DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA INTENSIDADEESTRUTURAL EM VIGAS

H. Reis Lopes1, J. Dias Rodrigues2

‘ESTiG/TPB - Instituto Politécnico de Bragança2fEUP - Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

RESUMO

Na análise dinâmica das estruturas, o conceito de intensidade estrutural caracteriza o fluxo• de potência numa estrutura em vibrãção. Á sua aplicação revela-se de grande importância

para a redução do nível de vibração [1, 2, 3]. A intensidade estrutural representa a• distribuição do fluxo. de potência transferida entre afonte e o absorsor de energia através de

$ um meio condutor a estrutura, onde o fluxo de potência ocorre por propagação de ondaselásticas. O divergente da intensidade estrutural permite localizar as fontes e absorsores deenergia na estrutura. Á intensidade estrutural é composta por duas componentes, aintensidade activa que representa a potência média absorvida pelo sistema, e a intensidadereactiva que representa a potência que circula entre a estrutura e a fonte, não sendoconsumida pelo movimento vibratório. Neste trabalho, apresenta-se uma. metodologia dedeterminação da intensidade estrutural por via experimental com base no campo develocidade e/ou aceleração medido em regime harmónico estacionário. Á partir deste,determina-se o campo de deslocamento por integração no tempo e os campos de esforçosinterhos por derivação espacial do campo de deslocamentos. Com base nestas grandezasdetermina-se a intensidade estrutural e, por derivação espacial o respectivo divergente.

1. INTRODUÇÃO

O estudo do fluxo de potência vibratóriateve início no final da década de 60 com oaparecimento do trabalho publicado porNoíseux [1]. A formulação apresêntada edesignada de intensidade estrutural éoriginária da área da acústica, onde éutilizada para identificar as fontes e o fluxode potência acústica. De forma análoga, oconceito de intensidade estrutural éaplicado às estruturas para identificar opercurso da potência vibratória entre asfontes e os dissipadores de energia, e o seu

É neste contexto que a intensidadeestrutural pode desempenhar um papelprimordial na. análise dinâmica deestruturas, caracterizando o fluxo daenergia e a sua trajectória, e identificandoas fontes e os dissipadores numa estruturaem vibração. O seu conhecimentoreveste-se de grande importância, poispermite actuar de modo eficaz sobre adistribuição do fluxo de energia numaestrutura em vibração, quer alterando a sua

divergente permite identificardas fontes e dos dissipadores

a localizaçãona estrutura.

111

trajectória, ou através da sua dissipação portratamentos superficiais passivos. Assim,por exemplo, podem desenvolver-sesoluções de isolamento de vibrações poraplicação de dissipadores em regiõespróximas das fontes de energiaidentificadas e de acordo com õ trajecto daenergia vibratória.

No início da década de $0 surgiram osprimeiros resultados experimentais sobre ofluxo de potência em vigas e placas [4].Desde então, tem-se assistido a umapermanente evolução ao nível daexperimentação, impulsionada pelas novastécnicas de medição sem contacto, comosão os. casos da vibrometria “laser” para amedição pontual e da holografia digitalpara as medições de campo.

2. INTENSIDADE ESTRUTURAL

A intensidade estrutural é uma grandezavectorial que representa a distribuição dofluxo de potência transferida entre a fonte eo absorsor, através de um meio condUtor,onde o fluxo de potência ocorre porpropagação de ondas elásticas na estrutura.A intensidade estrutural instantânea,dependente do tempo, caracteriza o fluxode potência numa estrutura através dadirecção, do sentido e da intensidade. Ovector da intensidade estrutural instantâneadefine-se, pelo produto entre o tensor dastensões e o vector velocidade, de acordocom a expressão [5, 6]:

i(t)=—G.v=

xx xy xz ‘x

— rxy ryz •1y

t, Jz

Na figura 1 pode observar-se, para umelemento infinitesimal de materialisotrópico e elástico de um meio contínuo,as componentes do tensor, do vectorvelocidade e do vector da intensidadeestrutural, as quais, de acordo com aexpressão (1), estão orientadas no sentidopositivo.

2.1 Intensidade estrutural em notaçãocomplexa

Uma outra forma de abordar o estudoda intensidade estrutural é através da suarepresentação no domínio da frequênciarecorrendo à notação complexa. A partir dadefinição de intensidade estrutural média:

I=.jTi(t)dt (2)

e aplicando a forma fasorial de amplitude efase, a intensidade estrutural em notaçãocomplexa escreve-se:

(0)) =1)*(())

(3)

A intensidade em notação complexa

(1) pode ainda exprimir-se pelas suascomponentes real e imaginária:

fÏ(w) = 1(w) + jJ(w) (4)

A parte real 1(w) representa o fluxo depotência activa por unidade de área, a qualé designada por intensidade activa. Por suavez, a parte imaginária J(w) representa apotência reactiva por unidade de área e édesignada de intensidade reactiva.

