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3. PROBABILIDADES 1. PROBABILIDADES:

a. Reviso dos modelos probabilsticos.

b. Distribuies discretas de probabilidades.

c. Distribuies contnuas de probabilidades.

3.1 Comeando Popularmente, a palavra estatstica tem o significado singelo de coleo de dados numricos sobre determinado assunto. comum ouvirmos falar de estatsticas da inflao e estatsticas do campeonato de futebol, entre diversas outras. No entanto, a Estatstica no simplesmente uma tcnica de coleta e de apresentao de dados, mas uma cincia com a qual se procura tirar concluses a partir de dados numricos originados de observaes. Verificamos que o objetivo da Estatstica fazer inferncias a respeito de determinada populao, a partir de uma amostra dessa populao, como um instrumento auxiliar na tomada de deciso em condies de incerteza.

Neste captulo, veremos que o objetivo tambm antever o desconhecido, quantificando-o adicionalmente a determinar o erro em uma estimao (de algo tambm desconhecido, de uma populao). Em resumo, uma preocupao em prever os fatos a partir de informaes existentes.

Falar depois do jogo, comentar o fim da temporada so coisas fceis. Dar a cara para bater com palpites que so elas. Muitos preferem no se arriscar em tal empreitada, mas o bom cronista esportivo tem obrigao de ser uma espcie de vidente. Ou economista. Ele tem que tentar prever os fatos.

A teoria do Clculo das Probabilidades comeou com uma correspondncia entre dois matemticos franceses, Blaise Pascal (16231662) e Pierre Fermat (16011665), em 1654, a respeito de dois problemas formulados por um jogador compulsivo, Chevalier de Mr. A partir daquele momento, realizam-se estudos de modelos matemticos com exemplos essencial-mente de jogos de azar (afinal, era a motivao naquela poca). Infelizmente, tal enfoque propagou-se at os dias de hoje, levando a que a maioria dos livros de probabilidade traga uma srie de exemplos referentes a jogos de azar, a retiradas de bolas de urnas, a jogadas para o ar de moedas (chamadas honestas, como se a maioria no o fosse), no lanamento de dados e no aparecimento de determinadas cartas de baralho, em especial ases e reis. Adicionalmente, ao surgir o ensino da teoria dos conjuntos nas escolas brasileiras na dcada de 1960, enfatizou-se a associao entre os conceitos de probabilidades e os de conjuntos com o intuito de facilitar o raciocnio estatstico a partir de outros modelos aparentemente mais estruturados e de conhecimento geral. Todavia, ambos os enfoques tiveram a sua importncia at a dcada de 1980, e os seus seguidores estavam preocupados em proporcionar melhor entendimento dos conceitos estatsticos tericos por meio de estruturas que, no entender deles, facilitariam a compreenso dos modelos existentes. Nos dias de hoje, tal viso associativa no mais vlida, sobretudo pela variedade de aplicaes (no apenas em jogos de azar), mas pela absoluta necessidade de as pessoas entenderem como utilizar os conceitos estatsticos na vida diria.

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E3-1

Tem-se 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Retiram-se trs ao acaso. Determine a probabilidade de: a. os trs bilhetes terem nmeros consecutivos; b. haver exatamente dois nmeros consecutivos (mas no trs); c. no haver nmeros consecutivos. Identifique quando esse problema que, com estrutura semelhante, comumente encontrado nos livros de Estatstica da atualidade foi formulado pela primeira vez: a. 1950 b. 1900 c. 1850 d. 1800 e. nenhuma das respostas anteriores

.

RESPOSTA

O estudo do relacionamento dos dados por meio de modelos probabilsticos denomina-se Estatstica Matemtica. Sem entrar em discusses filosficas a respeito do determinismo ou no na nossa vida, diremos que as variaes dos fenmenos devem-se a um grande nmero de causas que no podemos controlar, s quais o estatstico denomina, simplesmente, acaso.

O segundo, [Stphane Mallarm], poeta estupendo, criou o verso que deveria ser o lema permanente de qualquer aposta econmica: Um lance de dados jamais abolir o acaso.

