Estatística_Probabilidade

8/3/2019 Estatstica_Probabilidade

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PROBABILIDADES &ESTATSTICA

Elaborado por: Rui Ribeiro

Objectivos:Identificar os fundamentos gerais de estatstica ede probabilidade.


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ESTATSTICA

A Estatstica a cincia que se ocupa da recolha econdensao de um grande nmero de dados relativosa fenmenos colectivos, para represent-los de maneirasimples e deles obter alguma concluso.

Populao ou Universo: conjunto formado por todos os elementos do estudo.

Indivduo ou unidade estatstica: cada um dos elementos do estudo

estatstico.

Amostra: parte da populao que se toma como base para a anlise do

conjunto que se deseja estudar.

Tamanho da amostra: nmero dos elementos de uma amostra


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VARIVEIS ESTATSTICAS

Varivel Estatstica

QualitativaAs variveis so qualidades

QuantitativaAs variveis so nmeros

Discreta Contnua


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FREQUNCIA ABSOLUTA E RELATIVA

Vamos considerar um estudo sobre o nmeros de filhos umaamostra de 14 pessoas. Obteve-se os seguinte valores.

N de Filhos

Frequncia

absoluta (n de

pessoas)

Frequncia

relativa

(%)

Amplitude

0 2 14,3%

1 4 28,6%

2 5 35,7%

3 2 14,3%4 1 7,1%

TOTAIS 14 100% 360

Para a tabela estar bem construda, a soma das frequnciasrelativas tem de ser sempre 100%. Temos de ter ateno aos

arredondamentos que fazemos.


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FREQUNCIAS ABSOLUTA E RELATIVA

Com os dados da tabela j podemos construir grficos.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

Frequ

nciasabsolutas

N de filhos por pessoa

14%

29%

36%

14%

7%

0 filhos 1 filho 2 filhos 3 filhos 4 filhos

Colunas Circular


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MDIA, MODA E MEDIANA

A mdia aritmtica de diversos valores o quociente da

soma desses valores pelo nmero de parcelas da soma.

O acontecimento de maior frequncia absoluta

designa-se por moda.

A mediana de um conjunto de dados o valorcentral dos mesmos.


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MDIA, MODA E MEDIANA

Considerando o exemplo anterior, temos:

Mdia

Moda

Mediana

= (0x2+1x4+2x5+3x2+4x1)/14 = 1,7 } 2 filhos

= nmero que tem maior frequncia = 2 filhos

= nmero central = 0;0;1;1;1;1;2;2;2;2;2;3;3;4

Como num conjunto par existem 2 nmeros centrais, amediana a mdia destes. Neste caso de (2+2)/2 = 2 filhos.


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MEDIDAS DE DISPERSO

As medidas de disperso indicam as diferenas entre cada valor e a mdiaaritmtica da distribuio. So parmetros que mostram de que forma osdados de um estudo estatstico esto dispersos ou desagregados.

As medidas de disperso so:

A amplitude total a diferena entre o valor mximo e ovalor mnimo da varivel.

O desvio mdio de um dado xi relativamente mdia adiferena entre ambos. O desvio mdio (d) de um conjunto

de dados a mdia aritmtica dos valores absolutos dasdiferenas entre os desvios de cada dado e a mdia.


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A varincia (W2) a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios relativamente mdia. A sua raz quadrada positiva denomina-se desvio-padro (W) .

MEDIDAS DE DISPERSO

EXEMPLO: O nmero de perguntas certas dadas por 100 alunos num teste que

constava de 30 perguntas apresentado na tabela da esquerda.

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

SOMA

Com os dados vamos preencher a tabela.

Calcula as medidas de disperso.


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INTERVALOS DE CONFIANA (IC)O conceito de intervalo de confiana est directamente relacionado com aexactido da mdia amostral como representao da mdia da populao. A mdia amostral uma estatstica, estimada de uma amostra com onmero de elementos muito menor que a populao e, necessariamenteexiste certo grau de incerteza sobre a confiabilidade. A mdia da populao

um parmetro existente, mas por causa de alguma razo, por exemplo, oalto custo de examinar todos os elementos da populao, o seu valor no conhecido. O clculo do intervalo de confiana um mtodo paraquantificar o nvel de incerteza envolvido na amostragem.


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MARGEM DE ERRO (ME)A mdia amostral estimada, como estatstica, deve representar a mdiadesconhecida da populao, mas existe algumas diferenas em relao aoparmetro da populao. conhecido como a margem de erro (ME). olimite de erro tolervel pelos propsitos da pesquisa.