4

txz tyz

À__r. Tensoes

crX)( %‘

\‘zt

Velocidadevy

iz4

Intensidadeinstantânea

lx,

Fig 1- Representação das componentes do tensordas tensões, da velocidade e da intensidadeestrutural instantânea.

112

velocidade transversal e o complexoconjugado da velocidade de rotação dasecção recta.

Como a intensidade activa e reactivasão definidas, respectivamente, pelacomponente real e imaginária daintensidade estrutural, a intensidade activaI(x) é dada pela seguinte expressão:

1(x)=i r * \1 (7)

——ReUw1M2(x)e2(x)+Q(x) (x))]

e a intensidade reactiva J(x) por:

-1Im[j((x)(x) + (x)*(x))j (8)

De acordo com a teoria de Euler-Bernoulli

das vigas, os esforços 1I(x) e e a

rotação (x) da secção recta podemexprimir-se unicamente a partir dodeslocamento transversal da secção rectada viga. Assim, e após a respectivasubstituição, podem rescrever-se asexpressões da intensidade estrutural emfunção do campo de deslocamento (x) edas suas derivadas espaciais, da frequênciade vibração Ú e da rigidez à flexão EI daviga na seguinte forma:

I(x)=

.!Imd2(x)d*(x)d3(xL.*() (9)

2 dx2 dX dx3

J(x)=

Red2(x) d*(x)

— d3(x) _*() (10)

2 dx2 dx clx3

As duas expressões anteriores permitemdeterminar a intensidade estrutural com

(6) base no campo de deslocamentotransversal e nas suas derivadas espaciais.

2.2 Divergente da intensidade estrutural

O divergente da função intensidadeestrutural permite identificar a localizaçãodas fontes e absorsores de energia atravésdos máximos e dos mínimos da função,respectivamente. Genericamente, odivergente da intensidade estrutural édefinido pela seguinte expressão:

9IdivI=VI=—-r+-—j+----k (5)

)x y )z

3. INTENSIDADE ESTRUTURAL EMVIGAS

No caso das vigas, que sãoestruturas unidimensionais, considera-seuma única direcção de propagação deenergia, a direcção axial x. A formulaçãoapresentada refere-se às vigas finas, cujocomportamento assenta na teoria deEuler-Bernoulli, sendo a solicitaçãoconsiderada estacionária harmónica defrequência (O.

A partir da definição da intensjdadeestrutural, é necessário conhecer adistribuição das tensões e da velocidadeem cada secção recta ao longo da viga.Porém, as tensões estão directamenterelacionadas com os esforços internos daviga pela teoria da elasticidade. Assim, aintensidade estrutural na viga é o resultadoda contribuição da intensidade estruturalproduzida por cada um dos dois tipos deesforços internos, momento flector eesforço de corte, aos quais estãoassociados, respectivamente, o movimentode rotação e de transiação da secção recta.Para uma dada frequência o, e de acordocom a expressão (3), a distribuiçãolongitudinal da intensidade estrutural emvigas escreve-se:

fl(x) = —t(x)(x) _y(xy*(x)

= -[M(x)o(x) + Q(x)v (x)]

onde *(x) e (x) representam,respectivamente, o complexo conjugado da

113

(x) (x)

JO) (O

4. iNTENSIDADE ESTRUTURAL EMVIGAS POR VIA EXPERIMENTAL

De acordo com o formalismoapresentado, a intensidade estrutural não éuma grandeza directamente acessível pelamedição experimental, já que resulta doproduto entre os esforços internos e asvelocidades que lhe estão associadas,expressões (7 e 8). No entanto, os camposde deslocamento e/ou •velocidade dedeslocamento podem ser directamentemedidos, sendo os campos de rotação e/ouvelocidade de rotação determinados,normalmente, de forma indirecta. De formaidêntica, os esforços internos são obtidosde uma forma indirecta, a partir damedição do campo de deslocamentos e/oudeformações, por recurso às equações daelasticidade. Assim, o procedimentodesenvolvido para a determinação daintensidade estrutural por via experimentalassenta na medição. do campo dedeslocamentos e/ou velocidades dedeslocamento, e, a partir deste, na obtençãodos campos de rotação, velocidade derotação, momento flector e esforçotransverso por derivação espacial docampo medido em regime estacionárioharmónico.

