Estabilidade segundo Lyapunov: continuação. - UFBA · Objetivos da aula de hoje: Apresentar...

Estabilidade segundo Lyapunov: continuacao.

ENGC65: Sistemas de controle III

Departamento de Engenharia Eletrica - DEE

Universidade Federal da Bahia - UFBA

9 de julho de 2014

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 22

Sumario

1 Introducao

2 Revisao

3 Comentarios relevantes

4 Teorema de LaSalle

5 Particularizacao para sistemas lineares

6 Formalizacao para sistemas nao-lineares

7 Comentarios Finais


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







IntroducaoEstudo de sistemas nao-lineares de segunda ordem

Objetivos da aula de hoje:

Apresentar alguns comentarios sobre o conceito de estabilidadesegundo Lyapunov.

Apresentar o princıpio da invariancia e o Teorema de LaSalle.

Discutir sobre a particularizacao do Teorema de Lyapunov para ocaso linear.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







RevisaoTeorema de Lyapunov

Teorema 1

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistemas x = f (x) e V (x) umafuncao continuamente diferenciavel dos estados tal que V : D → R sendoD ⊂ R

n que contem a origem.

Se V (x) e definida positiva e V (x) semi-definida negativa, entao x = 0e um ponto de equilıbrio estavel.

Se V (x) e definida positiva e V (x) definida negativa, entao x = 0 e umponto de equilıbrio assintoticamente estavel.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







Comentarios relevantesTeorema de Lyapunov

A superfıcie definida por V (x) = c para algum c > 0 e chamada decurva de nıvel.

Uma classe de util de funcoes escaleres pode ser representada por

V (x) = x tPx =n

∑

i=1

n∑

j=1

pijxixj

sendo P uma matriz simetrica com elementos reais.

Se todos os autovalores de P sao positivos ⇒ P > 0 ⇒ V (x) edefinida positiva.Se todos os autovalores de P nao sao negativos ⇒ P ≥ 0 ⇒V (x) e semi-definida positiva.Se todos os autovalores de P sao negativo ⇒ P < 0 ⇒ V (x) edefinida negativa.Se todos os autovalores de P nao sao negativo ⇒ P ≤ 0 ⇒ V (x)e semi-definida negativa.



Seja P uma matriz simetrica com elementos reais.

Se todos os menores complementares principais de P sao positivos⇒ P > 0.Se todos os menores complementares principais de P nao saonegativos ⇒ P ≥ 0.Se todos os menores complementares principais de P sao negativo⇒ P < 0.Se todos os menores complementares principais de P nao saonegativo ⇒ P ≤ 0.

Exemplo - Considere:

V (x) = ax21 + 2x1x3 + ax22 + 4x2x3 + ax23



Seja P uma matriz simetrica com elementos reais.

Se todos os menores complementares principais de P sao positivos⇒ P > 0.Se todos os menores complementares principais de P nao saonegativos ⇒ P ≥ 0.Se todos os menores complementares principais de P sao negativo⇒ P < 0.Se todos os menores complementares principais de P nao saonegativo ⇒ P ≤ 0.

Exemplo - Considere:

V (x) = ax21 + 2x1x3 + ax22 + 4x2x3 + ax23

= [x1 x2 x3]

a 0 10 a 21 2 a

x1x2x3

.



Nao ha um procedimento sistematico para escolha de V (x).

Quando possıvel, tenta-se escolher uma funcao baseada na energia dosistemas.

O Teorema de Lyapunov e muito importante na etapa de projeto.

As curvas de nıvel (V (x) < c) dao uma estimativa do domınio deatracao (basin).

Caso do pendulo (baseado em energia)[

x1x2

]

=

[

x2−asen(x1)− bx2

]

com

V (x) =

∫ x1

0

asen(x1) +1

2x22 = a(1− cos(x1)) +

1

2x22 .

Funcao de Lyapunpunov mais geral

V (x) =

∫ x1

0

asen(x1)+1

2x22 = a(1−cos(x1))+

1

2p11x

21 + p12x1x2 +

1

2p22x

22 .


Comentarios relevantesTeorema de Barbashin-Krasovskii

Teorema 2

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistemas x = f (x) e V (x) umafuncao continuamente diferenciavel dos estados tal que V : Rn → R .

Se V (x) e definida positiva e V (x) definida negativa e

||x || → ∞ ⇒ V (x) ⇒ ∞

entao x = 0 e um ponto de equilıbrio globalmente assintoticamenteestavel.

Se um ponto de equilıbrio e globalmente assintoticamente estavel,entao ele e o unico ponto de equilıbrio.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







Teorema de LaSalleTeorema de LaSalle

Teorema 3

Seja Ω ⊂ D um conjunto compacto que e positivamente invariante comrespeito a x = f (x).

V (x) : D → R uma funcao continuamente diferenciavel tal queV (x) ≤ 0 em Ω.

Seja E = x ∈ Ω|V (x) = 0.

Seja M o maior conjunto invariante em E .

Entao, toda solucao comecando em Ω tende a M quando t → ∞.


Teorema de LaSalleTeorema de LaSalle

Corolario 1

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistemas x = f (x) e V (x)uma funcao continuamente diferenciavel dos estados tal queV : D → R e V (x) ≤ 0.

Seja S = x ∈ D|V (x) = 0 e suponha que nenhuma solucao podepermanecer em S a nao ser a solucao trivial x(t) ≡ 0 tal que V (x) ≤ 0em Ω.

Entao o ponto de equilıbrio e assintoticamente estavel.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







Particularizacao para sistemas linearesEstabilidade

Teorema 4

O ponto de equilıbrio x = 0 do sistema linear autonomo x = Ax eestavel se e somente se todos os autovalores de A satisfazemReλi < 0 e para cada autovalor de com Reλi = 0 e multiplicidadealgebrica qi ≥ 2, o posto e dado por posto(A− λi ) = n − qi , sendo n adimensao de x .

O ponto de equilıbrio x = 0 e globalmente assintoticamente estavel se esomente se todos os autovalores de A satisfazem Reλi < 0.


Particularizacao para sistemas linearesEstabilidade - Lyapunov

Considere um sistema linear autonomo dado por x = Ax .

Considere a equacao matricial abaixo

PA+ ATP = −Q. (1)

Teorema 5

A matriz A e Hurwitz, isto e, Reλi < 0 para todos os autovalores deA, se e somente se para uma dada matriz simetrica positiva definidapositiva Q existe uma matriz simetrica positiva definida P que satisfaza equacao (1). Alem disso, se a matriz A e Hurwitz, entao a matriz P ea unica solucao de (1).


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







Formalizacao para sistemas nao-linearesVizinhanca do ponto de equilıbrio

Teorema 6

Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema nao-linear

x = f (x)

onde f : D → Rn e uma funcao contınua diferenciavel e D e uma

vizinhanca da origem. Seja

A =∂f

∂x(x)

∣

∣

∣

∣

x=0

.

Entao:

1 A origem e assintoticamente estavel se Reλi < 0 para todos osautovalores de A.

2 A origem e instavel se Reλi > 0 para algum autovalor de A.


Sumario

1 Introducao

2 Revisao







Comentarios Finais

Nesta aula discutimos sobre algumas caracterısticas da estabilidade deLyapunov.

Apresentou-se o Teorema de LaSalle.

Particularizamos o Teorema de Lyapunov para o caso linear.

Na proxima aula discutiremos sobre:

Realimentacao linearizante.


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