O resultado de uma experincia geralmente se d ao acaso; entretanto, se ela se repetir uma grande quantidade de vezes, pode-se construir um modelo probabilstico e tomar decises referentes ao processo experimental apenas pelas suas caractersticas, sem necessidade de refazer a experincia. A prtica indica que muitas experincias so realizadas como se ocorressem em condies estveis, e as aplicaes nos vrios ramos da cincia e da indstria comportam-se de maneira idntica. Em tais circunstncias, usualmente possvel construir um modelo matemtico satisfatrio e empreg-lo no estudo de propriedades e na obteno de concluses. O modelo matemtico que um estatstico seleciona geralmente capaz de possibilitar previses sobre a frequncia dos resultados que se espera ocorrerem quando a experincia for repetida. Por exemplo, verificando-se a qualidade de componentes produzidos em uma fbrica pode-se prever a percentagem de componentes no-conformes (defeituosos) esperados no processo de fabricao.

Em virtude da natureza dos modelos e dados estatsticos, natural que a Probabilidade seja a segunda ferramenta da teoria estatstica (a Estatstica Descritiva a primeira; ver Figura 1.2, p. 11). O estatstico v nas probabilidades o ideal da proporo de vezes que determinado resultado ocorrer nas repeties de uma experincia, e um modelo probabilstico um instrumento matemtico que prev a chance de um possvel resultado sem que seja necessrio repetir a experincia. Devido ao fato de a probabilidade ser uma ferramenta importante nos mtodos estatsticos tericos e prticos, uma introduo ao clculo de probabilidades , sempre, estudada antes da Inferncia Estatstica.

Usar modelos matemticos na soluo de situaes da vida real comum em vrias cincias. Por exemplo, no estudo do movimento de um foguete uma lei simples fornece um modelo satisfatrio, apesar da complexidade do problema. Quanto mais complexo o trabalho, mais elaborado o modelo, e, uma vez que um modelo constitui somente uma representao da

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situao atual, as concluses obtidas dependem do grau de adequabilidade do modelo em relao situao em estudo. Independentemente da dificuldade do problema, fundamental conhecer o campo de aplicao para garantir que os modelos tericos sejam adequados realidade.

Reino da fantasia. Nas estatsticas, o Brasil das novelas um pas de outro planeta. No terreno frio das estatsticas, h um abismo entre fico e realidade mais profundo do que a qualidade dos autores de hoje do virtuosismo da falecida Janet Clair. No toa que os autores fogem da misria. A nica novela que at hoje se atreveu a mostr-la com todas as tintas, Brasileiros e brasileiras, exibida pelo SBT em 1990, foi um retumbante fracasso de audincia.

Nos mtodos estatsticos formulam-se hipteses, conduzem-se experincias, e testa-se se hipteses iniciais so verificadas (ou no) com base nos dados experimentais. Embora os mtodos estatsticos sejam utilizados em todos os ramos das cincias, h diferenas entre os problemas das cincias biolgicas e sociais que envolvem variveis indesejveis que no podem ser controladas e os problemas das cincias fsicas, nas quais tais variveis podem ser controladas satisfatoriamente em laboratrio. O enfoque dado ao estudo das probabilidades depende da rea em que ele ser aplicado. O estatstico puro prefere tratar o assunto a partir do ponto de vista axiomtico, no qual algumas afirmaes so aceitas sem demonstrao.

Axioma na lgica aristotlica, o ponto de partida de um raciocnio, considerado como evidente, sendo a base das demonstraes de uma teoria

Aquele que usa a estatstica aplicada prefere pensar em probabilidade como a proporo de vezes que determinada situao ocorrer se uma experincia for repetida indefinidamente em situaes de natureza repetitiva ou que podem ser concebidas de tal maneira. Experincias como a contagem de peas no-conformes em uma caixa, ou a leitura diria da temperatura de um termmetro so exemplos de experincias simples. Por outro lado, uma experincia na qual vrias cobaias so alimentadas com diferentes tipos de alimentos s pode ser realizada uma vez com o mesmo animal; contudo, tal experincia pode ser imaginada como a primeira de uma srie ilimitada de experincias e, por esta razo, considerada tambm como repetitiva.

O que o passado ensina, e antevendo um pouco: as chances de os fatos ocorrerem Todos conhecem, por intuio, o conceito de probabilidade, ou chance, de algo ocorrer. Em geral expressas em termos de porcentagem, so comuns frases do seguinte tipo: as chances de Covas se recuperar so de 80%. Adicionalmente, sabe-se que a chance de o impossvel ocorrer 0% e a do certo acontecer 100%.

A chance de o equipamento falhar 40% tambm uma afirmao que quantifica o sentimento a respeito da possibilidade de falha desse equipamento. Todas essas possibilidades so quantificadas por meio da associao do resultado com um nmero no intervalo fechado entre 0 e 1, onde nmeros altos indicam que o resultado mais passvel de acontecer. O 0 (zero) indica um resultado que nunca ocorrer e o 1 (um) indica que ele, com certeza, ocorrer.

