ESTATISTICA - DJALMA

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Estatsticapara os cursos de: Economia Administrao e Cincias Contbeis

BPDEAw

-w SA EA

R E S P E IT EO AUTOR N AO F A A ~ P I A C

Associao Bras~leim para a Proteao dos Direitos Automis Editoriais e

EDITORA ATLAS S.A. Rua Conselheiro Nbias, 1384 (Campos Elsios) 01203-904 So Paulo (SP) Tel.: (O 11) 3357-9144

Ermes da Silva Elio da Silva Walter Gonalves Afrnio Carlos Murolo

Estatsticapara os cursos de: Economia Administrao e Cincias ContbeisVolume 1

PAULO EDITORA ATLAS S.A. -- 1999

1994 by EDITORA ATLAS S.A. ed. 1995; 2. ed. 1996; 3. ed. 1999;

Capa: Aldo Composio: Formato Servios de Editorao Ltda.

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) (Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)da Silva ... let

Estatstica

Ermes

- 3. ed. So Paulo: Atlas, 1999.

Outros autores: Walter Gonalves, Elio Murolo. ISBN 85-224-2236-2

da Silva, Afrnio Carlos

Estatstica I. Silva, Ermes Medeiros. Gonalves, Walter, 1942- 111. Silva, Elio da. Murolo, Afrnio Carlos. V. Ttulo. 94-4177 CDD-519.5

ndice para catlogo sistemtico:1.

Estatstica

519.5

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - proibida a reproduo total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer meio. A violao dos direitos de autor (Lei 9.610198) crime estabelecido pelo artigo 184 do Cdigo Penal.

Depsito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto de 1907.

de 20 de dezembro

Impresso no

n Brazl

Sumrio

t

CONCEITOS BASICOS, 11 1 1 Introduo, 11 . 1.2 Conceitos Fundamentais, 12 1.2.1 Objetivo, 12 1.2.2 Populao e Amostra, 12 1.3 Processos Estatsticos de Abordagem, 12 1.4 Dados Estatsticos, 14 1 5 Estatstica Descritiva, 14 . 1 6 Dados Brutos, 15 . 1.7 Rol, 16 1 8 Exerccios Propostos, 17 . SRIES ESTAT~STICAS, 8 I 2 1 Apresentao de Dados Estatsticos, 18 . 2.2 Distribuio de Frequncia - Varivel Discreta, 18 2.3 Distribuio de Frequncia - Varivel Contnua, 19 2.4 Construo da Varivel Discreta, 20 1 2.5 Construo da Varivel Contnua, 2 2.6 Exerccios Propostos, 26 2.7 Distribuio de Frequncias - Varivel Discreta, 29 2.7.1 Frequncia Relativa de um Elemento da Srie - fr, 29 2.7.2 Frequncia Acumulada de um Elemento da Srie - Fi, 30 1 2.7.3 Frequncia Acumulada Relativa de um Elemento da Srie - FR,,3 2.8 Distribuio de Frequncias - Varivel Contnua, 32 2 8 1 Frequncia Relativa de uma Classe - fh 32 .. 2.8.2 Frequncia Acumulada de uma Classe - Fi, 33 2.8.3 Frequncia Acumulada Relativa de uma Classe - FR,34 2.9 Exerccios Propostos, 35

6

Sumrio 2.1 0 Representao Grfica de Sries Estatsticas, 38 2.10.1 Histograma - Varivel Discreta, 39 2.10.2 Histograma - Varivel Contnua, 40 2.11 Exerccios Propostos, 42

3

MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL, 46 3.1 3.2 Introduo, 46 Somatrio - Notao Sigma (C ), 46

3.3 Exerccios Propostos, 51 3.4 . Mdias, 54 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5 Mdia Aritmtica Simples, 54 Mdia Aritmtica Ponderada, 54 Mdia Geomtrica Simples, 55 Mdia Geomtrica Ponderada, 55 Mdia Harrnnica Simples, 55 Mdia Harmnica Ponderada, 56

Clculo da Mdia Aritmtica, 57

3.6 Exerccios Propostos, 60 3.7 Mediana, 66 3.8 Clculo da Mediana, 663.9

Exerccios Propostos, 71 3.10 Moda, 74

3.11 Clculo da Moda, 74 3.12 Utilizao das Medidas de Tendncia Central, 83 3.13 Exerccios Propostos, 85 4 MEDIDAS SEPARATRIZES, 89 4.1 Conceitos, 89 90 4.2 Clculo das ~edidasseparatrizes, 4.3 5 Exerccios Propostos, 95

MEDIDAS DE DISPERSO, 100 5.1 Introduo, 100 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Medidas de Disperso Absoluta, 101 Amplitude Total, 101 Clculo da Amplitude Total, 101 Exerccios Propostos, 102 Desvio Mdio Simples, 103

Sumrio 5.7 Clculo do Desvio Mdio Simples, 103 5.8 Exerccios Propostos, 108 5.9 Varincia e Desvio Padro, 109 5.1 0 Clculo da Varincia e Desvio Padro, 110 5.11 Interpretao do Desvio Padro, 116 5.1 2 Exerccios Propostos, 118 5.13 Medidas de Disperso Relativa, 121 5.14 Exerccios Propostos, 122

7

i

MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE, 124 6.1 Introduo, 124 6.2 Medidas de Assimetria, 125 6.2.1 Coeficiente de Pearson, 125 6.2.2 Coeficiente de Bowley, 125 Medida de Curtose, 126 Exerccios Propostos, 132

6.3 6.4

-

PROBABILIDADES, 143 7.1 Introduo, 143 7.1.1 Fenmenos Aleatrios, 143 7.2 7.3 Teoria das Probabilidades - Espao Amostral, 145 Eventos, 147

7.4 Operaes com Eventos, 148 7.5 Exerccios Propostos, 149 7.6 Funo de Probabilidade, 151 7.7 7.8 7.9 Definio de Probabilidade, 151 Exerccios Propostos, 155 Probabilidade de um Evento, 158

7.10 Exerccios Propos'tos, 159 7.11 Axiomas de Probabilidade, 162

i

CLCULO DE PROBABILIDADES, 163 8.1 Teoremas Fundamentais, 163 8.1.1 8.1 -2 8.1.3 8.1.4 8.1.5 Probabilidade do Conjunto Vazio, 163 Probabilidade do Complementar, 163 Probabilidade da Reunio, 163 Exerccios Propostos, 165 Probabilidade Condicional, 165

8

Sumrio 8.1.6 Exerccios Propostos, 170 8.1.7 Teorema da Probabilidade Total, 172 8.1.8 Exerccios Propostos, 174 8.1.9 Teorema de Bayes, 176 8.1.1 0 Exerccios Propostos, 178 8.2 Exerccios Gerais, 179

Bibliografia, 189

PrefcioEstamos colocando a disposio dos colegas professores e aos inte?ssadosem estatstica de modo geral uma coleo de livros da qual este o primeiro volume. O contedo deste volume apresenta os conceitos bsicos iniciais de um curso de estatstica, isto , enfoca a estatstica descritiva, as medidas sobre uma distribuio, e coloca os principais estimadores necessrios ao desenvolvimento posterior de inferncia estatstica. Encerra o volume o estudo do clculo de probabilidades. Este contedo foi escolhido por alguns motivos. A nossa experincia ao desenvolver cursos nesta rea nos convenzu de que este contedo pode ser desenvolvido com bom aproveitamento um curso anual de 72 horas ou em curso semestral equivalente. Alm disso, contedo est adequado ao novo currculo dos cursos de administrao de empresa que esto sendo implantados nas diversas faculdades. Entretanto, o que nos parece mais importante a maneira como o assunto foi desenvolvido. Uma crtica frequente de professores e alunos com respeito aos textos de estatstica que eles apresentam os conceitos estatsticos do ponto de vista matemtico, com nfase nos clculos das medidas. A conseqncia deste enfoque que os estudantes, embora possam desenvolver os clculos necessrios a soluo de problemas no so capazes de realizar o que nos parece fundamental em estatstica, que o conhecimento e as possveis interpretaes do fenmeno estatstico envolvido. Para atingir este objetivo procuramos desenvolver os conceitos dando anfase a interpretao das medidas sobre o fenmeno estatstico. Desta foria, a apresentao de cada conceito seguida de sua interpretao especfia, completada por questes tericas e prticas que fixem esse conhecimen,a. A idia que fique claro o que o conceito significa do ponto de vista estatstico e quais so as possveis utilidades que ele pode ter, principalmente no campo da Administrao. Tendo em vista este objetivo, muitas vezes restringimos a abrangncia do conceito com a finalidade de torn-lo acessvel ao estudante. Desta forma, os professores da rea certamente notaro alguns conceitos particularizados ou pouco abrangentes. Achamos necessria esta restrio para no desviar o enfoque do significado do conceito e sua interpretao.

10

Prefcio

Acreditamos que a medida que o estudante for adquirindo experincia nesta rea, a generalizao dos conceitos ocorrer de maneira natural. Com a finalidade de fixar os conceitos elaboramos grande quantidade de exerccios. O leitor dever notar que tivemos o cuidado de apresentar problemas enfocando a aplicao da estatstica a diversas reas da administrao de empresas; cumprindo desta forma uma de suas finalidades que de disciplina de apoio as reas profissionais deste campo. Esperamos que este texto e os demais que o seguiro sejam de utilidade para professores e estudantes que necessitam de estatstica em sua vida profissional. Gostaramos de receber sugestes e crticas dos colegas. Essa ateno para com nosso trabalho nos faro agradecidos e certamente colaboraro para a correo de rumo, aumentando a adequao, utilidade e competncia desta obra. So Paulo, outubro de 94.

Os Autores

1 /1 .I

Conceitos Bsicos

Introduo

O termo Estatstica provm da palavra Estado e foi utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas decises.

Neste sentido foi utilizado em pocas remotas para determinar o valor dos impostos cobrados dos cidados, para determinar a estratgia de uma nova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucesso de batalhas. (Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas, cavalos etc. dispunham aps a ltima batalha.) Atualmente, a estatstica definida da seguinte forma:

Estatstica um conjunto de mtodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenmenos coletivos.

A estatstica teve acelerado desenvolvimento a partir do sculo XVII, com os estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON, PEARSON, FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas caractersticas atuais. Ela no alcanou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na razo direta do desejo de investigao dos fenmenos coletivos. A Estatstica considerada por alguns autores como Cincia no sentido do estudo de uma populao. considerada como mtodo quando utilizada como instrumento por outra Cincia. A Estatstica mantm com a Matemtica uma relao de dependncia, solicitando-lhe auxlio, sem o qual no poderia desenvolver-se. Com as outras Cincias mantm a relao de complemento, quando utilizada como instrumento de pesquisa.

12

Estatstica 1

Em especial esta ltima a relao que a Estatstica mantm com a Administrao, Economia, Cincias Contbeis, servindo como instrumento auxiliar na tomada de decises.

1.21.2.1

Conceitos FundamentaisOBJETIVO

Estatstica tem como objetivo o estudo dos fenmenos coletivos.

1.2.2

POPULAAO E AMOSTRA

Conceituaremos Populao como sendo o conjunto de todos os itens (pessoas, coisas, objetos) que interessam ao estudo de um fenmeno coletivo segundo alguma caracterstica. Entenderemos por Amostra, qualquer subconjunto no vazio de uma populao. Uma caracterstica numrica estabelecida para toda uma populao denominada parmetro. Uma caracterstica numrica estabelecida para uma amostra denominada estimador.Por exemplo: no fenmeno coletivo eleio para governador no Estado de So Paulo, a populao o conjunto de todos os eleitores habilitados no Estado de So Paulo. Um parmetro a proporo de votos do candidato A. Uma amostra , um grupo de 1000 eleitores selecionados em todo o Estado. Um estimador a proporo de votos do candidato A obtida na amostra.

