Estruturas Discretas Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade.

Estruturas Discretas

Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em

Profundidade


BFS(G)

1 for every vertex s of G not explored yet2 do Enqueue(S,s) 3 mark vertex s as visited4 while S is not empty do5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then8 mark edge (v,u) as tree edge9 mark vertex v as visited10 Enqueue(S,v)

Busca em Largura

Notação

• Adj[u] : lista dos vértices adjacentes a u em alguma ordem• Dequeue(S): Remove o primeiro elemento da fila S• Enqueue (S,v) : Adiciona o nó v na fila S


Exemplo

12

34

57

6

BFS(G)

1 for every vertex s of G not explored yet2 do Enqueue(S,s); 3 mark vertex s as visited4 while S is not empty do5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then8 mark edge (v,u) as tree edge9 mark vertex v as visited10 Enqueue(S,v)

S


Exemplo

12

34

57

6

1

BFS(G)


S


12

34

57

6

Exemplo

S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

4S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

4 5S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

4 5 2S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

5 2S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

2S

BFS(G)



12

34

57

6

Exemplo

S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

6S

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

S

BFS(G)



12

34

57

6

3

Exemplo

S

BFS(G)



12

34

57

6

3

Exemplo

S

3

BFS(G)



12

34

57

6

Exemplo

S

3

BFS(G)



Exemplo

12

34

57

6

S

BFS(G)


7


Distâncias da origem aos demais vértices

BFS(G)

1 For each v do d[v]infinito (inicia o vetor d)2 Enqueue(S,s) ; d[s]0 3 mark vertex s as visited4 while S is not empty do5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then8 d[v]d[u]+1 (atualiza o valor de d[v])9 mark edge (v,u) as tree edge10 mark vertex v as visited11 Enqueue(S,v)

• Assumimos que o grafo é conexo

• Ao término da execução d[v] guarda a distância entre a origem s e o vértice v


Propriedades da Busca em Largura

Teorema: A BFS visita os vértices em ordem crescente de distâncias

Teorema: Para toda aresta (v, w) em G tal que v Li e w L

j, |i – j| ≤ 1.

L0

L1

L2

L3

L4


Busca em Profundidade

12

34

57

6

DFS(G)1 Para todo v em G2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v)

DFS-Visit(G, v)1 Marque v como visitado2 Para todo w em Adj(v)3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore5 DFS-Visit(G, w)


Busca em Profundidade : Exemplo

12

34

57

6

DFS(G)1 Para todo v em G2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v)

DFS-Visit(G, v)1 Marque v como visitado2 Para todo w em Adj(v)3 Se w não visitado então 4 Insira aresta (v, w) na árvore5 DFS-Visit(G, w)


Vetor Componente(v) • Armazena um número inteiro correspondente a componente conexa aonde v se encontra

Aplicações: Determinar as Componentes Conexas


COMPONENTES (G)

1 num =12 Para todo v em G3 Se v não visitado então4 componrnte(v) num5 DFS_visit(v,num)6 num ++

DFS_Visit(v, num)1 Marque v como visitado2 Para todo w em Adj(v)3 Se w não visitado então4 DFS_Visit(w,num)5 componente(w) num

Aplicações: Determinar as Componentes Conexas


Aplicações: Determinar se um grafo é bipartido

■G = (V,E) = (X,Y,E)

■XY = V

■XY = ■{u,w}E então uX e wY

■Exemplos

■professores e horários

■candidatos e postos

■masculino e feminino

A

B

C

D

E

F


Aplicações: Determinar se um grafo é bipartido

BIPARTITE (G)1 Bipartite true2 Para todo v em G3 Se v não visitado então 4 DFS_Visit(v,0)

DFS_Visit(v,p)

1 Marque v como visitado2 partição(v) p3 Para todo w em Adj(v)4 Se w não visitado então 5 DFS_Visit (w, 1– p )6 Senão 7 Se partição(w)=p8 Bipartite false