Esses pensamentos naturais so fruto da experincia passada, da observao dos fatos da vida, codificados e resumidos pela Estatstica Descritiva para consulta posterior.

No dia-a-dia, o termo provvel refere-se grandeza da porcentagem do que favorvel ao que se deseja em relao a todos os resultados. Costumamos estimar as chances ou probabilidades de chover, ou de conseguir o lugar em um teatro, ou de um time de futebol vencer uma partida. difcil, nesses casos, obter uma medida exata da probabilidade, e

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podemos ter apenas tentativas intuitivas na obteno de resultados provveis; alm disso, s vezes preciso levar em conta um fator que muda com o tempo, tal como melhora de desempenho de uma equipe ou efeito de mudanas sociais.

O episdio faz lembrar a histria do suo que, apavorado com a ameaa de guerra na Europa, resolveu se isolar de tudo e de todos. Aps dezenas de estudos, o sujeito (...) pegou um mapa-mndi e disse: aqui, apontando para Guadalcanal. Mudou-se para a ilha pouco antes de comear uma das mais sangrentas batalhas da Segunda Guerra.

Para aprimorar esse conhecimento, necessita-se obter matematicamente uma medida numrica de probabilidade. Quando no se tem qualquer informao, podem-se enumerar os resultados possveis e descrev-los como igualmente provveis (equiprovveis). Por exemplo, guichs encontrados vazios em uma repartio pblica com cinco guichs pode resultar em qualquer um dos nmeros 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Nossos motivos para consider-los equiprovveis baseiam-se no fato de cada guich ser (quase exatamente) simtrico e as condies de chegada a essa repartio supostamente no favorecerem um nmero mais do que outro. Quando tais consideraes de simetria proporcionam significado razovel para a expresso igualmente provveis, podemos dizer que sempre que uma experincia consiste em n resultados possveis e igualmente provveis, a probabilidade de cada resultado 1/n; no entanto, embora til, essa informao circular (define com a definio). Se um conjunto de n ocorrncias equiprovveis inclui m maneiras equiprovveis nas quais uma situao particular pode ocorrer, a probabilidade dessa situao m/n.

Assim, quando forem enumerados todos os resultados possveis com a hiptese de suposta igualdade, a probabilidade de determinada situao a razo do nmero de ocorrncias fa-vorveis situao para o nmero total de resultados. A probabilidade assim definida chamada probabilidade a priori. Nesse exemplo, a probabilidade de encontrar um guich vazio 1/6.

Preos equilibrados. Foram formados 11 preos, alguns numerosos e equilibrados... Esse detalhe certamente vai dificultar os apostadores da Quinexata, que precisam acertar as cinco duplas exatas das cinco ltimas provas.

A probabilidade tambm pode ser expressa em forma de relao de ocorrncias favorveis para as desfavorveis a uma situao (ou vice-versa). Assim, podemos dizer que uma relao a favor de uma situao 2 para 7, significando que a probabilidade de sua ocorrncia 2/9.

Essas consideraes resultam no denominado conceito clssico de probabilidade, o resultado da diviso entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis:

possveis casos de nmero favorveis casos de nmero)A(Pr* =

Essa foi a primeira definio do conceito de probabilidade, conhecida como lei de Laplace.

Os fenmenos estudados pela Estatstica so aqueles cujo resultado, mesmo em condies uniformes de experimentao, variam de uma observao para outra. O resultado de uma observao futura no pode, portanto, ser previsto exatamente. Entretanto, a prtica mostra que os resultados de uma sequncia razoavelmente longa de repeties do mesmo fenmeno apresentam uma regularidade no sentido de que a frequncia relativa com que determinado resultado aparece na sequncia tende a se manter constante. Os fenmenos que apresentam essa regularidade estatstica denominam-se fenmenos aleatrios.

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Desse modo, pode-se definir a probabilidade de uma situao como sendo a frequncia relativa dessa situao em n observaes, ou seja, o nmero de ocorrncias da situao dividido pelo nmero de observaes tendendo para infinito. medida que o nmero de repeties aumenta, h uma estabilizao na frequncia relativa, o que conhecido como regularidade estatstica. O erro relativo da estimativa dessa probabilidade vai-se tornando cada vez menor medida que o nmero de repeties do experimento aumenta. Esse conceito de probabilidade denomina-se frequencial.