Em aplicaes efetivas, o nmero de elementos componentes de uma amostra bastante reduzido em relao ao nmero de elementos componentes da populao.

1.3

Processos Estatsticos de Abordagem

Quando solicitados a estudar um fenmeno coletivo podemos optar entre os seguintes processos estatsticos: a) Estimao. b) Censo.

Conceitos Bsicos

13

Censo: uma avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos 9s componentes da populao. Estimao: uma avaliao indireta de um parmetro, com base em IJm estimador atravs do clculo de probabilidades.

Propriedades Principais do Censo:i i i

Admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%. caro.

i

lento. quase sempre desatualizado. Nem sempre vivel.

Propriedades Principais da Estimao:ii

ii i

Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%. barata. rpida. atualizada. sempre vivel. estatisticamente, a preciso de um valor numrico avaliada atravs do binmio: confiana e erro processual.

COMENTRIO:

Se admitirmos que podemos retirar do Censo todo tipo de erro de natureza humana (erro de clculo de avaliao, de anotao etc.), restar apenas outro tipo de erro devido ao procedimento empregado. Este erro chamado erro processual. No caso de um Censo, o erro processual zero, pois avaliamos um por um, todos os elementos componentes da Populao. Como o erro processual na avaliao zero, a confiabilidade no parmetro obtido 100%. A preciso, no Censo total. Na estimao, como avaliamos apenas parte e no todos os elementos que compem a populao, admitimos um erro processual positivo na avaliao do valor numrico e por conseqncia uma confiabilidade menor que 100%, sendo, portanto, menos precisa que o Censo. Como o nmero de elementos que compem uma amostra consideravelmente menor que o nmero de elementos que compem uma Populao, a Estimao sempre bem mais barata que o Censo, concluda mais rapidamente que o Censo e, portanto, mais atualizada.

14

Estatstica 1

Se a maneira de avaliar um elemento um teste destrutivo, o Censo se torna um processo invivel, pois destruiria a populao objeto do estudo. Entretanto, na maioria das vezes em que o Censo considerado invivel por razes econmicas e de tempo. Na sociedade moderna, a maioria dos problemas exigem decises de curto prazo. Por isso, as informaes estatsticas teis a resoluo destes problemas devem ser obtidas rapidamente. Pela rapidez e facilidade da obteno destas informaes, a estimao tem sido cada vez mais utilizada como procedimento estatstico.

1.4

Dados Estatsticos

Normalmente, no trabalho estatstico o pesquisador se v obrigado a lidar com grande quantidade de valores numricos resultantes de um Censo ou de uma estimao. Estes valores numricos so chamados dados estatisticos. No sentido de disciplina, a Estatstica ensina mtodos racionais para a obteno de informaes a respeito de um fenmeno coletivo, alm de obter concluses vlidas para o fenmeno e tambm permitir tomada de decises, atravs de dados estatisticos observados. Desta forma, a estatstica pode ser dividida em duas reas: a) Estatstica Descritiva - a parte da Estatstica que tem por objeto descrever os dados observados. b) Estatstica Indutiva - a parte da Estatstica que tem por objetivo obter e generalizar concluses para a populao a partir de uma amostra, atravs do clculo de probabilidade. O clculo de probabilidade que viabiliza a inferncia estatstica.

1.5

Estatstica Descritiva

A Estatstica Descritiva, na sua funo de descrio dos dados, tem as seguintes atribuies:a) b) c) d)

A obteno dos dados estatsticos. A organizao dos dados. A reduo dos dados. A representao dos dados.

Conceitos Bsicos

15

e) A obteno de algumas informaes que auxiliam a descrio do fenmeno observado.A obteno ou coleta de dados normalmente feita atravs de gm questionrio ou de observao direta de uma populao ou amostra.i

i A organizao dos dados consiste na ordenao e crtica quanto a correo dos valores observados, falhas humanas, omisses, abandono de dados duvidosos etc.

Reduo dos dados - O entendimento e compreenso de grande quantidade de dados atravs da simples leitura de seus valores individuais uma tarefa extremamente rdua e difcil mesmo para o mais experimentado pesquisador.i

A Estatstica descritiva apresenta duas formas bsicas para a reduo do nmero de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas varivel discreta e varivel contnua.i A representao dos dados - 0 s dados estatsticos podem ser mais facilmente compreendidos quando apresentados atravs de uma representao grfica, o que permite uma visualizao instantnea de todos os dados.

Os grficos, quando bem representativos, tornam-se importantes instrumentos de trabalho.

ainda atributo da Estatstica Descritiva a obteno de algumas informaes como mdias, propores, disperses, tendncias, ndices, taxas, coeficientes, que facilitam a descrio dos fenmenos observados. Isto encerra as atribuies da Estatstica Descritiva.Completando o processamento estatstico, no caso de uma Estimao, a Estatstica Indutiva estabelece parmetros a partir de estimadores usando o clculo de probabilidade. Esta ltima etapa ser desenvolvida posteriormente.

1.6

Dados Brutos

Quando fazemos n observaes diretas em um fenmeno coletivo ou observamos as respostas a uma pergunta em uma coleo de n questionrios, obtemos uma sequncia de n valores numricos. Tal sequncia denominada dados brutos.

16

Estatstica 1

Representando por X a caracterstica observada no fenmeno coletivo ou na pergunta dos questionrios, ento x, representa o valor da caracterstica obtida na primeira observao do fenmeno coletivo ou o valor da caracterstica observado no primeiro questionrio; x2 representa o valor da caracterstica X na segunda observao do fenmeno coletivo ou o valor da caracterstica Xobservada no segundo questionrio e assim sucessivamente. Desta forma, os dados brutos podem ser representados por X: x,, x2, x3, ..., X". Esta sequncia de valores assim obtida apresenta-se completamente desordenada. De modo geral, podemos afirmar que:

Dados brutos uma. sequncia de valores numricos no organizados, obtidos diretamente da observao de um fenmeno coletivo.

1.7

Rol

Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os Dados Brutos passam a se chamar Rol. Portanto:

Rol uma sequncia ordenada dos Dados Brutos.

Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notas bimestrais em Matemtica: 4; 8; 7,5; 6,5.Neste exemplo, X representa nota bimestral e pode ser apresentada na forma:

X 4;, 8; 7,5; 6,5. (Dados Brutos)OU

X 4; 6,5; 7,5; 8. (Rol)OBSERVAO: Aps uma atenta leitura desta parte inicial, o interessado deve responder as seguintes questes:

Conceitos Bsicos

17

1.8'.

Exerccios Propostos

O que Estatstica? O que Amostra ? O que Parmetro?

2. O que Populao?.

.

5 O que Estimador? .3. Quais so os processos estatsticos de abordagem para o estudo de um fenme-

no coletivo?

: O que Censo? 2. O que Estimao? 3. Explique as propriedades principais do Censo. ' O . Explique as propriedades principais da Amostragem. 1. O que Dado Estatstico? '2. O que Estatstica Descritiva e quais so suas tarefas? '3. O que Estatstica Indutiva? ' 4 . O que so Dados Brutos? '5. O que Rol? '6. Construa o Rol para sequncia de dados brutos:a) X : 2 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20. b) Y:3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18. c) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7. d) W:8, 7,8, 7,8, 7, 9.

RESPOSTAS

?f2.1

Sries Estatis ficas

Apresentao de Dados Estatsticos

Quando lidamos com poucos valores numricos, o trabalho estatstico fica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente teremos que trabalhar com grande quantidade de dados. Um dos objetivos da Estatstica Descritiva neste caso, obter uma significativa reduo na quantidade de dados com os quais devemos operar diretamente. Isto pode ser conseguido modificando-se a forma de apresentao destes dados. Suponha que observamos as notas de 30 alunos em uma prova e obtivemos os seguintes valores:

Se entendermos como frequncia simples de um elemento o nmero de vezes que este elemento figura no conjunto de dados, podemos reduzir significativamente o nmero de elementos com os quais devemos trabalhar.

Para isto organiza-se o conjunto de dados na forma de uma srie estatstica chamada varivel discreta.

2.2

Distribuio de Frequncia - Varivel Discreta

uma representao tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em ordem crescente apenas os valores distintos da srie e na segunda coluna colocamos os valores das frequncias simples correspondentes. Se usarmos f para representar frequncia simples, a sequncia (1) pode ser representada pela tabela:

Sries Estatsticas

19

OBSERVAOES: (1) Note que a colocao de um ndice i para x e para f tem a finalidade de referncia. Deste modo, x, representa o primeiro valor distinto da srie, x2 representa o segundo valor distinto da srie, f, representa a frequncia simples do primeiro valor distinto da srie, f2 representa a frequncia simples do 2Qalor distinto da srie e assim sucessivamente.(2) Note que conseguimos reduzir de 30 elementos que constituam a srie original para apenas 12 elementos.

(3) Note tambm que a varivel discreta s uma forma eficiente de reduo dos dados, quando o nmero de elementos distintos da srie for pequeno.

Devemos optar por uma varivel discreta na representao de uma srie de valores quando o nmero de elementos distintos da srie for pequeno.

2.3

Distribuio de Frequncia - Varivel Contnua

Suponha que a observao das notas de 30 alunos em uma prova nos :3nduzisse aos seguintes valores:

Observando estes valores notamos grande nmero de elementos dis??tos, O que significa que neste caso a varivel discreta no aconselhvel - a reduo de dados.

20

Estatstica 1

Nesta situao conveniente agrupar os dados por faixas de valores, ficando a srie com a seguinte apresentao:Classe 1 2 3 4 2 4 6 8 Notas

1 1 1 1

4 6 8 1O

fi 4 12 10 4

Esta apresentao da srie de valores denominada varivel contnua.Devemos optar por uma varivel contnua na representao de uma srie de valores quando o nmero de elementos distintos da srie for grande.

2.4

Construo da Varivel Discreta

A construo de uma varivel discreta bastante simples. Basta observar quais so os elementos distintos da sequncia, orden-los, e coloc-los na primeira coluna da tabela. Em seguida computar a frequncia simples de cada elemento distinto e coloc-la na segunda coluna da tabela. Exemplo de construo de uma varivel discreta: A sequncia abaixo representa a observao do numero de acidentes por dia, em uma rodovia, durante 20 dias.

x:

0,2,0,1,1,0,0,0,3,2 1,0,1,2,0,1,3,2,2,0.

Os valores distintos da sequncia so: O, 1, 2, 3. As frequncias simples respectivas so: 8, 5, 5, 2. Portanto, a varivel discreta representativa desta sequncia :

Sries Estatsticas

21

.5 Construo da Varivel ContnuaA construo da varivel contnua requer o conhecimento de alguns ~nceitos que vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como exempli:ao:Classe Intervalo de classe

fi

1. AMPLITUDE TOTAL DE UMA SEQUNCIA a diferena entre o riaior e o menor elemento de uma sequncia. Representando a amplitude total por A,, o maior elemento da sequncia Xpor XmA, e o menor elemento por Xmn,a amplitude total denotada por:

No exemplo da sequncia que deu origem a tabela (2), Xmx = 9,5 e Xmn = 2, portanto:

A amplitude total representa o comprimento total da sequncia e dada na mesma unidade de medida dos dados da sequncia.2. INTERVALO DE CLASSE qualquer subdiviso da amplitude total de uma srie estatstica. No exemplo da tabela (2) subdividimos a amplitude total em quatro classes, obtendo os intervalos de classe 2 1- 4, 4 1- 6, 6 1- 8, 8 1- 10. Note que na realidade no trabalhamos com a At = 7,5 e sim com a amplitude total ajustada para 8 como justificaremos adiante.

