3-1Adaptado de Levine

Estatística DescritivaProf. Helcio Rocha

Estatística

3-2

Definições sumárias

Tendência central: extensão na qual os valores de dados se agrupam em torno de um valor central

Variação: dispersão em relação a um valor central Formato: padrão da distribuição de valores, do mais

baixo para o mais alto

Ao resumir e descrever variáveis numéricas, precisamos considerar:

3-3

Medidas de tendência central: A média

Obs: é afetada por valores extremos (outliers)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Média = 13

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Média = 14

31565

55141312111

41

570

52041312111

3-4

Medidas de tendência central: A mediana

Obs: NÃO É afetada por valores extremos (outliers)

Mediana = 13 Mediana = 13

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3-5

Medidas de tendência central: A moda

Observações: NÃO É afetada por valores extremos Aplicável também a dados categóricos Pode não haver moda Podem haver várias modas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 9

0 1 2 3 4 5 6

Sem Moda

3-6

Medidas de tendência central: Qual utilizar?

A média é geralmente utilizada, a não ser quando existem outliers.

A mediana tem uso frequente, por não ser afetada por outliers.

Em algumas situações, recomenda-se relatar ambas medidas.

3-7

Mesmo centro, diferentes dispersões

Medidas de variação

Variação

Desvio padrão

Coeficiente de variação

Amplitude Variância

3-8

Medidas de variação: A amplitude

A medida mais simples de variação É afetada por outliers Ignora o modo como os dados estão distribuídos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Amplitude = 13 - 1 = 12

Exemplo:

3-9

Medidas de variação:A variância

1-n

)X(XS

n

1i

2i

2

N

μ)(Xσ

N

1i

2i

2

Variância populacional (é um parâmetro)

Variância amostral (é uma estatística)

3-10

Medidas de variação:O desvio padrão

É a medida de variação mais empregada É a raiz quadrada da variância Possui a mesma unidade dos dados de origem

1-n

)X(XS

n

1i

2i

N

μ)(Xσ

N

1i

2i

Desvio padrão populacional (é um parâmetro)

Desvio padrão amostral (é uma estatística)

3-11

Medidas de variação:O desvio padrão da amostra (exemplo)

Dados da amostra (Xi) 10 12 14 15 17 18 18 24

n = 8 Média = X = 16

4.30957

130

1816)(2416)(1416)(1216)(10

1n)X(24)X(14)X(12)X(10S

2222

2222

3-12

Medidas de variação:Comparando desvios padrão

Média = 15.5 S = 3.338 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Data B

Data A

Média = 15.5 S = 0.926

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Média = 15.5 S = 4.570

Data C

3-13

Medidas de variação:Comparando desvios padrão

Menor desvio padrão

Maior desvio padrão

3-14

Medidas de variação:O coeficiente de variação

É uma medida relativa de variação Sempre em % Apresenta a variação relativa à média Permite comparar dois ou mais conjuntos de

dados que são mensurados em unidades diferentes

100%XSCV

3-15

Medidas de variação:Comparando coeficientes de variação

Ação A: Preço médio do último ano = $50 Desvio padrão = $5

Ação B: Preço médio do último ano = $100 Desvio padrão = $5

Ambas ações possuem o mesmo DP, mas a B é menos variável em relação a seu preço

10%100%$50$5100%

XSCVA

5%100%$100

$5100%XSCVB

3-16

Medidas de variação:Comparando coeficientes de variação

Stock A: Preço médio do último ano = $50 Desvio padrão = $5

Stock C: Preço médio do último ano = $8 Desvio padrão = $2

A ação C possui um DP bem menor, mas um CV bem maior

10%100%$50$5100%

XSCVA

25%100%$8$2

100%XS

CVC

3-17

Localizando valores extremos:Uso do escore Z

Um valor é considerado outlier quando seu escore Z é inferior a – 3,0 ou superior a + 3,0

SXXZ

(Número de desvios padrão)

3-18

Formato de uma distribuição:Assimetria

Média = Mediana Média < Mediana Média > Mediana

Assimétrico à direitaAssimetria > 0

Assimétrico à esquerdaAssimetria < 0

SimétricoAssimetria = 0

3-19

Formato de uma distribuição:Curtose

É uma medida direta do afunilamento da curva (ou inversa do seu achatamento)

Formato mais afuniladoCurtose > 0

Distribuição normalCurtose = 0

Formato mais achatadoCurtose < 0

3-20

Estatística descritiva usando o Excel

3-21

Estatística descritiva usando o Excel1. Selecione Dados.2. Selecione Análise de

dados.3. Selecione Estatística

Descritiva. Clique OK.