A

B

C

D

E

F

Estrutura de Dados Partição: vetor de |V| posições

• Partição(u) armazena 0 ou 1, dependendo da partição em que o vértice u se encontra


DFS: Estrutura de Dados

cor• cor(u)=branco, u não foi visitado• cor(u)=cinza, u já foi visitado mas seus vizinhos ainda não• cor(u)=preto, u e seus vizinhos já foram visitados

• (u) = v se e somente se u é visitado quando a lista dos vizinhos de v é percorrida

d • d(u) marca o momento em que u é visitado

f• f(u) marca o momento em que a DFS a partir de u termina (u se torna preto)



DFS(G)1 for every vertex u of G2 cor[u]white; [u]NIL3 time04 for every vertex v of G5 if cor[v]=BRANCO then6 DFS-Visit(u)

DFS-Visit(u)1 cor[u]CINZA2 time time+13 d[u] time4 for each v in Adj[u] 5 if cor[v]=BRANCO then6 [v]u; 7 DFS-Visit[u]8 cor[u]NEGRO9 time time+1 10 f[u] time+1


Propriedades da DFS

Teorema 1: Seja T a árvore produzida por uma DFS em G e seja vw uma aresta de G. Se v é visitado antes de w então v é ancestral de w em T.


Propriedades da DFS

Teorema 2: Sejam u e v dois vértices de G tal que u é visitado antes de v. Então uma das duas possibilidades ocorre

• d(u) < d(v) < f(v) < f(u)• d(u) < f(u) <d(v) < f(v)


Propriedades da DFS

Teorema 3: Um nó v é descendente de um nó u em uma busca em profundidade se e somente se existe um caminho de u até v que utilize apenas nós com cor branca no momento que u se torna cinza

=> Se existe o caminho branco podemos argumentar por indução no tamanho do caminho. Seja w o primeiro vértice do caminho ‘branco’ que liga u a v que é visitado durante DFS(u). Este w tem que existir já que o sucessor de u no caminho é visitado durante a DFS(u) pela Teorema 1. Segue que w é descendente de u e v é descendente de w pela hipótese de indução.

<= Se não existe caminho branco então DFS(u) não alcança v


Classificação de arcos em um dígrafo

1. Arco de Árvore: (u,v) é do tipo ‘A’ se v é visitado pela primeira vez quando a lista Adj[u] é percorrida

2. Arco Reverso: (u,v) é do tipo ‘R’ se v é ancestral de u na árvore gerada pela DFS

3. Arco Direto: (u,v) é do tipo ‘D’ se v é descendente de u na árvore gerada pela DFS e (u,v) não é do tipo ‘A’

4. Arco Cruzado: Demais arcos


Propriedades da DFS


Prova

Seja C um ciclo em G e seja u o primeiro nó de C visitado pela DFS. Seja v o predecessor de C no ciclo. Portanto, v é descendente de u (caminhos brancos) e o arco (u,v) é reverso.

Seja (u,v) um arco reverso. Portanto, v é descendente de u. Logo, existe um caminho de v para u em G. Adicionando (u,v) a este caminho obtemos um ciclo

Testando se um grafo direcionado contem ciclos

Teorema: O grafo G é cíclico se e somente se a execução de uma DFS em G produz um arco reverso.


DFS(G)1 for every vertex v of G2 do set d[v] 0,f[v] 03 Time 1; Aciclico true4 for every vertex v of G5 if d[v] =0 then 6 DFS(G, v)7 Return Aciclico

DFS_Visit (v)1 d[v] time ; time ++2 For every w in Adj(v)3 if d[w]=0 then 4 DFS_Visit (w)5 Else if f[w]=0 then ( ‘arco reverso’)6 Aciclico false7 f[v] time; time ++

Testando se um grafo direcionado contem ciclos

Estruturas Discretas Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade.

Documents

Transcript of Estruturas Discretas Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade.