Estatística básica (Parte II - Tabelas de Frequencias)

PARTE II:

Análise de dados: Tabelas de freqüências

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3. ESTATÍSTICA DESCRITIVA:

APRESENTAÇÃO DE DADOS: DISTR. DE FREQUÊNCIAS

3.1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Em termos de custos, estatística é uma coisa super eficiente, pois muitas vezes a população é

enorme, e não é viável medir as características de interesse em cada elemento da população.

Suponha agora que você obteve uma amostra e, a partir desta amostra você coletou os

dados e fez um resumo dos mesmos (por exemplo, o % de audiência da TV Globo nos domingos à

noite). O que fazer com isso? Existem duas possibilidades:

Você pode simplesmente descrever estes dados através de gráficos e tabelas. Isto é

chamado de estatística descritiva. A maioria das pesquisas de mercado faz só isso, que é sem

dúvida, muito importante.

Ou você pode tentar tirar conclusões sobre as características da população a partir dos

dados observados na amostra. Isto se chama Inferência estatística.

Para que a gente consiga utilizar à inferência estatística é necessário ter uma noção bastante

abrangente de Probabilidades. Na verdade a estatística descritiva surgiu muito antes da inferência

estatística. Esta última depende da especificação de modelos matemáticos baseados numa noção

fundamental, que é a de "probabilidade".

A estatística descritiva é responsável pela:

Apresentação dos dados (tabelas e gráficos);

Descrição e sumarização dos dados coletados.

3.2. APRESENTAÇÃO E RESUMO DOS DADOS

A análise de um conjunto de dados é conseqüência da forma que os mesmos foram

coletados e principalmente dos objetivos propostos. De acordo com esses fatores, define-se o

procedimento estatístico a ser utilizado, como por exemplo, métodos descritivos somente,

comparações de médias, ajustes de curvas, entre outras.

No entanto, o primeiro passo na análise e interpretação dos dados, depois dos dados

coletados, através de uma amostra ou um censo, e organizados é fazer a sua descrição

(apresentação) e sumarização, de uma forma que se possa retirar o máximo de informações

possíveis, ou seja, devem ser resumidos sem perder a essência.

A descrição ou apresentação dos dados pode ser feita de diferentes formas, dependendo do

tipo de variável que será apresentada.

As ferramentas usuais da estatística descritiva para apresentação dos dados são:

Tabelas e distribuições de freqüências;

Gráficos ou diagramas: histogramas, gráficos de barras, gráficos de pizzas, gráfico de

linhas, ramos e folhas, entre outros.

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Já a maneira de resumir ainda mais os dados (mais do que as tabelas e os gráficos já

resumiram) é através de medidas numéricas que dão a partir de apenas um número, informações

sobre todo o conjunto de dados. Essas medidas são dadas por:

Medidas de posição: média, mediana, quantis, moda.

Medidas de dispersão ou variabilidade: variância, desvio padrão, amplitude, erro padrão,

coeficiente de variação, entre outras.

3.2.1. Tabelas de freqüências

Suponha que para uma determinada população, já foram definidos quais as características

de interesse (variáveis), os dados já foram coletados e digitados em um computador e já foi

verificado (e corrigido) os possíveis erros de digitação.

O primeiro passo na análise e interpretação dos dados de uma amostra consiste na descrição

(apresentação) dos dados em forma de tabelas ou gráficos.

Distribuição de Freqüência / Tabelas de freqüências simples

Uma distribuição de freqüência é um sumário tabular de dados que mostra a freqüência que

cada valor ou classe de valor distinto aparecem no conjunto de dados de uma variável.

Muitas vezes, obtêm-se informações relevantes sobre uma variável através de uma distribuição

de freqüências. As tabelas de freqüências contem os valores distintos da variável e as freqüências

correspondentes:

Freqüência absoluta af : número de vezes que o valor aparece no conjunto de dados.

Freqüência relativa rf : proporção das observações que pertence à classe. Para um

conjunto de dados com n observações, a freqüência relativa de cada classe é: n

ff a

r

Freqüência percentual pf : freqüência relativa multiplicada por 100, 100*rp ff .

