Rosa – 2018

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojeVariáveis AleatóriasPMF, CDF Exemplos de v. a.:Bernoulli, Binomial,Geométrica, Poisson,Hipergeométrica

Aula passadaProbabilidade CondicionalIndependência de EventosTeorema da Probabilidade TotalLei de Bayes

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Variáveis Aleatórias

Necessidade de expressar eventos de forma precisa

Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado

Idéia: Mapear eventos em números reais!

A B C D E

reais

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Definição de V.A.

Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S

v.a. é uma função (e não uma variável)

imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo)

função não precisa ser bijetora (um­para­um)

X :S ℜ

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Função probabilidade de massa (pmf)

Associar probabilidade a valores de uma v.a.

Seja X uma v.a. (discreta)

Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x

notação de pmf (probability mass function)

{s∣X s=x }

pX x =P [X =x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x

P [ s]

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Função distribuição cumulativa (cdf)

Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)

Dada v.a. X, temos

notação da cdf (cumulative distribution function)

FX(x) é não decrescente

Limite quando x tende a infinito é 1

F X x =P [X x ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx

P [ s ]

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Distribuições Importantes

V.A. discretas

Bernoulli

Binomial

Geométrica

Poisson

Usadas para modelar eventos que ocorrem na naturezaRepresentam v.a. que iremos usar

Relativamente fáceis de manipular

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Bernoulli

Somente dois eventos podem ocorrer

cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc.

v.a. binária (evento 0 ou evento 1)

Parâmetro p, (probabilidade de ocorrência de um dos eventos)

pmf: pX 0=1− p

pX 1= p

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Bernoulli

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BinomialContagem de eventos de Bernoullieventos independentes 

Número de sucessos dado N experimentos

Dois parâmetros

p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)

N: número de experimentos

pmf:

Total de possibilidades de k eventos ocorrerem

Prob. que exatamente k eventos ocorram

pX k =Nk pk 1− pN−k

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Condições para uso da Binomial

Cada experimento tem como resultado dois eventos mutuamente exclusivos: falha ou sucesso

A probabilidade de sucesso em cada experimento é constante

O resultado de cada experimento é independente dos outros resultados 

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Exemplo de uso da BinomialSuponha que um grupo de N usuários esteja sendo monitorado. 

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Exemplo de uso da Binomial

Suponha que um grupo de N usuários esteja sendo monitorado. 

Considere que a probabilidade de que um usuário esteja com seu roteador infectado seja p.

Qual a probabilidade de que k usuários estejam infectados? 

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Geométrica

Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (incluindo o sucesso)

Parâmetro

p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)

pmf:

Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1

eventos de falha

pX (k)=p(1−p)k−1 , k=1,2,. . .

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Geométrica Modificada

Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (não incluindo o sucesso)

Parâmetro

p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)

Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1

eventos de falha

pX (k)=p(1−p)k , k=0,1,2, .. .

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Geométrica: Propriedade memoryless

● Resultados de experimentos no futuro não depende de eventos no passado● Seja Z a v.a. que denota o número total de experimentos até e incluindo o primeiro sucesso.● Assuma que já ocorreram n experimentos. Seja Y o número de experimentos que faltam até o primeiro sucesso, logo Y=Z­n.

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Geométrica: Propriedade memoryless

Yn Z

Z – v.a. geométricaY – v.a. que representa o número de eventos que faltam para o primeiro sucessoY=Z-n e Z=n+Y

P[Y=i / Z>n] = ?

pZ i= pqi−1

F Z i =1−qi

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Geométrica: Propriedade memoryless

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Geométrica: Aplicações● Considere o escalonamento de um sistema de computação onde cada processo recebe um slice de tempo fixo de CPU. ● Ao final do slice de tempo o processo pode sair da CPU com probabilidade p ou voltar para fila com probabilidade (1­p). ● O número de slices de tempo necessários para que o processo termine a execução é uma variável aleatória geométrica. 

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Geométrica: Aplicações

pZ (i)=p(1−p)(i−1)

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Poisson Representa o número de eventos em um intervalo (0,t] Considere l a taxa média de ocorrência dos eventos

Em um pequeno intervalo Dt, a probabilidade de um novo evento é lDt Se Dt é muito pequeno, a probabilidade de dois eventos ocorrerem no mesmo intervalo é desprezível

Suponha que o intervalo (0,t] possa ser dividido em n subintervalos de tamanho t/n Suponha que ocorrência de um evento em qualquer intervalo seja independente da ocorrência do evento em outro intervalo

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Poisson

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Poisson

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PoissonNúmero de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo

Parâmetros

    t: intervalo de tempo

: taxa média de ocorrência de              eventos por unidade de tempo

pmf:

Siméon-Denis Poisson (1781-1840)

PX (k)=(λ t)k

k !e(−λ t)

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Exemplo com Poisson Chegada de chamadas a um call center segue 

a distribuição de Poisson

 Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto

 Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto?

 Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?

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Exemplo com Poisson

Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto?

3  chamadas /minuto

pX 0=e−330

0 !=e−3

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Exemplo com Poisson

Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?

3  chamadas /minuto

1−P [X ≤100]=1−F X 100

1−∑k=0

100 e−3∗603∗60

k

k !

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Exemplo com Poisson

 Chegada de mensagens em um switch segue a distribuição de Poisson com taxa média de 12/ms.

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Exemplo com Poisson

 Qual probabilidade de termos exatamente 12 chamadas em um milissegundo ?

pX 12=e−121212

12 !

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Exemplo com Poisson

 Qual probabilidade de termos exatamente 100 chamadas em 10 milissegundos ?

pX 100=e−12∗1012∗10100

100 !

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Exemplo com Poisson

 Qual probabilidade  de termos mais do que 7 chamadas e menos do que 11 chamadas em 2 milissegundos ?

P [7X ≤10]=∑k=8

k=10pX k =∑k=8

k=10e−12∗2 12∗2

k

k !

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Hipergeométrica

N componentes, d defeituosos

Selecionar k defeituosos de um conjunto de m selecionados

Maneira de selecionar os defeituosos

Maneira de selecionar os não defeituosos

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Hipergeométrica

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Exemplo com Hipergeométrica

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Exemplo com Hipergeométrica

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Exemplo com Hipergeométrica

h(i ; k ,m,mn)=(m(n−1)

k−i )(mi )(mn

k )

Maneira de selecionar os canais que estão nas estações OK

Maneira de selecionar os canais que estão na estação que falhou

Maneira de selecionar k canais em uso de um total de mn

Probabilidade de i canais que estavam sendo usados pertencerem a estação que falhou