Nas partidas em que venceu, o Flamengo usou uniforme branco. E no contou com o presidente (...) no Maracanzinho. Nas duas derrotas, o time usou uniforme rubro-negro. E tinha (...) como torcedor no ginsio. Como ser na quarta-feira?8

Quando se realiza uma experincia, um resultado observado definido, determinado, no podendo acontecer um nmero fracionrio de vezes. Voltando a observar uma repartio com cinco guichs, dizemos que a probabilidade de cada um dos resultados possveis (achar de 0 a 5 guichs vagos) 1/6, e com certeza no podemos obter como probabilidade 1/6 de um com uma nica observao dos guichs e procurando um guich vago. Ento podemos dizer que obteremos cada resultado exatamente uma vez em cada seis observaes, ou exatamente 100 vezes em 600 observaes? A resposta, evidentemente, no, mas acreditamos muito que, se os seis guichs forem observados muitas vezes, em mdia os seis resultados possveis ocorrero com frequncias praticamente iguais. Se isso no acontecer, devemos suspeitar que um outro fator esteja intervindo no que observamos. A simetria, embora passvel de definio de um modo positivo, em muitos casos , em essncia, um fato negativo: o fato de no haver diferena conhecida ou observvel. Se o resultado do nosso experimento demonstra alguma inconsistncia, tal como um resultado obtido com maior frequncia na observao de um guich do que em outro, acreditamos que isso se deve a uma causa orientadora para aquele resultado e conclumos que no h uma simetria, base do modelo, ou que h um problema durante a realizao da observao.

A hora do perigo. Dos 577 acidentes ocorridos entre 1959 e 1996, em que o avio foi totalmente destrudo, com ou sem vtimas, quase dois teros aconteceram entre a fase de descida e a de pouso. Veja a porcentagem em cada etapa do vo: 2%, manobra; 14%, decolagem; 17%, subida; 5%, altitude de cruzeiro; 6%, descida; 34%, aproximao; 22%, pouso.

O erro humano. Entre 1987 e 1996, sete entre cada dez acidentes de jato ocorreram por falha da prpria tripulao. Veja os motivos principais: 3%, falha no controle de trfego; 4%, mau tempo; 6%, falha de manuteno; 9%, defeito do avio; 72%, erro da tripulao; 6%, outros.

Se a observao for repetida 1.000 vezes, encontrar dois guichs vazios, por exemplo, poder ocorrer 0, 1, 2, ... 999 ou 1.000 vezes. possvel calcular as probabilidades desses resultados e demonstrar que a frao de sucessos (no caso, encontrar dois guichs vazios) em n observaes tende a estabilizar-se no valor 1/6 conforme n aumenta indefinidamente. Mas estamos lidando ainda com probabilidades a priori, obtidas a partir de uma classificao de resultados igualmente provveis de n observaes; no podemos provar matematicamente que as leis da natureza so as leis da probabilidade matemtica.

probabilidade a priori probabilidade que se estabelece atendendo a consideraes de simetria ou regularidade de resultados simples

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HERESIA: Pensar que os modelos probabilsticos foraro a natureza a se comportar de acordo com o modelo matemtico.

A igualdade efetiva da probabilidade a priori e a frequncia relativa em uma srie extensa de repeties so aspectos confirmados apenas pela experincia.

Segundo as estatsticas, um em cada cinco bebs que nascem no mundo, hoje, chins.

E da? Somos cinco. Nossas mulheres esto tendo filhos ao mesmo tempo. Devemos

nos preparar para a possibilidade de um dos nossos filhos ser chins. Que absurdo! a estatstica.

Um conceito adicional Existe tambm o conceito subjetivo, uma avaliao pessoal. A probabilidade subjetiva descreve o julgamento de uma pessoa a respeito de quo provvel determinada situao possa ocorrer. No se baseia em clculo preciso, mas pode ser uma avaliao razovel de uma pessoa com experincia, e pessoas diferentes podero associar probabilidades diferentes para os mesmos resultados, uma podendo achar que determinada probabilidade 0,9 enquanto outra pensa em 0,4.

O DNER estimou que 80% dos motoristas no pagaram suas multas espera da anistia.

Independentemente do conceito utilizado, as pessoas baseiam-se na tentativa de modelagem do comportamento da natureza, representada por modelos construdos a partir das observaes. Por mais perfeito que possa parecer, um modelo sempre uma simplificao da realidade. Por exemplo, se perguntassem qual a probabilidade de uma pessoa retirar uma folha de papel amarelo de um pacote contendo 500 folhas amarelas, a probabilidade no seria, obrigatoriamente, igual a 1, porque a pessoa poderia morrer segundos antes de retirar a referida folha.