Os ensaios experimentais realizadosconsistiram na medição pontual davelocidade ou aceleração transversal, naforma de amplitude e fase, à freqüênciafixa de excitação. Após medição em todosos pontos de uma malha pré-definida paraas vigas em estudo, os campos medidossão integrados em ordem à variável tempode forma a obter o respectivo campocomplexo de deslocamento V(x). Para

uma frequência fixa de excitação w, ocampo de resposta em deslocamentorelaciona-se com o respectivo campo develocidades e de acelerações de acordocom a expressão,

(11)

Para obter o campo de rotações e dosesforços internos, por derivação do campode deslocamentos em ordem à variável

espacial, foram utilizadas duas técnicas decálculo da derivada espacial: um métodode diferenças finitas modificado e ométodo da aproximação polinomial.

A adopção destas técnicas na derivaçãoespacial do campo de deslocamentos paradeterminação da intensidade estruturaljustifica-se pela sua simplicidade deimplementação e pela modificaçãointroduzida na técnica das diferençasfinitas.

Para a validação da metodologia decálculo e da sua implementação emMATLAB, procedeu-se à determinação eanálise da intensidade estrutural numa vigasimplesmente apoiada, com base numcampo de deslocamentos geradoanaliticamente, comparando a soluçãoobtida com a solução analítica.

4.1 Método das diferenças finitasmodificado

O método das diferenças finitas centraismodificado difere do método cOrrente namedida em que o campo de deslocamentosé previamente filtrado no domínio donúmero de onda e “espelhado” nasestremidades da viga. O filtro é aplicadono domínio do número de onda e o campode deslocamentos filtrado é calculado deacordo com a expressão:

VF(x) =F’(filtro*F((x))) (12)

onde F e F1 representam, respectivamente,a transformada directa e inversa de Fourier.

Por aplicação do método das diferençasfinitas centrais ao campo de deslocamentosfiltrado, são determinados a rotação dasecção recta da viga e os esforços,momento flector e esforço de corte, queresultam da primeira, segunda e terceiraderivada espacial, respectivamente.

Aplicando o método das diferençasfinitas centrais, em cada secção recta daviga tem-se:

dÇ[f(x) = VF(x+l)—Vf(xI) (13dx 2Ax

114

dVf(X) —

VF(xI+J) —

2íf(x) + VF(xÍl)

dx3 (15)Vf(x÷2)

2&Fig 4 - Divergente do fluxo de potência: soluçãoanalítica e determinação pelo método das diferençasfinitas modificado.

0.05

0.04—— --

li-

° 0.01- ______/___—S0l.anaIftica ——-

L •- Dif. finitas -

0—__rt—..--

-0.010 0.29 0.58 087 1.16

x [m]

Fig 2 - fluxo de potência: solução analítica edeterminação pelo método das diferenças finitasmodificado.

ciado à componente devida ao esforço decorte, figura 3. Com efeito, nadeterminação do esforço de corte,envolvendo a terceira derivada espacial, éexpectável que se manifeste o efeito dapropagação de erro associado ao métododas diferenças finitas. Porém, o divergenteidentifica claramente a localização da fontee do amortecedor.

4.2 Aproximação polinomial

Nesta técnica, o campo dedeslocamentos medido é aproximado pelafunção polinomial de grau n:

V(x) =

Ax +...+A3x3 +A,x +A1x+A0

cujos coeficientes são determinados porajuste ao campo de deslocamentos medido.Desta forma, os campos de rotação,momento flector e esforço de cortedeterminam-se pelas derivadas espaciais deprimeira, segunda e terceira ordem,respectivamente, do polinómio ajustado.

dV(x) - -

dx — (17)

A0x’’ +...+3A3x2 +2A7x’ +A1

d2(x) —

dx2 — (1$)

n(n—1)Ax2 +...+6A3x’ +2A7

d3V(x)(19)

n(n — l)(n— 2)AnX

° + ... + 24Ax’ + 6A3

- (14)

1.5--

1 - — - — -- o -- ——— Dif. finitas

0.5-

0 - — - s

-0.5—

-- .z

________-.._—-————-

O 0.29 0.58 0.87 1.16e (m]

para i = 1,2,..., N, onde i representa a secçãorecta da viga, x o passo e N o número depontos de discretização da viga.

Nas figuras 2-4 apresenta-se umacomparação entre o fluxo de potênciaobtido pela solução analítica e utilizando atécnica das diferenças finitas modificada.

(16)

•

0.02-------_-r.I-. - . - --

— -— Momento tector anatitico 7-—

- Momento factor dif. finitas•001 --

— .— Eaforçodecorteanalftico—

— Esforço de corte dif. finitas - -

O 0.29 0.58 0.87 1.16o íml

Fig 3 - Componentes do fluxo de potência: soluçãoanalítica e determinação pelo método das diferençasfinitas modificado.

