f/ -.\

Conjuntos ' fa \ si $,

A defini~so de conjuntos na matematica e aigo intuitivo. A palavra "conjunto" remete a no@o d b la sol 1 de grupo, classe ou colec20. Esse conceit0 faz '\ mi re ; pensar se esses conjuntos sao vazios ou n60, I3 \ podendo ser constituidos de elementos, "coisas" \- -;/' ou, ainda, objetos.

l gua ldade

A, 8, C, ... indicam o conjunto. Esta propriedade so e valida se, e sornente se, dois conjuntos A e B possuem os rnesrnos ele- a, b, c. .... indicam os elementos do conjunto. mentos,

0 conjunto B das letras da palavra felicidade e constituido pelos elementos: f, e, I, i, c, d, a. 0 conjunto I dos algarismas irnpares entre 0 a 20 e constituido pelos elementos: 1, 3. 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

AlgunS questionarnentos sobre 0s conjuntos s.30 pertinentes, como se um elemento pertence ou n i o a urn conjunto dado. Para isso, utiliza-se:

E : pertence 8 : n i o pertence

0 s canjuntos A = {I, 2, 3. 6) e B = { x l x B divisor positivo de 6) possuem os mesmo ele- mentos. Logo, A = B.

Operataes corn Conjuntas Existern quatro operaq6es fundamentais en-

volvendo as conjuntos: uniso, intersecg20, dife- renga e complementar.

Uni50 A operagso uni.50 e aquela que considera to-

dos 0s elementos pertencentes a urn conjunto A Considerando o conjunto B das letras da pa- ou outre conjunto B, lavra felicidade, temos: a E 8, d E 6, z e B

Considemndo o conjunto I dos aigarismos A U B = { X / X € A o u x E B ) impares entre 0 a 20, temos: 1 E I, 3 E I, 10 e I

Considerar: Representagfio de urn Conjunto A = {l, 2, 3 ,4 )

Considere-se o conjunto D constituido pelos B = {7, 8, 9) eiementos d6, re, mi, f.6, sol, 16 e si. Existern trbs A U B = {I, 2, 3, 4, 7, 8, 9) maneiras de se indicar urn conjunto:

0s elementos sso escrltos entre chaves, separados por virgula e sem repetl- 1, sao. A ordem dos elementos n3o importa.

2 1

I 1 D = {do, re, mi, fa, sol, la, si)

' 3 4 1 representa-se o A

conjunto por meio de uma propriedade A, ca- racteristica de seus elementos: A = {x/x tern

\\ a propriedade A). N e w caso, tem-se:

D = {dld e a nota musical)

0s elementos s5o escritos no inte- rior de uma circunfer6ncia. Este diagrama 6 chamado diagrama de Venn.

,/--

1

\\

7 9 \'! I

8

B /"

Considerar: A = {a, b, c, d) B = {c, d, e, f) A u B = {a, b, c, d, e, f)

Considerar: A = C-8, -6, 6, 8) B = 0 A U B = {-8, -6, 6, 8:.

Considerar:

Propriedade Importante da Teorio dos Conjuntos

E impossivel estabelecer uma relag80 entre o numero de elementos da intersec~xo e o da uni5o de conjuntos.

Tendo-se dois conjuntos A e 8, o ndmero de elementos da unizo 6 dado pela soma dos eie- rnentos A e B subtraida do nbrnero de elementos comuns que corresponde a0 nlimem de eiemen- tos da intersecgSo.

Tem-se, entzo:

Sendo A = {0,2,5,9,12) - n(A) = 5 B = {3,5,8,9,12,13) - n(B) = 6 A U B = {0,2,3,5,8,9,12,13) - n (AU 8) = 8 A n B = {5,9,12) - n ( ~ n B)=3 Que e equivaiente a: n(A v B) = n(A) + n(B) - n(A 0 B) n ( A U B ) = 5 + 6 - 3 n(A U B) = 8

mtersecc20 Urna pesquisa reaiizada em urn col6gio so- bre o gosto musical dos alunos indlcou que

A operac:o de intersec560 6 aqueia que con- 458 gostam de rock; 112 de mrisica sidera os elementos repetidos pertencentes aos sertaneja; 62, de ambos; e 36, de nenhum conjuntos A e B. desses estilos musicais. Com base nesses da-

Considerar:

dos, pode-se determinar o nlimero de alunos consultados.

Chama-se de R o conjunto dos alunos que gostam de rock, de S os alunos que gostam de m~bsica sertaneja e de N o conjunto de quem n2o gosta nem de rock nem de rnlisica sertane- ja. Tem-se:

( 9 I )(z 6 ) n t ~ j = 3 6 n(R n 5) = 62

n(R U 5) = 458 + 112 + (-62) n(R U 5) = 508 Total - (R U 5) + n(N) = 508 + 36 = 544

Foram consultados 544 alunos. C

Em uma dada cidade, foi feito urn levanta- mento para saber quantas criangas haviam recebido as vacinas Sabin e Tripiice. 0s resul- tados obtidos estgo na tabela a seguir.

Vacinas NGmero de criangas

Sabin 5.428

Triplice 4.346

Sabin e Triplice 812

Nenhuma 1.644

Determlnar o ntimero de crlancas: a) abrangidas pela pesquisa b) que receberam apenas a Sab~n. C) que receberam apenas a Triplice d) que receberam apenas uma vacina.

Em um certo bairro, foram entrevistadas 330 prssoas. Destas, 200 usam o xampu A, 150 usam o xampu 8, e 50 n.50 usam nem A nem B. Quantas pessoas usam A e 87

Em urna determinada escola, verificou-se a prefersncia de filmes de 600 alunos e desco- briu-se que 380 deles gostam de ficgao, 350 gostam de terror, e 90 gostam de outros tipos de filmes. Quantos alunos gostam de: a) fic~Bo, apenas? b) f i c~ao ou terror? c) fic~tio e terror?

Urn professor de portugues sugeriu a urna classe a leitura dos llvros ~e lena, de Machado de Assis, e Iracema, de IosC de Alencar. Vinte alunOS leram Helena, 15 leram so Iracema, 10 leram os dois livros, e 15 n5o leram ne- nhum deles. a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos alunos leram so Helena? C) Quai e o nljmero de alunos nessa classe?

Uma pesquisa realizada numa determinada empresa mostra que 277 de seus funcio- narios possuem casa prbpria, 233 possuem automovel. 495 oossuem cornoutador. 165 possuem a'utorn6~els e computabor, 120 com automove1 e casa pr6pria. 190 possuem casa propria e teievisor,.e finaimente; que 105 fun- cionarios possuem casa prbpria, autornovei e computador. a) Quantos funcionarios possuem automo-

veis? b) Quantos funcionarios possuem sornente

automoveis? c) Quantos funcionarios n.50 possuem casa

propria? d) Quantos funcionarios possuern casa pr6-

pria e computador? e) Quantos funcionarios possuem casa pro-

pria ou computador?

Raziio e Proporgiio A raz.30 entre dois vaiores a e b (b+O) e defini-

da pelo quociente entre eles, ou seja:

A proporgzo mede a razao corn que duas gran- dezas se reiacionam. Existem rela~Bes direta- mente e invenamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporclonais Quando urna das grandezas aumenta de valor

(OU dirninui), a outra grandeza tambem aumen- ta (ou dimiqui).

Matematicamente, ternos que:

" = k (constante) b

Um par de tenis custa R$ 200,OO. Quatro pa- res de t@nis custam R$ 800,OO. Observa-se que dobrando a quantidade de tenis, o valor total tambem dobra.

Matematicamente, tem-se que:

-- 200 - zoo 1

-- 800 - 200 4

Grandezas inversamente proporcionals Quando uma das grandezas aumenta de valor

(ou diminui), a outra grandeza diminui (ou au- rnenta). Matematicamente, tern-se que: a.b = k

Uma construtora conta corn urn pedreiro para construir um certo muro em 10 dias. Se ela con- tar corn dois pedreiros, o rnuro ser6 construido em 5 dias. observa-se que dobrando a quan- tidade de pedreiros, diminui-se peia metade o tempo gasto.