Alguns estudiosos afirmam que o maior poder da cincia o poder de predio, ou seja, o poder de saber que vai acontecer alguma coisa (...). Mas existem diferenas entre conhecer o futuro pela lgica matemtica, pelo clculo das probabilidades, e conhecer o futuro por uma misteriosa propriedade da mente humana.

A fundamentao matemtica O objetivo do clculo das probabilidades obter um valor numrico da possibilidade de ocorrncia de determinado acontecimento para que seja facilitada a tomada de uma deciso relacionada a ele. Por no haver concordncia entre os conceitos clssico, frequencial e subjetivo, a teoria das probabilidades teve que se basear em um conjunto de axiomas em que probabilidades so associadas aos resultados com base no conhecimento da situao em estudo. Os axiomas asseguram que as probabilidades associadas a cada experimento podem ser interpretadas como frequncias relativas e que as associaes so consistentes com a compreenso intuitiva do relacionamento entre os resultados favorveis e os resultados possveis.

Os axiomas do clculo das probabilidades determinam as probabilidades dos eventos.

Os axiomas facilitam os clculos das probabilidades de ocorrncia de alguns eventos a partir do conhecimento das probabilidades de outros eventos.

Os axiomas foram estabelecidos pelo matemtico russo Kolmogorov, e so os seguintes:

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O primeiro axioma afirma que se atribui a todo evento do espao amostral algum nmero real; no clculo das probabilidades, a escolha dos nmeros a serem associados aos resultados poderia ser qualquer uma, mas intuitivamente associam-se valores entre 0 e 1. O segundo axioma afirma que ao espao amostral como um todo atribudo o nmero 1 e expressa a idia de que a probabilidade de um evento certo igual a 1. O terceiro axioma caracteriza a possibilidade de simplesmente se somarem probabilidades quando os eventos so mutuamente excludentes.

Os trs axiomas no necessitam de prova; entretanto, se a teoria resultante aplicada no mundo real, deve-se mostrar de algum modo que os axiomas so realistas, isto , apresentam resultados razoveis, comprovados pelo conceito frequencial de probabilidade.

Interpretaes e determinao de probabilidades A teoria moderna define probabilidade como um nmero que satisfaz a uma srie de postulados, mas no fornece indicao de como se obter esse nmero: apenas estabelece as regras que devemos obedecer ao manipularmos as probabilidades obtidas. Em consequncia, h duas grandes correntes a respeito do problema da determinao da probabilidade.

A escola objetivista ou frequencialista considera que a probabilidade s pode ser obtida por meio das frequncias relativas e, portanto, somente aplicvel a situaes em que a experincia pode ser repetida vrias vezes, sob as mesmas condies.

Fica portanto excluda, para os frequencialistas, uma grande classe de problemas em que no possvel falar em frequncia relativa. Por exemplo, para os frequencialistas no h sentido em perguntar qual a probabilidade de o homem ir a Marte nos prximos cinco anos.

A escola subjetivista ou personalista considera a probabilidade como a medida da crena de uma pessoa racional em uma dada proposio. Diferentes indivduos racionais podem ter graus diferentes de crena, mesmo em face da mesma evidncia e, portanto, as probabilidades pessoais para o mesmo acontecimento podem ser diferentes, porque as informaes de que dispem podem ser diferentes.

Um subjetivista aplica o conceito de probabilidade a todos os problemas considerados pelo frequencialista, e a muitos outros mais, como a viagem a Marte, por exemplo.

medida que vamos tendo mais observaes, podemos ir revendo a nossa avaliao da probabilidade de uma situao em face de novas informaes. Assim que, no caso de haver frequncias relativas disponveis, baseadas em um nmero grande de observaes semelhan-tes, a avaliao subjetiva tende a se igualar avaliao frequencialista.

A definio clssica, quando admite que todos os casos possveis so igualmente provveis, pode ser filiada, de certo modo, corrente subjetivista. Ao afirmarmos que encontrar qualquer nmero de guichs vazios igualmente provvel, estamos manifestando a nossa crena de que isso verdade. Para um verdadeiro frequencialista, deveramos observar o resultado de milhares de observaes para comprovar se isso real.

