ESTATÍSTICA

Distribuição de Frequências

Tipos de intervalo de classes, que podem ser:• Intervalo semifechado à esquerda:

• o elemento à esquerda está incluído no intervalo de classe Intervalo semifechado à direita:

• o elemento à direita está incluído no intervalo de classe • Intervalo fechado:

• os dois valores, li e o ls, pertencem ao intervalo de classe • Intervalo aberto:

• os dois valores não serão contados nesse intervalo de classe.

Distribuição de FrequênciaPonto médio de uma classe É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

xi =(li + Li)/2

• Estatísticas que representam uma série de dados orientando-os quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.

• medidas utilizadas para a descrição dos dados. • Neste caso, o que se deseja encontrar são os valores

representativos dos dados, de modo a resumir ao máximo as observações sobre os dados em questão.

• As principais Medidas de tendência central– Média aritmética; – Mediana; – Moda.

Medidas de Posição

Medidas de Tendência Central

Média: A soma de todos os valores dividida pelo número de valores.

Mediana: Ponto que tem um número igual de valores acima e abaixo de si.

Moda: O valor com a maior freqüência.

• Dados não agrupados:• Quando desejamos conhecer a média dos dados não

agrupados em tabelas de frequências, determinamos a média aritmética simples.

• A média aritmética simples é a soma dos valores dividida pelo número de observações.

X = Xi

n

Média (X)

Média aritmética simples ( x )

___

X = loresnúmerodevaoressomadosval

nxi

Exemplo: Salário dos funcionários da cia y 150 –150 –200 –300 –400 – 500 – 10.000

7000.10........150150

x

43,1671x

Média (X)

Média (X)• Dados agrupados:

• Sem intervalos de classe• Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro

filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino.

• Calcularemos a quantidade média de meninos por família:Nº de meninos

frequência = fi

0 21 62 103 124 4

total 34

Média (X)

..xi. ..fi. ..xi.fi .0 2 01 6 62 10 203 12 364 4 16

total = 34 = 78

• Frequências:• números indicadores da intensidade de cada valor da

variável;• Logo, funcionam como fatores de ponderação;,• Assim, podemos calcular a média aritmética

ponderada, pela fórmula: X = xi . fi / fi ou xi . fi / n

Com intervalos de classeNeste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: x = xi . fi / n , onde xi é o ponto médio da classe. Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.

Estaturas (cm) freqüência = fi ponto

médio = xi xi.fi.

50 |------------ 54 4 52 20854 |------------ 58 9 56 50458 |------------ 62 11 60 66062 |------------ 66 8 64 51266 |------------ 70 5 68 34070 |------------ 74 3 72 216

Total = 40 2.440Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. Logo x = 61 cm

Média (X)

1) A tabela abaixo apresenta a distribuição relativa a 31 famílias, tomando para variável o número de filhos. Calcular média de filhos por família:

Nº de meninos freqüência = fi 0 52 83 94 76 2

total =

Exercícios

2) Calcule a média aritmética da distribuição de frequências abaixo:

classes freqüência = fi xi fi

50 |------------ 54 454 |------------ 58 1058 |------------ 62 262 |------------ 66 1266 |------------ 70 570 |------------ 74 4

total =

Exercícios

• É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

• Mo é o símbolo da moda.• Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica

é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.No exemplo dado:

150 150 200 300 400 500 10000 Mo = 150

Moda

A Moda quando os dados não estão agrupados• A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a

definição, procurar o valor que mais se repete. • Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é

igual a 10.• Há séries nas quais não existe valor modal, isto é, nas quais

nenhum valor aparece mais vezes que outros. • Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é

amodal.• Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de

concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. • Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas

modas: 4 e 7. A série é bimodal.

Moda

ModaA Moda quando os dados estão agrupados• Sem intervalos de classe• Uma vez agrupados os dados, é possível determinar

imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência.• Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:Temperatura

s Freqüência

0º C 31º C 92º C 123º C 6

Moda

ModaA Moda quando os dados estão agrupados• Com intervalos de classe• A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe

modal.• Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o

valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.

• O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.

• Damos a esse valor a denominação de moda bruta.Mo = ( l* + L* ) / 2

l* = limite inferior da classe modal; e L*= limite superior da classe modal.

ModaA Moda quando os dados estão agrupados• Com intervalos de classe• Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Classes (em cm) Freqüência 54 |------------ 58 958 |------------ 62 1162 |------------ 66 866 |------------ 70 5

Resp: • a classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior frequência. l*=58 e

L*=62;• Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estimado, pois não

conhecemos o valor real da moda).