Freqüência acumulada acFp : é a soma de cada freqüência com as que lhe são anteriores

na distribuição

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Distribuição de Freqüência para variáveis qualitativas

Exemplo: Uma empresa resolveu fazer uma pesquisa interna com seus funcionários. Para isso, uma

amostra de 25 funcionários foi analisada, utilizando o seguinte questionário:

Figura 6: Exemplo de questionário

Depois que os questionários foram aplicados, os dados foram organizados no banco de dados

abaixo:

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BANCO DE DADOS

Func. Sexo Idade Escola Estado

Civil peso altura Núm. filhos

Mora Sozinho Salario Toler. Exerc. Gosta

Satisfacao G

Satisfacao S

Satisfacao A TV OpTV Feliz

Nota Feliz

1 1 24 1 0 74,5 1,84 1 0 1574,59 2 1 0 2 3 4 2,1 0 3 8

2 1 26 1 0 75,3 1,71 1 0 1354,15 2 1 0 2 2 4 3,1 2 1 10

3 0 24 1 0 71,1 1,79 1 0 1262,17 2 1 0 4 3 4 4,7 0 3 10

4 1 15 1 0 79,6 1,90 0 1 1388,85 2 1 0 4 2 3 3,9 1 4 9

5 0 26 1 0 77,3 1,79 0 0 1220,36 2 1 1 2 1 2 1,5 2 2 9

6 0 34 3 0 70,8 1,83 0 0 1675,91 2 0 0 3 1 3 2,4 1 2 9

7 1 28 2 1 76,7 1,79 0 1 1035,26 2 0 0 2 1 4 2,4 0 3 8

8 1 28 3 0 63,0 1,90 2 0 1571,47 2 1 0 3 2 3 2,8 2 2 9

9 1 30 2 0 72,5 1,81 0 0 1443,98 1 1 0 4 1 3 3,4 1 3 9

10 1 24 0 0 72,0 1,80 0 0 1636,41 2 1 0 3 1 4 3,5 1 3 8

11 1 19 2 0 77,8 1,67 1 0 1627,89 2 1 0 4 3 4 1,9 0 2 10

12 1 27 2 0 67,6 1,76 0 1 1404,06 2 1 0 4 2 4 3,8 0 4 9

13 1 22 2 1 75,9 1,81 1 1 1330,84 1 1 0 4 0 4 4,1 3 2 9

14 1 25 0 1 70,0 1,83 0 0 1520,45 2 1 0 2 3 4 4,5 1 2 8

15 0 25 1 0 75,0 1,68 1 0 1859,41 1 1 0 3 0 3 3,6 0 2 9

16 1 29 1 0 76,5 1,68 0 0 1459,67 2 1 1 3 2 4 3,3 0 3 10

17 1 34 2 0 81,5 1,89 1 1 1444,23 2 1 0 3 3 4 2,5 1 4 10

18 1 29 3 0 75,8 1,80 0 0 1461,41 2 1 0 4 3 3 3,4 0 3 9

19 0 21 2 0 71,2 1,82 0 0 1255,94 2 1 0 4 1 4 4,5 1 0 10

20 0 25 1 0 71,5 1,77 0 1 1411,59 2 1 0 4 1 4 2,3 0 1 8

21 0 29 3 0 83,5 1,61 0 0 1449,21 2 1 1 4 4 2 3,5 1 3 8

22 1 32 0 1 78,2 1,87 1 0 1676,05 2 1 1 4 3 2 2,2 2 3 9

23 0 31 3 0 76,1 1,80 0 1 1349,86 2 1 0 3 1 4 3,5 2 3 10

24 0 27 2 0 76,0 1,89 0 1 1603,06 2 0 0 4 1 4 3,1 2 3 10

25 1 15 3 2 72,1 1,69 1 0 1626,69 2 1 1 3 3 4 3,2 1 3 8

LEGENDA Func. codigo de identificacao do questionário Exerc. Se pratica exercício fisico: 0 se pratica exercício e 1 se não pratica

Sexo Sexo: 0 se masculino e 1 se feminino Gosta 0 se gosta do que faz e 1 se não gosta

Idade idade em anos Satisfacao

G

Satisfação geral em trabalhar na empresa: 0 muito insatisfeito, 1 insatisfeito, 2 indiferente, 3 satisfeito e 4 muito

satisfeito Escola Escolaridade: 0 se ensino fundamental, 1 se ensino médio, 2 se ensino superior e 3 se fez pos graduacão