Matematicamente, tern-se que:

porcentagern

Defini~So pr6 tica Como o pr6prio norne diz, para padmnizar 0s

valores obtidos em um determinado calculo, e feita a proporgSo para 100 partes, ou Seja, call cula-se a porcentagem.

Um aiuno, durante uma aula de Flslca, rnede quanto distende urna mola quando sZo pen- duras nela massas diferentes e, em seguida, apresenta os dados na forma de tabela, como mostra adiante.

Ma-a (!I) DlrtensSo (em)

100 4

200 8

300 12

500 20

a) Qual a razao de propoqao entre as duas grandezas?

b) Sao qrandezas direta ou inversarnente propokionais?

C) Escrever uma rela~Bo matemdtica para re- presentar a tabela apresentada.

Transforme as frag6es abaixo em porcenta- sem:

D@ tres exemplos de pares de grandezas in- versarnente proporcionais.

A estat;stica 6 uma area do conhecimento que utiliza teorias probabilisticas para a explicagZo de eventos, estudos e experimentos. Tern por objetivo obter, organizar e anaiisar dados e de- terminar as correiagBes que eles apresentam, ti- rando delas suas consequSncias para descrever e explicar o que passou e prever e organlzar o futuro.

A estatistica tambem e uma ciCncia e pratica de desenvolvimento de conhecimento humano por meio do uso de dados empiricos. Baseia-se na teoria estatistica, um ramo da matematica apiicada.

Na teoria estatistica, a aleatoriedade e a in- certeza sso modeladas pela teoria da probabili- dade. A lgc~ las praticas estatisticas inciuem, por exemplo, o Pianeiamento, a sumarizacao e a in- terpretaqao de obsewagdes. Por ser dbjetrvi da estatistlca a produggo da 'melhor" Informacao p 0 S ~ i ~ e l a partir dos dados dis~oniveis. alabns . < -

autores sugerern que a estatistica 6 urn ramo da teoria da decisao. 0 termo estatktica suraiu da exDress.30 em la-

t im statisbcum collegru6, palestra sobre os as- suntos do EStadO, de onde surgiu a paiavra em lingua italiana statists, que sigiifica 'hornem de estado" ou politico, e a paiavra alema Statistik, designando a analise de dados sobre o Estado. A palavra foi proposta pela primeira vez no secuio XVII, em iatim, por Schmeitzei, na Universidade de Lena, e adotada pelo academico alem.30 Go- dofredo Achenwall. Apareceu como vocabulirio na Enciclop4dia Britanica em 1797 e, no inicio do seculo XIX, adquiriu urn significado de cokta e classificacZo de dados. 0 conheckento (e a ignorhcia) 5.30 descritos

de forma matematica, e tenta-se aprender mais sobre aauilo aue se oode observar. Isso reouer: .~ ~

planejimeAto da; observas6es corno forma de controiar a sua variabilidade (concepgSo do exoerimentol: sumarizag80'da coleggo de observagBes; inferencia estatistica - obter um consenso so- bre o que as observaGBes dizem sobre o mun- do observado. Em algumas formas de estatistica descritiva,

nomeada minera~Zo de dados (data mining), o segundo e terceiro passos tornam-se, em geral, mais importantes que o primeiro.

A probabilidade de um evento e frequente- mente definida como urn ntimero entre 0 e 1. Na realidade, porem, nunca ha situa~aes que tenharn Drobabilidade 0 ou 1. Por exemolo. oo- , , . de-se dizer que o Sol certamente nascera pela manh8. Mas e se ele for destruido por um even- to extremamente dificil de ocorrerj E se ocorrer

uma guerra nuclear e o ceu ficar coberto de cin- zas e fumaga?

Costuma-se aDroximar a ~robabilidade de cer- ~ - ~~

tos eventos pare cima ou bara baixo, pois eles siio t8o provaveis ou improvaveis de ocorrer aue e facil reconhece-10s como probabilidade de 1 ou 0. Entretanto, isso geralmente leva a desen- tendimentos e cornportamentos perigosos, por- que as pessoas nZo conseguem distinguir entre uma probabilidade de lo-' e uma probabilidade de 10~9, a despeito da grande diferen~a pratica entre elas.

Por exemplo, se atravessar uma estrada cerca de lo5 ou 10Qezes na vida 6 arriscado. entao , . ... reduzir o risco de atravessar a estrada em sera mais seguro, enquanto um risco de cruz6-la em 10.' Sera maiS Orovavel de resultar em um acidente, mesmo com a intuigao de que 0,01% e um risco muito baixo.

Aigumas cihncias usam a estatistica aolicada .-.- t5o extensivamente que eias tern urna terrnino- iogia especializada. Essas discipiinas incluem:

bioestatistica; estatistica comerciai: ~ ~~

estat'stica econ6m ca; engenhar~a estat'stlca; estatistica fisica; estatistica popuiacional; estatistica psicologica; estatistica social (para todas as ciencias so- ciais); analise do processo e quimiometria (para ana- lise de dados da quirnica analitica e da enge- nharia quimica). Estatistica e uma ferramenta-chave nosnego-

cios e na industrializa~Zo como um todo. E utili- zada para entender sistemas variaveis, controle de processos (chamados de controle estatistico de processo - CEP), sumarizasso de dados e tomada de decisZo baseada em dados. Nessas fungdes, ela e a ljnica ferramenta sequra.

As ligagaes para estatistica observational sao coietadas pelos fenbrnenos estatisticos:

conjunto de tecnicas uti- iizadas para identificar relag6es entre variaveis que representem ou nZo relas6es de causa e efeito;

conjunto de tecnicas utili- zadas para atenuar o efeito de outliers e pre- servar a forma de uma distribuigso t.30 ade- rente quanto possivel aos dados empiricos.

A Base do Estatist ica e Sua Definicf io A estatist ca e uma ferramenta rnatematca que

nforrna quanto err0 as observag6es apresentam soore a rea ~dade pesq-lsaaa. A estat'srlca ba- sela-se na medlqBo do erro que exlste na estlma- rlva de q ~ a n r o drna arnostra rcprcsenta adeqda- damenre a poputag.30 da qua fol extraida. Asslm,

o conhecimento de teoria de conjuntos, analise combinatbria e calculo s.50 indispens6veis para se COmDreender como o err0 e sua maqnitude se comportam. E o err0 (err0 amostral) que define a qualidade da obsewag.50 e do deiineamento ex- perimental.

A faceta dessa ferramenta mais ~ a l ~ a v e i e a estatistlca descritiva. A descri~9o'dos dados coletados e comumente a~resentada em arafi- cos OL relator~os e serve tanto a prospecq50 ae d ma ou mats var~ave s 3ara posterior apllca~20 ou n9o de testes estatisticos como a apresen- tag20 de resultados de delineamentos experi- mentais.

P o p u l a ~ a o Para a estatistica, a popula~.50 este relacio-

nada com um determinado tema, cornpreen- de tados os elementos do local, sem deixar de contar corn os dados de qualquer urn que seja. Portanto, populac2o engloba pessoas, animais, objetos, plantas e tudo o que fizer parte de um conjunto.

Censo E uma pesquisa cujo objetivo e realizar o le-

vantamento das informacFes dos dados estatis- ticos dos habitantes de uma cidade, estado ou pais.

Amostra E um subconjunto da populag.50, e seus re-

sultados s5o representatives do todo, por meio de rnodelos estatisticos. A amostra e utilizada quando o numero de elementos da popula~80 e rnuito grande ou quando e precis0 economizar tempo ou dinheiro.

Vari6vel Estatist ica 0 conjunto de dados obtidos em uma pesquisa

e chamado de variivel estatistica. 0s valores de uma variavel 5.80 divididos em

duas categorias: quantitativa e qualitatlva.