A análise comparativa valida ametodologia assim como a suaimplementação. No entanto, verifica-se umdesvio no fluxo de potência, figura 2, quese justifica, basicamente, pelo desvio asso-

115

Nas figuras 5-7 apresenta-se umacomparação entre a solução analítica e adeterminada pelo método da aproximaçãopolinomial. Neste caso, o desvio dadistribuição do fluxo de potência emrelação à solução analítica é maissignificativo que no método das diferençasfinitas modificado. A análise da figura 6mostra que, também neste caso, é acomponente devida ao esforço de corte quemais se afasta da solução analítica, aocontrário da componente devida aomomento flector que apresenta uma boaconcordância. Em consequência, apropagação de erro atinge o divergente,figura 7, que, no entanto, permite aindalocalizar a fonte e o amortecedor.

Fig 5 - Fluxo de potência: solução analítica edeterminação pelo método da aproximaçãopolinomial.

Fig 7 - Divergente do fluxo de potência: soluçãoanalítica e determinação pelo método daaproximação polinomial.

5. MONTAGEM EXPERIMENTAL

No âmbito da análise éxperimental sãoanalisados dois sistemas, uma vigasimplesmente apoiada e uma viga biencastrada. De seguida apresenta-se umadescrição da montagem experimentalassim como do equipamento de mediçãoutilizado.

A montagem das vigas foi realizadasobre uma base de apoio materializada poruma mesa anti-vibratória. Em ambas asmontagens houve o cuidado de garantiruma elevada rigidez da estrutura de suportede modo a evitar perturbações externas.

5.1 Apoios

Para realizar a condição da vigasimplesmente apoiada, a viga foi montadasobre uma articulação plana e umaarticulação simples. As articulações forammaterializadas através de eixos em materialcompósito, aos quais foi efectuado umpequeno entalhe de modo a garantir que oplano neutro da viga coincidisse com oeixo de rotação do apoio.

Os eixos, através da superficie doentalhe, foram colados nas extremidadesda viga e montados em rolamentos deagulhas. Para o apoio duplo, os rolamentosforam fixos a elementos estruturais quelhes conferem restrição de movimento emtransiação nas direcções ortogonais ao eixode apoio; quanto ao apoio simples, arestrição ocorre segundo a direcçãotransversal da viga, podendo esta mover-sesegundo a direcção longitudinal.

No que conceme à montagem da vigacorrespondente à condição debi-encastrada, utilizaram-se suportesrígidos que restringem qualquer tipo demovimento, translação e/ou rotação.

5.2 Excitação

A excitação das vigas foi realizada porintermédio de um excitadorelectromagnético da marca LD$®. Este foicolocado suspenso numa estrutura tipopórtico, através de cabos de ligação, com ointuito de facultar graus de liberdade ao

0.03

- L «H -

-0.01’ —-— -

O 0.29 0.56 0.87 1.16o [m]

I—Momeootaco’0.06 ‘ — — — ‘ —

- Momento tector aprox. polinomial- Estorço de corte anatftico--Estorçodecorteaprox.po0nornial

O 0.29 0.58 0.87 1.16

Fig 6- Componentes do fluxo de potência: soluçãoanalítica e determinação pelo método daaproximação polinomial.

r LEZf0LflLL]

-0.5

O 0.29 0.58 0.87 1.16x [ml

116

sistema de excitação. A ligação entre oexcitador e a viga consistiu na utilização deuma haste suficientemente flexível para nãointroduzir na excitação momentos flectores.

5.3 Transdutores e analisador dinâmicode sinal

Como equipamento de análise da forçade excitação e da resposta utilizou-se oanalisador dinâmico de sinal de dois canaisHewlett Packard modelo 35665A.

Para medir a força dinâmica aplicada foiutilizado o transdutor de força Dytran,modelo 1051V3.

A resposta dinâmica foi medidautilizando um transdutor “laser”, PolytecLaser Vibrometer modelo OFV-3001, e umacelerómetro piezoeléctrico daBrüel & Kjr, modelo OrthoShear 4507.

5.3 Absorsor

O elemento absorsor com a função dedissipar energia do sistema foiimplementado através de um amortecedorexterno acoplado às vigas. Utilizaram-sedois tipos de amortecedores, funcionandoum deles com ar (Airpot®) e outro comóleo (Beswick).

Na extremidade da haste dosamortecedores foi montada uma ligaçãoarticulada de modo a evitar momentosreactivos e garantir a aplicação de umaforça de amortecimento pontual.