Satisfacao S Satisfação geral com o salário: 0 muito insatisfeito, 1 insatisfeito, 2 indiferente, 3 satisfeito e 4 muito satisfeito

Estado Civil 0 se solteiro, 1 se casado e 2 se outros Satisfacao A Satisfação geral com ambiente do trabalho: 0 muito insatisfeito, 1 insatisfeito, 2 indiferente, 3 satisfeito e 4 muito

satisfeito peso peso em kg TV Horas assistindo TV

altura altura em metros OpTV Opinião sobre a programação da TV: 0 se ruim, 1 se média, 2 se boa e 3 se não sabe

Núm. de filhos número de filhos Feliz Como esta se sentido atualmente: 0 se muito infeliz, 1 se infeliz, 2 se nem feliz nem infeliz, 3 feliz e 4 muito feliz

Mora Sozinho 0 se mora sozinho e 1 se mora com outras pessoas Nota Feliz Nota de 0 a 10 para sua felicidade hoje

Salario salário em R$

Toler. Grau de tolerancia ao cigarro: 0 se incomoda pouco, 1 se é indiferente e 2 se incomodo muito

Figura 7: Exemplo de banco de dados

Para facilitar a visualização dos dados, será apresentando a seguir os dados das variáveis

Sexo, Escolaridade e Estado Civil (para economia de espaço, em vez de colocar em colunas,

apresentarmos os dados invertidos)

Func. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Sexo 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1

Escola 1 1 1 1 1 3 2 3 2 0 2 2 2 0 1 1 2 3 2 1 3 0 3 2 3

Estado Civil 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2

Sexo: 0-Masc e 1-Fem. Escola: 0-Ens. fundamental, 1-Ens. Médio, 2-Superior e 3-Pós-graduação Estado Civil: 0-Solteiro, 1-Casado e 2-Outros

Poderíamos apresentar essas variáveis qualitativas em tabelas de frequencias. Primeiramente,

devemos contar os valores diferentes de cada resultado das variáveis:

Sexo Nº de vezes = fa

0 – Masc 9

1 - Fem 16

Total 25

Escolaridade Nº de vezes = fa

0 – E Fundamental 3

1 – E Médio 8

2 - Superior 8

3 – Pós-graduação 6

Total 25

16

Estado Civil Nº de vezes = fa

0 – Solteiro 20

1 – Casado 4

2 - Outros 1

Total 25

A partir destas tabelas, podemos construir as freqüências relativas, percentuais e acumuladas.

Sexo fa fr fp

0 – Masc 9 0,36 36%

1 - Fem 16 0,64 64%

Total 25

Escolaridade fa fr fp Fpac

0 – E Fundamental 3 0,12 12% 12%

1 – E Médio 8 0,32 32% 44%

2 - Superior 8 0,32 32% 76%

3 – Pós-graduação 6 0,24 24% 100%

Total 25 1 100% -

Estado Civil fa fr fp Fpac

0 – Solteiro 20 0,80 80% 80%

1 – Casado 4 0,16 16% 96%

2 - Outros 1 0,04 4% 100%

Total 25 1 100% -

É importante saber interpretar essas tabelas. Pelas tabelas acima, podemos perceber que:

64% dos funcionários são do sexo feminino;

Apenas 24% dos funcionários fizeram pós-graduação e 44% dos funcionários estudaram até o

ensino médio;

80% dos funcionários são solteiros.

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Distribuição de Freqüência para variáveis quantitativas discretas

Exemplo1: Considere o exemplo anterior, onde a variável quantitativa discreta “número de filhos” será

analisada nos 25 funcionários da amostra.

Func. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Núm. filhos 1 1 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

Contando os diferentes valores da variável “número de filhos” na amostra de 25 funcionários,

é possível construir a seguinte tabela de freqüência.

Nº de filhos fa fr fp Fpac

0 15 0,60 60% 60%

1 9 0,36 36% 96%

2 1 0,04 4% 100%

Total 25 1 100% -

96% dos funcionários possuem 1 ou nenhum filho.