Variaveis quantitativas SSo varieveis cuios valores reoresentam uma

resposta numerics. Uma variavel quantitativa pode ser classifica-

da em: a resposta e

um n6mero natural. Exemplos: Quantos filhos vocZ tern? Qual e a sua idade? Quantos ba- nhos voce toma por dia?

a resposta e urn numero real (quebrado). txemplos: Qual e sua altura? Quanto voce pesa? Qual e o valor de seu salario?

Variaveis qualitativas 5.50 variaveis cujos valores representam um

nome ou palavra como respostas. Uma variavel qualitativa e subdividida em:

como resposta 520 obtidos nomes ou qualidades que n2o po- d e n ser ordenados de acordo com uma hie- rarquia.

0 que voce acha da comida do refeitbrio? Qual e a cor de seus olhos? Em quem voce votou na ultima elei~So para pre- sidente?

como resposta s8o obtidos valores possiveis de serem hierar- quizados de rnodo que se possa diferenciar os sujeitos por categorias.

Qual 6 sua escolaridade? Em que andar voc@ mora?

Em urn jogo de futebol compareceram 10.250 espectadores. No final do jogo, 520 especta- dores foram consultados sobre questiies de seguransa do estadio. Responda: a) Quantos eiementos possui o universo esta-

tistico (populag80)? b) Quantos elementos comp6em a amostra? C) Para que o resultado da oesouisa reore-

sente a opiniao geral, corn; voce a ~ h a ' ~ u e deve ser a escolha da amostra?

Identifique a variavel e alguns de seus possi- veis valores nas quest6es seguintes: a) Qual e a sua idade? b) Qua1 6 a sua altura? c) Quantos aparelhos de TV h6 em sua casa? d) Voce prefere que genero de musica? e) Qual 6 a sua cor predileta? f) Qual e o seu gasto por m6s no supermer-

cado?

Considerando o exerckio anterior, diga qua1 e o tip0 de variavel de cada urn dos itens da quest50 2.

Uma agencia de turismo realizou uma oes- quisa para sondar as preferencias de ieus clientes. Analise algumas das quest6es formuladas e indique em cada uma qua1 e a variavel, seu tip0 e pel0 rnenos dois de seus valores.

Nirol edYUSI...I Tot.1 Amodn

set-

At4 2. prau T h b S,,per(or

Pmdu@o 340 30 8

Administrasso 12 35 5

t4anuteyZ.o 5 8 3

OUbOI 20 2 1

Total

a) Em que rnes voc@ prefere vlajar? b) Quantos dias voce pretende viajar? c) Que Estado do Brasil voc6 gostaria de co-

nhecer? d) ~ u a l a quantia maxima que vote pretende

gastar? e) Voce prefere viajar por qua1 melo de trans-

porte? f) Quantas pessoas voce ievara na viagem? 9) Que categoria de hotel voce prefere? h) Qual forma de pagamento vocO prefere?

uma agCncia imobilidria tem 2.000 clientes cadastrados e resolveu consultar 350 deies sobre algumas preferencias na compra de um imovel. Entre as questBes formuladas estao: a) Que tip0 de imovel voc@ prefere: casa ou

apartamento? b) Quantos dormit6rios deve ter o imovel que

voce pretende comprar? c) No caso da compra de urn apartamento,

em que andar VOC& prefere? d) Qual o valor rnixirno que vote pretende

pagar por um imovei? Responda: a) Quai 6 o univcrso nessa Desauisa? 0) kewa p~~qt185a f01 ut~lvada "ma amostra? C ) Qual e a varlavel em cada uma das quatm

questaes formuladas7 D@ seu tioo e Delo menos dois de seus valores.

Uma empresa apresenta o seauinte auadm re- Iat~vo aos -us h~nc~ondnos ~ b t e r um'a amostra Proporclonal estratlficada de 40 func~onAnos

Definiq6o A palavra probabilidade vem do latim probare,

que significa provar ou testar. A teoria da proba- bilidade tenta quantificar a no@o de prov8vel; e uma representa~so matematica e l5gica.

A teoria da probabilidade pode ser exemplifi- cada com o uso de dados, moedas ou bolinhas. Se uma moeda for jogada para cima, mostrara uma de suas faces - cara ou coroa - auando calr. A probabilidade de sair cara e igual a chance de sair coroa, ou seja, 50% ou 112 de probabilida- de.

Se duas rnoedas forrrn jogadas ao mesrno tempo para cima, qua1 seria a chance de se ob- ter cara na; duas moedas?

Portanto, 1 em 4, ou seja: 1 = 0,25 ou 25% -

4

Pode-se representar o lancamento das moe- das com o desenho da arvore.

cam L :%a cara L caroa 2 caras e I corm=

rnoeda< coroa

Qual e a probabilidade de sair cara em todas as 3 moedas quando jogadas juntas?

Qual e a chance de se obter sempre o resui- tad0 "coroa" quando sBo langadas 4 moedas? E maior ou menor que lo%?

Ao se langarem 5 moedas, qua1 a probabili- dade de sair o resultado "coroa" em todas as moedas? Essa chance e maior ou menor que 5%?

Se 2 dados forem jogados simuitaneamente, quai e a probabilidade de 0s dois cairem cnrn a m e m o nlimero, diga-se, 3?

A representag50 visual dos dados estatisticos tern por finaiidade facilitar o entendirnento da pesquisa feita. Pode ser feita por meio de tabe- Ias e graficos, geralmente coioridos, nos quais os dados obtidos na pesquisa sZo organizados. Essa forma de apresentagao possibilita ao leitor com- preender de rnodo geral a situaqao estudada.

A representagao por tabela i s vezes contem muitas inforrna~8es. o que nSo favorece sua vi- SualizaSSo, como dernonstra a Tabela 2.7.1.

A representaCao por grafico pode ser feita corn varios tipos de grhficos:

grafico de linha; grafico de barraslcolunas; grafico de barras/colunas mtiltipias; grafico de setores (pizza). Esse tip0 de representagao, alern de ser mui-

to melhor para ser visuaiizado, apresenta rnais condiS6es de entendirnento e cornparaSSo dos dados. Seguem exernplos de cada urn deles.

fndice FIRJAN de Desenvolvimento Municipal 2007

Capitais IFDM Emprego e renda

Brasii 0.7478 0.7520

Mediana das capitais 0.7870 0.8531

MBxirno das capitais 0.8667 0.9062

Minimo das capitais 0.6921 0.6700

Ranking IFDM UF Capitais

Nacional Capitals brarllelrar IFDM

47' 1" PR Curitiba n.R687

5 1' 2O ES Vit6ria 0.8669

8 7' 3O SP 520 Paulo 0.8469

109O 4* MS Campo Grande 0.8351

119" So SC Flarian6poiis 0.8323

128* 6' RJ Rio de laneim 0.8295

1430 7O GO GoiBnia 0.8239

170' 8" DF Brasilia 0.8155

171" go RS Porto Aiegre 0.8155

1790 loa MG Belo Horironte 0.8123

2520 11- RN Natal 0.7940

267- 12' P I Teresina 0.7914

274O 13O MA SSo Luis 0.7903

2 8 9 14O PE Recife 0.7870

380' 15' MT Cuiab6 0.7707

4OOe 16' SE Aracaju 0.7681

4370 17O TO Palmas 0.7638

474O 18" RR Boa Vista 0.7591

4860 19" PA BeiCm 0.7575

556" 20" PB IoBo Pessoa 0.7488

639" 21' BA Salvador 0.7407

640" 22' AM Manaus 0.7407

650° 23' CE Fortaleza 0.7398

797O 24' AL Macei6 0.7282

1041' 25" RO Porto Velho 0.7117

1293O 26" AP Macapd 0.6964

1354' 2 7' AC R ~ O Branco 0.6921

Fonte: Sistema FIRJAN. Disponivel em: cwww.Rflan.org.br/IFDM>.

