EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer.,...
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Capítulo 2Capítulo 2
FLAMBAGEM DE COLUNAS
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Flambagem PrimáriaFlambagem Primária
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Flambagem PrimáriaFlambagem Primária
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem SecundáriaFlambagem Secundária
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Flambagem SecundáriaFlambagem Secundária
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Equações Básicas – Teoria da ElasticidadeEquações Básicas – Teoria da Elasticidade
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O Método do Equilíbrio NeutroO Método do Equilíbrio Neutro
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A Coluna Simplesmente Apoiada - HipótesesA Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses
1 . A p o i o s S i m p l e s
2 . C o l u n a P e r f e i t a m e n t e R e t a e C a r g a C e n t r a l
3 . M a t e r i a l E l á s t i c o L i n e a r
4 . E i x o s P r i n c i p a i s
5 . P e q u e n a s D e f o r m a ç õ e s " '1" 212 www
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
A Coluna Simplesmente ApoiadaA Coluna Simplesmente Apoiada
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Coluna Simplesmente Apoiada - SoluçãoColuna Simplesmente Apoiada - Solução
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O Comportamento da Coluna de EulerO Comportamento da Coluna de Euler
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Equilíbrio Estável
Equilíbrio Instável
Equilíbrio Neutro
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Coluna Bi-EngastadaColuna Bi-Engastada
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Coluna Bi-Engastada - SoluçãoColuna Bi-Engastada - Solução
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Coluna Equivalente de EulerColuna Equivalente de Euler
22
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A carga crítica de qualquer coluna pode ser obtida de uma coluna equivalente de Euler
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Coluna em BalançoColuna em Balanço
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Coluna
Equivalente
de Euler
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Coluna em Balanço - SoluçãoColuna em Balanço - Solução
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Coluna com Restrições ElásticasColuna com Restrições Elásticas
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L
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Coluna com Restrições Elásticas - SoluçãoColuna com Restrições Elásticas - Solução
PM / L
P
M / L
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x
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Restrição Elástica – Casos ParticularesRestrição Elástica – Casos Particulares
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Coluna Simplesmente Apoiada
Coluna Simplesmente Apoiada - Engastada
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Coluna em Pórtico Coluna em Pórtico
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829.3sen)(
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Comprimento EfetivoComprimento Efetivo
Condições de Contorno Carregamento
2.0 L
1.0 L
1.0 L
0.7 L
0.5 L
1.69 L
-
0.732 L
0.58 L
0.365 L
1.12 L
0.72 L
0.732 L
0.43 L
0.365 L
Fig. 2-9
-
Fig. 2-9
Fig. 2-9
Fig. 2-9
1.43 L
0.84 L
0.57 L
0.45 L
0.36 L
-
-
0.49 L
0.24 L
P P
P = qL q = cte
P = PA+ qL
q = cte
PA
q = cte e simétrico
P = qL/2 P = qL/2
P = qL q = cte
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Comprimento EfetivoComprimento Efetivo
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Coeficientes de EngastamentoCoeficientes de Engastamento
Restrições de Rotação
nas Extremidades:
a) Numa Extremidade
b) Iguais, em Ambas as Extremidades
2
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' LEIc
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Coeficientes de EngastamentoCoeficientes de Engastamento
Restrições de
Rotação
Distintas nas
Extremidades
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Métodos de EnergiaMétodos de Energia
O Método da Conservação da Energia
O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total
Cálculo de Variações
O método de Rayleigh-Ritz
O método de Galerkin
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O Método da Conservação da EnergiaO Método da Conservação da Energia
Trabalho das Forças Externas
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Trabalho das Forças Externas
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Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação
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Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação
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O Método da Conservação de EnergiaO Método da Conservação de Energia
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Lx
Lx
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La
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Exemplo
A comparação com o valor exato, 2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%.
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O Método da Conservação de EnergiaO Método da Conservação de Energia
Lx
Lx
axw 1)(
A comparação com o valor exato, 2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%.
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O Método de Conservação de EnergiaO Método de Conservação de Energia
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639 31
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L
L
Erro de 0,13%
Erro de 0,014%
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O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Trabalho das Forças Externas
u u
We We
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... ... 21 2 eee WWuPuPW
iiS zyxV zyxe DPdSwvudVwXvXuXW
Se o corpo é elástico linear, o trabalho
é dado pela expressão We = ½ P u.
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O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
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Energia de Deformação
... ... 21 2 FFeF
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O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Energia de Deformação
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Energia de Deformação - Particularização
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Unidimensional
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Energia de Deformação - Particularização
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zzyyxxxx
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O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma
UWe VWe
0 aindaou 0ou VUVUVU
Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”.
Forças conservativas
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O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Resumo – ExemploSeja, . A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por
M
k
v
p
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Mínimo
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MgvkvVU
P
P
P
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0
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Neutro Sela Ponto 0
Instável Máximo 0
Estável Mínimo 0
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g
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Cálculo de VariaçõesCálculo de Variações
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Cálculo de VariaçõesCálculo de Variações
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Cálculo de VariaçõesCálculo de Variações
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2
1
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wF
wF
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xx
Possíveis condições
de contorno
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Cálculo de Variações - ExemploCálculo de Variações - Exemplo
k
kP
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Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema
kz(x)
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0
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; )0(21
; )0('21
; ")(21
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Coluna com Suportes Elásticos - FormulaçãoColuna com Suportes Elásticos - Formulação
0)( ''
''- "")()(
0
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00
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0 para 0)()(
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Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - SoluçãoProblema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução
0ou 0'")(ou , e
0ou , 0")(ou , em
0ou 0'")(ou , e
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Problema de Auto-Valor: Caso EspecialProblema de Auto-Valor: Caso Especial
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Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Potencial de Cargas Concentradas e DistribuídasPotencial de Cargas Concentradas e Distribuídas
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Ponto de deslocamento horizontal nulo
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
O Método de Rayleigh-RitzO Método de Rayleigh-Ritz
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
O Método de Rayleigh-RitzO Método de Rayleigh-Ritz
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
O Método de Rayleigh-Ritz: Caso EspecialO Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial
Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij). Se
a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser
expressos em termos de em vez de . ija
ji ww e "" e ji ww
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k
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Método de Rayleigh-Ritz: ExemploMétodo de Rayleigh-Ritz: Exemplo
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Coluna de Seção Variável
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Método de Rayleigh-Ritz - ExemploMétodo de Rayleigh-Ritz - Exemplo
Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Método de GalerkinMétodo de Galerkin
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Método de GalerkinMétodo de Galerkin
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Se os wj(x) satisfizerem todas as condições
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Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base wj(x) no domínio
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes DeflexõesColuna Sujeita a Grandes Deflexões
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -GalerkinColuna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -GalerkinColuna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente
Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente
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Coluna com Forma ImperfeitaColuna com Forma Imperfeita
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Forma Imperfeita – Teoria Não-LinearForma Imperfeita – Teoria Não-Linear
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Colunas Imperfeitas - ObservaçõesColunas Imperfeitas - Observações
1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ;
2) Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem
rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se
aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero;
4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P PE ;
5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Colunas Imperfeitas - ConclusõesColunas Imperfeitas - Conclusões
A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada.
Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais).
Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem Inelástica de ColunasFlambagem Inelástica de Colunas
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem Inelástica de ColunasFlambagem Inelástica de Colunas
as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do lado
convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E . Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo.
todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente Et. Isto só é possível, se a carga
continua aumentando durante a flambagem;
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem Inelástica de Colunas - HistóricoFlambagem Inelástica de Colunas - Histórico
1759 - Teoria de Euler Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas 1845- Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico1889- Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para
colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo
efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido)1910 Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos)
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem Inelástica de Colunas - HistóricoFlambagem Inelástica de Colunas - Histórico
Anos 1940 Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica
mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios
Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais
1947 Shanley resolve a questão
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Modelo de ShanleyModelo de Shanley
rígida
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem Inelástica - ConclusõesFlambagem Inelástica - Conclusões A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente Engenheiro está interessado na carga última sob imper- feições e não no ponto de bifurcação A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples
USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Teoria do Módulo TangenteTeoria do Módulo Tangente
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O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Flambagem Inelástica – Formulas EmpíricasFlambagem Inelástica – Formulas Empíricas
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Exemplo 1Exemplo 1
A figura mostra um membro forjado de seção em I, de 30 in de comprimento, que é utilizado como um mebro em compressão. Consi-derando que o coeficiente de engastamento para flexão em torno do eixo x-x é 1 e aquele para flexão em torno do eixo y-y é 1.5, ache as tensões e cargas admissíveis se o membro é manufaturado dos seguintes materiais:
Caso 1: Liga Al 7079-T6 forjado ma- Nualmente; temp. ambiente; Caso 2: como no Caso 1, mas sujeito a ½ hora na temp. 300o F; Caso 3: como no Caso 2, mas 600o F; Caso 4: Aço Inox 17-4 PH, forjado ma- nualmente; temp. ambiente
EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Exemplo 1Exemplo 1
Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um
retângulo de dimensão 2.5” x 2.75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2):(no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)
42
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EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Exemplo 1Exemplo 1Cálculo de Iy:
432
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in 58.136
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25.12
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2 - 2.5 75.2 121
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in 60.0375.458.1 y
Para falha em torno do eixo
3683.030' in 30130' : xLcLLx
4160.06.24' in 6.245.130' : yLLy Para falha em torno do eixo
Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/ = 41.