Apenas 4% dos funcionários possuem exatamente 2 filhos.

Exemplo 2: O gerente do departamento de uma instituição financeira deseja analisar o número diário

de operações fechadas nos últimos dois anos (total de 625 dias úteis) por um operador de seu

departamento de ações negociadas na Bolsa de valores. Uma amostra probabilística simples de 26

dias foi analisada, onde se observou o número de operações realizadas pelo operador nestes dias. A

tabela a seguir apresenta os dados levantados desta amostra:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Nº de

operações 14 12 13 11 12 13 16 14 14 15 17 14 11 13 14 15 13 12 14 13 14 13 15 16 12 12

Para se analisar esses dados, podemos primeiramente contar o número de vezes que cada

valor diferente das operações ocorreu. Desta forma, teremos as freqüências absolutas de cada valor:

Nº de

operações fa fr fp Fpac

11 2 0,08 8% 8%

12 5 0,19 19% 27%

13 6 0,23 23% 50%

14 7 0,27 27% 77%

15 3 0,12 12% 88%

16 2 0,08 8% 96%

17 1 0,04 4% 100%

Total 26 1 100 -

O procedimento para construção de uma tabela de freqüência para dados quantitativos

discretos é o mesmo do que para dados qualitativos. No entanto, é possível a tabela de freqüência

de uma variável quantitativa discreta resultar em muitas linhas, sendo necessário agrupa-las em

classes. Neste caso, usar o procedimento que veremos a seguir para variáveis quantitativas contínuas.

18

Distribuição de Freqüência para variáveis quantitativas contínuas

No caso de variáveis quantitativas, em especial a variável contínua, são observadas as

freqüências em intervalos de valores (de preferência iguais), ao invés de freqüências individuais. Para

variável quantitativa é de grande importância a distribuição de freqüências acumuladas.

A freqüência se refere ao número de valores da variável em cada intervalo. Um critério

empregado aqui é o de considerar os intervalos fechados à esquerda, isto é, inclui o valor extremo

esquerdo e não inclui o valor à direita.

Para a construção de uma distribuição de freqüências em classes são necessários os seguintes

componentes: a Amplitude dos dados (maior valor menos o menor valor dos dados) e o número de

classes desejado. Com isso, podemos obter o tamanho ou largura de cada classe (intervalo) que

iremos utilizar para construção da tabela, ou seja:

classesdenúmero

valormenorvalormaiorclassesdastamanho

Alguns elementos são importantes definirmos para falarmos em uma tabela de freqüência

para variáveis quantitativas contínuas:

il Limite inferior de cada classe.

sl Limite superior de cada classe.

pm Ponto médio de cada classe, 2/si llpm

af Freqüência absoluta. Nº de ocorrências (elementos) de cada classe.

rf Freqüência relativa, nff ar /

pf Freqüência percentual, 100.rp ff .

aF Freqüência absoluta acumulada.

Exemplo: Considere o exemplo anterior, do levantamento feito com os funcionários de uma empresa,

onde a variável quantitativa contínua “peso dos funcionários” será analisada nos 25 funcionários da

amostra.

Func. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

peso 74,5 75,3 71,1 79,6 77,3 70,8 76,7 63,0 72,5 72,0 77,8 67,6 75,9 70,0 75,0 76,5 81,5 75,8 71,2 71,5 83,5 78,2 76,1 76,0 72,1

Como podemos observar, não é possível contarmos os valores diferentes das variáveis, como

fizemos para as variáveis qualitativas e quantitativas discretas, pois quase todos os 25 números da

amostra são diferentes. Neste caso, é necessário agruparmos os valores de pesos em classes.

Nesta hora, sempre surgirá à dúvida: “Mas quantas classes devemos criar?”

O número ideal de classes irá depender dos dados que estamos trabalhando (é bastante

comum trabalharmos com 4 a 8 classes). No entanto, temos que nos atentar, ao definirmos o número

de classes, que:

19

Devemos apresentar tabelas de freqüências agrupadas de forma resumida e sem perder muita

informação.

Tabelas com poucas linhas, resumem demais os dados e consequentemente há muita perda de

informação.

Tabelas com muitas linhas fogem da essência de tabelas de freqüências que é o resumo adequado

dos dados.