3. LIMITE DE CLASSE: cada intervalo de classe fica caracterizado 9or dois nmeros reais. O menor valor chamado limite inferior da classe e ser indicado por I. O maior valor chamado limite superior da classe e ser Indicado por L. Por exemplo, na Classe 2 1- 4, I = 2 e L = 4.

22

Estatstica 1

4. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE a diferena entre o limite superior e o limite inferior da classe. Se usarmos h para representar a amplitude do intervalo de classe podemos estabelecer:

OBSERVAOES: (1) Na realidade, as classes no precisam necessariamente ter a mesma amplitude como no exemplo acima. Porm, sempre que possvel, devemos trabalhar com classes de mesma-amplitude. Isto facilita sobremaneira os clculos posteriores.(2) Note que usamos para representar as classes, interva-

los reais semiabertos a direita. Isto significa que o intervalo contm o limite inferior, masno contm o limite superior, ou seja, o intervalo de classe 2 1- 4 contm os valores reais maiores ou iguais a 2 e menores que 4. Desta forma, o ltimo intervalo da srie que 8 1- 10 no contm o valor 10. por isso que no utilizamos a amplitude 7,5, pois se isto fosse feito, o limite superior da ltima classe seria 9,5 e como o limite superior no deve pertencer a classe, o elemento 9,5 da sequncia estatstica original ficaria sem classificao. Como vamos utilizar este critrio, precisaremos ajustar sempre o valor mximo da srie ao definir a amplitude total.

. lo

Outros critrios poderiam ser adotados como o intervareal semiaberto a esquerda ou mesmo o intervalo real aberto, mas nenhum destes critrios melhor que o critrio adotado.

5. NMERO DE CLASSES: o nmero de classes a ser utilizado depende muito da experincia do pesquisador e das questes que ele pretende responder com a varivel contnua.

Isto pode ser verificado facilmente pelo prprio interessado ao longo desta exposio. Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critrio da raiz para a determinao do nmero de classes.

Sries Estatsticas) CRITRIO DA RAIZ

23

Se a sequncia estatstica contm n elementos e se indicarmos por K nmero de classes a ser utilizado, ento pelo critrio da raiz:

Como o nmero K de classes deve ser necessariamente um nmero iteiro e como dificilmente 6, nmero inteiro, deixaremos como opo um uma unidade a menos ou ara o valor de K o valor inteiro mais prximo de fi, mais que este valor. . No exemplo da tabela (2),n = 30 e conseqentemente k = 1130 = ,477, portanto o valor inteiro mais prximo de v % 5. As opes para k nto so: 4 ou 5 ou 6. A amplitude do intervalo de classe que designamos por h determinada da seguinte forma:

8 o portanto h = - = 2.4

observe que a opo por quatro classes, foi feita em funo de um valor de h mais fcil de se operar./ Se tivssemos optado por cinco classes, o valor de h seria 85 = 1,6; se vssemos optado por seis classes, o valor de h seria 8/6 = 1,3333...

Veja que o melhor valor para se trabalhar em clculos o h = 2. Foi ?or isto que optamos por quatro classes. Conhecendo-se o valor Xmin= 2 e a amplitude de classe h = 2, conclui70s que o limite superior da primeira classe 4. Portanto, a primeira classe r! intervalo 2 14. O limite inferior da segunda classe 4. Somando-se a zrnplitude de classe obteremos 6. Portanto, a segunda classe 4 1- 6. A :srceira classe por analogia 6 1- 8 e a quarta classe 8 1- 10.6. FREQUNCIASIMPLES DE UMA CLASSE fi: chama-se frequn::a simples de uma classe ao nmero de elementos da sequncia que so ai ores ou iguais ao limite inferior desta classe e menores que o limite supe-3r desta classe.

24

Estatstica 1

No exemplo 2, a frequncia simples da primeira classe o nmero de elementos da sequncia que so maiores ou iguais a 2 e menores que 4. Note que os valores da sequncia nestas condies so os valores 3, 2,5, 2, 3,5. Portanto, a frequncia simples da primeira classe 4. Da mesma forma determinamos as frequncias simples das demais classes, completando o quadro representativo da varivel contnua.

COMENTRIO:

Existem outros critrios para a determinao do nmero de classes, como por exemplo a frmula de STURGES.O

Segundo STURGES,

nmero K d e classes dado por:

Para valores de n muito grandes, esta frmula apresenta mais vantagens que o critrio da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproximao do valor de K. Como acreditamos que na prtica a experincia do pesquisador que na verdade vai determinar o nmero de classes, optamos pelo mtodo mais simples que o critrio da Raiz.

EXEMPLO DE CONSTRUO DE UMA VARI L CONT~NUA VEUm teste para aferir o Quociente de Inteligncia em determinada classe de alunos de uma Faculdade deu origem a sequncia de valores

Para a construo da varivel contnua, devemos determinar o nmero de elementos da sequncia. Verificamos que a sequncia possui n = 70 elementos.

Sries Estatsticas

25

Pelo critrio da raiz K = fi. caso, K = .\170 = 8,37. O valor inteiro No iis prximo 8. Portanto, temos opo para construir a varivel contnua m 7 ou 8 ou 9 classes.

O maior valor da sequncia ,X ,, [ Xm, =61.

= 139 e o menor valor da sequn-

Portanto, a amplitude total da sequncia At = 139 - 61 = 78. No tanto, sabemos que pelo fato de o critrio adotado do intervalo de classe r semi-aberto a direita, devemos ajustar o valor, , . X Se ajustssemos'mx para 140, a amplitude ajustada passaria a ser At = 140 - 61 = 79. Este

!alar no divisvel de forma inteira nem por 7 nem por 8 e nem por 9, que o nossas opes de classes.

Nesta situao devemos ajustar Xmxpara 141 obtendo a At = 141 31 = 80 que divisvel exatamente por 8, obtendo-se ama amplitude do -itervalo de classe h dada por:

foi Observe que o ajuste do valor Xmx de duas unidades, passando de '39 para 141.A experincia do pesquisador, nesta situa~o, levaria a distribuir este o srro de duas unidades, iniciando a representao da srie em 60 e terminan29 em 140. A amplitude total ajustada para a srie : At = 140 - 60 = 80. O comprimento do intervalo de classe h = 10 e o nmero de classes iK = 8 .

Computando as frequncias simples de cada classe, construmos a :arivel contnua representativa desta srie.

Classe1 2 3 4 5 6 7 8

Intervalo de classe 60 1 70 80 70 1 90 80 1 1O 0 90 1 100 1 110 120 110 1 130 120 1 140 130 1

fi

1 5 6 10 12 19 14 3

A varivel contnua conceituada como uma representao tabular em

x e colocamos na primeira coluna os intervalos de classe e na segundazz~luna valores das frequncias simples correspondentes. os

26

Estatstica 1

A coluna "classe" tem a finalidade apenas de facilitar a referncia as classes, no fazendo parte da varivel contnua. O quadro final tanto da varivel discreta como da varivel contnua recebe o nome de distribuio de frequncia.

2.6

Exerccios Propostos

1. Qual o objetivo de agrupar os dados por frequncia? 2. O que uma varivel discreta? 3. Qual a caracterstica de um conjunto de dados que indique o uso de uma varivel discreta ao se agrupar os dados por frequncia? 4. O que uma varivel contnua? 5. Qual a caracterstica de um conjunto de dados que indique o uso de uma varivel contnua ao se agrupar os dados por frequncia? 6, Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculdade, revelou os seguintes valores: 18, 17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19 20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18 19, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18, 18, 19 18,21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20 18, 19, 19, 18,20, 20, 18, 19, 18, 18 Agrupe, por frequncia, estes dados. 7. Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscais emitidas durante um ms. Esta amostra apresentou os seguintes valores em dlares: 13.253,OO 25.312,OO 15.315,OO 23.440,OO 6.551,OO 17.661,OO 35.780,OO 42.320,OO 34.782,OO 27.435,OO 20.4 14,OO 8.598,OO 16.820,OO 21.780,OO 22.540,OO 29.000,OO 27.312,OO 19.302,OO 23.3 13,OO 12.417,OO 38.000,00 32.414,OO 22.010,OO 30.400,OO 35.318,OO 23.300,OO 26.432,OO 22.300,OO 40.300,OO 32.000,OO 30.000,OO 12.3 19,OO 18.620,OO 21.350,OO 30.5 15,OO 25.400,OO 15.800,OO 18.700,OO 21.380,OO 36.728,OO 38.661,OO 28.412,OO 27.61O O , 0 21.200,OO 18.300,OO 19.600,00 24.780,OO 36.483,OO 40.681,OO 21.313,OO

Agrupe, por frequncia, estes dados. 8. Uma empresa automobilstica selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado ms o nmero dc unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:

Sries Estatsticas

27

1 0 9 7 1 5

15 1 4 18 18

25 19 17 22

21 20 28 20

6 32 35 25

23 1 8 22 28

15 1 6 1 9 30

21 26 39 1 6

26 24 1 8 1 2

32 20 21 20

Agrupe, por frequncia, estes dados. 9. Uma indstria embala peas em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade selecionou 48 caixas na linha de produo e anotou em cada caixa o nmero de peas defeituosas. Obteve os seguintes dados:

2 1

o1

o

0 1 0 2 0

0 2 3 0 0

4 1 0 2 0

3 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 2 0 1

1 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Agrupe, por frequncia, estes dados. 10. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas fsicas em uma agncia, em determinado dia, obtendo os seguintes saldos em dlares:

52.500,OO 6.830,OO 16.323,OO 25.300,OO 28.000,OO

18.300,OO 35.700,00 43.800,OO 22.150,OO 3.250,OO 1 7.603,OO 35.600,OO 7.800,OO 42.130,OO 27.606,OO 18.350,OO 12.521,OO 3 1.452,OO 39.61O, O0 22.450,OO 7.380,OO 21.000,OO 14.751,OO 39.512,OO 17.319,OO

Agrupe, por frequncia, estes dados.

I

(anos)

Nmero de alunosfl

xi 17 18 19 20 21

3 18 17 8 4

. '

Uma soluo com uma margem de erro mnima : Classe1 2 3 4 5 6 7

Valor da nota US$6.551 ,O0 -1 11.661 ,O0 - 1 16.771 ,O0 - 1 21 .E81,O0 1 26.991,O0 1 32.1 O ,O0 - 1 1 37.21 1 ,O0 - 1 11.661 ,O0 16.771 ,O0 21.881,O0 26.991,O0 32.101 ,O0 37.211 ,O0 42.321 ,O0

Nmero de notas

r,

2 5 13 1O 9 6 5

28

Estatstica 1A, = 42.320,OO - 6.55 1,00 = 35.769,OO A, ajustada = 42.321.00 - 6.551,00 = 35.770,OO K =v %

8.

Uma soluo com uma margem de erro mnima :

t

7 A melhor opo para dividir 35.770 7

* A = 5.110

Classe1 2 3 4 5 6 7 A,=39-6=33

Nmero de carros5-1 10 - 1 15 - 1 20 -1 25 -1 30 -1 35 -1 1o 15 20 25 30 35 40

Nmero de revendedoresf/

3 3 12 11 6 3 2

A,ajustada = 40 - 6 = 34, o que no exatamente divisvel por 6, nem por 7,nem por 8.Ajustamos a amplitude para 40 - 5 = 35 para distribuir o erro. Assim, A, ajustada 35. Podemos optar por 5 ou por 7 classes. Obviamente, a melhor opo por sete classes.