EXERCÍCIOS

1) A tabela abaixo apresenta a distribuição relativa a 31 famílias, tomando para variável o número de filhos. Calcular a moda:

Nº de meninos freqüência = fi 0 52 83 94 76 2

total

2) Calcule a moda da distribuição de frequências abaixo:

classes freqüência = fi xi fi

50 |------------ 54 4

54 |------------ 58 10

58 |------------ 62 2

62 |------------ 66 12

66 |------------ 70 5

70 |------------ 74 4

total=

EXERCÍCIOS

Mediana• É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados,

quando organizados em ordem crescente. • Se a quantidade de valores é impar, mediana, ou valor mediano, é

simplesmente o valor central. • Se a quantidade de valores é par, a mediana é média dos dois

valores centrais.• Interpretação da Mediana:

• A mediana divide o conjunto de dados em duas partes iguais, ou seja, 50% dos valores são menores ou iguais a mediana e 50% dos valores são maiores ou iguais a mediana.

Mediana• Passos para o cálculo da mediana.

• Ordena-se os dados em ordem crescente.• Verifica-se n é par ou ímpar• Se n for ímpar a mediana será o valor central.• Se n for par a mediana será a média dos dois valores centrais

• Se n for ímpar: • Md será o valor que ocupa a posição central

(n + 1)/2 • Se n for par:

• Md será a média aritmética dos dois valores que ocupam as posições centrais

(n/2) e (n/2) + 1

Dado Bruto Rol P(Md) Mediana4,2,3,3,2 2,2,3,3,4 3 3

2,5,4 2.4.5 2 42,3,4,2,4 2,2,3,4,4 3 3

5,2,4,4,3,4,2,2 2,2,2,3,4,4,4,5 4,5 3,5

MedianaExemplos:

Para dados Brutos

Não confundir Mediana com Posição da Mediana (P(Md)

P(Md) = (n + 1)/2

Mediana

• Exemplo:• Salários da Cia Y:

150 150 200 300 400 500 10000 n = 7 (impar) (n + 1)/2 = 4º Md = 300(valor central)

•  Salários da Cia X 200 300 350 400 400 500 n = 6 (par) n/2 = 3º n/2 + 1= 4º Md = (350 + 400)/2 = 375

Propriedades Da Medianaa) Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá

coincidência da mediana com um dos elementos da série.b) Quando o número de elementos da série estatística for par, algumas

vezes, não haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.

c) Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.

d) A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média(que se deixa influenciar pelos valores extremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

MedianaA mediana em dados agrupados• Sem intervalos de classe

1. Achar n;2. Calcular Fi

3. Calcular P(Md)4. Procurar P(Md) em Fi

5. Calcular Md, se for o casoExemplo:Dados Brutos:

2,2,4,4,4,6,6,6,6,8,8,8,8,8,8,10,10,10,10,10

MedianaA mediana em dados agrupados• sem intervalos de classe• Exemplo

Classe fi Fi2 2 24 3 56 4 98 6 1510 5 20

Total 20

N

Fi

P(Md) = (20 + 1) / 2

P(Md) = 10,5

Md = (8 + 8) / 2

P(Md) = 8

MedianaA mediana em dados agrupados• Com intervalos de classe

1. Achar n;2. Calcular Fi

3. Calcular P(Md)4. Determinar a Classe Mediana5. Aplicar a seguinte fórmula:

Onde: li : Limite inferior da classe mediana. Fant: Frequência acumulada anterior à classe mediana.

lf : Frequência simples da classe mediana. h: amplitude da classe mediana

MedianaA mediana em dados agrupados• Com intervalos de classe• Exemplo

Classe fi10 |---20 220 |---30 330 |---40 1040 |---50 350 |---60 2

Total 20

MedianaA mediana em dados agrupados• Com intervalos de classe• Exemplo

Classe fi xi Fi10 |---20 2 15 220 |---30 3 25 530 |---40 10 35 1540 |---50 3 45 1850 |---60 2 55 20

Total 20

NFi

P(Md) = (20 + 1) / 2

P(Md) = 10,5

Md = 30 + {((20/2) – 5)/10} x 10

Md = 35

EXERCÍCIOS1) A tabela abaixo apresenta a distribuição relativa a 23

famílias, tomando para variável o número de filhos. Calcular a mediana:

Nº de meninos freqüência = fi 1 22 43 64 86 3

total fi=

2) Calcule a mediana da distribuição de frequências abaixo:

classes frequência = fi freqüência acumulada=Fi

50 |------------ 54 554 |------------ 58 458 |------------ 62 262 |------------ 66 1066 |------------ 70 470 |------------ 74 1

total fi=

EXERCÍCIOS

2 4 2 0 40 2 4 3 6

Calcular a Média, a Mediana e a moda.

3) Um instrutor registra a Média de seus alunos em determinado semestre.Os dados são:

EXERCÍCIOS

Calcule a média, a mediana e a moda.

4)Suponha que o aluno com 40 faltas abandone o curso. Calcule a média, a mediana e a moda dos valores restantes. Compare o efeito da mudança para cada tipo de média.