Vamos considerar que iremos trabalhar neste exemplo com 4 classes.

Para facilitar esse agrupamento, podemos determinar o tamanho de cada classe por:

5,513,54

0,635,83

classesdenúmero

valormenorvalormaiorclassesdastamanho

A primeira classe da tabela é formada por um numero no limite inferior e outro no limite

superior da classe. O numero do limite inferior da classe pode ser o menor número do conjunto de

dados e o número do limite superior deve ser o menor número somado com o valor calculado acima,

ou seja:

63,0 a 63,0 + 5,5 ou melhor 63,0 a 68,5

Desta forma, é possível construirmos a tabela agrupada abaixo:

Peso fa fr fp Fpac

63 a 68,5

68,5 a 74,0

74,0 a 79,5

79,5 a 85,0

Total 25 1 100% -

Fazendo a contagem dos pesos do conjunto de dados em cada classe de peso definida

acima, podemos completar a tabela de freqüência:

Peso fa fr fp Fpac

63 a 68,5 2 0,08 8% 8%

68,5 a 74,0 8 0,32 32% 40%

74,0 a 79,5 12 0,48 48% 88%

79,5 a 85,0 3 0,12 12% 100%

Total 25 1 100% -

Na tabela acima, há um problema na definição dos limites das classes, ou seja, se no conjunto

de dados aparecer um número igual a 68,5, esse número será contado na primeira classe (63 a 68,5)

ou na segunda (68,5 a 74,0)?

Existem várias maneiras para resolvermos esse problema, mas uma solução seria utilizar o

símbolo ┝. Esse símbolo significa que o limite inferior entra na classe em questão e o limite superior

não, sendo contato até um número muito próximo do limite superior.

Desta forma, temos a seguinte tabela:

20

Peso fa fr fp Fpac

63 ┝. 68,5 2 0,08 8% 8%

68,5 ┝ 74,0 8 0,32 32% 40%

74,0 ┝79,5 12 0,48 48% 88%

79,5 ┝ 85,0 3 0,12 12% 100%

Total 25 1 100% -

8% dos funcionários pesam entre 63 a 68,5 kg.

Quase a metade dos funcionários, 48%, pesa entre 74 a 79,5 kg.

88% dos funcionários pesam menos que 79,5 kg.

Tabelas de freqüências cruzadas / tabelas de contingência

Podemos construir tabelas de freqüências usando mais de uma variável simultaneamente.

Exemplo: Voltando ao exemplo da pesquisa interna com funcionários de uma empresa. Considere

que as variáveis Sexo, Estado civil e escolaridade dos funcionários foram levantadas e que queremos

saber qual o perfil de escolaridade entre os homens e as mulheres.

Func. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Sexo 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1

Escola 1 1 1 1 1 3 2 3 2 0 2 2 2 0 1 1 2 3 2 1 3 0 3 2 3

Estado Civil 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2

Sexo: 0-Masc e 1-Fem. Escola: 0-Ens. fundamental, 1-Ens. Médio, 2-Superior e 3-Pós-graduação Estado Civil: 0-Solteiro, 1-Casado e 2-Outros

Para isso, primeiramente, temos que fazer uma tabela de freqüências absolutas, onde

contamos simultaneamente os valores das variáveis.

Escolaridade Sexo

Total 0-Masc. 1-Fem

0 – E Fundamental - 3 3

1 – E Médio 4 4 8

2 - Superior 2 6 8

3 – Pós-graduação 3 3 6

Total 9 16 25

Em números absolutos, percebemos que cursaram o ensino fundamental temos 3 mulheres e

nenhum homem.

Temos 4 funcionários do sexo masculino e com ensino médio.

6 funcionários fizeram um curso superior e são do sexo feminino. 2 funcionários que fizeram um

curso superior são do sexo masculino.

No entanto, ao analisarmos um conjunto de dados é indicado fazermos conclusões com base

nas freqüências percentuais.

21

Desta forma, temos 3 tabelas com freqüências percentuais:

Percentual sobre o total

Percentual sobre a coluna

Percentual sobre a linha

Tabela com percentual sobre o total: dividir todos os números da tabela pelo total da amostra (n=25)

Escolaridade Sexo

Total 0-Masc. 1-Fem

0 – E Fundamental 0% 12% 12%

1 – E Médio 16% 16% 32%

2 - Superior 8% 24% 32%

3 – Pós-graduação 12% 12% 24%

Total 36% 64% 100%

24% dos funcionários da empresa são mulheres e fizeram um curso superior.