A calibração dos amortecedores foiefectuada com base num sistema com umgrau de liberdade, donde se obtiveram oscoeficientes de amortecimento viscosoequivalente para um conjunto defrequências consideradas relevantes para odesenvolvimento deste trabalho (7 Hz,15 Hz, 25 Hz e 60 Hz).

Tabela 1- Coeficiente de amortecimento viscosoequivalente [Ns/m] dos amortecedores.

Modelo 7Hz 15Hz 25Hz 60Hz

Airpot 160A 7.3 4.2 4.0 6.7

Airpot325A 75.8 35.9 11.5 5.5

Beswick IvIHD-1-018 463 85.6 53.6 59.6

6. DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA INTENSIDADE ESTRUTURAL

Os ensaios experimentais consistiram,basicamente, na medição da forçaharmónica aplicada, e na medição daresposta pontual, em termos da velocidadeou aceleração, na forma de amplitude efase, à frequência fixa de excitação. Comotratamento da informação medida, oscampos de resposta são integrados emordem à variável tempo por forma a obtero campo de deslocamentos, a partir do qualse determina a intensidade estrutural oufluxo de potência e o respectivodivergente.

Os modelos ensaiados são vigas em açoinoxidável AISI 304 com comprimentoL=116 mm, largura b=30 mm e espessurah=5 mm. Em ambas as montagens as vigasforam díscretizadas em 59 pontos demedição com espaçamento igual a 20 mm.O excitador electromagnético constitui afonte de energia e o amortecedor externoacoplado’às vigas o elemento absorsor.

6.1 Viga simplesmente apoiada

No intuito de determinar e analisar aintensidade estrutural ou fluxo de potênciana viga simplesmente apoiada, a fonte deexcitação, o excitador electromagnético,foi colocada na secção de coordenadax300 mm, e o absorsor de energia, oamortecedor, foi posicionado na secçãox=$00 mm, conforme se mostra na figura’8.

Fig 8 - Montagem da viga simplesmente apoiada.

117

Para esta configuração da vigasimplesmente apoiada foram realizadostrês ensaios a uma frequência de excitaçãode 7 Hz, modificando o coeficiente deamortecimento externo. por troca dosamortecedores.

Tabela 2 - Parâmetros de ensaio na análise da vigasimplesmente apoiada.

Ensaio Força [NJ Campo Medido amortecedor1. 1 Velocidade Airpot 325A

II 1 Velocidade Airpot 160A

III 1 Deformação Airpot 160A

6.1.1 Ensaio 1 — Análise e discussão deresultados

Na figura 9 estão representados, emamplitude e fase, o campo dedeslocamentos medido, o campo dedeslocamentos analítico, e ainda aaproximação polinomial e a aproximaçãoapós filtragem no domínio do número deonda para o campo de deslocamentosmedido. Verifica-se existir uma boaconcordância entre os valoresexperimentais e os valores obtidos pelasolução analítica, apesar de um pequenodesvio na fase. Refira-se, igualmente, a boaconcordância entre o campo dedeslocamentos medido e a aproximaçãopolinomial e a aproximação com filtragem.No entanto, são de salientar os desviosobserváveis ao nível dos apoios, quer paraa amplitude quer para a fase.

fig 9 - Campo de deslocamentos com o amortecedor modelo Airpot 325A.

Com base no campo de deslocamentosmedido proçedeu-se de seguida àdeterminação do fluxo de potência. Nafigura 10 está representado o fluxo depotência obtido pela aproximaçãopolinomial e pelo método das diferençasfinitas modificado com filtragem nodomínio do número de onda, e ainda oobtido a partir do modelo analítico.

Fig 10 - Campo de intensidade activa na vigasimplesmente apoiada com o amortecedor modeloAirpot325A. /

Na região da viga compreendida entre aexcitação e o amortecedor, o fluxo depotência do modelo experimental apresentauma configuração similar da prevista pelomodelo teórico. Refira-se também que,nesta região, o resultado fornecido pelasduas técnicas utilizadas é idêntico. Porém,nas extremidades da viga, junto dos apoios,o resultado do modelo experimentaldesvia-se do modelo teórico, o que nestecaso dificulta a identificação da localizaçãoda excitação e do amortecedor. Este desvioresulta das perturbações no campo dedeslocamentos referidas anteriormente evisíveis na figura 9.

6.1.2 Ensaio II — Análise e discussão deresultados

Na figura 11 encontra-se representado,sob a forma de amplitude e fase, o campode deslocamentos analítico e o medido,assim como as aproximações polinomial epor filtragem do campo de deslocamentosmedido.

Neste caso, pode observar-se uma boaconcordância entre os campos dedeslocamentos analítico e medido, e umaboa qualidade da aproximação global, querpara a interpolação polinomial quer para afiltragem no domínio do número de onda.

