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Rosa – 2011 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula de hoje Variáveis aleatórias discretas PMF, CDF Exemplos de v. a.: Bernoulli, Binomial, Geométrica Aula passada Independência Prob. Condicional Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Variáveis aleatórias
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Rosa – 2011
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeVariáveis aleatóriasdiscretas PMF, CDF Exemplos de v. a.:Bernoulli, Binomial,Geométrica
Aula passadaIndependênciaProb. CondicionalTeorema da Probabilidade TotalLei de BayesVariáveis aleatórias
Rosa – 2011
Função probabilidade de massa (pmf)
Associar probabilidade a valores de uma v.a.
Seja X uma v.a. (discreta)
Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x
notação de pmf (probability mass function)
{s∣X s=x }
pX x =P [X=x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x
P [s]
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Propriedades da função probabilidade de massa
onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir
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Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados
Defina a pmf de X
Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)?
= 1/36
= 2/36
= 3/36
X=2 : {(1,1)}
X=3 : {(1,2), (2,1)}
X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}
. . .
pX x =P [X=x ]
pX 2=P [X=2]
pX 3=P [X=3]px 4=P [X=4]
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Exemplo: 2 dadospmf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
P [
X =
x]
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Função distribuição cumulativa (cdf)
Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)
Dada v.a. X, temos
notação da cdf (cumulative distribution function)
FX(x) é não decrescente
Limite quando x tende a infinito é 1
F X x =P [Xx ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx
P [ s ]
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Propriedades da função distribuição cumulativa
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Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados
Defina a cdf de X
= 1/36
= 3/36
= 6/36
X=2 : {(1,1)}
X=3 : {(1,1), (1,2), (2,1)}
X=4 : {(1,1), ..., (1,3)}
. . .
F X x =P [Xx ]
F X 2=P [X2 ]F X 3=P [X3]
F X 4=P [X4]
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Exemplo: 2 dadoscdf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
P [
X <
= x
]
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Distribuições Importantes
V.A. discretas
Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
Usadas para modelar eventos que ocorrem na naturezaRepresentam v.a. que iremos usar
Relativamente fáceis de manipular
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Bernoulli
Somente dois eventos podem ocorrer
cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc.
v.a. binária (evento 0 ou evento 1)
Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos)
pmf:pX 0=1− p
pX 1= p
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Bernoulli
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BinomialContagem de eventos de Bernoullieventos independentes
Número de sucessos dado N experimentos
Dois parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
N: número de experimentos
pmf:
Número de vezes que exatamente k eventos podem ocorrer
Prob. que exatamente k eventos ocorram
pX k =Nk pk1− pN−k
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Condições para uso da Binomial
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Exemplo de uso da Binomial
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Geométrica
Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso
Parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
N: número de experimentos
pmf:
Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1
eventos de falha
pX k = p 1− pk−1
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Geométrica Modificada
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Geométrica: Propriedade memoryless
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Geométrica: Propriedade memoryless
Yn Z
Z – v.a. geométricaY – v.a. que representa o que falta para o primeiro sucessoY=Z-n e Z=n+Y
P[Y=i / Z>n] = ?
pZ i= pqi−1
F Z i =1−qi
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Geométrica: Propriedade memoryless
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Geométrica: Aplicações
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Geométrica: Aplicações
