Estatística

2 – Estatística Descritiva

Prof. Antonio Fernando Branco Costa

Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco

• Parâmetros de Posição:– Média– Mediana (2 partes)– Moda

• Parâmetros de Dispersão:– Variância– Desvio-Padrão– Amplitude

(1, 2, 3)=1 (1, 23, 390)=47749

Média da População :

xi = valores da variável

N = tamanho da População

N

xN

1ii

Dados em frequências:

k

1k

'ii

k

1iii

pxN

fx

fi = frequência da classe (i)

pi’= frequência relativa

k = número de linhas da tabela

6/1 6,N ),6,...,2,1( , ii piiX

MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fundição

Variável X: número de defeitos por peça

Número de Defeitos frequência

total25

31

Tabela de Distribuição de frequência de Valores

0 8 0

1 9 9

2 5 10

3 2 6

4 0 0

5 0 0

6 1 6

ii fX ifiX

24,125

31

n

fXk

1iii

X

MÉDIA AMOSTRAL: Altura dos alunos de Estatística

Variável Y: Altura(cm)

Tabela de Distribuição de frequência das Classes

Classes fi<=160 4

160-|165 5165-|170 6170-|175 3175-|180 3

>180 324

5,16824

4045

n

fYk

1iii

Y

Lim. Inf. Lim. Sup. fi Yi Yi*fi155 160 4 157,5 630160 165 5 162,5 812,5165 170 6 167,5 1005170 175 3 172,5 517,5175 180 3 177,5 532,5180 185 3 182,5 547,5

Soma 24 4045

Idéia: dividir o conjunto ordenado de valores em 2 parte

12 14 14 15 16 16 17 20

15,52

1615md

Mediana (md)

n = 8 valor de ordem n/2 = 15 valor de ordem(n/2) + 1 = 16

n (ímpar) md = valor de ordem (n + 1)/2

35 36 37 38 40 40 41 43 46

1 - Considerando conjunto com n valores ordenados

n = 9 md = 40 ( valor de ordem 5 )

n (par ) md = valor médio entre o de ordem n/2 e o de ordem (n/2) + 1

Mediana (md)

Li = 11,965n = 25Fa = 8fmd = 7hmd = 0,13

2 - Considerando distribuição em classes de frequências:

onde:Li: limite inferior da classe que contém a mediana

n: número de elementos do conjunto de dados;

Fa: frequência acumulada das classes anteriores à classe que contém a mediana;

fmd: frequência da classe que contém a mediana;

hmd: amplitude da classe que contém a mediana.

mdmd

i hf

2n

Lmd

aF

1 11,705 11,835 5 5

2 11,835 11,965 3 8

3 11,965 12,095 7 15

4 12,095 12,225 6 21

5 12,225 12,355 4 25

classe if iFabsoluta Acumulada

frequência

Lim. inf. Lim. sup.

Limites Reais

05,1213,07

82

25

965,11md

Valor de máxima freqüência dentro de um conjunto de dados

Moda: mo Dados em Tabela de frequência dos valores

Exemplo da Fundição

Variável X: número de defeitos por peça

mo = 1

moda é apresentar 1 defeito por peça

total 25 100%

1 0 8 32%

2 1 9 36%

3 2 5 20%

4 3 2 8%

5 4 0 0%

6 5 0 0%

7 6 1 4%

frequênciaif

'ipOrdem Xi

(absoluta) (relativa)

Moda: mo Dados em Tabelas de frequência das classes

Li : limite inferior da classe modal

d1 : diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior

d2 : diferença entre a freqüência da classe modal e a da imediatamente seguinte

h : amplitude das classes

hdd

dLmo

21

1i

Classe Modal: aquela(s) de maior frequência

hdd

dLmo

21

1i

1 11,705 11,835 5 5

2 11,835 11,965 3 8

3 11,965 12,095 7 15

4 12,095 12,225 6 21

5 12,225 12,355 4 25

classe Lim. inf. Lim. sup. if iFabsoluta Acumulada

frequênciaLimites Reais

Moda: mo Dados em Tabelas de frequência das classes

Exemplo da Fundição

Variável Y: diâmetro do furo (mm)

437d1

167d2

07,1213,014

4965,11mo

Idéia: Média do quadrado da diferença dos dados em relação ao valor médio.

Variância

N

)x(

σ

2i

N

1i2

1n

)xx(

s

2i

n

1i2

1 - Considerando dados de toda a População:

2 - Considerando dados de uma Amostra da População:

3,5 ),6,...,2,1( , iiX i

Exemplo:

Seja os valores da amostra: 15 12 10 17 16

xi (xi – x ) (xi – x )2

15 1 1 12 -2 4 10 -4 16 17 3 9 16 2 4 70 0 34

Variância

1n

)xx(

s

2i

n

1i2

145

70x

5,815

34

1-n

)xx( 2i

n

1i2

s

Considerando distribuição de frequências de valores

Variância Amostral

1-n

f)x(x

Si

n

1i

2i

2X

1

/)fx(fx

S

n

1i 1

2iii

2i

2X

n

nn

i

Classes fi<=160 4

160-|165 5165-|170 6170-|175 3175-|180 3

>180 324

fi Xi Xi*fi155 160 4 157,5 630160 165 5 162,5 812,5165 170 6 167,5 1005170 175 3 172,5 517,5175 180 3 177,5 532,5180 185 3 182,5 547,5

Soma 24 4045

2

2

2X 67

12424

)4045(683300s cm

Xi*Xi*fi99225

132031,25168337,589268,7594518,7599918,75683300

Desvio-Padrão

População: 2xx

Amostra: 2xx ss

cmSX 867

cmSX X 245,1683

Relação entre o desvio-padrão amostral e a média amostral (%)

Regra empírica:

• CV < 15% baixa dispersão

• 15% < CV < 30% média dispersão

• CV > 30% elevada dispersão

Coeficiente de Variação (CV)

100x

scv x

Amplitude: R(X)

Exemplo da Fundição:

Ymín = 11,77

Ymáx = 12,29 R(Y) = 12,29 - 11,77 = 0,52

R(X) = 6 – 0 = 6

X: número de defeitos por peça

Xmáx = 6

Xmín = 0

min)( XXXR máx

Y: diâmetro do furo (mm)

Assimetria:

Assimetria Positiva

Medidas de Assimetria

Medidas de Achatamento ou Curtose

Mesocúrtica(Normal)

(coef. curtose = 3 )

Platicúrtica(coef. curtose < 3)

Leptocúrtica(coef. curtose > 3)

Forma da distribuição quanto ao seu achatamento comparado com a distribuição Normal

Assimetria negativa

Estatística Descritiva - Excel61 65 43 53 55 51 58 55 59 56 52 53 62 49 68 51 50 67 62 64 53 56 48 50 61 44 64 53 54 55 48 54 57 41 54 71 57 53 46 48 55 46 57 54 48 63 49 55 52 51

Estatística Descritiva - Excel

Estatística Descritiva - Excel

Estatística Descritiva - Excel

Estatística Descritiva - Excel

Estatística Descritiva - Excel

Estatística Descritiva - Excel

Estatística Descritiva - Excel