4r - -!--- — - —

/ \

-/

Sol, analítica

-2 - -. ,• — -- - - -

- Aproa. polinomial- Metodo dan diferenças flnitao

O 0.29 0.58 0.87 1.16

Campo medido-

- Aprox. polinomial4.

‘ -

-_- Aprox.nodomlniodonúmemdeonda

:>-rZ:

O 0.29 0.58 0.87 1.16x [m]

1811--— Sol. analittca

120- -

. carspo medido— Aprox. polinomial

60--

—- Aprox. no domínio do número de onda 1

5

0.- ---——-•- -----—-—-

-—--- --1

O 0.29 058 0.87 1.16

118

Fig 11 - Campo de deslocamentos na vigasimplesmente apoiada com o amortecedor modeloAirpot 160A.

6.1.3 Ensaio III — Análise e discussão deresultados

Este ensaio consiste na determinação docampo de intensidade a partir do campo dedeslocamentos medido no Ensaio II, e docampo de momentos flectores obtido apartir da medição do campo dedeformações neste Ensaio III. Assim, adeterminação da intensidade estruturalenvolve apenas uma derivação espacial deordem 1.

Para realizar este ensaio procedeu-se àinstrumentação da viga simplesmenteapoiada através da colocação de onzeextensómetros eléctricos igualmenteespaçados, figura 13.

Porém, é notório um ligeiro desvio juntodos apoios.

Apesar de neste ensaio se verificar,globalmente, uma boa concordância para ocampo de deslocamentos, os resultadosobtidos para o fluxo de potência ouintensidade activa, apresentados na figura12, não traduzem a distribuição correctadesta grandeza.ao longo da viga.

““O 0.29 0.58 0.87 1.16x m]

Fig 12 - Campo de intensidade activa na vigasimplesmente apoiada com o amortecedor modeloAirpot 160A.

Na tentativa de compreender eesclarecer os resultados obtidos neste

• ensaio para o fluxo de potência, econtornar as dificuldades inerentes ao

• cálculo das derivadas espaciais do campode deslocamentos, definiu-se o Ensaio III.

Aplicando o método das diferençasfinitas modificado ao campo dedeslocamentos medido no Ensaio II e aocampo de momentos flectores medidoneste Ensaio III, obteve-se, respectivamente, o campo de rotações e o campo doesforço de corte efectuando apenas umaderivaçãó espacial. Com base nestesvalores procedeu-se então ao cálculo daintensidade estrutural e do seu divergente,cujos resultados se apresentam nas figuras14e 15.

Fig 14 - Intensidade activa da viga simplesmenteapoiada por diferenças finitas.

x10’2—

lniiiiaCampo medido

1.5 — -

- Apmx polinomial— —

- Aprox. no domínio do número de onda

1 --

---

0.5---’-t---

O 0.29 0.58 0.87 1.16

150 -

1——- Sol. anatfiica

1 . Campo medido100

---Aprox.polinomial

Onda

o 0.29 0.58 0.87 1.16

Fig 13 - Viga simplesmente apoiada instrumenta-dacom onze extensómetros elétricos.

0.04 —--

_____________

-— Sol. analitica

— 0.03. •——Aproo.polinomial— Metodo das diferenças finitas

o.o1----——/--\-—--H------.

0 —---

___

-0.02

x 10°

— Sol. analltica

6 - - - - - -

---Dif.finftas

4 E.

2----------

O 0.29 058 0.87 1.16a [m]

119

x 10

Fig 15 . Divergente da intensidade activa da vigasimplesmente apoiada por diferenças finitas.

A análise destes resultados revela umamelhoria muito significativa em relaçãoaos resultados do Ensaio II, e ainda umaboa concordância entre os resultados desteensaio experimental combinado e osanalíticos. A distribuição do fluxo depotência apresenta um andamento muitopróximo da solução analítica, e odivergente identifica muito claramente alocalização da fonte e do amortecedor.Aliás, observando individualmente ascimponentes da intensidade que resultamdo momento flector e da rotação, e doesforço de corte e do deslocamento, estasrevelam igualmente uma boa concordânciacom a solução analítica, figura 16.

10 — 1 — Momento fiector anaiiil

— 8-- —-Momentofiectordif.finitas1 — Esforço de corte analítico

- 6--— [_Esforçodecortedif.finitas

0.58 0.87 1.16o [m

Fig 16 - Viga simplesmente apoiada instrurnentadacom onze extensómetros eléctricos.

A aplicação da metodologia daaproximação polinomial conduziu,igualmente, a uma melhoria substancialdos resultados em relação ao Ensaio II.Nas figuras 17 e 1$ apresenta-se aintensidade e o respectivo divergente.