3-22

Estatística descritiva usando o Excel

4. Registre o intervalo de entrada.

5. Selecione a opção Resumo estatístico.

6. Click OK

3-23

Quartis Dividem os dados ordenados em 4 segmentos,

com igual No. de dados em cada segmento

25%

Localizando os quartis:Q1 = (n+1)*(1/4)

Q2 = (n+1)*(1/2) (é a mediana)

Q3 = (n+1)*(3/4)

Q1 Q2 Q3

25% 25% 25%

Os quartis não são afetados por outliers

3-24

(n = 9)Q1 na posição (9+1)*(1/4) = 2.5

então Q1 = (12+13)/2 = 12.5

Q2 na posição (9+1)*(1/2) = 5 então Q2 = mediana = 16

Q3 na posição (9+1)*(3/4) = 7.5então Q3 = (18+21)/2 = 19.5

Localizando quartis – 1o. exemplo

Dados ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21 22

3-25

(n = 10)Q1 na posição (10+1)*(1/4) = 2.75 → arredonde para 3

então Q1 = 35

Q2 na posição (10+1)*(1/2) = 5.5 então Q2 = (39+40)/2 = 39.5

Q3 na posição (10+1)*(3/4) = 8.25 → arredonde para 8então Q3 = 44

Localizando quartis – 2o. exemplo

Dados ordenados: 29 31 35 39 39 40 43 44 44 52

3-26

Os cinco números e o Boxplot

Os cinco números que proporcionam um método para se determinar o formato de uma distribuição :

Boxplot:

Xmenor -- Q1 -- Mediana -- Q3 -- Xmaior

Xmenor Q1 Mediana Q3 Xmaior

Construindo o Boxplot no Excel

3-27

Mínimo -71o. quartil -3Mediana 23o. quartil 4Máximo 9

9-79

Resumo de Cinco Números

-10 -5 0 5 10

Box-Plot

3-28

A curva de distribuição e o Boxplot

Assimétrica à esquerda

Simétrica

Q1 Q2 Q3 Q1 Q2 Q3Q1 Q2 Q3

Assimétrica à direita

3-29

Amplitude interquartil (Q3 – Q1)

Mediana(Q2)

XmáxX

mín Q1 Q3

25% 25% 25% 25%

12 30 45 57 70

Amplitude interquartil = 57 – 30 = 27

Também conhecida como dispersão média

Obs: Assim como os quartis, também não é afetada por outliers

3-30

Medindo a relação entre duas variáveis numéricas:A covariância

Mede a força de uma relação linear entre duas variáveis numéricas(X & Y)

Covariância da amostra

Não implica numa relação causa-efeito

1n

)YY)(XX()Y,X(cov

n

1iii

3-31

Covariância entre duas variáveis

cov(X,Y) > 0 X e Y tendem a se mover na mesma direção

cov(X,Y) < 0 X e Y tendem a se mover em direções opostas

cov(X,Y) = 0 X e Y são independentes

Observar: cov pode assumir qualquer valor

Consequência: não é possível se determinar a força relativa da relação a partir do valor da covariância

Interpretando a Covariância

3-32

Coeficiente de Correlação

Mede a força relativa de uma relação linear entre duas variáveis numéricas

É adimensional

YX SSY),(Xcovr

YX

Y),(Xcov

Coeficiente de correlação da amostra

Coeficiente de correlação da população

3-33

Coeficientes de Correlação e gráficos de dispersão

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

r = -1 r = -.6

r = +.3r = +1

Y

Xr = 0

3-34

Coeficiente de Correlação: função no Excel

3-35

Coeficiente de Correlação: Análise de Dados no Excel

1. Selecione Dados2. Escolha Análise de Dados3. Selecione Correlação e

clique OK

3-36

Coeficiente de Correlação: Análise de Dados no Excel (cont.)

4. Entre com os dados e selecione as opções adequadas

5. Clique em OK

3-37

Interpretanto o Coeficiente de Correlação

r = 0.733 Há uma relação linear

positiva relativamente forte entre as notas do teste 1 e as do teste 2.

Scatter Plot of Test Scores

70

75

80

85

90

95

100

70 75 80 85 90 95 100

Test #1 Score

Test

#2

Scor

e