Mtodos de energia aplicados a vigas e trelias Conservao da energia e mtodo das foras virtuaisResistncia dos Materiais

Trabalho externo e energia de deformao Trabalho de uma fora Trabalho de um momento

Trabalho externo e energia de deformao Energia de deformao: A aplicao de cargas deformam o material. O trabalho externo realizado pelas cargas ser convertido em trabalho interno denominado energia de deformao. Tenso normal Tenso de cisalhamento

Energia de deformao elstica para vrios tipos de carga Carga axial Momento fletor

Energia de deformao elstica para vrios tipos de carga Cisalhamento transversal Momento de toroPara vigas de seo retangular: fs = 6/5.

Conservao da energia mecnica Princpio do trabalho e energiaSe uma carga for aplicada lentamente a um corpo, de modo que a energia cintica possa ser desprezada, as cargas externas tendem a deformar o corpo fisicamente, de modo que as cargas realizam trabalho externo Ue.O trabalho externo produzido pelas cargas transforma-se em trabalho interno ou energia de deformao, que armazenada no corpo.Essa equao pode ser usada para determinar o deslocamento de um ponto sobre um elemento estrutural ou estrutura deformvel (vigas e trelias).

Conservao da energia mecnica TreliaTrabalho:Energia armazenada em um elemento da trelia:Somando as energias de deformao para todos os elementos da trelia:

Conservao da energia mecnica VigaTrabalho:Energia armazenada, desprezando-se a contribuio da energia de deformao decorrente do cisalhamento :Trabalho:

Princpio do trabalho virtual Comentrios preliminares Sempre que um corpo impedido de mover-se as cargas devem satisfazer as condies de equilbrio, e os deslocamentos, as condies de compatibilidade.

As condies de equilbrio exigem que os cargas externas sejam relacionadas apenas s cargas internas;

As condies de compatibilidade exigem que os deslocamentos externos sejam relacionados apenas com as deformaes internas. A conservao da energia afirma que:P = Cargas externas;u = cargas internas; = deslocamento da cargas externas; = deslocamento da cargas internas.

Princpio do trabalho virtualDeterminar o deslocamento do ponto A sobre o corpo provocado pelas carga reais P1, P2 e P3.Conservao da energia?Aplica-se uma fora imaginria ou virtual P sobre o corpo no ponto A, tal que essa aja na mesma direo de , antes da aplicao das cargas reais.A fora externa virtual P e a carga virtual interna u deslocam-se juntas por e dL.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Princpio do trabalho virtualP =1 = Carga virtual externa unitria que age da direo de ; u = carga virtual interna que age sobre o elemento; = deslocamento externo provocado pelas cargas reais;dL = deslocamento interno do elemento na direo de u, provocado pelas cargas reais. Determinao do deslocamento rotacional ou inclinao da tangente em um ponto sobre o corpo: aplica-se um momento virtual M de intensidade unitria.M =1 = Momento virtual externo unitria que age da direo de ; u = carga virtual interna que age sobre o elemento; = deslocamento rotacional em readianos provocado pelas cargas reais;dL = deslocamento interno do elemento na direo de u , provocado pelas cargas reais.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Trabalho virtual interno Os deslocamento reais internos dL pode ser produzidos por erros de fabricao na geometria, por mudanas de temperatura, ou o que mais comum da tenso. Equao do trabalho virtual para um corpo submetido a uma carga geral:Fora axialCisalhamentoMomento fletorMomento de toroMtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a trelias Objetivo: determinar o deslocamento de uma articulao de trelia. Determinar o deslocamento vertical da articulao A.Aplicao da carga virtual unitriaTrabalho virtual interno para um elemento:Equao do trabalho virtual para toda a trelia:Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a trelias Mudana de temperatura: o comprimento de elementos de trelias pode mudar em razo de uma mudana de temperatura. = coeficiente de expanso trmica. Deslocamento de uma articulao de trelia provada pela mudana de temperatura:1 = Carga virtual externa unitria que age sobre a articulao na direo de ; n = fora virtual interna em um elemento de trelia provocada pela carga virtual externa unitria; = deslocamento externo da articulao causado pela mudana de temperatura;T = mudana na temperatura do elemento.L = comprimento do elemento.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a trelias Erros de fabricao: podem afetar o comprimento dos elementos de uma trelia. Deslocamento em uma determinada direo de uma articulao em relao a sua posio esperada:1 = Carga virtual externa unitria que age sobre a articulao na direo de ; n = fora virtual interna em um elemento de trelia provocada pela carga virtual externa unitria; = deslocamento externo da articulao causado pelos erros de fabricao;L = diferena no comprimento do elemento em relao ao comprimento pretendido, provocada por erros de fabricao.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a trelias Exemplo I: determinar o deslocamento vertical na articulao C da trelia de ao mostrada. A rea da seo transversal de cada elemento A = 400 mm2 e Eao = 200 GPa.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a trelias Exemplo I: Soluo.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

MembronNLnNLAB0-10040BC0141,42,8280AC-1,414-141,42,828565,7CD12002400965,7 kN2.m

Mtodo das foras virtuais aplicado a trelias Exemplo I: Soluo.A = 400 mm2 Eao = 200 GPa.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

MembronNLnNLAB0-10040BC0141,42,8280AC-1,414-141,42,828565,7CD12002400965,7 kN2.m

Mtodo das foras virtuais aplicado a vigas Objetivo: determinar o deslocamento e a inclinao em um ponto sobre a viga. Determinar o deslocamento vertical do ponto A sobre a viga. Determinar a inclinao da tangente sobre um ponto da linha elstica da viga.Momento unitrio no ponto deve se aplicadoMtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a vigas Se foras concentradas ou momentos agirem sobre a viga ou a carga distribuda for descontnua: no se pode efetuar uma integrao nica em toda o comprimento da viga.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a vigas Exemplo II: Determinar o deslocamento do ponto B sobre a viga mostrada. EI constante.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Mtodo das foras virtuais aplicado a vigas Exemplo II: Soluo.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Reviso da aula: Conservao da energia Princpio do trabalho virtual Trabalho virtual interno Mtodo das foras virtuais aplicados a trelias Mtodo das foras virtuais aplicados a vigas Trelias Vigas Tenso Temperatura Erros de fabricaoMtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

Bibliografia bsica: HIBBELER, R. C. Resistncia dos materiais. 7aed. So Paulo: Person Prentice Hall, 2010. 637p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistncia dos materiais. 3a ed. So Paulo: Makron Books, 1995. 1255p.Leitura complementar:O contedo desta aula foi baseado em: HIGDON, A.; OHLSEN, E. H.; STILES, W.; WEESE, J. A.; RILEY, W. F. Mecnica dos materiais. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1981. 550p. POPOV, E. P. Introduo mecnica dos slidos. New Jersey: Prentice-Hall, 1978. 534p.Mtodos de energia aplicados anlise de vigas e trelias

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