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Rosa – 2019 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula de hoje Espaço amostral Álgebra de Eventos Eventos Mutuamente Exclusivos Axiomas de Probabilidade Análise Combinatória
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeEspaço amostral Álgebra de EventosEventos Mutuamente ExclusivosAxiomas de ProbabilidadeAnálise Combinatória
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega
Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
1 Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega
Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?
Não, a chance de ganhar é sempre igual a 1/C60,6
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Uma prova consta de 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta.
Se um aluno ‘‘chutar‘‘ todas as respostas:
a)Qual a probabilidade dele acertar duas questões ?
b)Qual a probabilidade dele acertar todas as questões ?
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Experimentos AleatóriosO que é um experimento aleatório?
Exemplos:Resultado de jogar um dado
Palavra de busca submetida ao Google
Tempo de espera no ponto de ônibus
Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado!
Vivemos num mundo aleatório...
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Modelo Probabilístico
Componentes
Espaço amostral (S): conjunto de todos os resultados que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório
Probabilidade de eventos (P): quantificação da “chance” que cada resultado ocorra
Eventos (E): conjunto de resultados que são de nosso interesse
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Álgebra de EventosDiagrama de eventos
S
Evento A
Evento B
Evento C
Evento ocorre quando um de seus elementos é o resultado do experimento aleatório
Operações de união, interseção e complemento
Espaço amostral
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Exemplo: Dois dados
Considere dois dados jogados simultaneamente
Qual é o espaco amostral?S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }
Evento A : os dois dados são paresA = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),
(6,2), (6,4), (6,6)}Evento B : soma é menor que 7
B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
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Exemplo: Dois dados
Evento A : os dois dados são paresA = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4),
(6,6)}Evento B : soma é menor que 7
B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
Evento C : soma é menor que 7 e ambos dados são pares
A∩B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2)}
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Exclusão Mútua
Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos se
A∩B=∅
Exemplos?
Evento A: os dois dados são pares
Evento B: os dois dados são ímpares
conjuntovazio
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Axiomas de Probabilidade
(A1): para cada evento A, 0 <= P(A) <= 1
(A2): P(S) = 1, onde S é o espaço amostral
(A3): se A e B são mutuamente exclusivos, então P(A U B) = P(A) + P(B)
Consequências?Teoria de Probabilidade!
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Exemplo de Confiabilidade
Sistema com 2 discos idênticos
Sistema operacional quando ao menos 1 disco está funcionando
Qual probabilidade do sistema estar operacional?
Modelo
p: prob. de um disco falhar
Falhas ocorrem de forma independente
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Exemplo de ConfiabilidadeQual é o experimento aleatório?
S = { (f, f), (f, o), (o, f), (o, o) }
Qual é o espaço amostral?
estado do disco 1, estado do disco 2
f = disco falhou, o = disco operacional
Qual é o conjunto de eventos de interesse?(ao menos 1 disco está operacional)
A = { (f, o), (o, f), (o, o) }
Qual é a probabilidade de ocorrer o evento de interesse?
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Exemplo
Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% naturma B, escolhemos um estudante ao acaso.
Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexofeminino ou alguém da turma B?
Usemos a tabela abaixo que mostra o número de alunosde cada sexo numa escola:
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Exemplo
Da tabela e das características das turmas A e B temos:P(M) = 0,26; P(A) = 0,52;P(F) = 0,74; P(B) = 0,48.
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Exemplo Pergunta colocada:"Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexofeminino ou alguém da turma B?"
Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já queteríamos probabilidade maior que 1.
Estamos somando duas vezes alguns elementos pois hámulheres em ambas as turmas
Queremos
P(M) = 0,26; P(A) = 0,52; P(F) = 0,74; P(B) = 0,48.
P(F∪B)
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Exemplo
P(F∩B)Temos que é igual ao número de estudantes dosexo feminino e da turma B.
Assim, para obter a probabilidade correta temos que somaras probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste valorP(F∩B)
P(F∪B)=P(F)+P (B)−P (F∩B)
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Caso geral
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabilidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é dada por
observe que se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos (e somente neste caso),a probabilidade da intersecção de A com B é nula e temos que a união é igual a soma das probabilidades dos dois eventos.Esta regra pode ser estendida para soma de três ou maistermos.
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Como calcular as freqüências de ocorrência?
Contando o número de casos favoráveis para ocorrência de um certo evento, se os eventos são equiprováveis
Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a análise combinatória
P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos
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Permutação com repetição
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto pode se repetir diversas vezes
(n.n ... n(k vezes)) = nk
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Permutação sem repetição
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto não pode se repetir
P(n,k) = (n.(n1) ... (nk+1)) = n! / (nk)!, para k = 1,2, ...,n
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Combinação de n objetos distintos
Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem não é importante e o mesmo objeto não pode se repetir
C(n,k) = n! / (k!(nk)!), para k = 1, ...,n
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Exemplo 1
Considere uma caixa com 75 placas de memória sem problemas e 25 placas com defeito. Se selecionarmos aleatoriamente 12 placas, qual a probabilidade de ao menos uma delas possuir defeito ?
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Exemplo 1
.
.
.
75 25
11
10
12
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Exemplo 1
E = no mínimo uma placa possui defeito
= nenhuma placa possui defeitoE
P E =〚E 〛〚S 〛
=
7512
10012
P E =1−P E
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Exemplo 2Considere uma rede celular que possui n estações base. Cada estação base possui m canais operando por TDMA.
Estação base m canais
n estações
Canal em uso
Canal ocioso
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Exemplo 2A estação base está sujeita a falhas. Para avaliar o impacto da falha de uma estação base, temos que calcular o número de canais sendo usados no momento da falha.
Suponha que o número de canais sendo usados em todo o sistema seja igual a k e que o número de canais ociosos seja igual a j (j+k=mn), no momento da falha.
Estação base m canais
n estações
k=soma doscanais azuis
j=soma doscanais rosas
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Exemplo 2
Qual a probabilidade de que i canais (da estação que falhou) estejam sendo usados no momento da falha, ou seja, a probabilidade de que alguns clientes serão afetados pela falha ?
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Exemplo 2
E = i canais estão na estação que falhou
pi=〚 E 〛〚S 〛
=
m n−1k−i
mi
mnk
Seleção dos k canais sendo usadosde um total de mn
Seleção dos i canais que estão na estação que falhou do total de m canais da estação
Seleção dos (k-i) canais que estãonas outras (n-1) estações