Emprego e renda

0.8975

0.9062

0.8513

0.8361

0.8631

0.8506

0.8864

0.8448

0.8531

0.8612

0.8978

0.8303

0.8878

0.8814

0.8038

0.8085

0.8007

0.8554

0.8814

0.8190

0.8620

0.8654

0.8599

0.7960

0.7704

0.8462

0.6700

Grafico de Linha 0s graficos de linha s5o utilizados principal-

mente para acompanhamento de uma situag80, de modo que se possa comparar tambem ocor- rsncias, desempenhos, cotag6es etc.

Exemplo 1

Uma fabrica de roupas registrou o nljmero de vendas da saia Fru-fru durante 6 meses e obte- ve os seguintes resultados:

M e s s Quantidaae

laneim 30

Fevereiro 45

Margo 80

Abril 10

Maio 25

lunho 30

Essas informasaes podem ser representadas no graficc de linhas:

90

: 40 50 / senel 30 I 20

1 0 1 0 4

Jan Fev Mar A Mat0 Jon

Exemplo 2 Tres candidatos estSo concorrendo a uma

vaga na empresa Mirandolina S/A. 0 supervisor que ficou responsavel pelos candidatos anotou as medias dos resultados obtidos por eles em 6 meses:

Mesea a

lilneiro 25

Fevereiro 27

Mar50 25

Abrii 20

Maio 25

Iunho 30

Candidatos

b c

33 10

29 15

25 20

20 25

15 25

15 30

Pode-se fazer o grafico de linha para repre- sentar esta situacao:

0 Jan Fev Mar Abr Maio lun

Gr6hco de Barras/Calunas 0 s graficos de barras ou coiunas sSo utiiiza-

dos para representar pesquisas quantitativas e comparag6es.

Ha duas op~6es para sua representagzo: sao

chamados de graficos de barras; s.30

chamados de graficos de colunas.

Exemplo 1 0s dados a seguir mostram a area devastada

da Floresta AmazBnica nos anos discriminados:

Devastago da Floresta Amullnlu

Anos i rea (km2)

2000 350

2001 200

2002 300

2003 400

2004 250

Pode-se representar a situaq5o em um grdfico de colunas:

Exemplo 2 Uma empresa investigou as principais reivin-

dicag6es de seus funcionarios e obteve as se- guintes informaSBes:

Itens Quantidada

Melhor salario 30

Meihores equipamentos 15

Mai5 beneflcios 45

Qualifica~So 10

Refeit6rio 10

Pode-se representar a situagao cam urn gr=fi- co de barras:

refeftorro

quahhca@o

ma15 beneficros - melhores equrpamentm -

melhor safbrio - 0 lo 20 30 40 50

Observa-se que os eixos se invertem no gra- fico de colunas em comparacso com o grafico de barras.

Grhhcos corn Duas Colunas

AIUnOS POr cum0 tecnico

Cursos t6cnicos Alunos Alunas

Arnbiente 300 320

Seguranta do trabalha 350 150

Com4rcio 200 240

Contabiiidade 250 120

Alunos . 150 m

Alunas

50 n I "

Ambrente SeguranCa Comercoo Contab,lldade do Trabalho

Gr6hco de Setores (Pizza)

Exemplo

Urna pesquisa de inten$ao de voto coletou os seguintes dados:

Intengao de vom

Candidatos Votos

Pafhc ia 1.152

lesuino 2.586

Gerrindio 900

Mariberta 810

Total 5.448

Construa o grafico de linhas para as tabelas dadas a seguir: a)

Me5 Unidader vcndldas

Fevereim 20

Margo 18

Abril 24

Maio 16

lunho 8

b)

Pronto-socorra - Casos

Dlas da semana Atandimanto

Segunda-feira 18

Observe o seguinte grafico:

Ele representa a quantidade de chuva caida em um ano, em uma determinada regi.50. Res~onda as quest8es. a) Qual e o m6s mais chuvoso do ano? b) Qual k a estagso mais chuvosa do ano? c) Qual e o m6s mais seco do ano? d) Quantos litros de agua foram recolhidos durante todo o ano (valor aproxlmado)?

Uma professora anotou o nljmero de faltas dos alunos durante um semestre, de acordo corn os dias da semana. Observe as anota- $8es, construa o grafico de linhas e tire con- clus6es:

segunda-feira: 64 faltas; terga-feira: 32; quarta-feira: 32; quinta-feira: 48; sexta-feira: 60.

Durante uma hora foram anotados 0s tipos de veiculos que passaram pela rua onde esta situada uma escola e conseauiram-se 0s se- guintes dados: T, T, T, M, A, 7, T, M, T, 6, 6, T, T,A.T.T,C,T,M,T,T,T,C,B.T,T,T,T,T,A, T,T,T,M,C,T,T,T,T,B,T,T,M,B,A. Considere: M = motocicleta; C = caminhZo; A = ambulancia; B = bicicleta; T = carro. Construa um grtifico de barras que corres- ponda a esta pesquisa.

Durante uma pesquisa foram coletados 0s da- dos de vendas de tr@s febricas de vassouras da cidade de Faxininha durante os meses de agosto, setembro, outubro e novembro. A empresa "Varra Bem" vendeu, respectiva- mente, nesses meses, 15, 10, 25 e 18. A empresa 'Vassourex" vendeu 28, 15, 30, -- 55 . A empresa 'Peludinha" vendeu 35, 30, 30, -- JL. Represente as vendas das tr&s empresas gra- ficamente.

fUFPBl Na fiaura abaixo estao representadas - graficamente as popula@es rural e urbana do Brasil no period0 de 1950 a 1980.

- urbana -,- rural

80 . :"/.I -~ - - --

60 . . - ~~.

Com base na figura, e correto afirmar que: a) em 1970, a populag8o urbana era superior

a 60 milhaes de habitantes.

b) de 1950 a 1980, a populagBo urbana au- mentou mais de 50 milh6es de habitantes.

c) em 1980, a populag.30 do Brasil era inferior a 100 milh6es de habitantes.

d) de 1950 a 1980, a populagio urbana foi sempre malor do que a rural.

e) de 1950 a 1980, a populag5o urbana foi sernpre menor do que a rural.

(UFPE - adaptado) 0 indice de confiabilidade na economia e um nlimero entre 0 e 100 que mede a confianga dos empresarios na econo- rnia brasileira. 0s graficos abaixo ilustram os valores destes indices para grandes e para mddios empresarios, de outubro de 2002 a outubro de 2003, em dados trimestrais. Assi- nale (V) Verdadeiro ou (F) Falso para as qua- tro afirmagoes seguintes, acerca dos indices de confiabilidade na economia bmsileira dos grandes e medios empresarios representados no grafico abaixo.

indice de confianga na economia

Grandes 52 61 62 55 59

0 :resc'mento e decresc~mento cltados nas afirmaqces sSo relatlvos ao trlmestre anter or 1. ( ) 0 indice dos medios em~resarios sem-

pre cresce-, de jan.12003 a'out.12003 2. ( ) Q-ando o 'na ce aos medlos empresa-

rios cresceu, o rnesmo ocorreu com o indi- ce dos grandes empredrios.

3. ( ) Quando o indice dos grandes empre- sarios decresceu, o indice dos medios em- presarios cresceu.

4. ( ) 0 indice dos grandes ernpresarios sem- pre foi superior ao indice dos medios ernpre- sarios.

a) F-V-F-V. b) F-F-V-F. c) V-V-F-V. d) V-F-F-V.

( U N - M G ) Em 16/6/2003, a revista ~ p o c a pu- blicou a seguinte noticia: um virus poderoso chamado Bugbear B causou phico, na sema- na de 4 a 10 de junho de 2003, a0 contami- nar mais de 15 mil computadores, espalhar mensagens infectadas a milhares de outros e colocar o Brasil no top0 do ranking rnundiai de paises atacados. 0 grafico abaixo repre- senta o ntimero de micros atingidos, por dia, nesse periodo.

0 Bugbear no mundo Mirms atingidos por did (em miihares)

i~ junho 2013 A

Dados: empresa de antivirus MessageLabs. Fonte: Epoca, 16/06/2003.

