Estatística 5 - Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Antonio Fernando Branco Costa e-mail:...
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Estatís tica 5 - Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Antonio Fernando Branco Costa e-mail: [email protected] Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
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Estatística
5 - Variáveis Aleatórias Unidimensionais
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
1º quadrante
Experimento do disco
EXPERIMENTO: Girar o ponteiro de um disco na horizontal dividido em 4 quadrantes.Resultados (V.A.discreta): quadrante em que o ponteiro para
2º quadrante3º quadrante
4º quadrante
1º 2º 3º 4º
1/4
Pr(x)
x
x Pr(x)
1º quadrante 1/4
2º quadrante 1/4
3º quadrante 1/4
4º quadrante 1/4
Experimento do disco
1 2 3 4 5 6 7 8
1/8
Pr(x)
x
EXPERIMENTO: Girar o ponteiro de um disco na horizontal dividido em 8 segmentos.Resultados (V.A.discreta): segmento em que o ponteiro para
Experimento do discoEXPERIMENTO: ponteiro girando num disco na horizontal (com uma marca de referência) .
4/1 = )2/1(
0dxf(x)
x0 (1/2)
f(x)
1 = 2
0dxf(x)
x0 2
f(x)
Resultados (V.A.contínua): ângulo X de parada do ponteiro em relação a marca de referência.
X
(1/2)
(3/2)
2 > x , 0
2 x 0 , 21
0 < x , 0
= f(x)
f(x): função densidade de probabilidade
Propriedades de uma v.a.c.
2 > x , 0
2 x 0 , 21
0 < x , 0
= f(x)
dx
2
0
2
1
+
-dxf(x)
0 2
f(x)
x
122
1 Área
1 = 2
0dxf(x)
12
22
02
1
x
Probabilidades
2 > x , 0
2 x 0 , 21
0 < x , 0
= f(x)
2
0 2
1 ) 2 X 0 (Pr
dx
a > b , )( ) b X a (Pr b
adxxf
0 2
f(x)
x
0 x)X (Pr
2
1 2
0
x
4/1 = )2/1(
0dxf(x)
4
1
2
2
Função Distribuição Acumulada
2 > x , 0
2 x 0 , 21
0 < x , 0
= f(x)
x
dxxXxF0 2
1 ]0Pr[) (
0 x 2
f(x)
x
2
1
0
x
x
dxf(x)
x
2x
0 x 2
F(x)
x
1,0
x/2
=
2
<
2 x 0
>,
,x
,
0 x
x 1
2 0
F(x)
Parâmetro de posição - Média
2 > x , 0
2 x 0 , 21
0 < x , 0
= f(x)
(v.a.d.) )(x = E(X) =
i
i ixP
0 2
f(x)
x
dx x 2
1
2
0
2
0
2
4
1 x
(v.a.c.) f(x)dxx = E(X) =
+
-
4
4 2
Parâmetro de dispersão - Variância
2 > x , 0
2 x 0 , 21
0 < x , 0
= f(x)
dxxfxXE 22
33
4
6
8 22
22
32
33
2
dxx
2
12
0
2
6
8
6
32
0
3
x
dxxfx )()( 22
222 XEXE
)( XE
Experimento do discoEXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com uma marca de referência) .Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro com relação a marca de referência.
0 2
f(x)
x
0 2
f(x)
x
Experimento do discoEXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com uma marca de referência) .Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro com relação a marca de referência.
0 2
k
f(x)
x
k=1/
Experimento do discoEXPERIMENTO: ponteiro girando num disco inclinado (com uma marca de referência) .Resultados (V.A.contínua): ângulo de parada do ponteiro com relação a marca de referência.
0 2
f(x)
x
X=0 => f(x)=0
X=f(x)=1/
X=f(x)=1/
X=2f(x)=0
f(x)=x/
f(x)=(2-x)/
Probabilidade
0 2
f(x)
x
f(x)=x/
f(x)=(2-x)/
, )( ) /23 X /2 (Pr 2/3
2/
dxxf
/)2( / 2/3
2
2/
2
dxxdxx
8/6
2/3
2
2/3
2
2/
2 2
2
2
2
xxx
Função Distribuição Acumulada
0 2
f(x)
x
f(x)=x/
f(x)=(2-x)/
, )( ) X 0(Pr F(x) 0 x
dxxfx
x0 se 2
x
2
2
0 xse 0F(X)
2 se 2
22
21
xxx
2 se 1 x
/)2(2
1 ) X (Pr F(x) 2
x
dxxx
xx
xx
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
12
2
1
xx
Função Distribuição Acumulada
x0 se 2
x
2
2
0 xse 0F(X)
2 se 2
21
2
2
x
xx
2 se 1 x
0
F(X)
1
1/2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a k
kX X
c X Y X Y
X k x
, k = constante
(b) k
, X ,Y independentes
(d)
2
2
2 2
2 2 2
2 2
0
Propriedades da variância:
Propriedades da média e da variância
Propriedades da média:
(a) E(k) = k , k = constante(b) E(kX) = kE(X)(c) E(X Y) = E(X) E(Y)(d) E(X k) = E(X) k(e) E(XY) = E(X) . E(Y) caso X , Y independentes