Modelos matemticos Tendo conhecido os principais conceitos referentes ao clculo das probabilidades, veremos agora distribuies e funes densidades de probabilidade que, pela sua importncia, merecem um estudo especial. Tais distribuies partem da pressuposio de certas hipteses bem definidas, e como diversas situaes reais muitas vezes se aproximam dessas premissas, os modelos aqui descritos so teis no estudo de tais situaes.

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3.2 O primeiro de muitos: binomial Observando o nosso mundo Uma situao bastante conhecida a prova de mltipla escolha. Considere uma delas com apenas uma questo do tipo falso-verdadeiro. A probabilidade de algum ser aprovado, marcando aleatoriamente uma resposta, de 50%; se acertar uma questo, nota 10. Entretanto, se a prova tiver 50 questes, tambm do tipo falso-verdadeiro, intuitivamente sente-se que bem menor a chance de tirar 10, mesmo tendo cada questo as mesmas opes por causa do maior nmero de questes agora. Quer-se a probabilidade de uma pessoa acertar ao acaso determinado nmero de questes.

Condies de aplicao As situaes nas quais se pode utilizar esse modelo devem atender a que:

a. so feitas n repeties do experimento, onde n uma constante; b. h apenas dois resultados possveis em cada repetio, arbitrariamente denominados

sucesso e insucesso, sem a obrigao de que um sucesso seja um resultado desejvel; c. a probabilidade de um sucesso (e tambm de um insucesso) permanece constante de

repetio em repetio; ao sucesso atribuda a probabilidade p, e ao insucesso, (1 p); d. as repeties so independentes.

No exemplo das provas de mltipla escolha do tipo falso-verdadeiro, as condies se aplicam porque:

a. h 1 ou 50 questes, com a mesma estrutura na prova; b. so apenas dois os resultados possveis em cada repetio: o sucesso marcar a

resposta certa ao acaso e o insucesso marcar a resposta errada; c. como a resposta marcada ao acaso, ao sucesso atribuda a probabilidade p = 0,5 =

50%, e ao insucesso, a probabilidade (1 p) = 0,5 = 50%; essas probabilidades permanecem constantes de questo em questo;

d. a resposta de uma questo no influenciada pelas respostas das outras questes, e estas so consideradas independentes.

Usando o Excel Por exemplo, seja um teste com 3 questes tipo verdadeiro ou falso e seja a varivel aleatria X o nmero de respostas erradas. A probabilidade de que um aluno acerte, ao acaso, uma resposta em uma questo , ento, 0,5. No EXCEL, a funo DISTRBINOM ajuda no clculo da resposta do problema.

DISTRBINOM retorna ou a probabilidade de x sucessos da distribuio binomial, ou ento a soma acumulada desde x = 0 at um valor estipulado. A sintaxe a seguinte: DISTRBINOM(nm_s; tentativas; probabilidade_s; cumulativo) nm_s o nmero de sucessos que se deseja tentativas o nmero de repeties probabilidade_s a probabilidade de sucesso em cada repetio. Cumulativo um valor lgico: se VERDADEIRO, ento DISTRBINOM retorna o valor da probabilidade de que existam no mximo x sucessos

a. para calcular a probabilidade de 2 acertos, por exemplo, Nm_s = 2 Tentativas = 3, Probabilidades = 0,5 e Cumulativo = FALSO;

b. para calcular a probabilidade de, no mximo, 2 acertos, altera-se o Cumulativo para VERDADEIRO.

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E5-1

Uma prova contm 50 questes. Determine a probabilidade de que um aluno, marcando ao acaso as respostas, obtenha uma nota maior ou igual a 6, nos seguintes casos: a. h quatro opes; b. h cinco opes.

RESPOSTA

O objetivo fazer com que um aluno totalmente ignorante na matria no obtenha nota acima de 6 marcando apenas ao acaso. Mesmo com quatro opes, a probabilidade de se obter nota maior ou igual a 6 praticamente zero. Sendo assim, no seria necessrio colocar tambm quatro opes.

3.3 O segundo modelo matemtico: Poisson Observando o nosso mundo As filas so hoje um dos fatos mais observveis na vida diria, seja no supermercado, passando pelos bancos, incluindo os acessos aos pedgios nas estradas em vsperas de feriado, tudo afetando a vida de milhares de brasileiros.

Se no for caso de morte, a espera eterna: pacientes que precisam fazer cirurgias necessrias, mas no urgentes nos hospitais pblicos do Rio so condenados a uma longa fila e podem levar mais de um ano para serem atendidos.

Tais fatos comeam a preocupar o governo, que procura solues. Para resolver os problemas das filas que nunca saem do lugar, o Ministrio da

Sade tem duas estratgias.