6.2 Viga bi-encastradaA montagem utilizada para a viga bi

encastrada está representada na figura 19,onde é visível a localização da excitação edo amortecedor. A excitação foi aplicada

- xfm]

Fig 18 - Divergente da intensidade activa da vigasimplesmente apoiada por aproximação polinomial.

na secção x=360 mm, e o amortecedor a- óleo na secção x=700 mm. Devido à

rigidez deste modelo, optou-se por utilizaro amortecedor de óleo.

No estudo da viga bi-encastradarealizaram-se três ensaios a diferentesfrequências. Como frequências deexcitação seleccionaram-se as frequênciasde 15 Hz, inferior à primeira frequêncianatural, 25 Hz, entre a primeira e asegunda frequência natural, e 60 Hz, entrea segunda e a terceira. Para o conjunto detestes realizados, as condições de ensaioestão apresentadas na tabela 3.

0.2—-——-————--—--3-———— Sol. analitica

A — Dif. finitasaiA -\ --—

0-—-.9 /

-l----

O 0.29 - 0.58 0.87 1.16o [m]

- . _ —- Apmx. polinomial

6--- — —

—

--

2---- -A -----

0—--- --.----.--- -

O 0.29 0.58 0.87 1.16

Fig 17 - Intensidade activa da viga simplesmenteapoiada por aproximação polinomial.

— Sol, analítica—.

- Aproo. polinomial

O --— __ _4z-

õ

:ízzzïzzi - zzO 0.29 0.58 0.67 1.16

o 0.29

Fig 19- Montagem da viga bi-encastrada.

120

Ensaio Força [N]frequência de Tipo deexcitação[HzJ transductor

1 1 15vibrómetro

laser

1 25vibrómetro

laser

1 60acelerómetropiezoeléctrico

Aos campos de resposta medidos,depois de integrados em ordem ao tempo,foram aplicadas as duas metodologias dedeterminação experimental da intensidadeestrutural, cuja análise e resultados sediscutem a seguir para as três frequênciasde estudo.

6.2.1 Ensaio 1 - Análise e discussão deresultados

Para o ensaio realizado à frequência de15 Hz, apresenta-se na figura 20 aamplitude e fase de vibração, e nafigura 21 o fluxo de potência do modeloanalítico e o determinado pelo método dasdiferenças finitas modificado e pelaaproximação polinomial. A distribuição daintensidade ao longo da viga revelaresultados idênticos para ambos osmodelos experimentais, embora com umdesvio em relação ao modelo analítico.Porém, verifica-se também que, nosmodelos experimentais, o fluxo depotência é inferior ao teórico. Este aspectopoderá dever-se ao facto do amortecedor, a15 Hz, introduzir alguma rigidez nosistema, o que aparentemente é confirmadopela menor amplitude de vibração,figura 20.

Neste ensaio, a distribuição do fluxo depotência obtida por via experimental,apesar do desvio para a solução teórica,assume, no entanto, uma configuraçãoenquadrada pela fonte e pelo amortecedor.

6.2.2 Ensaio II - Análise e discussão deresultados

Para este ensaio, realizado a 25 Hz, oscampos de deslocamentos teórico eexperimental apresentam uma boa concor

Fig 20 - Campo de deslocamento da vigabi-encastrada à frequência de 15Hz.

dância, figura 22, quer ao nível daamplitude quer ao nível da fase.

A análise comparativa da representaçãodo fluxo de potência na figura 23, revelaque, globalmente, ambos os modelosexperimentais apresentam umcomportamento idêntico, embora distintodo fornecido pelo modelo analítico.

Fig 22 - Campo de deslocamentos da vigabi-encastrada a 25 Hz.

Tabela 3 - Parâmetros de ensaio na análise da vigabi-encastrada,

o io’ Campo de deslocamentos

Sol. analítica• Campo medido

Aproo. polinomial

11 -

- Aprox.nodomh,iodonúmerodeonda

o 0.29 0.58 0.87 1.16o [m]

180-— Sol. analítica

120 - — — — — —— — — —

• Campo medido—

— Ápron. polinomial

o—60 - — — — j’ — — - —

- Aprox. nodominiodonúmerodeonda

0 7 —-—

-60 .--. r-— •,

-iof__. 1 -,,,

_1é0Io 0.29 0.58 0,87 1.16

x[m]

x 10

•— Sol, analítica—

— Aprox. polinorpial

3--—-———- 1—-Metododasditerençasflnftaa

2-

_-z

O - 0.29 0.58 0.87 1.16o [m]

______

Fíg 21 - Intensidade activa na viga bi-encastrada a15Hz.

Campo de deslocamentos— ,

— Sol. anaifticaCampo medido

—— Apmx.

---Aproa. no domlnio do número de onda i

•õ 0.29 -- 0.58 0.87 1.16x [m

180--—— Sol. anatitica

120 — — — —. Campo medido

L -

- Aproo. polinomiat60- - — — -

—- Aprox. nodominiodonumerode onda

° ---—-------1

: - - - - ... - - -

-180— ——_______-— —-

O 0.29 0.58 0.87 1.16

121

Fig 23 - Intensidade activa na viga bi-encastrada a25Hz.

6.2.3 Ensaio III - Ánálise e discussão deresultados

Na figura 24 representa-se a distribuiçãodo fluxo de potência na viga bi-encastradaa 60 Hz para o modelo analítico e para osmodelos experimentais. Ao contrário dostestes anteriores, neste caso é fraca acorrelação entre o resultado teórico e osresultados experimentais, revelando ométodo das diferenças finitas modificadoum melhor comportamento global do que aaproximação polinomial.

‘

—

— Aprox. polinomial— 3 - Metododaodiferençasfinitas

2

________

1 --- - -‘

__________

—

___________—

O 0.29 0.87

Fig 24 - Intensidade activa da viga bi-encastrada a60 Hz.

Neste ensaio a 60 Hz verifica-se que adistribuição do fluxo de potência vai alémda secção activa da viga, em particular nazona de localização do amortecedor. Estadiferença de comportamento, em relaçãoao ensaio a 15 Hz, poderá ser explicadapela alteração do espectro no domínio donúmero de onda do campo deslocamentos,figura 25. Com efeito, verifica-se, que noensaio a 60 Hz o espectro do campo dedeslocamentos no domínio do número deonda apresenta uma distribuição maishomogénea do que a 15 Hz, onde são ostermos de õrdem mais baixa que assumemmaior preponderância. Neste caso, os

termos majs significativos são facilmenteisolados através da aplicação de um filtro.Este motivo contribui para o maior desvioverificado no ensaio a 60 Hz, quer emtermos do valor máximo do fluxo quer emtermos da sua distribuição em relação aomodelo analítico.

Fig 25 - Representação no domínio do número deonda do campo de velocidades a 15 e a 60 Hz.

7 CONCLUSÕES

Este trabalho conduziu a umaformulação consistente para adeterminação da intensidade estrutural porvia experimental em vigas em regimeestacionário harmónico. A formulação éestabelecida em termos dos éampos dedeslocamento e/ou velocidade e dosrespectivos esforços internos dinâmicos,utilizando dois algoritmos distintos paraprocessamento e derivação espacial docampo medido. Um dos algoritmos ébaseado no ajustamento polinomial, e ooutro no método das diferenças finitasmodificado com filtragem no domínio donúmero de onda.

Os resultados obtidos para a intensidadeestrutural e para o seu divergente, nosensaios realizados com a vigasimplesmente apoiada e com a vigabi-encastrada, permitiram, nalguns casos,identificar correctamente a distribuição daintensidade estrutural e a localização dafonte e do dissipador de energia vibratória.Estes resultados revelaram, igualmente,que o “ruído” da medição pode influenciarde forma significativa a determinação ‘daintensidade estrutural e do seu divergente.

x 10-81

— Sol. analftica— Aprox. polinomial

6 ldcxlod odfç O t

1 \‘ .

O . - 0.29 0.58 0.87 1.16x [ml

iO2 , , ,

1 —- Snsaio (15Hz)

-

111(60Hz)

10

—

0’ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Número de ordem

x 10”

0.58 1.16

A aplicaçãonúmero decomponentes

de filtros no domínio doonda permite eliminar

do “ruído” da medição.

122

Porém, as componentes da informação, emparticular as de ordem mais elevada nodomínio do número de onda, e ascomponentes de alta-frequência do “ruído”da medição sâo indissociáveis, pelo que afiltragem pode conduzir à eliminação decomponentes da informação que sãorelevantes para o cálculo da intensidadeestrutural, nomeadamente através dasderivadas de ordem mais elevada.

A diminuição da ordem da derivaçãoespacial, por recurso à medição do campode deslocamentos e de momentos flectores,conduziu a uma melhoria significativa nadistribuição da intensidade estrutural e dodivergente, evidenciando-se a propagaçãodo “ruído” associado às mediçõesexperimentais com a ordem da derivaçãoespacial.

REFERÊNCIAS

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[5] G. Pavi&”Measurernent of StructureBorne Wave Intensity, Part Is formulationof The Methods” Journal oJ Sound andVibration —vol 49(2), pp 221-230, 1976.

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