Corn base no grafico, indique a alternativa correta: a) 0 ntimero de micros infectados no sexto

dia foi 89 mil. b) No dia 7 de junho ocorreu o rnenor nlimero

de micros infectados. C) A menor diferenga no numero de mi-

cros infectados em dias consecutivos ocorreu entre 0s dias 5 e 6.

d) A maior diferenga no nlimero de mi- cros infectados em dias consecutivos ocorreu entre os dias 6 e 7.

e) 0 n~jmera total de micros infectados du- rante a semana foi 285 mil.

A partir da observag.30 do grafico abaixo, e correto afirmar que a Embraer, corn relaS.30 a receita por segmento:

""tros .. sewicos

Aemnauticos 10,4%

~

667%

a) tem corno principal fonte de receita os ser- vigos aeronauticos.

b) tern corno principal receita o ensino e a pesquisa em tecnologia aeronautica.

c) tern corno principai fonte de receita a avia- gSo executiva.

d) tem corno principal fonte de receita a avia- 5.30 comerciai.

e) tern sua menor receita advinda da aviag.30 comercial.

Dadas as tabeias abaixo, represente os itens a e b por urn grafico de colunas e os itens c e d por um grafico de barras.

Bimestre Quantidade

1' 16

2! 24

3' 12

c R

b)

indice da churas no Bresil na semana de 1. ago. 2010 a 8 ago. 1010

Dia Quantidade (mm)

1 12

2 40

3 52

4 6

5 21

6 17

7 9

8 30

Represente par rneio de u m grafico de setores 0s seauintes casos: a) ~ o y f e i t a urna pesquisa sobre gosto de g&-

nero de filmes, e o resultado foi:

ODiniSo sobre

Genero Quantidade

A580 5.222

Comedia 3.127

suspense 4.288

Terror 2.629

Oucros 1.152

Total 16.418

b) Outra pesquisa foi realizada em duas salas de aula de'30 an0 do Ensino Fundamental, sobre seus doces preferidos. As inforrna- Goes levantadas estao na tabela a seguir.

Doces Quantidade

Balas 12

Chocolates 20

Pirulito 6

Bolo 8

Outros 4

Total 50

C)

Acidentes nas mdovias federais no l t imo semertre de 2010

Meses Quantidade de acidentes

lulho 115

Aqosto 125

Setembro 145

Outubro 130

Novernbro 100

Dezernbro 180

d) Idades de um determinado grupo

Idade (an061 Quantidade

10 15

11 20

12 17

13 6

Trata-se do process0 fundamental para a rea- l iza~ao das tabula~Bes das pesquisas. 0 histograma e a representacao grafica da

distribuiGao de frequhcia. Como exemplos, sera0 abordados tres tipos

de frequhncias: absoluta, relativa e acumulada.

FrequPncia Absoluta (tl) E a contagem (quantidade) de cada um dos

valores obtidos na pesquisa.

Frequencia Relativa (fr) E a nota@o em porcentagem da frequgncia

absoluta.

Exemplo 2: FO fe ra uma entrevista corn 32 pessoas sobre

suas ntenc6es de votos na e e 1 ~ 2 o presldenclal

5erra Marina Dilma Serra Serra Dilma Serra Dilma Marina Marina Dilma Dilma Dilma Serra Dilma Serra

Tem-se, entSo:

Intan60 de voto

Candidato fi

Dilma 14

Serra 11

Dilma Serra Dilma Nulo Dllma Marina Serra Dilma Serra Serra Diima Marina Dilma Nulo Dilma Serra

Marina 5 15.6 FrequPncia Acumulada (Fa)

30

Nuio E a soma linha a linha da frequencia absoluta.

2 6.2 32

Total 32 100% 1 0 caso

Exemplo 3: Dados corn pouca variag8o das respostas. 0s valores n.50 sSo tSo diversificados. Urna pesquisa mostra a quantidade de filhos que

os funciondrios da empresa Ashinanina possuem: Euempio 1

0 1 Em uma sala de 40 alunos do 20 ano do Ensino 3 2 0 4

MBdio, foram obtidas as seguintes idades: 1 2 0 2

2 2 2 1 1 3 16 15 17 15 16 17 17 16 0 2 2 1 2 4 15 15 15 18 16 16 16 16 3 2 2 3 2 1 15 15 16 18 16 16 15 16 15 16 16 17 15 16 15 16 16 17 15 16 15 16 15 15 em-se:

Construiu-se a tabeia de frequcncia:

Idade doo olunos do 2. EM

Idades Qvantidade (fi) fr (%) Fa

15 15 37,s 15

16 18 45 33

17 5 12,5 38

18 2 5 40

Total 40 100%

N. de filhos de funcion6rior

N. de filhos n fr (%I Fa

0 4 13.3 4

1 8 26.7 12

2 12 40 24

3 4 13,3 28

4 2 6,7 30

Total 30 100%

Para calcuiar fr, faz-se: 2Q caso

EJQQ = 37,5% 5.1DO = 12.5% DistribuiqSo de frequcncla corn varios valores

40 40 diferentes. Ouando se faz uma Desouisa, muitas vezes

18.100 = 45% 2.m = 5% se b b t h uma variedade de valores diferentes.

40 40

Nesses casos (numericos), os valores sao agru- pados em intewalos.

Para isso, ha tres conceitos auxiilares: indica a dispersio de va-

lores: AT = X,,,,,, - Xmin,mo

d6 a no@o aproxima- da de quantas classes (linhas) tera a futura tabela: NC =

6 o valor que se deve obedecer para a montagern de cada um dos intervalos: a = &

NC

Exemplo 1 :

Em uma ernpresa de alimentos, foi feita uma pesquisa corn 30 funcionarios em rela~zo a Ida- de dos funcionarios. 0 s resuitados foram:

20 36 41 28 36 45 27 28 44 21 36 3 2 58 25 29 42 48 60 32 36 37 52 42 47 52 25 40 33 51 30

Construiu-se uma tabela de distribuiq50 de frequencia da situagio apresentada.

Idade dos funcionSrios

Idades n fr (%I 20-28 5 16,7

28-36 7 23.3

36-44 9 30

44-52 5 16.7

52-60 4 13.2

Total 30 100%

A h r a d m pacientes

Altura (cm) fl

144-155 4

155-166 3

166-177 7

177-188 6

188-199 4

Total 24

Exemplo 2: Uma nutricionista anotou a altura de seus pa-

cientes (ern cm) para o caiculo do indice de mas- sa corporal.

173 180 166 196

Construiu-se a tabela de distribuiggo de fre- quencias:

Paulo e sua equipe registraram o numero de passageiros de cada um dos 50 veiculos que passaram pela rua da escola em urn determi- nado periodo: 1 , 3 , 2 , 4 , 3 , 1 , 2 , 3 , 2 , 4 , 4 , 1 , 5 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 6 , 3 , 4 , 5 , 2 , i , 1 , 4 , 1 , 1 , 2 , 1 , 4 , 5 , 6 , 5 , 1 , 3 , 2 , 1 , 1 , 5 , 2 , 3 , 1 , 1 , 6 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 . Construa urna tabela de frequencias para esta situaqao.

Silvio lansou um dado 25 vezes e registrou 0s resultados:

a) ConstnJa uma tabela de freuuencia oara 0s resultados obtidos.

b) Qual foi a frequencia relativa para um es- core de 51

c) Quai foi a frequCncia relativa para um es- core de 4 ou mais?

d) Qual foi a frequencia reiativa para urn es- core de peio menos 3?

e) Qual e a variavei nesta situaqao e de que tipo ela e?

Faqa vocC rnesmo: jogue uma rnoeda para o alto 20 vezes e anote os resultados. Construa uma tabela de distribuis.30 de frequencia dos resultados obtidos.

Uma pesquisa com usuarios de transporte co- letivo na cidade de 550 Paulo indagou sobre 0s diferentes tlpos usados em suas locOm0- ~ 5 e s diarias. Dentre Bnibus, metrB e trem. o nljmero de diferentes meios de transporte utiiizados foi o seguinte: 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,3,1,1,1,2,2,3,1,1,1,1,2,1,1,2,~, 1, 2, 1. 2, 3. a l Oraanize uma tabela de freuusncia. ~, ~ - b) Faca uma representa~ao grafica. C) Admitindo que essa amostra representa

bem o comportamento do usuario paulis- tano, voce acha que a porcentagem dos usuarios que utiiizam mais de um tip0 de transporte 6 grande?

Medidas de tendbncia central sSo rnedidas que denotam os valores que permitem que se chegue a algurnas opini6es sobre os dados da pesquisa.

Nesta aula, sera0 estudadas apenas tres des- sas medidas: media aritmetica, rnediana e moda.

0 rnodo de calcular essas medidas depende da maneira como os dados sSo encontrados.

12 Caso: dados nho agrupados

Media aritmetica (Ma) E o valor que lndlca a incidencia media 00s

resuitados:

Ma = -Xn n

Exemplo

Qual e media da idade de um aruDo de 10 oes- SO& que possvem as seguinte;idedes: 23,' 25, 35, 22, 19, 32, 40, 26 27 e 30?

A medla de ldade desse grupo e de 28 anos

Exeirrpio Determine a aitura media de um qruoo aue - .

possui as seguintes alturas: 1,82; 1,75; I,.&; 1,82: 1,84; 1,77; 1,79 e 1,83.

A idade mediana deste grupo e 33 anos.

a mediana da pesquisa sera exatamente o elemento que ocupa a posiq%o do resuitado de m.

2

Exemplo: Determine a mediana das aituras a seguir:

1,72; 1,73; 1,62; 1,68; 1,77; 1,82; 1,78.

A mediana desta situacso e de 1.73 m.

Moda (MO) E a rnedida que indica o rnaior nljmero de in-

cidencia na pesquisa. Em outras paiavras, e o valor que mais se repete.

Ma =1.82+1.75+1.80 + 1.82 + 1.84+ 1.77 + 1.79 + 1U 8

Em uma pesquisa de opini8es, por exemplo, a

Ma = 1.8 moda representa a vontade da maioria.

Exemplo 1 : A altura media desse grupo e de 1,80 m. Dados: 5. 6. 6. 6. 5. 7. 8. 6 e 4 . . , . .

Mediana (Md) A moda deGa sequencia 6 o nlimero 6 . , Mo = 6

E o valor que representa exatamente 50% da A pesquisa pois apresenta uma rinica arnastra.

0 calculo da mediana de dados nEo agrupados rnoda.

considera dois casos: quantidade de dados pa- Exemplo 2: re5 ou impares. Dados: 25, 30, 35, 25, 27, 16, 30.

E necessario organizar 0s dados em ordem = 25 30 crescente A pesquisa e bimodal, ou seja, de duas modas.

a mediana sera a media aritmetica dos elementos que ocupam Exernplo 3: as posicbes: Dados:1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5.

Exernolo:

M 0 = 1 , 3 e ~ A pesquisa e trimodal, ou seja, de tres modas. No caso de haver quatro modas ou mais, a

pesquisa 6 chamada poiimodal. Calcuie a rnediana de um grupo de pessoas Urn3 pesquisa pode n6o ter elementos repeti-

que possuern as seguintes idades: 20, 35, 36, dos - neste caso, pode-se dizer que a pesquisa 30, 32, 47, 42 e 22. 6 arnoda!.

MO = 0

Calcule as medldas de posigZo (media, me- diana e moda) da situagBo.

Uma pessoa gasta em rnPdia 45 rninutos por dia ouvindo mislca (The Des Moines Register, Em Um WuPo de SeiS Pessoas corn idades de 5 de dezernbro de 1997). 0 s seouintes dados 2, 3, 2, 1, 1 e 50 anos, qua1 e a moda? foram obtidos para o nl jhero derninutos gas- tos ouvindo mljsica para uma amostra de 30 individuos:

Se a temoeratura medida de hora em hora das 6h as i l h apresentou os resultados 14 OC, 15 "C, 15 OC, 18 "C, 20 OC e 25 OC, qua1 foi a temperatura media desse periodo? E a ternperatura rnediana? E a temperatura , . , . . . ~ , , , , . , . .

56.6; 52.9; 145.6; 70.4; 65.13'63.6. modal? a) Calcule a media e a rnediana b j 0 s dados sBo coerentes com os dados do

jornan

Milharei de brasiieiros se levantam todas as manhas e vzo para o escritorio, em sua pro- pria casa. Sugere-se aue o uso crescente de cornputadores pessoais seja urna das raz6es para que mais pessoas possam trabaihar em casa. A seguir est6 uma amostra de dados, por idade, de individuos que trabalham em casa: 22. 58, 24, 50. 29. 52, 57, 31, 30, 41, 44, 40, . . 46; 29; 31; 37, 32, 44, 49, 29. Calcule a media, a rnediana e a rnoda

A arnostra a seguir foi retirada de uma popu- lag50 de notas dos alunos de uma ciasse: 5, 8, 6, 5. 5, 2. 7. Determine: a) a nota media. b) a moda. c) a mediana.

Segue o nirnero de cZes perdidos que forarn capturados e encaminhados a um abrigo de animais em 20 dias: 4 , 6 , 8 , 4 , 2 , 6 , 4 , 3 , 4 , 9 , 5 , 8 , 5 , 3 , 5 , 7 , 6 , 3, 8, 6. a) Calcule a media de caes capturados por

dia. b) Calcule a moda. C) Caicule a mediana.

Forarn feitas 36 avaiia~bes de altura de uma planta (cm) de ocorrgncia no cerrado. 0 s re- sultados forarn os seguintes:

Calcule a media, mediana e a moda da situ- agBo.

Contaram-se ovos eciodldos em ninhadas de - certa ave. 0s resuitados forarn:

Exempio:

Um fazendeiro mediu a aitura de todas as 6r- vores de determlnada espkcie. Determine a al-

29 Caso: dados agrupados em interval0 med;ana dessa especie de amore, 0s conceitos de media aritmetica, mediana e Altura das irvores

moda s2o os mesmos; a diferenca e o modo de Almra caicular essas medidas de tendhncias centrais. n 1,50-1,55 30

Media aritmetica (Ma) 1,55-1.60 27

E dada por: 1,60-1,65 33

mi = metade do intervalo

Exernplot

Caicular a media da idade dos funcionarios da empresa Sociitata Ltda., a partir da tabela de distribuiqS3 de frequencias. Idades dos funclonhrlos fi

20-25 60

25~30 20

30-35 30

35-40 10

40-45 20

Total 140

Para isso, acrescentam-se duas colunas na ta- bela, a fim de auxiliar nos calculos - uma para mi e outra para %mi. Idades dor funcionhrior Idades n ml. n.ml 20-25 60 22,s 1350

25-30 20 27.5 550

30-35 30 32.5 975

35-40 10 37.5 375

40-45 20 42.5 850

Total 140 - 4100

A media de idade dos funcionarios da empresa Sociitata Ltda. e de 29 anos.

limite inferior da classe mediana. frequhncia acumuiada da classe ante-

rior a classe mediana. amplitude ou intervalo da ciasse media-

na. frequhncia absoluta da classe mediana.

1,65-1,70

1.70-1,7S

1.75-1,80

Total

Para enwntrar a mediana, deve-se acrescentar uma coluna auxiliarda frequencia acumulada (Fa).

Como a mediana e a medida que indica exa- tamente 50% da pesquisa, deve-se encontrar a classe mediana.

calcula-se ,U 2

No exemplo, tem-se s 62 2

0 elemento que representa 50% da pesquisa e o 620.

constroi-se a tabela com a coluna extra da frequCncia acumulada. Neste exem- plo, busca-se o 620 elemento.

