Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 3

Determinao dos esforos de cisalhamento, momentos fletores e deformao nos modelos de estruturas planas mais comuns

Legenda

H reao horizontal no apoio V reao vertical no apoio M reao momento no apoio Q esforo cortante ou cisalhante Mf momento fletor ymax deformao vertical mxima F carga concentrada W carga distribuda Wmax carga triangular

E mdulo de elasticidade do material I momento de inrcia L comprimento da viga a b c distncias entre componentes x distncia medida em x a partir da

origem A B apoios max valores mximos

Convenes

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 4

Estruturas Isostticas

Viga engastada com carga concentrada em um ponto qualquer

H=0 V=F=Qmax

M=-F.a=Mfmax

IELFy..3

.

3

max =

quando 0 x a

Q=Qmax

Mf=M+V.x=-F.a+V.x

quando a x L

Q=0

Mf=0

Viga engastada com carga distribuda uniformemente

H=0 V=W.L=Qmax

2.

2

max

LWMM ==

IEWLy

.8

4

max =

quando 0 x L

Q=Qmax-Wx=WL-Wx

2)(

2

222

max

xLWWxMMf =+=

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 5

Viga engastada com carga distribuda e carga concentrada num ponto qualquer

H=0 WLFQV +== max

)2

(2

max

WLFaMM +==

EIWL

IELFy

8..3.

43

max +=

quando 0 x a

WxWLFWxQQ +== max

2)

2(

2

222

max

WxWLFaWxMMf ++=+=

quando a x L

WxWLWxFQQ == max

22

222

max

WxWLWxFaMMf +=++=

Viga engastada com momento fletor na extremidade

H=0 V=0=Q

M=Me=Mmax

EILMey

2.

2

max =

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 6

Viga engastada com carga triangular mais intensa no engaste

H=0 2

maxmax

LWQV ==

6

2max

max

LWMM ==

EILW

y30

4max

max =

)(22maxmax

max xLWxWQQ ==

)(66

22max2

maxmax Lx

WxWMMf =+=

Viga engastada com carga triangular mais intensa na extremidade oposta

H=0 2

maxmax

LWQV ==

3

2max

max

LWMM ==

EILW

y15

4max

max =

)(22

2max

2max

max LxL

WLxWQQ ==

)(33

23

max

3max

max LLxW

LxW

MMf =+=

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Viga bi-apoiada com carga concentrada em um ponto qualquer

LFbQVA == +max L

FaQVB == max

H=0 bVaVMf BA ==max )(

6222

max LbxEILFbxy +=

Obs: Mfmax e ymax ocorrem em x=a

quando 0 x a

Q=Qmax+

xVMf A=

quando a x L

Q=Qmax-

)()( xLVaxFxVMf BA ==

Viga bi-apoiada com carga distribuda

2maxWLQVV BA === H=0

882

22

max

WLWLLVMf A ==

EIWLy

3845 4

max =

Obs: Mfmax e ymax ocorrem em x=L/2

)2

( xLWWxVQ A ==

)(22

22

xLxWWxxVMf A ==

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 8

Viga bi-apoiada com carga distribuda e carga concentrada num ponto qualquer

2maxWL

LFbQVA +== +

2maxWL

LFaQVB +== H=0

)2(24

)(6

222

222max

LxLxEI

Wx

LbxEIL

Fbxy

++=

Obs: - Mfmax ocorre em x onde Q=0 - ymax ocorre no ponto de MfMax

quando 0 x a

WxVQ A = 22Wx

xVMf A = quando a x L

FWxVQ A =

)(2

2

aLFWxxVMf A = Viga bi-apoiada com carga triangular

H=0 3

maxmax

LWQVA == +

6max

max

LWQVB ==

)23

(2 max

max xLWxWVQ A ==

)(33

2max2

max xLxWxW

xVMf A ==

EILW

y154

4max

max =

Obs: Mfmax e ymax ocorrem no ponto onde Q=0 ou x=2L/3

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 9

Viga bi-apoiada com cargas concentradas em ponto qualquer

H=0 L

cFcbFQVA.2).(1

max

++== +

LbaFaFQVB

).(2.1max

++==

0 x a AVQ = xVMf A=

a x a+b 1FVQ A =

).(1 axFxVMf A =

a+b x L 21 FFVQ A =

).(2).(1 baxFaxFxVMf A =

Obs: Mfmax e ymax ocorrem no ponto x onde Q=0

)(3

).)(21( 22max xxLEIL

xLxFFy +=

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 10

Estruturas Hiperestticas

Viga bi-engastada com carga concentrada em um ponto qualquer

)3(32

baL

FbVA += 0== BA HH

)3(32

abL

FaVB +=

2

2

LFabM A = 2

2

LFbaM B =

]3)3([6 3

22

max aLbaaEILbFay +=

0 x a

Q=VA ])3([3

2

aLbaxL

FbMf a +=

a x L

Q=- VB )( axFMfMf ab +=

Viga bi-engastada com carga distribuda

0== BA HH

2WLVV BA ==

12

2WLM A = 12

2WLM B =

)2(2

xLWQ =

)66(12

22 LxLxWMf =

EIWLy

384

4

max =

Fundamentos do Projeto Mecnico Jorge L. Ferreira Tabelas - 11

Viga com engaste e apoio simples e carga concentrada em ponto qualquer 0== BA HH

)3(2

223 bLL

FbVA =

)3(2 3

2

aLL

FaVB =

)]3()(3[12

22223

2

max bLaLbLEILFbay +=

0 x a

Q=VA )]3([

22232

3 bLxLLbLFbMf a +=

a x L

Q=- VB )33(

22

3

2

axaLLxLL

FaMfb +=

Viga com engaste e apoio simples e carga distribuda

0== BA HH

85WLVA = 8

3WLVB =

8

2WLM A =

WxWLQ =8

5

)54(8

22 LLxxWMf +=

EIWLy

185

4

max =