Nmero de peas defeituosas por caixa

Nmero de caixasfi

x/O. 1 2 3 4 28 12 5 2 1

Classe3.249,,00 I 15.562,OOI 27.875,OO 1 40.188.00- 1 15.562,OO 27.875,OO 40.1 88,OO 52.501 ,O0

Nmero de contas

2 3 4

103

A, ajustada 52.501 - 3.250 = 49.251, que no divisvel por forma inteira nem por 4, nem por 5 e nem por 6. Neste caso, consideramos a A, ajustada 52.501 - 3.249, para distribuir o erro. Assim:

Sries Estatsticas

29

2.7

Distribuio de Frequncias - Varivel Discreta

Uma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de uma distribuio de frequncia, ele poder rapidamente obter algumas informaes adicionais e teis para a compreenso da srie, se considerar os seguintes conceitos:

2.7.1

FREQUNCIA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SRIE - f ,

a diviso da frequncia simples deste elemento pelo nmero total de elementos da srie.

Exemplo: Considere a varivel discreta:

O total de elementos desta srie 25. Portanto, a frequncia relativa 30 primeiro elemento distinto da srie, que 2, vale:

A frequncia relativa do segundo elemento distinto, que 3, vale:

Da mesma forma determinamos a frequncia relativa dos elementos seguintes da srie:

30

Estatstica 1

Note que estes valores representam a participao percentual de cada elemento distinto na srie. Assim, podemos fazer a interpretao: 12% dos valores da srie so iguais a 2; 28% dos valores da srie so iguais a 3; 32% dos valores da srie so iguais a 4; 24% dos valores da srie so iguais a 6; e 4% dos valores da srie so iguais a 7.

a soma da frequncia simples deste elementocom as frequncias simples dos elementos que o antecedem.

Desta forma, a frequncia acumulada para os elementos 2, 3, 4, 6 e 7 valem respectivamente:

Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma:

-

3 elementos componentes da srie so valores menores ou iguais a 2. - 10 elementos componentes da srie so valores menores ou iguais a 3. - 18 elementos componentes da srie so valores menores ou iguais a 4.

Sries Estatsticas

31

-

24 elementos componentes da srie so valores menores ou iguais a 6. 25 elementos componentes da srie so valores menores ou iguais a 7.

7.3

FREQUNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA SRIE - FR.I

a diviso da frequncia acumulada deste elemento, pelo nmero al de elementos da srie:

Assim, a frequncia acumulada relativa dos elementos 2, 3, 4, 6 e 7 Aem respectivamente:

Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: 12% dos valores da srie so menores ou iguais a 2. - 40% dos valores da srie so menores ou iguais a 3. - 72% dos valores da srie so menores ou iguais a 4. - 96% dos valores da srie so menores ou iguais a 6. - 100% dos valores da srie so menores ou iguais a 7. Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa a

-

:e chamar distribui~o frequncias. Para o exemplo estabelecido, a distrideI - S o de frequncias :

32

Estatstica 1

2.8

Distribuio de Frequncias - Varivel Contnua

No caso da varivel contnua, pelo fato de termos utilizado intervalos de classe, semi-aberto a direita, as interpretaes so diferentes. Portanto, redefiniremos estes tipos de frequncia.

2.8.1

FREQDNCIA RELATIVA DE UMA CLASSE - f ,I

a diviso da frequncia simples desta classe pelo nmero total de elementos da srie.

Exemplo: Considere a distribuio de frequncia:

Classe1 2 3 4 21 41 61 81

Int. cl.46 8 1O

fi 6 18 10 6

O total de elementos desta srie 40. Portanto, a frequncia relativa da primeira classe :

Sries Estatsticas

33

A frequncia relativa da segunda classe :

A frequncia relativa da terceira classe :f := - = - = 0,25 ou 25% e a frequncia relativa da quarta classef3

r3

n

10 40

Observe que estes valores representam a participao percentual dos elementos por classe. A interpretao para estes valores :

-

15% dos valores da srie so maiores ou iguais a 2 e menores que 4. 45% dos valores da srie so maiores ou iguais a 4 e menores que 6. 25% dos valores da srie so maiores ou iguais a 6 e menores que 8. 15% dos valores da srie so maiores ou iguais a 8 e menores que 10.FREQUNCIA ACUMULADA DE UMA CLASSE - Fj

2.8.2

a soma da frequncia simples desta classe com as frequncias simples das classes anteriores.

Desta forma, as frequncias acumuladas para estas classes so:

34

Estatstica 1

Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrando que so todos maiores ou iguais a 2.-

6 elementos da srie so valores menores que 4.

- 24 elementos da srie so valores menores que 6. - 34 elementos da srie so valores menores que 8. - 40 elementos da srie so valores menores que 10.FREQUNCIA ACUMULADA RELATIVA DE UMA CLASSE - FR.I

283 ..

a diviso da frequncia acumulada desta classe pelo nmero total deelementos da srie:

Deste modo, a frequncia acumulada relativa para cada classe :

Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrando que so todos maiores ou iguais a 2:

- 15% dos valores da srie so menores que 4. - 60% dos valores da srie so menores que 6. - 85% dos valores da srie so menores que 8. - 100% dos valores da srie so menores que 10.Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa a de se chamar distribui~o frequncias. Para o exemplo estabelecido, a distribuio de frequncias :

Sries Estatsticas~ ~ p

35

Classe12 4 6 8

Int. cl.

fi4 6 8 10

f'i

%

56 24 34 40

F

Ri

%

234

1 1 1 1

6 18 10

6

15 45 25 15

15 60 85 1O 0

Exerccios PropostosO que amplitude total de uma sequncia de dados? O que limite inferior de uma classe? O que frequncia simples de um elemento? O que frequncia relativa de um elemento? O que frequncia acumulada de um elemento?O que frequncia acumulada relativa de um elemento?

O que frequncia simples de uma classe? O que frequncia relativa de uma classe? O que frequncia acumulada de uma classe? O que frequncia acumulada relativa de uma classe?

Construa a distribuio de frequncias para a srie representativa da idade de 50 unos do primeiro ano de uma Faculdade.idade (anos)Xi

Nmero de alunosfi

17 18 19 20 21

3 18 17 8 4

I --cprefe os valores colocados na 3Vinha da distribui~ode frequncias do--

- - 1molete o quadro.

i--Yema

anterior.

36

Estatstica 1Nmero de acidentes por diaxi

Nmero de diasfi

O 1

2 3 4

30 5 3 1 1

15. Interprete todos os valores da segunda linha da distribuio de frequncias do

problema anterior. 16. Construa a distribuio de frequncias para a srie abaixo que representa uma amostra dos salrios de 25 funcionrios selecionados em uma empresa.Classe1 2 3 4 5

Salrios1.000,00 -1 1.200,OO-1 1.400,OO - 1 1.600,OO 1 1.800,OO - 1

US$ 1.200,oo 1.400,OO 1.600,OO 1.800,OO 2.000,OO

Nmero de funcionriosfi

2 6 1O 5 2

17. Interprete os valores obtidos na quarta linha da distribuio de frequncias do problema anterior. 18. Construa a distribuio de frequncias para a srie abaixo que representa o saldo de 25 contas de pessoas ficas em uma agncia em determinado dia.Classe Nmero de funcionlrios

oI 3 4 10.000,00 1 20.000,OO 1 30.000,OO 1 -

10.000,00 20.000,00 30.000,OO 40.000,OO

2

19. Interprete os valores da terceira linha da distribuio de frequncias do problema anterior. 20. Complete o quadro de distribuio de frequncias.Classe1 2 3 4 5

Int. cl.61 10 1 14 -1 18 -1 22 -1 10 14 18 22 26

fi

f,

YO25

Fi

FR %

1 14 90 2

Sries Estatsticas

37

Idade (anos) xi 17 18 19 20 21

Nmero de alunosfl

frl %6 36 34 16 8

FI3 21 38 46 50

FRI %6 42 76 92 1O 0

3 18 17 8 4

'2. Interpretaes: 19 - H alunos nesta classe com 19 anos. 17 - H 17 alunos nesta classe com 19 anos. 34 - 34% dos alunos desta classe tm 19 anos. 38 - Nesta classe h 38 alunos com 19 anos ou menos. 76 - 76% dos alunos desta classe tm 19 anos ou menos. '3.

Nmero de acidentes por - dia: xlO 1 2 3 4

Nmero de diasfl

frl %

FI

FRi %

30 5 3 I 1

75 12,5 73 2,s 2.5

30 35 38 39 40

75 87,5 95 97,5 1O 0

40 $5. Interpretaes: 1 - H dias em que ocorre um acidente por dia neste cruzamento. 5 - Em cinco dias dos 40 observados, ocorreu um acidente por dia. 12,5- 12,5% dos dias observados ocorreu um acidente por dia. 35 - Em 35 dias dos 40 observados ocorrereu um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento. 87,5 - 87,5 % dos dias observados ocorreram um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento. ' 6.

Classe

Salrios

US$

Nmero de funcionriosfi

frl %

FI

FRl %

1 2 3 4 5

1.000,OO- 1 1.200,OO 1 1.400,OO 1 1.600,OO I 1.800,OO 1 -

1.200,OO 1.400,OO 1.600,OO 1.800,OO 2.000,OO

2 6 1O 5 2

8 24 40 20 8

2 8 18 23 25

8 32 72 92 1O 0

38

Estatstica 1

17. Interpretaes: 4 - Estamos enfocando na ordem crescente a quarta classe de salrios desta empresa. 1.600,00 1 - 1.800.00 - 0 s salrios desta classe so maiores ou iguais a US$ 1.600,00e menores que US$1.800,00. 5 - H cinco funcionrios com salrios maiores ou iguais a US$ 1.600,00 e menores que US$ 1.800,OO. 20 - 20% dos funcionrios selecionados tm salrios maiores ou iguais a US$1.600,00 e menores que US$ 1.800,OO. 23 - H 23 funcionrios entre os selecionados com salrios menores que US$1.800,00. 92 - 92% dos funcionrios selecionados tm salrios menores que US$ 1.800,OO. 18.ClasseSaldosUS$

Nmero de contasf,

fr, %

FI

FRi %

1 2 3 4

o -1o.ooo,oo I10.000,OO - 1 20.000,OO- 1 30.000,OO- 1 20.000,OO 30.000,OO 40.000,OO

51O 8 2

20 40 32

8

5 15 23 25

20 60 92 1O0

19. Interpretaes: 3 - Estamos enfocando, na ordem crescente, a terceira faixa de saldos nas contas das pessoas fsicas. 20.000,OO - 30.000,OO - Os valores desta faixa compreendem valores maiores ou iguais a US$ 1 20.000,OO e menores que US$30.000,00. 8 - H oito contas entre as pesquisadas com saldos maiores ou iguais a US$20.000,00 e menores que US$30.000,00. 32 - 32% das contas pesquisadas tm saldos maiores ou iguais a US$20.000,00 e menores que US$ 30.000,OO. 23 - H 23 contas entre as pesquisadas com saldos menores que US$30.000,00. 92 - 92% das contas pesquisadas tm saldos menores que US$30.000,00.

Int. cl.3 4 5 10 - 1 14 - 1 18 1 22 1 18 22 26 8 4 2 40 20 1O

2.10 Representao Grfica de Sries EstatsticasExistem muitas formas de se representar graficamente uma srie estatstica. Podemos citar entre elas: grfico em linhas; em colunas; em barras, em setores; em porcentagens complementares; grficos polares; grficos pictricos, cartogramas etc.