Altura das 6rrorrs AItura f i Fa 1,50-1.55 30 30

1.55-1.60 27 57

1.60-l,65 33 90 - classe rnediana 1,65-1,70 20 110

1.70-1.75 5 115

1,75-1.80 10 125

Total 125 - 0 62* elemento esta no intervalo de 1,55 a 1,60.

aplica-se a formula da mediana utili- zando os dados da classe mediana.

Md = Id + (a- Fant) . hd 7

fd

A altura mediana das arvores de certa especie dessa fazenda 4 de 1.61 m.

Moda (Mo)

limite inferior da classe modal. amplitude ou intervalo da classe modal. frequencia absoluta da classe modal

subtraida da frequCncia absoluta anterior a classe modal.

frequencia absoluta da classe moda sub- traida da frequencia absoluta posterior a classe modal.

Para se calcular a moda de uma pesquisa, e necesdrio encontrar a classe modal.

A classe modal sera aqueia que possuir a rnaior FrequPncia absoluta.

Exernplo:

Foi realizado um levantamento da idade das pessoas que passaram pela Rua Benjamin Cons- tant, em Piracicaba, proximo a ETB. 0 levanta- mento apontou os seguintes resultados:

Idade des pssoas

Idade fi 10-20 35 20-30 40 - dasse model 30-40 25 40-50 13

Total 113

Como se pode observar, o intervalo de 20 ate 30 foi o que obteve maior frequiincia. Portanto, este intervalo ser4 a classe modal.

Basta aplicar a f6rmula utilizando este inter- valo como referencia para se calcular a moda.

Durante o period0 em que foi realizado o le- vantamento das idades das pessoas que passa- ram na Rua Benjamin Constant, pr6ximo a ETB, em Piracicaba, apontou-se que a maioria das Dessoas tinha 23 anos.

0s vlsitantes do Parque Nacional de Yeilowstone considemm uma erupqao do vulcao Old Faithful uma a tmeo que n5o deve ser perdida. A tabela de frequsncias resume uma amostm de tempos (em minutos) decorridos entre as erup~ces.

Tempo Frequencia 40 a 50 8 50 a 60 44 60 a 70 23 70 a 80 6

80 a 90 107 90 a 100 11

100 a 110 1

a) Calcule o tempo mbdio, o tempo mediano e o tempo modal entre as erup~8es. b) Quanto 6, em porcentagem, a ocorr&ncia de erupgkio ate 69 minutos?

Ache a ldade media, a ldade mediana e a ida- de modal da seguinte distribuigIio de idades dos rnernbros do sindicato:

Idsde Frequ6ncia 15 a 20 18

20 a 25 42

25 a 30 78 30 a 35 115

35 a 40 178

40 a 45 107

45 a 50 88 50 a 55 52

55 a 60 30 60 a 65 11

Total 719

Considere 0s dados referentes ao consumo de agua, em m3, de 75 contas da Corsan.

Consumo Frrqu6ncia 0 a 10 2

10 a 20 27

20 a 30 19 30 a 40 16

40 a 50 7

50 a 60 4 Total 75

a) Determ~ne as frequenc~as slmples e ac.- mblaaas (ansolutas e relatlvas). b) Construa o correspondente histograma do tip0 fr/h.

C) Calcule a media aritmetica do consumo de agua. d) Determine o valor da mediana. e) Caicule o valor da moda.

0s dados a seguir foram colhidos de uma amostra de aves de certa especie na qua1 se estudou o tempo, em dias, que os filhotes le- vavam para abandonar o ninho:

T e m p N6mero de filhotes 5 a 10 14

10 a 15 16 15 a 20 18

20 a 25 15 25 a 30 7

Determine: a) o tempo media; b) o valor da mediana; c) o valor da moda.

A idade media dos candidatos a um determi- nado curso de especializaS3o sempre foi bai- xa, na ordem de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender a todas as idades, decidiu-se fazer uma campanha de dlvulga- qSo Para verificar se a campanha foi ou nZo eficiente, fez-se um levantamento das idades dos candidatos a ljitima promo@io, e os resul- tados estkio na tabela adiante:

Idade Fa 18 a 22 anos 30 22 a 26 anos 10

26 a 30 anos 8 30 a 34 anos 2 34 a 38 anos 3

Total 53

Com base nestes resultados, pode-se dizer que a campanha produziu algum efeito, isto e, aumentou a idade media? Por quC?

As medidas de disperszo sao utiiizadas para verificar a variabilidade que existe em urn con- I junto de dados. Podem ser feitas de tr@s ma- neiras:

rnedidas de dispersso; variancia; desvio-padrzo.

Medidas de Dispersao E a rned~da reiativa ao centro da arnostra !

quanto a sua variabilidade.

Varidncia E a soma dos quadrados dos desvios das ob-

servagdes da amostra, em reiagzo a sua media, e dividida oelo nurnero de observa~6es da amos- tra menos um.

--

-f (xi - m6dia)l

n- 1 p~

/= I

Desvio-PadrBo E a raiz quadrada da vari8ncia; mede quanto

houve de dispersgo na distribuig.30 da frequgn- cia. Quanto rnaior for a variabilidade entre os da- dos da popuiag50, maior sera o desvio-padrao.

A distribuig80 normal e uma das rnais conhe- cidas distribuiches estatisticas, chamada de dis- t r ihuido de ~ a u s s ou aaussiana. Sua finalidade 6 apr;sentar a aproxlm>g:o do calculo de outras dlstr1bulc8es, auando o nljmero de observacdes 6 muito grande e bastante ut~i~zado.

Segue uma demonstrag80 da distribuig80 de Gauss.

Distribui@o normal padrcio A curva a seguir e conhecida como gaussia-

na e representa a distribui~ao normal padr8o. Ela indica a probabilidade de se encontrar urn dado estatistico; assim sendo, sua area P uni- taria, pois nela se encontram 100% dos dados obtidos.

Para se calcular a ocorrencia entre dois valo- res de x, basta calcular a area sob a curva en-

p-

tre esses dois pontos. Pela observa~ao da curva pode-se concluir que as ocorr&ncias tendem a se concentrar em torno da media (pic0 da curva), tendendo a zero quando se afastam deia.

Um endocrinoloaista calculara o indice de - -

massa corporal (IMc) de seus pacientes, que e dado pela formula IMC = pesolaltura. Em uma semana, os resultados que ele obteve foram os seguintes:

Para melhor representar estes dados, o en- docrinoiogista os organizara em uma tabeia contendo a frequencia absoluta (fi) e a fre- qucncia relativa (fr). 0s PaCientes retornarao na semana segulnte e fa60 nova pesagem. Para verificar se seus paCienteS t&m obtido o resuitado esperado, o medico calculara, a cada semana, a media e o desvio-oadrio oara Doder visualizar melhor o q-anto seus p ic enfes estio progreainao. Lnterprete o desvfo-padrao. Ao final, eie elaborara um histoarama. Represente todos 0s passos d o endocrinolo- gista.

Ao contar o nGmero de ervilhas em cada uma das 27 vagens, Ioana encontrou: 3 , 2 , 3 , 6 . 4 . 3 , 3 , 4 , 3 . 2 . 6 . 3 , 4 , 5 , 2 , 3 , 3 , 3,4,2,3,1,5,1,2,5,6. Determine a varia~8o da quantidade de er- vilhas.

Um grupo de candidatos a um emprego foi Submetido a um teste de QI. 0 s resultados estao agrupados a seguir:

Q.I. NGmem de candidates

80 a 90 20

90 a 100 100

100 a 110 120

110 a 120 50

Calcule: a) o QI medio; b) o QI mediano: c j a moda desses valores; d) a variancia;

A poluig80 causada por 61eo em mares e oce- anos estimula o crescimento de certos tioos

de bacterias. Uma contagem de mlcro-or- ganismos presentes no petrbleo (numero de bacterias por 100 miiilitros), em 10 por~8es de agua do mar, indicou as seguintes medi- das: 49 70 54 67 59 40 71 67 67 52 a) Determine a media, a medlana e a moda. b) Calcule a varlancia e o desvio-padr.50 des-

ses dados.

