

A – Ceresan M

Exemplo 2Exemplo 2

A2 – Ceresan M

A3 – Panogen

A4 – Agros

Os tratamentos de sementes utilizados (fator B) foram:

B1 – Vicland 1: infectada com fungo Helminthosporium victoriae

B2 – Vicland 2: não infectada

B3 – Clinton: resistente a H. victoriae

B4 – Branch: resistente a H. victoriae18

Exemplo 2Exemplo 2 Blocos

Variedades (A)

Tratamentos de sementes

(B)1 2 3 4 Totais

A1

B1 42,9 41,6 28,9 30,8 144,2

B2 53,8 58,5 43,9 46,3 202,5

B3 49,5 53,8 40,7 39,4 183,4

B4 44,4 41,8 28,3 34,7 149,2

A2

B1 53,3 69,6 45,4 35,1 203,4

B2 57,6 69,6 42,4 51,9 221,5

B3 59,8 65,8 41,4 45,4 212,4

Os dados de produção de aveia foram:

190,6

B3 59,8 65,8 41,4 45,4 212,4

B4 64,1 57,4 44,1 51,6 217,2

A3

B1 62,3 58,5 44,6 50,3 215,7

B2 63,4 50,4 45,0 46,7 205,5

B3 64,5 46,1 62,6 50,3 223,5

B4 63,6 56,1 52,7 51,8 224,2

A4

B1 75,4 65,6 54,0 52,7 247,7

B2 70,3 67,3 57,6 58,5 253,7

B3 68,8 65,3 45,6 51,0 230,7

B4 71,6 69,4 56,6 47,4 245,0

Totais - 965,3 936,8 733,8 743,9 3379,819

Quadro auxiliar com os totais das parcelas.

Exemplo 2Exemplo 2

(4) Bloco I Bloco II Bloco III Bloco IV Totais

A1 190,6 195,7 141,8 151,2 679,3

A2 234,8 262,4 173,3 184,0 854,5

A3 253,8 211,1 204,9 199,1 868,9

A4 286,1 267,6 213,8 209,6 977,1

Totais 965,3 936,8 733,8 743,9 3379,8

Quadro auxiliar com os totais das subparcelas.

Totais 965,3 936,8 733,8 743,9 3379,8

(4) B1 B2 B3 B4 Totais

A1 144,2 202,5 183,4 149,2 679,3

A2 203,4 221,5 212,4 217,2 854,5

A3 215,7 205,5 223,5 224,2 868,9

A4 247,7 253,7 230,7 245,0 977,1

Totais 811,0 883,2 850,0 835,6 3379,8 20

FV gl. S.Q. Q.M Fcalc

Blocos 3 2842,87 947,62 13,79

Variedades (A) 3 2848,02 949,34 13,82

Resíduo(a) 9 618,30 68,70 –

(Parcelas) (15) (6309,19) –

ANOVA

Exemplo 2Exemplo 2 2,1526%)5;36,9( F

(Parcelas) (15) (6309,19) –

Trat. de Sementes (B) 3 170,53 56,84 2,80

Interação (AB) 9 586,47 65,16 3,21*

Resíduo(b) 36 731,20 20,31 –

Total (Subparcelas) (63) 7797,39 – –

Note que a interação foi significativa ao nível de 5% de significância, indicandoque a Variedade (A) e o Tratamento de sementes (B) são fatores dependentes. Logo,deve-se desdobrar A dentro de B e/ou B dentro de A. 21


B d. A13 583,49 194,50 9,58*

B d. A23 45,21 15,07 0,74ns

B d. A33 56,96 18,99 0,94ns

B d. A 3 71,34 23,78 1,17ns

Desdobramento de Desdobramento de B dentro de AB dentro de A::

TCM

Exemplo 2Exemplo 2

B d. A43 71,34 23,78 1,17ns

Resíduo (b) 36 731,20 20,31 –

...

49,58316

)3,679(

4

)2,149(...

4

)2,144().(

222

1 ABdSQ

Como há diferença significativa ao nível de 5% de significância entre efeitos de tratamentos de sementes, apenas no nível 1 de Variedade (Vicland 1), podemos comparar as médias dos tratamentos de sementes (B) apenas nessa variedade.

Aplicaremos algum TCM (Tukey, por exemplo).

8663,2%)5;36,3( F

22

6,84

31,2081,3

.

)(Re%)5;36,4(

rep

bsQMq

Exemplo 2Exemplo 2

Teste de Teste de TukeyTukey para para B d. AB d. A11

6,505,202

ˆ ma

1,364

2,144ˆ

11BAm

6,504

5,202ˆ

21BAm

9,454

4,183ˆ

31BAm

3,374

2,149ˆ

41BAm

a

b

b

23

2778,26

36

)31,20)(14(

9

70,68

31,20)14(70,68*

22

2

n


Desdobramento de Desdobramento de A dentro de BA dentro de B::

TCM

Exemplo 2Exemplo 2

Como o estudo envolve dois resíduos calculemos o QMResComb

41,324

31,20)14(70,68Re

sCombQM

A d. B13 1404,18 468,06 14,44*

A d. B23 412,97 137,66 4,25*

A d. B33 324,77 108,26 3,34*

A d. B43 1292,57 430,86 13,29*

ResíduoComb 27 – 32,41 –

TCM

TCM

TCM

TCM

96,2%)5;27,3( F

...

18,140416

)0,811(

4

)7,247(...

4

)2,144().(

222

1 BAdSQ

24

TestemunhaB1

Ceresan MB2

PanogenB3

AgroxB4

0,114

41,3288,3

.

Re%)5;27,4(

rep

sCombQMq

Exemplo 2Exemplo 2

Teste de Teste de TukeyTukey para comparação das medias para comparação das medias Variedades (A) em cada Variedades (A) em cada Tratamento de sementes (B)Tratamento de sementes (B)

A1 – Vicland 1 36,1 c 50,6 b 45,9 b 37,3 b

A2 – Vicland 2 50,9 b 55,4 a b 53,1 a b 54,3 a

A3 – Clinton 53,9 a b 51,4 b 55,9 a b 56,1 a

A4 – Branch 61,9 a 63,4 a 57,7 a 61,3 a

Médias seguidas de mesma letra na coluna não diferem entre si pelo Teste de Tukeyao nível de 5% de significância.

OBS: Nem sempre obtemos os mesmos resultados para A dentro de B e B dentro de A. Em geral estuda-se uma só.

Mas ai vem a pergunta: Qual estudar? O que define isso é o interesse prático! 25

Coeficiente de variação

Exemplo 2Exemplo 2

Nos ensaios em parcelas subdivididas, temos 2 CV’s:

Para parcela:

%70,1510081,52

70,68

ˆ)(

m

saCV

Para subparcela:

Note que a variabilidade ao nível de subparcela é bem menor!

81,52m̂

%54,810081,52

31,20

ˆ)(

m

sbCV

26

Tarefa

1) Tabule os dados do exemplo 2 no excel, salve com extensão “csv” eexporte os dados para o software R.

2) Utilize a função psub2.dbc (com as devidas substituições) do pacoteExpDes.pt para realizar a análise estatística:

No R:require(ExpDes.pt)?psub2.dbc

27

# psub2.dbc(fator1, fator2, bloco, resp, quali = c(TRUE, TRUE),mcomp = "tukey", fac.names = c("F1", "F2"), sigT = 0.05, sigF = 0.05)

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