Sries Estatsticas

39

-10 entanto, a maioria deles so simplesmente grficos de apresentaco, que o interessado com pequeno esforo poder facilmente compreender. Nosso interesse estar completamente voltado para os grficos de anlise da srie estatstica que so: Histograma, Polgono de frequncia e a curva polida de frequncia. Estas representaes grficas assumem aspectos diferenciados para varivel discreta e varivel contnua.

um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordenadas cartesianas que tem por base os valores distintos da srie (xi)e por altura, valores proporcionais as frequncias simples correspondentes destes elementos (f).Exemplo: Se considerarmos a srie:

ento o histograma assume a forma:fi

t

40

Estatstica 1

um conjunto de retngulos justapostos, representados em um sistema de coordenadas cartesianas, cujas bases so os intervalos de classe e cujas alturas so valores proporcionais as frequncias simples correspondentes. Exemplo: Se considerarmos a srie:

Classe1 2 3 4

Int. cl.

o12 4 6 8

5

1 1 1 1

2 4 6 8 1O

f,. 3 68 5 2

ento o histograma assume a forma:'i

f

i Observe que no colocamos o zero no eixo horizontal na origem do sistema por uma questo de clareza da representao grfica.

Deixamos, intencionalmente, um espao igual a um intervalo de classe no incio e no final da representao grfica. Se considerarmos este espaamento inicial e final como sendo classes fictcias com frequncia zero e unirmos os pontos mdios das bases superiores destes retngulos, obtemos uma nova figura chamada polgono de

frequncia.

Sries Estatsticasfi

41

t

0i

2

4

6

8

1

0

lnt. cl.

Observe que a rea do polgono de frequncia a mesma rea do -,i~tograma. i Quando estamos lidando com um censo, o histograma representa !;retamente a distribuio de frequncia da populao, mas quando estamos dando com uma amostra, a histograma representa apenas a distribuio de -equncia da amostra e no da populao. No entanto, se imaginarmos o nmero n de elementos da amostra iumentando progressivamente, o nmero de classes iria aumentando pro:ressivamente e a amplitude do intervalo de classe iria diminuindo, o que -ansformaria o polgono de frequncia praticamente em uma figura polida, :+amada curva polida de frequncia. Esta figura nos dar uma noo da distribuio de frequncia da popu3920.

0

2

4

6

8

1

0

lnt. cl.

42

Estatstica 1

2.11 Exerccios Propostos1. Conceitue histograma para uma varivel discreta.2. Conceitue histograma para uma varivel contnua.

3. Quando a srie representa uma amostra qual o principal objetivo da construo do histograma ?4. Construa um histograma para a distribuio de frequncia:

5. Construa um histograma para a srie representativa da idade de 50 alunos do

primeiro ano de uma Faculdade:Idade (anos)Xl

Nmero de alunosfl

17 18 19 20 21

3 18 17 8 4

6. Construa um histograma para a srie representativa do nmero de acidentes por dia observados em determinado cruzamento, durante 40 dias:Nmero de acidentes por diaXl

Nmero de diasf i

O 1 2 3 4

30 5 3 1 1

7. Construa um histograma para a srie representativa de uma amostra dos salrios de 25 funcionrios selecionados em uma empresa.Classe1 2 3 4 5

Salrios1.000,oo - 1 1.200,OO - 1 1.400,OO - 1 1.600,OO - 1 1.800,OO - 1

US$1.200,oo 1.400,OO 1.600,OO 1.800,OO 2.000,OO

Nmero de funclon~riosfl

2 6 10 5 2

8. Construa o polgono de frequncia para a distribuio do problema anterior.

Sries Estatsticas

43

Construa um histograma para a srie representativa do saldo de 25 contas de pessoas fsicas em uma agncia em determinado dia.Classe Nmero de contas

o -1o.ooo,oo I4

10.000,00 1 20.000,OO 1 30.000,OO- 1

20.000,00 30.000,OO 40.000,OO

2

- 7 Construa o polgono de frequncia para a distribuio do problema anterior.

44

Estatstica 1

I .ooo,oo I .200,00I .400,00I .600,00 .aoo,oo2.000,00 I

Salrios

I .I

1.500,oo 1.700,oo 1.900,oo oo,oo 1.300,oo

Salrios

Sries Estatsticas

45

o

I o.ooo,oo

20.oo0,oo

30.000,OO

40.000,OO

Saldos

3f3.1

Medidas de Tendncia Central

Introduo

No estudo de uma srie estatstica conveniente o clculo de algumas medidas que a caracterizam. Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informaes muito valiosas com respeito a srie estatstica. Em suma, podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretao fornece-nos uma compreenso bastante precisa da srie. Um destes valores a medida de tendncia central. um valor intermedirio da srie, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o maior valor da srie. tambm um valor em torno do qual os elementos da srie esto distribudos e a posiciona em relao ao eixo horizontal. Em resumo, a medida de tendncia central procura estabelecer um nmero no eixo horizontal em torno do qual a srie se concentra. As principais medidas de tendncia central so: mdia, mediana e moda. No clculo de vrias medidas estatsticas, vamos utilizar somas de um grande nmero de parcelas. Para facilitar a representao destas somas, introduziremos o conceito de somatrio.

3.2

Somatrio - Notao Sigma (C )Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo x, podemos codific-la atravs da expresso:

+ ... + x , ,

+ x2

Medidas de Tendncia Central1 ide:

47

X - utilizada para representar as operaes de adio entre asparcelas.

xi - a parcela genrica

A parcela genrica obtida tomando-se os termos constantes em -:das as parcelas, no caso x. Para representar a parte varivel em cada zsrcela, no caso os ndices, utilizamos a letra i e indicamos a variao de i. 'do exemplo i varia, segundo nmeros inteiros consecutivos de 1 at n.)n

A expresso xi deve ser lida "soma dos valores xi, para i variande 1 at n." i= 1 Para que uma soma possa ser representada por esta notao funda~ e n t aque i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores l 2sdos. Assim, a soma:)

C

4X,

+ X2 + X4 #

Ci= 1

Xi

Exemplos:

48

Estatstica 1

Da mesma forma que codificamos a soma atravs da notao Sigma, podemos decodificar obtendo as parcelas componentes.4

Para obter a primeira parcela da soma:

C (3xJi= 2

basta substituir na parcela genrica 3x, a varivel i pela valor indicado no extremo inferior, i= 2.

A primeira parcela da soma 3x2.Para obter a segunda parcela, basta substituir na parcela genrica 3 x , a varivel i por 3. A segunda parcela vale 3x3. A ltima parcela da soma obtida quando substitumos na parcela genrica 3xi o valor de ipor 4, que o valor indicado no extremo superior.A ltima parcela 3x4.4

Portanto,

C (3x> = 3x2 + 3x3 + 3x4.i= 2

Exemplos:

3

3.,

C (x,i= 1

b) = (x, - b)

3

3

+

(x2 - b13

+ (x3 -

b13

Apesar de ser apenas um cdigo e no uma operao, a notao Sigma tem algumas propriedades que podem simplificar operaes. Entre elas destacamos:

Medidas de Tendncia Central1. O somatrio de uma soma a soma dos somatrios.

49

De fato, se desenvolvermosn

C (xi + yi)obtemos:i= 1

n

2. O somatrio de uma diferena a diferena dos somatrios.

A demonstrao anloga a anterior.3. O somatrio do produto de uma constante por uma varivel o produto da constante pelo somatrio da varivel.

n

Considerando a um nmero real qualquer e desenvolvendo ( a . x,), obtemos: i= I

50

Estatstica 1n

C ( a . x i ) = ax, +ax2+ax3+ ... +axn =i= 1

n

= a . (x1 + x 2 + x 3 + . . . + x n ) = a .

C xii= 1

4, O somatrio da diviso de uma varivel por uma constante a diviso do somatrio da varivel pela constante.

n

De fato, desenvolvendo

Um caso particular da notao Sigma a representao de uma soma cujas parcelas so todas iguais. Neste caso, as parcelas so constitudas por valores constantes e a varivel iser utilizada apenas para estabelecer o nmero de parcelas. O nmero de parcelas determinado pela diferena entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor indicado no extremo inferior, adicionando-se uma unidade. Assim, a soma 15 + 15 + 15 + 15 pode ser representado por:4

5

6

15 oupori= 1

C 15--

o u x 15i= 3

i= 2

1

I

Notque em todos os casos a diferena entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor de i indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que o nmero de parcelas.

Medidas de Tendncia Central

51

Desta forma, to:i= 2

3

constituda de (7 - 2) + 1 = 6 parcelas. Portan-

Nas aplicaes estatsticas estaremos sempre interessados na soma de todos os valores da srie. Portanto, i varia sempre de 1 a n e conseqentemente no precisaremos indicar na notao sigma a variao de i.i

Desta forma, identificaremos:

Isto facilita a apresentao das frmulas de clculos.

3.3I.

Exerccios Propostos

Escreva na notao Sigma, as somas: a) x l + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 6) x 3 + x 4 + x 5 + x s c) (x, + 2) + (x* + 2) + (x3 + 2) d) (x,- 10)+(x2- 10)+(x3- 10)+(x4- 10)

e) (xI - 3)2 + (x2 - 312 + (x3- 3' ) (x,-15ff,+(x2-15ff2+(x3-15ff3 2. Escreva as parcelas da soma indicada.

523.

Estatstica 1Calcule para a tabela abaixo, o valor numrico das somas indicadas:

I

4. Usando as propriedades do somatrio, desenvolva:

5. Usando a tabela do problema 3, verifique que:

Medidas de Tendncia Central

53

SESPOSTAS

3.

a)

C xi fi = 60 C xiC fi = 252.

Portanto,

xi fi

#

C xi

fi

c)

C 4 = 125 (C x$

= 441. Portanto,

4 + (Cxj2

54

Estatstica 1

3 4 Mdias .Do ponto de vista terico, vrios tipos de mdia podem ser calculados para uma massa de dados. Focalizaremos neste estudo as mdias aritmticas geomtricas e harmnicas.

3.4.1

MDIA ARITMETICA SIMPLES a mdia aritmtica

Para uma sequncia numrica X x,, x2, ......, x , simples, que designaremos por X definida por:

Exemplo: Se X 2, 0, 5, 3, ento

X= -

2+0+5+34

Para uma sequncia numrica X x,, x2: ......, xn afetados de pesos p,, p2, ......., pn, respectivamente, a mdia aritmetica ponderada, que designaremos por definida por:

X,

: Exemplo: Se X 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, ento:

Medidas de Tendncia Central

55

3.4.3

MDIA GEOMTRICA SIMPLES

Para uma sequncia numrica X xl, x2, ......, xn, a mdia geomtrica definida por: simples, que designaremos por

%

Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, ento:

3.4.4

MDIA GEOMTRICA PONDERADA

Para uma sequncia numrica X xl,x2, ..., X afetados de pesos pl, : , c)2,..2 pn respectivamente, a mdia geomtrica ponderada que designaremos por Xg definida por:

Exemplo: Se X: 1, 2,5 com pesos 3, 3, 1 respectivamente, ento:

3.4.5

MDIA HARMONICA SIMPLES

Para uma sequncia numrica de elementos no nulos X x,, x2,..., x,, : a mdia harmnica simples, que designaremos por definida por:

%,

Note que a mdia harmnica o inverso da mdia aritmtica dos inversos dos elementos. : Exemplo: Se X 2, 5 , 10, ento:

3.4.6

MDIA HARMONICA PONDERADA

.

.