Observa-se que toda fila feita de pessoas ou objetos (que se podem contar), os quais esto esperando pela realizao de uma determinada atividade que leva tempo (tempo esse que mensurvel). Inicialmente, analisemos o problema com relao s entidades que proporcionam a formao de uma fila.

Condies de aplicao Ao se fazer um levantamento das entidades que demandam um servio em um tempo limitado de observao, atender as seguintes condies:

a. o nmero de chegadas durante qualquer intervalo de tempo parece depender somente da durao do intervalo de tempo; quanto maior o intervalo, maior tende a ser o nmero de chegadas;

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b. as chegadas ocorrem independentemente; isto , um excesso ou falta de chegadas em algum intervalo de tempo no exerce efeito sobre o nmero de chegadas ocorridas durante qualquer outro intervalo;

c. a possibilidade de duas ou mais chegadas ocorrerem durante um pequeno intervalo de tempo t muito pequena quando comparada de uma nica chegada.

Usando o Excel No Excel, tem-se, no Colar Funo, POISSON,

POISSON retorna ou a probabilidade de x sucessos da distribuio de Poisson, ou ento a soma acumulada desde x = 0 at um valor estipulado. A sintaxe a seguinte: POISSON(X; Mdia; Cumulativo) X o nmero de sucessos que se deseja Mdia o parmetro Cumulativo um valor lgico: se VERDADEIRO, ento POISSON retorna o valor da probabilidade de que exista no mximo x sucessos; se FALSO, calcula a probabilidade de exatamente x sucessos.

E5-2

Segundo dados histricos em determinada empresa de transporte, 3 o nmero mdio de chamadas em 20 minutos: a. determine a distribuio de probabilidade para esse

exemplo; b. determine a probabilidade de haver, no mximo, 2

chamadas em 40 minutos, em um intervalo escolhido aleatoriamente;

RESPOSTA

3.4 O terceiro modelo matemtico: exponencial Observando o nosso mundo Voltando s filas (a gente sempre volta...).Vimos que toda fila formada por pessoas ou objetos (que se podem contar), os quais esto esperando pela realizao de uma determinada atividade que leva tempo (tempo esse que mensurvel). Analisamos o problema,

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primeiramente, com relao s entidades que formam a fila; agora vamos analisar o tempo de processamento da atividade. Na distribuio de Poisson, definimos a varivel aleatria como sendo o nmero de eventos em determinado perodo, em que a mdia dos eventos naquele perodo era denotada por . Assim como o nmero de elementos que chegam uma varivel aleatria, observamos que o tempo entre os eventos tambm uma varivel aleatria. Condies de aplicao O nmero de eventos deve ter uma distribuio de Poisson. .

Usando o Excel No EXCEL, a funo DISTEXPON ajuda no clculo da resposta ao problema.

DISTEXPON retorna ou a probabilidade de x sucessos da distribuio exponencial, ou ento a soma acumulada desde x = 0 at um valor estipulado. A sintaxe a seguinte: DISTEXPON (X; Lambda; Cumulativo) X a quantidade de sucessos que se deseja Lambda o parmetro Cumulativo um valor lgico: se VERDADEIRO, ento DISTEXPON retorna o valor da probabilidade de que exista no mximo x sucessos; se FALSO, calcula a probabilidade de exatamente x sucessos.

E5-3

Ao observarmos a durao das baterias de videogames, conclumos que esta vida nada mais que o intervalo entre falhas sucessivas das baterias; para essas falhas, pode-se aplicar o processo de Poisson. Desse modo, o tempo mdio entre falhas vem a ser a vida mdia da bateria. Considere que inmeras baterias foram usadas e anotou-se (algo raro de ocorrer no dia-a-dia, somente as fbricas o fazem) que a cada sete dias havia necessidade de troc-las (ou seja, a vida mdia da bateria de uma semana). As falhas das baterias so aleatrias e independentes e atendem s condies da distribuio de Poisson; ento, para o tempo de vida da bateria, pode-se utilizar a distribuio exponencial.

a. determine a probabilidade de a bateria durar pelo menos 2 semanas;

b. determine a probabilidade de uma bateria falhar dentro de 3 dias;

c. determine a probabilidade de uma bateria durar de 3 a 4 semanas;

RESPOSTA

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Agora, sim, vamos s inferncias sobre a populao!!!