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Exemplo 1Exemplo 1Caso 1:
Fc=50.5 ksi, donde P = 220 kips
Caso 2:
Fc=40.4 ksi, donde P = 177 kips
Caso 3:
Fc=6.1 ksi, donde P = 26.7 kips
sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26.7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.
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Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-OsgoodExemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Caso 1: temp. amb.: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 59.5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi
A Fig. 2-41: Fc/F0.7 vs. B para n = 26:
O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior!
Caso2: ½ h. a 300oF: Ec = 9400 ksi, F0.7 = 46.5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi
A solução numérica fornece Fc/F0.7 = 0.880. A solução via Fig. 2.41 é
ksi 6.50 85.0 982.04110500
5.591
7.0
cc F
FF
B
ksi 9.40 88.0 918.0419400
5.461
7.0
cc F
FF
B
2
7.0
21
7.0
7.0 '
73
1
1
LFE
FFnF
Fn
c
c Calculadora ou processo iterativo, resulta em Fc/F0.7 = 0.854, ou Fc =
50.8 ksi.
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Exemplo 3Exemplo 3
64 ;4 42 dIdA
41
21 in 0491.0 ;in 7854.0 IA
A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões
Desta forma, tem-se E1 = E2 = 10500 ksi
Porção 1: Porção 2: 4
22
2 in 0155.0 ;in 4418.0 IA
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Exemplo 3Exemplo 3
0.7 12-2 Fig.
5.06030
; 17.30155.0105000491.010500
2
1
BLa
EIEI
kips 00.160
0491.010500722
1 L
BEIPcr
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Exemplo 4Exemplo 4A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075-T6: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16.6,
Fcy = 70 ksiin 219.0 in 1875.0
;in 25.0 4
16
médio2
1
2
ddAI
P = Fc A = 33.5 x 0.7854 = 26.3 kips ;
f1 = 33.5 ksi e f2 = 26.3 / 0.4418 = 59.5 ksi
Com L’/r = 12 / 0.219 55, obtém-se Fc = 33.5 ksi. Portanto,
Acima do Limite de Proporcionalidade
Método Iterativo
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Exemplo 4Exemplo 4Porção 1: f1 / F0.7 = 33.5 / 72 = 0.465 Et1 = E = 10.500 ksi
Porção 2: f2 / F0.7 = 59.5 / 72 = 0.826 Et2 = 0.735 E = 7.700 ksi
8.5 12-2 Fig. 5.0126
; 32.40155.077000491.010500
2
1 B
La
EIEI
Pcr = 5.8 x 10500 x 0.0491 / 122 = 20.8 kips.
P=26.3
Porção 1: f1 / F0.7 = 30.05 / 72 = 0.417 Et1 = E = 10.500 ksi
Porção 2: f2 / F0.7 = 53.42 / 72 = 0.742 Et2 = 0.735 E = 9.840 ksi
7.6 12-2 Fig. 5.0126
; 38.30155.098400491.010500
2
1 B
La
EIEI
Pcr = 6.7 x 10500 x 0.0491 / 122 = 24 kips.
P=23.6 f1 = 23.6 / 0.7854 = 30.05 ksi e f2 = 23.6 / 0.4418 = 53.42 ksi
2a. Iteração