Para uma sequncia numrica de elementos no nulos X xl, x2,..., xn : afetados de pesos pl, p2, p respectivamente, a mdia harmnica pondera... , da que designaremos por definida por:

xh

Medidas de Tendncia Central Exemplo: Se X: 2, 4, 12 com pesos 3, 2,2 respectivamente, ento:

57

Observando-se que: 1. A mdia harmnica aplica-se naturalmente quando se quer a obteno de uma mdia cuja unidade de medida seja o inverso da unidade de medida dos componentes da sequncia original. 2. A mdia geomtrica s indicada para representar uma srie de valores aproximadamente em progresso geomtrica.3. Os casos anteriores no so muito frequentes nas aplicaes. Va-

mos restringir o desenvolvimento de mdias ao caso de mdia aritmtica, que a mdia mais utilizada nas aplicaes.

3.5I

Clculo da Mdia Aritmtica

f T a s o- DADOS BRUTOS OU ROLNeste caso, devemos utilizar uma mdia aritmtica simples:

Exemplo: Calcule a mdia da varivel X: 3, 5 , 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20,

Interpretago: O valor mdio desta srie 12, ou seja, os valores desta srie concentram-se em torno do valor 12.

58

Estatstica 1

2 T a s o - VARIVEL DISCRETASe os dados esto apresentados na forma de uma varivel discreta, utilizaremos a mdia aritmtica ponderada, considerando as frequncias simples fi como sendo as ponderaes dos elementos xi correspondentes. C x, P, A frmula de clculo de Xque originalmente era 2 = 7 passa a L ri ser escrita como:rn

Exemplo: Determinar a mdia da distribuio:

Soluo: Inicialmente devemos somar a coluna de frequncias simples para obter o nmero total de elementos da srie: C fi = 10 elementos.Em seguida, utilizamos a prpria disposio da tabela para efetuar os produtos xi f , acrescentando estes valores dispostos em uma nova coluna. Em seguida somamos os valores desta coluna.

Na sequncia substitumos estes valores na expresso Xobtendo:

Medidas de Tendncia Central

59

Interpreta~o: valor mdio da srie 5,6, isto , 5,6 o ponto de O ::~centrao dos valores da srie.

F Caso - VARIVEL CONT~NUASe os dados esto apresentados na forma de uma varivel continua, -:-izaremos a mdia aritmtica ponderada, considerando as frequncias sim: ss das classes como sendo as ponderaes dos pontos mdios destas :asses. O ponto mdio, de cada classe definido por:

A frmula de clculo de Rque originalmente era 2 = s r escrita como:

2

Xi

-

Pi

passa a

L Pi

Exemplo: Determinar a mdia da distribuio: Classe 1 2 34

Int. cl.

21 51 81 11 I

5 8 1114

fi 1 10 8 1

Solu~o: Inicialmente, devemos somar a coluna das frequncias simples, obtendo fj. = 20. Na sequncia, calculamos os pontos mdios de classe: o ponto mdio = 3,5; O ponto mdio da segunda classe da primeira classe = 6,5; o ponto mdio da terceira classe = 9,5 e o ponto mdio da 2 11+14 quarta classe 2 - 12,5. -

60

Estatstica 1

Estes valores sero dispostos em uma nova coluna na tabela. Como no caso anterior, usaremos a prpria tabela para a sequncia de clculos.Classe1 2 3 4

Int. cl.21 51 81 11 I5 8 11 14

fi 1 108 1

xi3,5 6,5 9,5 12,5

xi fi3,5 65 76 12,5

xj fi 157 Portanto, X = -- - - 7,85 20 C fi

Interpretao: O valor mdio desta srie 7,85, isto , 7,85 o valor em torno do qual os elementos desta srie se concentram. COMENTRIO: Quando agrupamos os dados na disposio de uma varivel contnua, passamos a trabalhar com os dados sem conhecimento de seus valores individuais. Note no exemplo acima, que o mximo que podemos afirmar com respeito ao menor valor desta srie que ele um valor maior ou igual a 2 e menor que 5. Mas no conhecemos seu valor individualizado. O mesmo ocorre com todos os outros valores da srie. Este fato que nos leva a substituir as classes pelos seus pontos mdios ao calcular a mdia da srie.

3.6

Exerccios Propostos

1. Calcule a mdia aritmtica da srie:

(a)X: 1,2,8, 10, 12, 16,21,30. (b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20. (c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15. 2. Um produto acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote s aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compem determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,O; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote ser aprovado? Qual o peso mdio do produto? 3. Calcule a mdia geomtrica para as sries: X: 1, 2, 4, 7, 16 Y: 81, 26, 10, 3, 1

Medidas de Tendncia Central2

61

Calcule a mdia harmnica da srie:

II

Um produto vendido em trs supermercados por $ 13,00/kg, $ 13,20/kg e $ 13,50/kg. Determine quantos $/kg se paga em mdia pelo produto. Um produto vendido em trs supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg e $ 135/kg. Determine, em mdia quantos quilos do produto se compra com $1,00. Calcule a mdia harmnica da srie 130, 132, 135. Calcr~le mdia aritmtica da srie: aI

?

.'

Calcule a mdia geomtrica da srie anterior..: Calcule a mdia harmnica da srie anterior.

-

Verifique pelos clculos anteriores qual relao vlida entre estas mdias.

'2.Uma loja vende cinco produtos bsicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale respectivamente $200,00; $300,00; $500,00; $ 1.000,OO; $ 5.000,OO. A loja vendeu em determinado ms 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi o lucro mdio por unidade comercializada por esta loja? -3. Um caminho cujo peso vazio 3.000 kg ser carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminho pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 kg. (a) Se este caminho tem que passar por uma balana que s permite passagens a caminhes com peso mximo de 15 toneladas, este caminho passar pela balana? (b) Qual o peso mdio das caixas carregadas no caminho?1

I

'2.

Calcule a idade mdia dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos.

7 -

62

Estatstica 1Idade (anos)Xl

NQde alunosfl

17 18 19 20 21

3 18 17 8 4

15. Calcule o nmero mdio de acidentes por dia em uma determinada esquina.N q e acidentes por dia: x,O 1 23 4

NQde diasfr

30 5 3 1 1

16. O salrio de 40 funcionrios de um escritrio est distribudo segundo o quadro

abaixo. Calcule o salrio mdio destes funcionrios.Classe1 2 3 4 5 6

Salrios $400,OO -1 500,OO - 1 600,OO 1 700,OO -1 800,OO -1 900,OO -1 500,OO 600,OO 700,OO 800,OO 900,OO 1.000,OO

NQ funcionhrios de

r,12 15 8 3 1 1

17. Uma imobiliria gerencia o aluguel de residncias particulares, segundo o quadro abaixo:Classe1 2 3 4 5

Aluguel $O- I 200,OO -1 400,OO -1 600,OO 1 800,OO -1200,OO 400,OO 600,OO 800,OO 1. O , O O OO

NQde casasfl

30 52 287

3

Calcule o aluguel,mdiopara estas residncias.18. Uma empresa de aviao observou em seus registros recentes, o tempo de mo-

de-obra gasto na reviso completa de um motor de jato.

O seguinte quadro foi obtido:Classe1 2 3 4 5

Tempo de mo-de-obra (horas)

N de motores of~

o -4 I4 -1 8I 12 1 16 -1 8 12 16 20

1 51O 12 4

Medidas de Tendncia Central

63

a) Determine o nmero mdio de horas de mo-de-obra necessrio para a reviso de cada motor. b) Com base nesta informao, qual deve ser o tempo total de mo-de-obra para a reviso de dez motores que aguardam reviso? c) Se a empresa dispe no momento de dois homens trabalhando 12 horas por dia nestas revises conseguir provavelmente revisar estes dez motores em quatro dias??. Uma empresa de mbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um levanta-

mento do consumo de seu principal produto em vrios supermercados obtendo em determinado ms, a tabela:Classe1 2 3 4 5 6

Nmero de unidades consumidasO -1.000 I 1.000 - 1 2.000 3.000 2.000 - 1 3.000 -1 4.000 5.000 4.000 -1 5.000 I 6.000

N de supermercados ofi

1o 50 200 320 150 30

Determine o consumo mdio deste produto'por supermercado pesquisado.

13. Uma pesquisa para determinar a eficincia de uma nova rao para animais, emtermos de ganho de peso, mostrou que aps um ms em que a rao normal foi substituda pela nova rao, os animais apresentaram um aumento de peso segundo a tabela:Classe1 2

Aumento de peso em kg1 1I -2 2I 3 4 3 -1 4 -1 5

Ngde animaisfi

o -1

1 5 35 37 28

a) Calcular o aumento mdio de peso por animal. b) Se a rao antiga proporcionava em iguais circunstncias um aumento mdio de peso de 3.100 kg/animal, esta nova rao pode a princpio ser considerada mais eficiente?

1. Refaa o problema anterior acrescentando a todos os limites de classe mais 2 kg. 'Compare a mdia com a mdia anterior,

1

=xercicios Especiais2. Prove que se X x,, x2,,.., xn e a E R, ento x :

+

a =

X+

a

13. Prove que se X x,, x2,..., xn e a E R, ento x - a = :25. Prove que se X x,, x2,..., xn , a E R e a # 0, ento :

x- a=

22. Prove que se X: x,, x2,..., xn e a E R, ento C = a . F X

'Ya

64

Estatstica 1

26. Mostre que a mdia geomtrica simples calculada por

X9 = 4x, x2 ... xn tambm pode serkg=C

n

-

X = e9

i n

Z ln x

fi

27. Mostre que a mdia geomtrica ponderada

4x,

1 '

x,% ...

xnfn

tambm

pode ser calculada por:

-

Z (f, ln X )

9 z xifi 28. Mostre que a mdia ponderada 2 = pode tambm ser calculada no caso de uma varivel continua pela frmula: fi

X = e "'i

'

onde: xo o ponto mdio de classe de uma classe qualquer escolhida. I ai so valores de uma nova varivel obtidos pela transformao ai = h Esta frmula chamada Processo Breve do Clculo da Mdia. 29. Calcule a mdia da tabela do problema 16, usando o Processo Breve. 30. Calcule a mdia da tabela do problema 17, usando o Processo Breve.

RESPOSTAS1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1 O. 17. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.a) 12,5

b) 9,857

c) 8,145

Sim. = 4,25 a) 3,8946 b) 9,1225 a) 9,6 b) 3,36 13,33/kg O0075585 kg/$ , 132,3015kg 3,6 3,478 3,352 d 682,35/pea a) No b) 6,385 kg 18,84 anos/aluno 0,45 ac/dia $572,5/f $335/res a)11,625h b) 116,25h C) no 3.342,l unid. a) 3.37 7 kg b) Sim. a) 5,311 kg. A m6dia da nova srie a mdia da srie antiga acrescida de duas unidades. b) Sim.

Medidas de Tendncia Central

65

L xi - - xi + -na - + C = F + a = a n n n Da mesma forma demonstram-se, usando propriedades do somatrio, os prximos exerccios.