(continua no Captulo 4)

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EXERCCIOS

Caso encontre algum exerccio que no tem um texto que o responda, pesquise a

respeito e incorpore o que descobriu ao corpo do material.

A.A.A.A. EXERCCIOS CONCEITUAISEXERCCIOS CONCEITUAISEXERCCIOS CONCEITUAISEXERCCIOS CONCEITUAIS

Antes de resolver um problema, PENSE!

Fonte: http://rpcriativo.blogspot.com/2010/04/pensar-fora-da-caixa-pode-ser-muito.html

1.

2. .

B.EXERCCIOS de habilidade B.EXERCCIOS de habilidade B.EXERCCIOS de habilidade B.EXERCCIOS de habilidade (resolver problemas)(resolver problemas)(resolver problemas)(resolver problemas)

A repetio at a exausto leva perfeio!

Passo 1: Faa exerccios at completar 10 (dez) SEM ERRAR NENHUM

Passo 2: Chegou ao final?

a. SIM: refaa todos mais uma vez e v ao Passo 3

b. NO: v ao Passo 1

Passo 3: Faa os exerccios computacionais

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1) Exerccios do Companion cap 4, 5 e 6

2) Faa os exerccios a seguir na ordem em que aparecem. 1. Construa uma tabela de frequncias COM perda de informao que tenha um

intervalo de classe igual a 10: a) calcule as frequncias relativa e acumulada b) esboce um histograma c) esboce o grfico da distribuio acumulada

2. Refaa o exerccio 1, no qual o intervalo de classe seja igual a 5. 3. Estabelea uma relao entre frequncia relativa e probabilidades 4. Escolha um limite superior de classe qualquer. Compare as frequncias

relativas e as frequncias acumuladas at este limite superior. 5. Considere, no histograma, a frequncia relativa como sendo a rea de cada

retngulo que tem como base o intervalo de classe (x) e determine a altura, chamando-a de f(x). f(x) probabilidade? Se positivo, o que vem a ser funo densidade de probabilidade? Mais ainda, se somarmos as reas de alguns destes retngulos, o que iremos obter?

6. No exerccio 5, coloque o smbolo de integral no lugar da soma, f(x) como sendo a altura do retngulo e dx a sua base. Estabelea a equao que determina a probabilidade de se estar entre dois valores quaisquer. Determine a integral entre mais e menos infinito e verifique o que ocorre.

7. A partir do grfico da distribuio acumulada dos exerccios 1, 2 e 4, determine a equao matemtica que melhor se ajusta a essa curva e chame de F(x).

8. Determine, conceitualmente, o relacionamento entre F(x) e f(x) e expresse matematicamente este conceito.

9. Desenvolva (desdobre) a frao que determine a mdia aritmtica dos nmeros 56 (com frequncia 17), 57 (com frequncia 4) e 58 (com frequncia 23), e estabelea o relacionamento com o conceito de valor esperado do clculo das probabilidades.

10. No meu livro, explica-se a origem de diversas distribuies como, por exemplo, a discreta Poisson e a contnua exponencial. Com o livro como ponto de partida, estude a origem das principais delas, construindo uma tabela segundo o modelo a seguir;

Pg. 3-15

C.C.C.C. Exerccios de uso de aplicativos Exerccios de uso de aplicativos Exerccios de uso de aplicativos Exerccios de uso de aplicativos computacionaiscomputacionaiscomputacionaiscomputacionais

1) Crie um anexo ao captulo 1 com os passos bsicos para usar o aplicativo R.

2) Inclua no texto como fazer para gerar o feito no Excel dgitos pseudoaleatrios

com o aplicativo R.

D.D.D.D. Exerccios deExerccios deExerccios deExerccios de

interpretao de resultadosinterpretao de resultadosinterpretao de resultadosinterpretao de resultados

Ao longo do texto.

E.EXERCCIOS de pesquisaE.EXERCCIOS de pesquisaE.EXERCCIOS de pesquisaE.EXERCCIOS de pesquisa

Liste e comente endereos na rede mundial de computadores, relacionados aos

assuntos vistos neste captulo como, por exemplo, em:

1. www.youtube.com

a.

b.

2. www.youtube.com/edu (Category: University)

a.

b.

FFFF.... QUESTES: ENADE E PROVO QUESTES: ENADE E PROVO QUESTES: ENADE E PROVO QUESTES: ENADE E PROVO

1.

2.

G. Para descontrair:G. Para descontrair:G. Para descontrair:G. Para descontrair:

3. http://www.youtube.com/watch?v=H6syI3xiBBg

4.