O valor da margem de erro pode ser escolhido pelo pesquisador, mas nosem decises difceis sobre gastos em tempo e recursos. A margem de errodepende rigorosamente de dois aspectos, o tamanho da amostra e aconfiana que desejada na busca da representatividade da estatstica.

Amostras grandes representam melhor a populao; amostras menores

no representam to bem a populao. Consequentemente, amostrasmaiores diminuem a margem de erro ou aumentam o nvel de confianasobre os resultados. Em termos prticos, gastando um pouco mais paralevantar uma amostra maior justificvel quando estimativas de algumfenmeno merecem maior exatido.


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PROBABILIDADES

Todos os dias somos confrontados com situaes, que nosconduzem a utilizar, intuitivamente, a noo de probabilidade.

Meteorologia Desporto

Seguros

Sade

Cara ou Coroa

Amanh pr ovvelque chova

Porque ser que o custo

do seguro de vida de um

fumador maior que o de

um no fumador?

Vacina da Gripe mostra-seeficaz em 70% dos casos


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LINGUAGEM DAS PROBABILIDADES

Ao conjunto formado por todos os resultados

possveis chama-se Espao Amostral.

Acontecimento Impossvel um acontecimento que

nunca ocorre. Tem 0 casos favorveis.

No lanamento de um dado : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sair 7 no lanamento de um dado : D = { } (conjunto vazio)

Acontecimento Certo um acontecimento em que

todos os casos possveis so favorveis.

Sair um nmero inferior a 7 no lanamento de um dado :

D ={1, 2, 3, 4, 5, 6} = E


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LINGUAGEM DAS PROBABILIDADES

Se o resultado se uma experiencia tem mais do que

um elemento do conjunto de resultados, dizemos

que se trata de um Acontecimento Composto.

Sair par no lanamento de um dado : D = {2, 4, 6}

Se o resultado se uma experiencia contm um e um

s elemento do conjunto de resultados, dizemos que

se trata de um Acontecimento Elementar.

Sair um nmero superior a 5 no lanamento de um dado:D ={6}


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PROBABILIDADES

Definio clssica de probabilidade: Lei de Laplace

A probabilidade de um acontecimento A igual ao quociente entre o nmero

de casos favorveis sua realizao e o nmeros total de casos possveis,

desde que estes sejam igualmente provveis.

A probabilidade de um acontecimentopode ser representada sob a forma defraco, de dzima ou de percentagem.


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PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE

PROPRIEDADE 1:

A probabilidade de um acontecimento sempre um

nmero de zero a um (em percentagem: de 0% a 100%):

0 P(A) 1

Se A um

acontecimento

Impossvel : P(A) = 0

Possvel mas no certo : 0 P(A) 1

Certo : P(A) = 1


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PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE

PROPRIEDADE 2:

Quando dois acontecimentos A e B no podem ocorrer ao

mesmo tempo:

P(A U B) = P(A) + P(B)

PROPRIEDADE 3:

Se, numa experincia aleatria, A o acontecimento contrrio

de A:

P(A) = 1 P(A)


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ESQUEMAS AUXILIARES DECONTAGEM

A aplicao da Lei de Laplace s exige a contagem do nmero de casosfavorveis e possveis o que, partida, parece simples. Mas, quando o nmero deobjectos (ou jogadas) aumenta, essa contagem comea a complicar-se:

Imagine que lana ao ar 1 moeda e 1 pio com 3 faces:

N face Nacional

C face Comum

1

1

2

3

2

3

Quantos so os casos possveis?

Com o auxlio do diagrama em rvorepodemos verificar mais facilmente quepodem ocorrer 6 situaes.

Qual a probabilidade de sair face nacionaljuntamente com um nmero mpar?

= 2/6 = 1/3 = 33%


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ESQUEMAS AUXILIARES DECONTAGEM

Tiraruma bola e depois outra: (sem reposio)Um saco contem 2 bolas pretas e 3 brancas.

O Diagrama em rvore que representa esta situao:

P Preto

B Branco

P

P

B

B

1 exp. 2 exp.

2/5 1/4

2/4

3/5

3/4

2/4

(P, P)

(P, B)

(B, P)

(B, B)

Qual a probabilidade de sair 2 bolas brancas? Qual a probabilidade de sair 1 bola de cada cor?

P (B, B) = 3/5 x 2/4 = 6/20 = 30% P (duas bolas de cor diferente) = P (B, P) + P (P, B)

= 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5 = 60%

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