X =

n

4 xl 3 ... x, . Portanto,

In Xg = In (x, 3 ... x,)

-

n. Usando as propriedades do logaritmo:

1

ln

1 Xg = n

(ln x,+In % + . . . + h x,)

Clnxi I n X =. Aplicando a operao antilogaritmo, obtemos: n

- . x9 = -

C'i

4 x, '1 3% xntn . portanto, ...$5 ... x,'n)q . Usando as propriedades do logaritmo:f

ln Xg = ln (x,1 '

( x l f i ~... x,n) = 5 C'i 1 f f In X g = - ( I n x , l + I n x22+ ...+ Inx,'n)= C 'i 1 ln X = (f, In x, f, + In x2 + ... + f, ln x,) = g Cf, - CfiInxj I n X =-. Aplicando a operao antilogaritmo obtemos: g C'ig

ln X =

1 - ln

-

Z a,5 23. X = xo + - h . Como .L

r;

q

=

- substituindo-se, obtm-se: , h

xj - xo

[ X=xo+

h Cf,

f

.h =

1 x O C ~ +h- C ( x j - x J f , h Cf,

66

Estatstica 1

3.7

Mediana

um valor real que separa o rol em duas partes deixando a sua esquerda o mesmo nmero de elementos que a sua direita. Portanto, a mediana um valor que ocupa a posio central em uma srie.Notao: A mediana ser denotada por md

3.8

Clculo da Mediana

1" Caso

- DADOS BRUTOS OU ROL

Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o Rol. Em seguida determinamos o nmero n de elementos do Rol. 1.1. Se n impar - O Rol admite apenas um termo central que ocupa a posio " Y 0 valor do elemento que ocupa esta posio a mediana.

( 7 '1+

Exemplo: Determinar a mediana do conjunto:

Soluo: Ordenando estes elementos obtemos o rol. X: 2, 8, 12, 12, 20, 20,23.

[F] 40. 0=

O nmero de elementos n = 7 (mpar), a posio do termo central A mediana o quarto elemento do Rol: md = 12.

O valor 12 deixa a sua esquerda e sua direita o mesmo nmero de elementos, sendo, portanto, o elemento central da srie. Quando lidamos com sriss com urn grailde nmero de elementos, a quantidade de elementos esquerda direita aproximadamente 50% do genrica para a total de elementos, o que conduz a veguinie interpreta~o mediana: "50% dos valores da srie so valores menores ou iguais a 12 e 50% dzs valores da srie so valor?s maiores ou iguais a 12".1.2. Se n par - Neste caso, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posies ("/2)O e ("/2 + l)O. A mediana convencionada como sendo a mdia dos valores que ocupam estas posies centrais.

Medidas de Tendncia Central

67.

Exemplo: Determinar a mediana da srie: X:7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13. Soluo: Ordenando estes elementos, obtemos o rol: X 7, 8, 9, 10, 13,

-3,15,21:O nmero de elementos n = 8 (par). As posies dos termos centrais so: (/) 82"

44"e

(8/2

+ 1)" s5"

O elemento que ocupa a quarta posio na srie 10 e o elemento

z.ie ocupa a quinta posio 13. Portanto,

Interpretao: 50% dos valores do rol so valores menores ou iguais a

-: e 50% dos valores do rol so valores maiores ou iguais a 11,5. ,5P Caso - VARIVEL DISCRETASe os dados esto apresentados na forma de uma varivel discreta, 5'ss j esto naturalmente ordenados. Assim, basta verificar se o nmero de elementos da srie mpar ou i z r e aplicar o mesmo raciocnio do caso anterior. Para facilitar a localizao dos termos centrais, construmos a frequns acumulada da srie. Exemplo 1: Determinar a mediana da srie:

Soluo: O nmero de elementos da srie n = C fi = 23 (mpar). Portanto, a srie admite apenas um termo central que ocupa a posio 3 -)-4 1 o = 129.2

Construindo a frequncia acumulada podemos localizar com facilidade :dcimo segundo elemento da srie.

68

Estatstica 1

Note que o elemento que ocupa a primeira posio na srie 2. Em seguida aparecem quatro elementos iguais a 5. Estes elementos ocupam na srie as posies de segundo a quinto. Depois aparecem mais dez elementos iguais a 8 que ocupam na srie as posies de sexto a dcimo quinto. Conseqentemente, o elemento que ocupa a dcima segunda posio vale 8, e podemos afirmar que md= 8.Interpretao: 50% dos valores da srie so menores'ou iguais a 8 e 50% dos valores da srie so maiores ou iguais a 8. Exemplo 2: Calcular a mediana da srie:

Soluo: O nmero de elementos da srie 32 (par) e a srie admite dois termos centrais que ocupam as posies: (22" 3/) leO e (32/2 + l)o = 17.. Para localizar estes elementos, construmos a frequncia acumulada da srie.

Medidas de Tendncia Central

69

As trs primeiras posies da srie so ocupadas por elementos iguais2

3.

Da quarta a oitava posio os elementos so iguais a 1. Da nona a :+cima sexta posio os elementos so iguais a 2. Da dcima stima a - lsima sexta posio os elementos valem 3. Portanto, o elemento que ocupa a dcima sexta posio 2 e o ele-rnto que ocupa a dcima stima posio 3 e, consequentemente, a me: m a :

[email protected]: 50% dos valores da srie so valoreqmenores ou iguaisi e 50% dos valores da srie so valores maiores ou i&ais a 2,5.

F Caso - VARIVEL CONT~NUASe a dados so apresentados na forma de uma varivel contnua, o ~ciocnio anterior no pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada a zzsio da mediana na srie, o valor do elemento da srie que ocupa esta i x i o no identificvel. Utilizaremos um exemplo, para generalizar a frmula de clculo da -ediana. Considere a distribuio de frequncia:Classe

Int. cl.

12 3 4

5

31 61 91 12 1 15 1

6 9 12 15 18

fj 2 58 3

1

O nmero de elementos da srie n =

f = 19.9,5".,

A mediana, por definio, separa o nmero de elementos da srie em dois grupos, contendo cada um deles 50% dos elementos.Portanto, a posio da mediana na srie "/2. No exemplo (I%)"O valor decimal 9,5 indica que a mediana um elemento posicionado rntre o nono e o dcimo elemento da srie.

70

Estatstica 1

Construiremos a frequncia acumulada para identificar em qual classe esto situados o nono e o dcimo elemento da srie.

Classe1 2 3 4 53 6 9 12 15

Int. c . l1 1 1 1 16 9 12 15 18

fi 2 5 83 1

fA 2 7 15 18 19

Note que o nono e o dcimo elementos esto posicionados na terceira classe, o que indica que a mediana um valor compreendido entre 9 e 12. A classe que contm a mediana ser identificada como classe mediana. Este intervalo de trs unidades contm oito elementos. Supondo que eles esto uniformemente distribudos neste intervalo, ento poderemos dividir este intervalo de modo proporcional a posio da mediana na srie.

15- 7 9,5-7 Ou seja: -- -Simplificando: . 3 X

Portanto:md=9+x

Observando na frmula em destaque acima que:

-

9 o limite inferior da classe mediana.

9,5 a metade dos elementos da srie, isto , "/2. 7 a frequncia acumulada da classe anterior a classe mediana. - 8 a frequncia simples da classe mediana.

Medidas de Tendncia Central

71

-

3 a amplitude do intervalo de classe, poderemos generalizar a

frmula de clculo da mediana para varivel contnua:

- limite inferior da classe mediana. Im, n - nmero de elementos da srie.Fant- Frequncia acumulada da classe anterior a classe mediana.fmd

- frequncia simples da classe mediana.

h - amplitude do intervalo de classe. COMENTRIO: Devido as condies impostas na obteno da frmua da mediana, fica evidente que o valor obtido pela frmula um valor zproximado do verdadeiro valor da mediana da srie.De modo geral, todas as medidas calculadas para uma varivel contl u a sero valores aproximados para estas medidas, uma vez que ao agrupar70s os dados segundo uma varivel contnua, h perda de informaes quan:3 a identidade dos dados.

3.9.

Exerccios Propostos

Calcule a mediana da sequncia: a) X:2,5,8, 10, 12, 15,8,5, 12 b) Y:3,4;5,2;4,7;6;8,4;9,3;2,1;4,8

2.

Interprete os valores obtidos no exerccio anterior.

3. Calcule a mediana da distribuio.

72

Estatstica 1

4. Calcule a mediana da distribuio do nmero de acidentes por dia, observados em determinado cruzamento, durante 40 dias.por dia de dias

4

1

5. Interprete o valor da mediana obtida no problema anterior:6. Calcule a mediana para a srie representativa da idade de 50 alunos de uma

classe do primeiro ano de uma Faculdade.

7. Inferprete o valor obtido para a mediana no problema anterior.

8. Uma mquina produz peas que so embaladas em caixas contendo 48 unidades. Uma pesquisa realizada com 59 caixas, revelou a existncia de peas defeituosas seguindo a tabela:NQde peas defeituosas por caixa

Nmero de caixas20 15 12 6 4 2

o1 2

34 5

Determine o valor mediano da srie.9.

Interprete o valor obtido no problema anterior.

10. Determine o valor mediano da distribuio a seguir que representa os salrios de 25 funcionrios selecionados em uma empresa.

IMedidas de Tendncia Central 73

0Classe Salrios $ NP de funcionrios10 5 2 1 .ooo,oo 1 1.400,OO 1.200,OO 1 1.600,OO 1 1.800,OO 1 1.200,oo 1.600,OO 1.400,OO 4 5 1.800,OO 2.000,OO'

'. Interprete o valor mediano obtido no problema anterior.dia, e obteve o seguinte quadro:Classe1 2 3 4 5 6

-2. Uma loja de departamentos, selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um

Consumo por nota $OI - 50 1O 0 50 1 100 1 150 150 1 200 200 1 250 300 250 1

N de notas o1O 28 12 2 1 1

Determine o valor mediano da srie.

- 3. Interprete o valor obtido.-4O departamento de recursos humanos de uma empresa, tendo em vista o aumento de produtividade de seus vendedores, resolveu, premiar com um aumento de5% no salrio, a metade de seus vendedores mais eficientes. Para isto, fez um

levantamento de vendas semanais, por vendedor, obtendo a tabela:Classe Vendas $10.000- 1 20.000- 1 30.000- 1 40.000 -1 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000

NP de vendedores

3 4 5

27 31 1O

A partir de qual volume de vendas o vendedor ser premiado?

- 2 . O consumo de energia eltrica verificado em 250 residncias de famlias da classe mdia, com dois filhos, revelou a distribuio:Classe1 2 3 4 5 6 7

Consumo kwhOI - 50 50 1 1O 0 100 1 150 200 150 1 200 1 250 300 250 -1 350 300 1

NQ familias de2 15 32 47 50 80 24

Calcule a mediana da distribuio.'

3. Interprete o valor obtido.

74

Estatstica 1

RESPOSTAS1. 2. a)m,=8 b)m,=5 a) 50% dos valores da srie so menores ou iguais a 8 e 50% so valores maiores ou iguais a 8. b) 50% dos valores da srie so menores ou iguais a 5 e 50% dos valores da srie so maiores ou iguais a 5. 3. 4. 5. 6. m, = 5. md= O Em 50% dos dias observados no ocorreu acidente e em 50% dos dias observados ocorre O ou mais acidentes por dia. md=19. 50% dos alunos desta sala tem 19 anos ou menos e 50% tm 79 anos ou mais. 50% das caixas contm uma ou nenhuma pea defeituosa e 50% contm uma ou mais peas defeituosas.

7.9.

10. m d = $ 1.490. 11. 50% dos funcionrios desta empresa recebem $1.490 ou menos e 50% recebem $1.490 ou mais. 12. m, = $80,36. 13. 50% das notas apresentavam consumo menor ou igual a $ 80, 36 e 50% apresentavam consumo maior ou igual a $80,36. 14. md=$30.161,29 15. md= 229 Kwh. 16. 50% das residncias da classe m6dia com dois filhos consomem 229 kwh ou menos e 50% consomem 229 kwh ou mais.

3.10 Moda o valor de maior frequncia em um conjunto de dados.Nota~o: moda ser denotada por m,. A

3.11 Clculo da Moda1" Caso - DADOS BRUTOS OU ROL

Basta identificar o elemento de maior frequncia.

Exemplos:1. X:2,8,3,5,4,5,3,5,5,1O elemento de maior frequncia 5. Portanto, m, unimodal. 5. uma sequncia

Medidas de Tendncia Central

75

Esta sequncia apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como ele- o ~ t o s maior frequncia. Portanto, mo = 6 e mo = 10. uma sequncia de : -odal. Poderemos encontrar sequncias trimodais, tetramodais e assim 'su-,=sivamente. Estas sequncias sero chamadas de forma genrica por se: 3ncias polimodais. :--e

Observe que todos os elementos da srie apresentam a mesma fre113ncia. Nesta situao, no h um elemento que se destaque pela maior --lquncia, e diremos que a srie amodal.

P Caso - VARIVEL DISCRETAEste caso ainda mais simples. Note que na apresentao da varivel as frequncias j esto computadas na segunda coluna. Basta identi' x r o elemento de maior frequncia.1 screta,

Exemplos:

20

A maior frequncia observada na segunda coluna 8 e corresponde elemento 3 da srie. Portanto , uma srie unimodal com mo = 3.2.

76

Estatstica 1

A maior frequncia observada na segunda coluna 5 e corresponde aos valores 2 e 4. Portanto, uma srie bimodal com mo = 2 e mo= 4.

Observe que todos os elementos da srie possuem a mesma frequncia. Portanto, a srie amodal.

Para determinar a moda de uma varivel contnua, podemos optar por vrios processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber.1" Processo: MODA DE PEARSON

Segundo PEARSON, a moda de uma varivel contnua pode ser obtida atravs do valor da mdia e da mediana:

Classe1 2 3 4

Int. cl.

fj

o110 1 20 1 30 1

1o 20 30 40

1 3 6

2

Medidas de Tendncia Central

77

Solupo: Clculo da mdia:

Classe1 2 3 4 0 10 20 30

Int. cl.

1 11 1

10 20 30 40

fi 1 3 6 2

xi5 15 25 35

xi fj 5 45 150 70

Clculo da mediana: Classe1 2 3 4

Int. cl.

o110 1 20 1 30 1

10 20 30 40

fi 1 3 6 2

Fi1 4 1O 12

A mediana corresponde ao sexto elemento da srie. o sexto elemento i a srie est na terceira classe. Esta a classe mediana. A mediana vale:

78

Estatstica 1

Conseqentemente:

Note que a moda est situada na terceira classe que a classe de maior frequncia da srie. A classe de maior frequncia ser chamada de classe modal.

2 Processo: MODA DE KING "KING levou em considerao, em sua frmula, a frequncia simples da classe anterior e a frequncia simples da classe posterior a classe modal.

onde: Imo fpostfant h limite inferior da classe modal. frequncia simples da classe posterior a classe modal. frequncia simples da classe anterior a classe modal. amplitude do intervalo de classe.

Exemplo: Calcule a moda de King para a distribuio:

Classe1 2

Int. cl.

fj1o 20 30 40

o110 1 20 1 30 1

1

36

34

2

Soluo: A classe modal a de maior frequncia portanto a terceira classe e a moda vale:

~

-. I 0 = 24 3+2 Interpretao:24 o valor mais frequente nesta distribuio.mo = 20

+

2

Medidas de Tendncia Central

79

3"Processo: MODA DE CZUBERCZUBER levou em considerao, em sua frmula a frequncia simples da classe anterior, a frequncia simples da classe posterior, alm da frequncia simples da classe modal.

, portanto, uma frmula mais completa que a frmula de King.

onde:

Imo - limite inferior da classe modal. fmo - frequncia simples da classe modal. fant - frequncia simples da classe anterior a classe modal. fpost - frequncia simples da classe posterior a classe modal. h - amplitude do intervalo de classe.Exemplo: Calcule a moda de Czuber para a distribuio:Classe1 2 3 4

Int. cl.

o110 1 20 1 30 1

10 20 30 40

fj 1 3 6 2

Soluqo: A classe modal a terceira classe, portanto, a moda vale:

Interpreta~o: 24,29 o valor mais frequente nesta distribuio.

COMENTRIO: A frmula de Pearson tem normalmente interesse terico. Se no dispusermos da mdia e da mediana da distribuio, a frmula de Pearson a mais trabalhosa. A frmula de King a mais simples delas, mas no a mais precisa. A frmula de Czuber mais precisa que a frmula de King, pois leva tambm em considerao a frequncia da classe modal.

80

Estatstica 1

Observe que no exemplo utilizado o clculo da moda pelos trs processos determinou trs valores diferentes. claro que os trs valores obtidos so valores aproximados do verdadeiro valor da moda. Normalmente o mais confivel o valor da moda de Czuber. As frmulas de King e Czuber podem ser justificadas, de modo semelhante, com o histograma da distribuio. a) Frmula de King

Identifica-se a classe modal como sendo a de maior altura (frequncia) e caracteriza-se a seu limite inferior I e seu limite superior Lmo mo'

Projeta-se a frequncia da classe posterior na reta representativa da frequncia da classe anterior obtendo-se o ponto A. Em seguida projeta-se a partir do L no sentido vertical, uma distncia igual a frequncia da classe mo' anterior obtendo o ponto B.O segmento de reta unindo os pontos A e B intercepta o eixo horizontal no-pontoP, que identifica-se como sendo a moda da distribuio.

A amplitude do intervalo de classe h e est dividida em duas partes. Se chamarmos a prime.iraparte de x, ento a segunda parte ser h - x.

Medidas de Tendncia Central Assim, observando a figura conclumos que:

81

Como os tringulos ACP e PDB so semelhantes (A, A, A), os lados530 proporcionais.

Ento,

ACDB

-

X

h- x'

Usando propriedade das propores, podemos afirmar:

de onde conclui-se que:

Lembrando que AC = fpOst e que DB = Gnt,obtm-seX =

fpot fant+

.h

fpot

Substituindo o valor de x na expresso mo=Imo

+ x obtm-se:

82

Estatstica 1

Imo M

Lmo

Int. cl.

Identifica-se a classe modal e caracteriza-se o seu limite inferior I e o mo seu limite superior L .mn

Unindo-se os pontos A e D e os pontos B e C, os segmentos de reta determinados se interceptam no ponto P. Em seguida projeta-se verticalmente este ponto no eixo horizontal obtendo o ponto M, que identifica-se como sendo a moda da distribuio.A amplitude do intervalo de classe h e est dividida em duas partes. Se chamarmos a primeira parte de x, ento a segunda parte ser h - x.

Estes valores correspondem as alturas dos tringulos ABP e CDP respectivamente. * Como estes tringulos so semelhantes (A, A, A), os lados e as alturas so proporcionais. Ento:

AB CD

-

X

h- x'

Usando a propriedade das propores, podemos afirmar:

Medidas de Tendncia Central

83

1

3

onde se conclui que:

-

fp,

Lembrando que AB = A E - BE = f - fant e que CD = CF - DF = , obtm-se: mo

II

x =

fmo

- fant

h =

mo

- fant

.h

fmo - fant+ fmo - fpost

*fmo - ( h n t + $os>

Como a moda identificada como sendo o ponto M da figura, poderios afirmar que:

Substituindo o valor de x obtido anteriormente nesta expresso, a moda fica escrita:

m = I,fmo

- (fant + fpost)

OBSERVAO: Se a classe modal for a primeira classe, ento fant= O e se a classe modal for a ltima ento fpost = 0.

3.12 Utilizao das Medidas de Tendncia CentralNa maioria das situaes, no necessitamos calcular as trs medidas de tendncia central. Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da srie. Surge, ento, a questo: qual medida deve ser utilizada?

84

Estatstica 1

A medida ideal em cada caso aquela que melhor representa a maioria dos dados da srie. Quando todos os dados de uma srie estatstica so iguais, a mdia, a mediana e a moda coincidiro com este valor e, portanto qualquer uma delas representar bem a srie. No entanto, este caso dificilmente ocorrer na prtica. Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a srie e conseqentemente a medida ir representar bem, apenas os dados da srie que se situam prximos a este valor. Os dados muito afastados em relao ao valor da medida no sero bem representados por ela. Desta forma, se uma srie apresenta forte concentrao de dados em sua rea central, a mdia, a mediana e a moda ficam tambm situadas em sua rea central representando bem a srie como na figura a). Como a mais conhecida a mdia, optamos por esta medida de tendncia central. Concluindo, devemos optar pela mdia, quando houver forte concentrao de dados na rea central da srie.

i

Se uma srie apresenta forte concentrao de dados em seu incio, a mediana e a moda estaro posicionadas mais no incio da srie, representando bem esta concentrao. A mdia que fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da srie se deslocar para a direita desta concentrao no a representando bem. Como a mais conhecida entre mediana e moda a mediana, esta ser a medida indicada neste caso. A mesma situao ocorre se a srie apresenta forte concentrao de dados em seu final. Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentrao de dados no incio ou no final da srie. A moda deve ser a opo como medida de tendncia central apenas em sries que apresentam um elemento tpico, isto , um valor cuja frequncia muito superior a frequncia dos outros elementos da srie.

Medidas de Tendncia Central

85

3.13 Exerccios Propostos.Calcule a moda das sries abaixo: a) X:2,3,5,4,5,2,5,7 b) Y:4, 12,5, 9, 12,4, 3 c) J: 7, 7, 7, 7, 7 d) Z:4,5,6,6, 6, 7,8,8,8,9, 10, 10, 10, 11 e) t : 2 5, 9, 8, 10, 12. 2. Interprete os valores obtidos na 1"uesto.3. Calcule a moda da distribuio:

4.

Interprete o valor obtido no problema anterior:

5. Calcule a moda da srie:

6. Calcule a moda da distribuio do nmero de acidentes dirios, observados em um cruzam-ento, durante 40 dias:NQde acidentes por dia

NQ dlas de

O 1 2 3 4

30 5 3 1 1

7. Interprete o valor obtido no problema anterior.

8. Calcule a moda da srie representativa da idade de 50 alunos de uma classe deprimeiro ano de uma Faculdade:Idade (anos) N de alunosQ

20

9.

Interprete o valor obtido no problema anterior.

86

Estatstica 1

10. Calcule a moda de King para a distribuio representativa dos salrios de 25 funcionrios selecionados em uma empresa.Classe Salrios $1.ooo,oo -1 1.200,OO - 1 1.400,OO -1 1.600,OO -1 1.800,OO - 1 1.200,oo 1.400,OO 1.600,OO 1.800.00 2.000,OO

NQde funcionrios

4 5

1O 5 2

11. Calcule a moda de Czuberpara a tabela do problema anterior.

12. Interprete o valor da moda obtida no problema anterior.13. Calcule a moda de King para a distribuio de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:Classe1 2 3 4 5 6

Consumo por nota $O -1 50 -1 100 -1 150-1 200 -1 250 -1

N de notas o10

50 1O 0 150 200 250 300

28 12 2 1 1

14. Calcule a moda de Czuber para a tabela do problema anterior.15. Interprete o valor obtido no problema anterior.

16. Calcule a moda de Czuber para a distribuio abaixo que representa a nota de 60 alunos em uma prova de Matemtica:Classe Notas NQ alunos de

4

41 6 -1 8 -1

1O

20 3

17. Interprete a moda de Czuber do problema anterior.18. A distribuio abaixo representa o nmero de acidentes de trabalho, por dia, em

uma indstria Petroqumica, verificados durante um ms. Calcule a Moda de Czuber para a distribuio.Classe NQde acidentes NQde dias20 6

4

1

1

o- I2 -1 4 -1, 6

2 4 6 8

31

19. Interprete o valor obtido no problema ant