1.- Dados los vectores y encontrar: un vector unitario en direccin de .

la magnitud de

2.- Los vrtices de un tringulo estn en (-1 , 2 , 5), B(-4 , -2 , -3) y C(1 , 3 , -2)

Encontrar el permetro del tringulo

Encontrar un vector unitario dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC

demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar es igual al vector de A a C y que, por lo tanto, el vector unitario es paralelo al lado AC

3.- Un vector desde el origen hasta el punto A est dado por (6 , -2 , -4), y un vector unitario dirigido desde el origen hasta el punto B est dado por (2 , -2 , 1)/3. Si los puntos A y B se encuentran diez unidades entre s, encontrar las coordenadas del punto B.

Solucin: si denotamos con el vector unitario entonces existe un k tal que se cumple la ecuacin vectorial , as que:

y solucionando esta cuadrtica resulta con lo cual encontramos dos valores posibles para el vector :

As que las coordenadas del punto B pueden ser (7.83 , -7.83 , 3.92) o (-2.50 , 2.50 , -1.25); estas dos soluciones son posibles porque si consideramos el plano que contiene a los vectores y podran ser:

10

10

4.- Un crculo con centro en el origen y un radio de dos unidades est en el plano xy. Determinar el vector unitario en coordenadas cartesianas que est en el plano xy, es tangente al crculo en el punto ( 1 , 0) y est en la direccin positiva del eje y.

Solucin: si denotamos con el vector unitario desde el origen al punto ( 1 , 0) entonces , entonces el vector buscado es perpendicular a ( ya que este vector est en el radio que pasa por el punto dado), est en el plano xy y ser igual a , ya que y su segunda componente es positiva.

5.- Un campo vectorial est dado por . Dados dos puntos, P( 1 , 2 , -1) y Q( -2 , 1 , 3) encontrar:

en P

Un vector unitario en la direccin de en Q

Un vector unitario de Q a P

La ecuacin de la superficie en la que

6.- Si es un vector unitario en una determinada direccin, B es un escalar constante y , describir la superficie Cul es la relacin entre el vector unitario y el escalar B en esta superficie?

Solucin: si B = 0, entonces es la ecuacin de un plano con vector normal que pasa por el origen. Si B 0 entonces es la ecuacin de un plano (subespacio afn) que no pasa por el origen. Debe existir un punto Q , en este plano, tal que el vector que inicia en el origen y termina en Q , digamos cumple que , en otras palabras la componente del vector en la direccin del vector es B

7.- Dado el campo vectorial en la regin y menor a 2, encontrar:

Las superficies en las que Tenemos entonces las regiones:

La regin en la que Tenemos entonces las regiones:

la regin en la que = 0 = 0 y y Tenemos entonces la region:

8.- Demostrar la ambigedad que se produce cuando se utiliza el producto cruz para encontrar el ngulo entre dos vectores y se obtiene el ngulo formado entre y Se presenta esta ambigedad cuando se utiliza el producto punto?

Solucin: si es el ngulo entre los vectores se cumple que

Pero si usamos la frmula resulta que:

Esto ocurre porque el seno de un ngulo y el seno de su suplemento son iguales, as que cuando el ngulo entre los vectores sea mayor a 90 la calculadora nos dar con el seno inverso el menor de estos ngulos. Esto no ocurre con el coseno inverso.

9.- Dado el campo encontrar: Un vector unitario en la direccin de en P ( 3 , 4 , -2 )

El ngulo entre y en P

El valor de la doble integral en el plano y = 7

10.- Utilizando la definicin del producto punto y expresando diagonales como vectores, encontrar el ngulo ms pequeo entre cualquier par de diagonales de un cubo, donde cada diagonal conecte dos esquinas dilateralmente opuestas y pase por el centro del cubo.

Solucin: si la pregunta es el ngulo que forman dos diagonales del cubo, sea el vector una diagonal, la otra diagonal podra ser entonces sea el ngulo en cubo es de arista l :

11.- Dados los puntos M(0.1 , -0.2 , -0.1), N(-0.2 , 0.1 , 0.3) y P(0.4 , 0 , 0.1), encontrar: El vector

El producto punto

La proyeccin escalar de sobre

El ngulo entre y

12.- Demostrar que los campos vectoriales y son ortogonales entre s en cualquier punto.

Solucin: basta demostrar que en cualquier punto, notemos que:

13.- Encontrar la componente vectorial de que es paralelo a

Encontrar la componente vectorial de perpendicular a

Encontrar la componente vectorial de perpendicular a

14.- Demostrar que los campos vectoriales y son paralelos entre s en cualquier punto.