As companhias de seguro pesquisam conti- nuamente as idades na morte e as respec- tivas causas. 0 s dados se baseiam em um estudo da revista Time sobre as mortes cau- sadas por armas de fog0 na America durante uma semana. Determine a idade media, a idade mediana e a idade modal das mortes - ~ - - ~ - -

causadas por arma de fogo. Determine tam- bCm a varisncia e o desvio-padrzo da ues- auisa.

Idaees na m o m Quantidade

Um 6rgao do Governo do Estado esta interes- sado em determinar padr6es sobre o investi- mento em educa~zo, por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levantamento de dez cidades, foram obtidos os valores (codifi- cados) da tabela adiante:

Cidade A B C D E F G H I I

Investimento 26 16 14 10 19 15 19 16 19 18

a) Calcuie o investimento media. b) Receberzo urn programa especial as cida-

des com valores de-investimento inferiores a media menos uma vez o desvio-padrao. Alguma cidade recebera o programa? Jus- tifique.

Estas sZo as aituras medias, em centime- tros, de um grupo de dez pessoas: 120, 165, 172, 184, 166, 135, 178, 187, 155 e 148. Determine o desvio-padrio e interprete o resultado.

Qual C a probabilidade de, ao se retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, obter: a) uma,carta de copas? b) urn As? c) um 2 de ouros? d) uma carta com naipe vermelho? e) urn 3 vermelho?

Em urna enq~e te foram entrev~stadas 80 pes- soas soore os me os de transporte q-e utll~za- vam para ir a0 trabalho e/OU escola. 42 pes- soas responderam Bnibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto; 12 utilizavam 8nibus e carro, 14 utilizavam carro e mot0 e 18 ut i l i~avam Bnibus e moto; 5 utilizavam os trss. Qual i. a probabilidade de urna dessas pessoas, Selecionadas ao acaso, utilizar: a) somente Bnibus? b) somente carro? C) carro e Bnibus, mas nSo moto? a) nenhLm aos tr6s ue:c~ os, e) apenas um aesses ve,'culos

A Mastercard International efetuou um estu- do de fraudes em cartaes de credito, cujos resultados est5o consubstanciados na tabela a seguir:

Tipo defraud. Nbrnem

Cartao mubado 243

Cartao falslficado 85

Pedido correio / telefone 52

Outros 46

Selecionando aleatoriamente um caso de fraude nos casos resumidos na tabela, qua1 e a probabilidade de a fraude resultar de um cart20 falsificado?

Uma urna contem duas bolas brancas, tres verdes e quatro azuis. Retirando-se ao acasa urna bola da urna, qua1 e a probabilidade de se obter urna bola branca ou verde?

Uma urna contem exatamente 30 etiquetas nurneradas de 1 a 30. Retirando-se, a0 acaso, uma etiqueta da urna, qua1 e a probabiiidade de se obter um nurnero menor do que 20 ou um ndmero impar?

Urna caixa contem exatamente 1.000 bolas numeradas de 1 a 1.000. Qual e a Drobabi- lldaae ae se ret rar, ao acasb. ma oola c3n- tendo um numero yclr uu unl n"mero oe aols algarlsmos?

Em um grupo, 50 pessoas pertencern ao clu- be A. 70 pertencem ao clube B, 30 pertencem ao clube C, 20 pertencem aos clubes A e 8, 22 pertencem aos clubes A e C, 18 perten- cern aos clubes B e C e 10 pertencem aos tres clubes. Escolhida a0 acaso 1 das pessoas presentes, calcule a probabiiidade de ela: a) pertencer aos trCs clubes; b) pertencer somente ao clube C; c) pertencer a dois clubes, pelo menos; d) pertencer somente a dois clubes; e) nSo pertencer ao clube 6.

A Cornpanhia de Seguros Security Ltda. anali- sou a frequencia corn que 500 segurados (250 hornens e 250 mulheres) usararn o hospital (65 usaram e 435 n2o usaram). Dos 65 segu- rados que usaram o hospital, 40 s.50 mulhe- res. Com base nesses dados e considerando que a amostra e fie1 populag.30, responda: a) Qual 6 a probabilidade de urn segurado

usar o hospital? b) Qual e a probabilidade de um segurado ser

do sexo mascullno? c ) Qua1 6 a probabilidade de urn segurado ser

do sex0 masculine e n8o usar 0 hos~i ta l? d) Qua1 6 a probabilidade de urn segurado ser

do sexo feminino e usar o hospital?

Em uma pesquisa de associag3o entre a ven- da de sab.30 em po e amaciante com 20.000 pessoas, observou-se que 16.000 compraram sab.50 em po e 12.000 compraram amacian- te. Constatou-se, ainda, que 2.500 associa- dos n%o compraram nem sabao em p6 nem amaciante. a) Qual 6 a probabilidade de a pessoa aleato-

riamente selecionada ter comprado sabSo em p6?

b) Qual e a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente selecionada ter cornprado amaciante?

c) Qual e a probabilidade de uma pessoa ale- atoriarnente selecionada n.30 ter comprado sab.50 em p6 e ter comprado amaciante?

d) Qual e a probabilidade de uma pessoa ale- atoriamente selecionada n2o ter comprado sab.30 em p6 ou ter comprado amaclante?

Um nljmero 6 escolhido ao acaso dentre 0s 20 inteiros de 1 a 20. Qual Pa probabilidade de o numero escolhido ser primo ou par?

Retira-se 1 carta a0 acaso de urn baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de ela: a) ser de ouros ou ser urn rei; b) ser preta Ou ser figura; c) n.50 ser figura ou ser um AS; d) ser figura ou ser um rei.

Um lote de pecas para automovels contern 60 pegas novas e 10 usadas. Escolhe-se uma peGa ao acaso e, em seguida, sem reposigzo da primeira, outra e retlrada. Determine a probabilidade de: a) as duas pegas serem usadas; b) a prirneira ser nova e a segunda, usada c) as duas pegas serem novas.

0 sistema de controle de quaiidade da Em- press Equatorial Ltda. decide aceitar um lote de materias-primas se, de uma amostra de 20, nenhuma unidade for defeituosa. a) Qual e a probabilidade de um lote ser acei-

to quando nenhuma unidade e defeituosa? b) Se 15% das unidades s8o defeituosas,

qua1 e a probabilidade de o lote ser aceito? c) Se 25% das unidades s.30 defeituosas,

qua1 e a probabilidade de o lote ser aceito?

Um gerente de controle de qualidade utili- za um equipamento de teste Dara detectar modems de comp-taaor defelt-osos Hrt - ,am se aieator amente 3 modems a ferenres de urn grupo no qua1 hd 12 defeituosos e 18 sem defeito. Qual 4 a probabilidade de: a) todos 0s 3 serem defeltuosos? b) a0 menos um dos modems escolhidos ser

defeituoso? c) no m6ximo um ser defeituoso? d) pel0 rnenos 2 serem perfeitos?

Consideremos um lote de 10.000 pegas no qua1 10% 580 defeituosas. Duas Decas sZo extraidas sem reposi~ao. Qual e a probabl- lidade de: a) arnbas serem perfeitas? b) ambas serem defeituosas? C) uma ser perfeita e a outra ser defeituosa?

No langarnento de urn dado e urna moeda, qua1 6 a probabilidade de se obter cara na moeda e a face 5 no dado?

Uma urna contem precisamente dez bolas: quatro vermelhas, tr&s azuis e trOs brancas. Qual e a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha e depois uma branca, sem re- posigZo da primeira bola?

Uma moeda e langada 4 vezes. Qual e a pro- babilidade de se obter: a) quatro caras? b) tres caras e urna coroa? c) duas caras e duas coroas?

Lan~ando-se urn dado e uma rnoeda, qua1 e a probabilidade de obten~80 de n~jmero malor que dois no dado e cara na moeda?