8% dos funcionários da empresa são homens e fizeram um curso superior.

Tabela com percentual sobre a coluna: dividir cada coluna pelo total da coluna correspondente.

Escolaridade Sexo

Total 0-Masc. 1-Fem


1 – E Médio 44% 25% 32%

2 - Superior 22% 38% 32%


Total 100% 100% 100%

Entre os funcionários do sexo masculino, 44% fizeram até o ensino médio, 22% um curso superior e

33% uma pós-graduação.

Já entre as mulheres, 19% cursaram somente o ensino fundamental, 25% o ensino médio, 38%

fizeram um curso superior e apenas 19% uma pós-graduação.

Tabela com percentual sobre a linha: dividir cada linha pelo total da linha correspondente.

Escolaridade Sexo

Total 0-Masc. 1-Fem


1 – E Médio 50% 50% 100%

2 - Superior 25% 75% 100%


Total 36% 64% 100%

Entre os funcionários com pós-graduação, 50% são do sexo masculino e 50% do sexo feminino.

Entre os funcionários com curso superior, 75% são mulheres e 25% homens.

22

EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA

1) Para o projeto de pesquisa que seu grupo esta realizando como forma de avaliação na disciplina

de Estatística, utilize os 10 questionários que você aplicou e construa:

a) Um banco de dados com os 10 questionários.

b) Faça uma tabela de freqüência para cada variável de estudo.

2) A partir das idades dos alunos de uma escola, fazer uma distribuição por freqüência, agrupando

os dados em classes e depois interprete os resultados.

Idades (dados brutos) 8 8 7 6 9 9 7 8 10 10 12 15 13 12

11 11 9 7 8 6 5 10 6 9 8 6 7 11 9

3) Uma empresa resolveu fazer um cadastro de seus clientes a fim de conhecê-los melhor e elaborar

uma estratégia de marketing adequada. Abaixo, estão dos dados de 18 clientes. (Consultar

caderno ou livro do CRESPO, A. A., Estatística Fácil, São Paulo: Saraiva, 2002 – cap.5)

cliente Idade do cliente Renda Anual do cliente

(em R$ 1000) Número de compras feitas nos

últimos 12 meses Sexo do cliente

1 55 16,8 20 Feminino

2 25 14,6 42 Feminino

3 28 18,4 28 Feminino

4 47 21,2 38 Masculino


6 27 24,0 16 Feminino

7 43 29,3 82 Feminino



10 22 10,0 6 Feminino

11 25 13,8 42 Feminino

12 55 54,8 124 Masculino

13 35 22,6 48 Feminino

14 75 27,1 73 Masculino

15 38 25,4 64 Feminino

16 53 15,1 53 Feminino

17 37 26,1 62 Masculino

18 43 32,1 63 Feminino

a) Classifique cada variável quanto a seu tipo.

b) Construa uma tabela de freqüência para cada variável acima.

d) Calcule a média das variáveis: Idade, renda e número de compras.

e) Interprete os resultados, ou seja, faça a sua conclusão sobre esse problema.

4) Em uma escola tomou-se a medida da altura de cada um de quarenta estudantes, obtendo-se os

seguintes dados (em centímetros):

160 152 155 154 161 162 162 161 150 160 163 178 153 155

163 156 162 161 161 171 160 170 156 164 167 165 155

155 151 158 166 169 170 158 160 168 164 157 156 152

Fazer a distribuição de freqüência usando 6 classes. (iniciando por 150cm e terminando em 180cm) e

responder as questões abaixo:

a) Quantos são os estudantes com estatura inferior a 160cm?

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b) Que porcentagem de estudantes tem estatura igual ou superior a 175cm?

c) Quantos são os estudantes com estatura maior ou igual a 160cm e ao mesmo tempo

menor que 175cm?

d) Qual a porcentagem de estudantes com estatura abaixo de 170cm?

Estatística básica (Parte II - Tabelas de Frequencias)

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