15.- Tres vectores que se extienden desde el origen estn dados por = (7 , 3 , -2), (-2 , 7 , -3) y (0 , 2 , 3). Encontrar:

Un vector unitario ortogonal a y a

Un vector unitario perpendicular a y

El rea del tringulo formado por y

El rea del tringulo formado por las puntas de los vectores , y

16.- El campo vectorial donde B es constante se desplazar de tal forma que su origen estar en la lnea x = 2, y = 0. Escribir el desplazamiento de en coordenadas cartesianas.Solucin: el campo vectorial escrito en coordenadas rectangulares est dado por as que al trasladar el origen al punto ( 2 , 0 ) resulta en coordenadas cartesianas que:

17.- Un tringulo lo definen el punto A(-4 , 2 , 5) y los vectores = (20 , 18 , -10) y = (-10 , 8 , 15)

Encontrar un vector unitario perpendicular al tringulo

Encontrar un vector unitario coplanario al tringulo y perpendicular a

Encontrar un vector unitario coplanario al tringulo que biseca al ngulo interior en AEl tringulo formado por el origen y los puntos terminales de los vectores y que representan los vectores unitarios en las direcciones de y es issceles, as que el segmento que va del origen al punto medio es altura, bisectriz y mediana, entonces

18.- Convertir de coordenadas cilndricas a esfricas el campo vectorial donde A es constante.Solucin: el campo vectorial tiene nicamente componentes en la direccin entonces escrito en coordenadas esfricas est dado por:

19.- Expresar con componentes y variables cilndricas el campo

Evaluar en el punto donde , 0.2 y z = 5, expresando el resultado en componentes cilndricas y cartesianas

20.- Un cilindro de radio y centro sobre el eje z, gira con respecto al eje z con una velocidad angular rad/s. El sentido de rotacin es opuesto al de las manecillas del reloj respecto a la direccin positiva del eje z. Utilizando componentes cilndricas, obtener una expresin para el campo de velocidad , el cual proporcione la velocidad tangencial en cualquier punto del cilindro

Convertir a componentes esfricas el resultado del inciso anterior

Convertirlo a componentes cartesianas

21.- Expresar en componentes cilndricas: El vector desde C(3, 2, -7) hasta D(-1, -4, 2)

Un vector unitario en D dirigido hacia C

Un vector unitario en D dirigido hacia el origen

22.- Una esfera con centro en el origen y radio a, gira con respecto al eje z con una velocidad angular rad/s en direccin opuesta a las manecillas del reloj en la direccin positiva del eje z. Escribir una expresin, utilizando componentes esfricas, del campo de velocidad que proporcione la velocidad tangencial en cualquier punto de la esfera Solucin: est claro que la velocidad es tangencial a cualquier crculo que represente una curva de nivel con z constante menor que el radio de la esfera, esto significa que el vector ser paralelo a con lo que

Convertirlo a componentes cartesianas

23.- Una superficie cerrada est definida por las superficies 3, 5, = 100, , z = 3 y z = 4.5 Encontrar el volumen encerrado

Hallar el rea total de la superficie encerrada

Encontrar la longitud total de las doce esquinas de la superficie

Encontrar la longitud de la lnea recta ms larga que est encerrada dentro del volumenSolucin: la distancia corresponden a la diagonal que en coordenadas cartesianas son y , as que:

24.- Expresar el campo en

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilndricas

25.- Dado el punto P(r=0.8, =30, =45) y Encontrar en P

Encontrar en P

Hallar un vector unitario en la direccin de en P

26.- Expresar el campo vectorial uniforme en Componentes cilndricas

Componentes esfricas

27.- Una superficie cerrada est definida por las superficies r = 2 y 4, = 30 y 50 y = 20 y 60 Encontrar el volumen encerrado

Hallar el rea de la superficie encerrada

Encontrar la longitud total de las doce orillas de la superficie

Hallar la longitud de la lnea recta ms larga que se encuentra dentro de la superficieSolucin: la distancia corresponden a la diagonal que inicia en el punto P y termina en Q cuyas coordenadas cartesianas son y , as que:

28.- Expresar el campo vectorial en

Componentes cartesianas

Componentes cilndricas

29.- Expresar el vector unitario en componentes esfricas en el punto:

r = 2, = 1 rad, = 0.8 rad

x = 3, y = 2, z = -1Este punto en coordenadas esfricas es luego

= 2.5, = 0.7, z = 1.5Este punto en coordenadas esfricas es luego

30.- Un campo vectorial tiene el valor en el punto B(5,120,75). Encontrar la componente vectorial de que: Es perpendicular a la superficie r = 5

Tangente a la superficie r = 5

Tangente al cono = 120

Encontrar un vector unitario que sea perpendicular a y tangente al cono = 120Solucin: si pasamos este cono a coordenadas cartesianas resulta tomamos el gradiente de este escalar resulta y regresando a coordenadas esfricas resulta y entonces haciendo el producto cruz con resultara un vector perpendicular a ambos: