NOÇÕES DE PROBABILIDADE prof. André Aparecido da Silva [email protected] 1.
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Estatística Aplicada2º Ano – Ensino Subsequente
Medidas de dispersão:• Desvio médio, • Desvio-padrão
• Variância
Prof. André Aparecido da SilvaE-mail: [email protected]
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MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados.
INTRODUÇÃO
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MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados.
INTRODUÇÃO (CONTINUAÇÃO)
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MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10?
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SOLUÇÃO (MA)
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:
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Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo:
1, 6, 4, 10, 9
SITUAÇÃO-PROBLEMA
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é:
MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5MA = 30/5 MA = 6
A média aritmética é 6.
MÉDIA ARITMÉTICA
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MÉDIA / DESVIOChama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores.
Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:
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DESVIO
desvio do valor 1 1 - 6 = -5 desvio do valor 6 6 - 6 = 0 desvio do valor 4 4 - 6 = -2 desvio do valor 10 10 - 6 = 4 desvio do valor 9 9 - 6 = 3Os desvios, em relação à média, são:
-5, 0, -2, 4 e 3.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3...
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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... vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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DESVIO MÉDIO
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios.
No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:
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Formula desvio médio
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DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3) 5DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3) 5DM = 14 DM = 2,8 5
O desvio médio é 2,8.
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MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
O módulo garante que o valor seja positivo.EX:
)a +3 = 3)b -3 = 3
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VARIÂNCIA
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Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição.
Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:
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V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²) . 5
V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9) 5V = 54 V = 10,8 5
A variância é 10,8.
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DESVIO PADRÃO
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Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:
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No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8 3,28.
O desvio padrão é 3,28.
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O desvio padrão...
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OBSERVAÇÕES:
Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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OBSERVAÇÕES:
Quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;
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OBSERVAÇÕES:
o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:
a)o desvio médio;b) a variância;c) o desvio padrão.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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SOLUÇÃO - MÉDIA
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
MA = (2+4+6+12) MA = 24 M = 6 4 4
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SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-
6) 4 DM = |-4|+|2|+|0|+|6| =
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SOLUÇÃO (DESVIO MÉDIO)
Tirando do módulo teremos:
DM = 4+2+0+6 DM = 12 DM = 3 4 4
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VARIÂNCIA - SOLUÇÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²) 4
V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²4
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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VARIÂNCIA - SOLUÇÃO
Continuando
V = (-4)² + (2)² + 0² + 6²4
V = 16 + 4 + 0 + 36 V= 56 V = 14 4 4
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SOLUÇÃO – DESVIO PADRÃO
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
c) DP = 14 = 3,74
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a) a média aritmética; b) o desvio médio;c) a variância;d) o desvio padrão.
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOSMÁRCIO 10 arremessos de
cada jogador6
MURIEL 4JONAS 8EDSON 2
ROMUALDO 7
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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SOLUÇÃO
d) DP = 4,64 = 2,15
a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4
b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5
DM = 1,92c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.
Taxistas segunda terça quarta quinta
I 10 9 23 12
II 16 18 8 32III 25 17 30 10
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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SOLUÇÃO
Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância.Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos:
MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas.
VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4 31,25
VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4 74,75
VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4 58,25
SOLUÇÃO
Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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SOLUÇÃO
Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas.
DPI = 31,25 5,59 litros
DPII = 74,75 8,64 litros
DPIII = 58,25 7,63 litros
Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê?
Oferta 1 Oferta 2
Média Salarial 890,00 950,00
Mediana 800,00 700,00
Desvio Padrão 32,00 38,00
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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SOLUÇÃO
Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA VOTOS E PERCENTUAIS
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
REGIÃO AÉCIO % % Acumulado
NORDESTE 7.967.846 15,66% 15,66%
Norte 3.376.148 6,63% 22,29%
Centro-Oeste 4.388.594 8,62% 30,92%
Sul 9.686.559 19,03% 49,95%
Sudeste 25.470.265 50,05% 100,00%
Total de eleitores 50.889.412
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DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
DESVIO MÉDIO - AÉCIOREGIÃO AÉCIO Desvio Médio ValoresNORDESTE 7.967.846|7.967.846 - 10.177.882|+ 2.210.036Norte 3.376.148|3.376.148 - 10.177.882|+ 6.801.734Centro-Oeste 4.388.594|4.388.594 - 10.177.882|+ 5.789.288Sul 9.686.559|9.686.559 - 10.177.882|+ 491.323Sudeste 25.470.26525.470.264 - 10.177.882| 15.292.383
Total 30.584.765Média Desvios 6.116.953
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DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – VARIÂNCIA
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
VariânciaREGIÃO AÉCIO Desvio Médio Valores
NORDESTE 7.967.846|7.967.846 - 10.177.882|^2+ 4.884.260.889.325
Norte 3.376.148|3.376.148 - 10.177.882|^2+ 46.263.590.848.143
Centro-Oeste 4.388.594|4.388.594 - 10.177.882|^2+ 33.515.860.178.375
Sul 9.686.559|9.686.559 - 10.177.882|^2+ 241.398.683.388
Sudeste 25.470.265|25.470.264 - 10.177.882|^2+ 233.856.965.584.783TOTAL 318.762.076.184.013Variancia 63.752.415.236.803Desvio Padrão 7.984.511
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DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – TABELA
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
REGIÃO DILMA % % AcumuladoNORDESTE 20.176.579 37,05% 37,05%Norte 4.393.301 8,07% 45,12%Centro-Oeste 3.254.304 5,98% 51,10%Sul 6.759.908 12,41% 63,51%Sudeste 19.867.894 36,49% 100,00% Total de eleitores 54.451.986
Média por Região 10.890.397Desvio Médio 7305471,4
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DISPERSÕES NAS ELEIÇÕES – DESVIO MÉDIO
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
REGIÃO DILMA Desvio MédioNORDESTE 20.176.579|20.176.579 - 10.890.397|+ 9286182Norte 4.393.301|4.393.301 - 10.890.397|+ 6497096Centro-Oeste 3.254.304|3.254.304 - 10.890.397|+ 7636093Sul 6.759.908|6.759.908 - 10.890.397| + 4130489Sudeste 19.867.894|19.867.894 - 10.890.397| 8977497Total de eleitores 54.451.986
Média por Região 10.890.397 Total 36527357Desvio Médio 7305471,4 Desvio médio 1593343
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VariânciaREGIÃO DILMA VARIANCIA Valores
NORDESTE 20.176.579 |7.967.846 - 10.177.882|^2+ 99.973.933.698.852
Norte 4.393.301 |3.376.148 - 10.177.882|^2+ 33.461.381.973.226
Centro-Oeste 3.254.304 |4.388.594 - 10.177.882|^2+ 47.935.937.860.947
Sul 6.759.908 |9.686.559 - 10.177.882|^2+ 11.682.548.999.055
Sudeste 19.867.894 25.470.264 - 10.177.882|^2+ 93.896.324.808.135TOTAL 286.950.127.340.214Variancia 57.390.025.468.043Desvio Padrão 7.575.620
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.
IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.
PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.
MATEMÁTICA, 1º AnoMedidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
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Disponível em:
www.oxnar.com.br
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