Estudo e caracterização dos fenómenos térmicos

limitativos em geradores eléctricos de baixa velocidade

para aproveitamento das energias renováveis

Mariana Sofia Barreira Cavique Santos

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientadores: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco

Engenheiro Bruno Paínho

Júri

Presidente: Profª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Orientador: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco

Vogal: Prof. Doutor Duarte de Mesquita e Sousa

Outubro de 2014

2

Agradecimentos

Agradeço a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização do presente trabalho.

Em especial:

Ao meu orientador, Professor Paulo Branco, pela disponibilidade constante, competência,

confiança, pelos seus ensinamentos e pelas discussões sempre válidas.

Ao Engenheiro João Fernandes, pela sua disponibilidade constante, espírito crítico e pela ajuda

incansável a encontrar soluções aos problemas impostos.

Ao meu co-orientador, Engenheiro Bruno Paínho, e à empresa RESUL - Equipamentos de

Energia S.A pelo apoio logístico e cedência de dados.

Aos meus pais e à minha irmã, pela educação, ajuda e incentivo que me deram ao longo da

minha vida.

Ao meu colega e namorado André Matias, pelo apoio ao longo destes cinco anos de curso.

3

Resumo

O aquecimento proveniente das perdas em geradores eléctricos de magnetos permanentes de

baixa velocidade pode ser particularmente nocivo às partes mais sensíveis da máquina,

nomeadamente no isolamento elétrico e nos magnetos permanentes. O conhecimento da

temperatura numa máquina eléctrica é pois importante na medida em que permite estimar o

respectivo tempo de vida útil.

Actualmente, com a crescente necessidade de máquinas com menor peso e volume, maior

eficiência e menor custo, impondo a exploração de novas topologias e materiais, é necessário

o estabelecimento de um modelo térmico para melhorar o projeto de geradores eléctricos no

sentido de reduzir a sua temperatura.

Neste trabalho propõe-se um modelo térmico de parâmetros concentrados desenvolvido para a

previsão da temperatura ao longo das diferentes partes construtivas de um gerador eléctrico de

baixa velocidade de 50kW com topologia radial. É dada especial atenção ao cálculo das perdas

no ferro, estimadas com base num modelo numérico da máquina com recurso ao método de

elementos finitos para a simulação do campo electromagnético, e às perdas no cobre. Os

resultados obtidos pelo modelo de parâmetros concentrados construído são comparados com

aqueles obtidos da análise térmica numérica. Por fim, a potência de perdas do gerador de fluxo

radial é comparada com a potência de perdas de um gerador de fluxo transversal de igual

potência.

Palavras_Chave: Gerador síncrono, modelo térmico, potência de perdas, análise pelo método

de elementos finitos, modelo térmico de parâmetros concentrados.

4

Abstract

The heating caused by losses in low-speed power PM generators can be harmful to the

sensitive parts of electrical equipment, such as electrical insulation and permanent magnets.

The prediction of the temperature of low-speed generators is important in order to estimate its

lifetime.

Due to the fact of increasing requirements such as energy efficiency, cost reduction, or

exploitation of new topologies and materials, a thermal model becomes necessary for

improvements on generator design to reduce temperatures.

This work gives an approach of an analytical thermal model based on lumped-parameters

developed for the prediction of the temperature of a low-speed 50 kW generator with radial

topology. Particular attention is given to the calculation of iron losses, by Finite Element

Analysis (FEA), and copper losses. The results obtained by lumped-parameter thermal analysis

are compared with Finite Element Thermal Analysis. In addition, the power losses of two 50kW

generators with different topologies are compared.

Keywords: Synchronous generator, thermal model, power losses, finite-element analysis

(FEA), lumped-parameter thermal analysis

5

Índice

Agradecimentos............................................................................................................................. 2

Resumo ......................................................................................................................................... 3

Abstract ......................................................................................................................................... 4

Lista de Figuras ............................................................................................................................. 7

Lista de Tabelas ............................................................................................................................ 9

Lista de Símbolos ........................................................................................................................ 10

Lista de Abreviaturas ................................................................................................................... 13

1. Introdução ............................................................................................................................ 14

2. Conceitos teóricos sobre transferência de calor aplicados aos geradores eléctricos de

baixa velocidade .......................................................................................................................... 15

2.1. Tipos de transferência de calor em máquinas eléctricas ............................................. 15

2.2. Modelo térmico a parâmetros concentrados aplicados a máquinas eléctricas ............ 15

2.2.1. Cálculo das capacidades térmicas ...................................................................... 17

2.2.2. Cálculo das resistências térmicas ....................................................................... 18

2.2.2.1. Transferência de calor por condução .............................................................. 18

2.2.2.1.1. Condução numa placa plana ..................................................................... 20

2.2.2.1.2. Condução em geometrias cilíndricas......................................................... 21

2.2.2.2. Transferência de calor por convecção ............................................................ 23

2.2.3. Cálculo das perdas .............................................................................................. 25

2.2.3.1. Perdas no cobre .............................................................................................. 25

2.2.3.2. Perdas no ferro ................................................................................................ 26

2.2.3.3. Perdas nos magnetos permanentes ............................................................... 31

2.3. Características e modelos comportamentais dos materiais mais comuns em máquinas

eléctricas .................................................................................................................................. 32

2.3.1. Condutividade térmica dos materiais mais comuns em máquinas eléctricas ........... 32

2.3.2. Característica térmica e magnética dos magnetos permanentes ............................. 34

2.3.3. Características magnéticas das chapas .................................................................... 35

3. Análise electromagnética de um gerador síncrono de magnetos permanentes de fluxo

radial ............................................................................................................................................ 37

3.1. Descrição do gerador e respectivas características construtivas .................................... 37

3.2. Modelo em elementos finitos do gerador: 2D ................................................................... 39

3.3. Distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro em vazio ........................ 40

3.4. Modelo em elementos finitos do gerador: 3D ............................................................... 42

3.5. Cálculo das perdas no ferro do gerador em vazio à velocidade nominal ..................... 44

3.5.1. Perdas no estator ................................................................................................ 44

6

3.5.1.1. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando elementos

2D 46

3.5.1.2. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando elementos

3D 48

3.5.2. Perdas no rotor .................................................................................................... 50

3.6. Disposição dos enrolamentos e força electromotriz induzida ...................................... 52

3.7. Cálculo das perdas no cobre ........................................................................................ 55

3.7.1. Modelo em parâmetros concentrados da máquina síncrona: Resistência elétrica

e indutância síncrona por fase do gerador .......................................................................... 55

3.7.2. Corrente na fase .................................................................................................. 58

3.7.3. Perdas no Cobre ................................................................................................. 60

3.8. Cálculo das perdas no ferro em carga à velocidade nominal....................................... 61

3.8.1. Perdas no estator ................................................................................................ 61

3.8.2. Perdas no rotor .................................................................................................... 67

4. Modelo térmico do gerador síncrono de magnetos permanentes em regime estacionário 68

4.1. Modelo térmico em parâmetros concentrados: modelo em camadas cilíndricas para o

circuito térmico ......................................................................................................................... 68

4.1.1. Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção .............................. 69

4.1.2. Variação da condutividade térmica dos materiais com a temperatura ...................... 73

4.2. Modelo térmico pelo método de elementos finitos ........................................................... 75

4.3. Comparação dos dois modelos: alteração do modelo de parâmetros concentrados .. 76

5. Conclusões........................................................................................................................... 78

6. Trabalhos futuros ................................................................................................................. 79

7. Referência Bibliográficas ..................................................................................................... 79

8. Anexos ................................................................................................................................. 81

Anexo 1- Característica BH do material M250-50A................................................................. 81

Anexo2- Processo de cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção, h ..... 82

7

Lista de Figuras

Figura 1- Transformação da estrutura do estator: (a) Estrutura do estator. Retirado de [2]; (b)

Modelo em camadas cilíndricas. ................................................................................................. 16 Figura 2- Esquema eléctrico equivalente do modelo térmico em regime permanente............... 17 Figura 3- Balanço energético num elemento de volume onde existe transferência de calor por

condução. .................................................................................................................................... 19 Figura 4- Ilustração da Lei de Fourier para o caso de um processo unidimensional,

estacionário, através de uma placa plana com condutividade térmica constante. ..................... 20 Figura 5- Representação de resistências térmicas em série. ..................................................... 21 Figura 6- Camada de material isotrópico e com geometria cilíndrica. ........................................ 21 Figura 7- Ilustração da Lei de Newton do arrefecimento. ........................................................... 24 Figura 8- Ciclo de Histerese. Figura adaptada de [9]. ................................................................ 27 Figura 9- Áreas no ciclo de histerese proporcionais à quantidade de energia envolvida no

processo.(a) Energia consumida na alternância positiva (b) Energia devolvida na alternância

positiva (c) Energia de perdas na alternância positiva .(d) Energia consumida na alternância

negativa (e) Energia devolvida na alternância negativa (f) Energia de perdas na alternância

negativa. Figura adaptada de [10]. ............................................................................................. 28 Figura 10- Lâmina de um núcleo ferromagnético: (a) Caminho percorrido pelas correntes de

Foucault; (b)Secção da placa do material ferromagnético. Adaptada de [10]. ........................... 29 Figura 11-Dimensões do magneto permanente. Representação das grandezas em estudo. ... 32 Figura 12- Variação da condutividade térmica do cobre, alumínio e ferro com a temperatura. . 33 Figura 13- Variação da condutividade térmica do ar com a temperatura. .................................. 33 Figura 14- Curvas de desmagnetização do magneto NdFeB N35. Retirado de [15]. ................ 34 Figura 15- Característica BH do material M250-50A. Retirado de [1]. ....................................... 35 Figura 16- Gerador síncrono de 50kW estudado: (a) Fotografia do gerador; (b) Desenho do

gerador. Retirado de [16]. ........................................................................................................... 37 Figura 17- Dimensões gerais do gerador (saliências e magnetos permanentes). ..................... 38 Figura 18- Visão de aproximadamente um quarto do modelo 2D do gerador, implementado em

parâmetros distribuídos através de um modelo de elementos finitos. ........................................ 39 Figura 19-(a) Saliências posicionadas entre dois magnetos; (b) Saliências alinhadas com

magnetos. .................................................................................................................................... 40 Figura 20 –Componente radial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos

360º do gerador. .......................................................................................................................... 40 Figura 21- Componente tangencial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos

360º do gerador. .......................................................................................................................... 41 Figura 22- Norma da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do gerador.

..................................................................................................................................................... 41 Figura 23- Densidade de fluxo magnético num quarto da circunferência no entreferro, ou seja,

ao longo dos seus 90º mecânicos. .............................................................................................. 42 Figura 24- Linha de medição da densidade de fluxo magnético na saliência. ........................... 43 Figura 25- Esquema da saliência do estator em profundidade. Profundidades em foi medida a

densidade de fluxo magnético. .................................................................................................... 43 Figura 26- Densidade de fluxo magnético em função do tempo em várias profundidades do

estator. ......................................................................................................................................... 44 Figura 27- Percentagem fluxo total em relação à posição central da máquina nas várias

profundidades. ............................................................................................................................. 44 Figura 28- Superfície de interpolação dos dados do fabricante do material M250-50A. ............ 45 Figura 29- Divisão de cada saliência do estator em 4 regiões. .................................................. 46 Figura 30- Representação das linhas de medição da grandeza B nas saliências do estator. ... 47 Figura 31- Superfícies transversais de medição do B na saliência do estator. .......................... 49 Figura 32- Pontos de medição da evolução temporal da indução magnética no rotor............... 50

8

Figura 33- Superfície de medição da evolução temporal da indução magnética no magneto. .. 51 Figura 34- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra

em vazio. ..................................................................................................................................... 51 Figura 35- Colocação do enrolamento a constituir uma das bobinas do estator. Retirado de [16].

..................................................................................................................................................... 52 Figura 36- Disposição dos enrolamentos no estator dividido em quatro secções. Retirado de

[16]. .............................................................................................................................................. 53 Figura 37- Fluxos magnéticos ligados com cada uma das 5 saliências onde assentam as cinco

bobines consecutivas de uma das fases em função do ângulo do rotor. ................................... 53 Figura 38- Força electromotriz induzida em cada uma das 5 bobinas consecutivas e que fazem

parte de uma das fases do gerador. ........................................................................................... 54 Figura 39- Tensões nas fases A-B-C do gerador. ...................................................................... 55 Figura 40- Circuito equivalente da máquina em regime síncrono. ............................................. 55 Figura 41- Ensaios experimentais aplicados ao gerador com dois tipos de carga: uma carga

resistiva e uma carga RC paralela. Retirado de [16]. ................................................................. 56 Figura 42- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga puramente

resistiva. ...................................................................................................................................... 57 Figura 43- Carga RC paralela aplicada ao gerador por fase. ..................................................... 58 Figura 44- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga RC paralelo. ... 59 Figura 45- Corrente de fase em função da velocidade da máquina para diferentes condições de

carga. ........................................................................................................................................... 60 Figura 46- Corrente de fase em função da potência de saída para diferentes condições de

carga. ........................................................................................................................................... 60 Figura 47- Perdas no cobre em função da potência de saída para diferentes condições de

carga. ........................................................................................................................................... 61 Figura 48- Disposição dos enrolamentos trifásicos nas quatro secções do estator ao longo do

gerador. Adaptado de [16]. .......................................................................................................... 62 Figura 49- Direcções das grandezas electromagnéticas no fenómeno de indução magnética.

Densidade de fluxo magnético (vermelho), tensão induzida (verde) e corrente eléctrica (azul).62 Figura 50- Ponto de medição da densidade de fluxo magnético na saliência quando o gerador

está em carga. ............................................................................................................................. 63 Figura 51- Densidade de fluxo magnético radial com origem no magneto e na corrente

alternada. ..................................................................................................................................... 64 Figura 52- Densidade de fluxo magnético radial em saliências onde assentam bobines

consecutivas. ............................................................................................................................... 64 Figura 53- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra

em carga. ..................................................................................................................................... 67 Figura 54- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas. ............................................. 68 Figura 55- Circuito em parâmetros concentrados do modelo considerado na Figura 54. .......... 69 Figura 56- Representação do circuito térmico. Ponto 1-Temperatura na extremidade da

saliência. Ponto 2- Temperatura na superfície da máquina. ...................................................... 71 Figura 57- Perdas no cobre em função da respectiva potência de saída. ................................. 72 Figura 58- Temperatura no magneto para condutividades do ferro desde 27ºC a 527ºC.......... 73 Figura 59- Temperatura no magneto para condutividades do cobre desde 27ºC a 527ºC. ....... 74 Figura 60- Temperatura no magneto para condutividades do ar desde 27ºC a 527ºC. ............. 74 Figura 61- Modelo Comsol Multiphysics. Fronteira com o exterior (azul). Ranhuras onde

assentam os enrolamentos (verde). ............................................................................................ 75 Figura 62- Distribuição de temperatura no gerador na condição nominal. ................................. 76 Figura 63- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos. 76 Figura 64- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas, considerando os

enrolamentos numa única camada. ............................................................................................ 77 Figura 65- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos. 77

9

Lista de Tabelas

Tabela 1- Analogia entre o modelo térmico e a teoria dos circuitos eléctricos.

Tabela 2- Calor específico e densidade mássica para materiais típicos em máquinas eléctricas.

Tabela 3- Matriz de perdas específicas do material M250-50A. Retirado de [1].

Tabela 4- Dimensões do gerador de fluxo radial.

Tabela 5- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29.

Tabela 6- Perdas específicas causadas pelas componentes radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D.

Tabela 7- Perdas nas saliências totais quando o gerador funciona em vazio e à velocidade nominal.

Tabela 8- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético e respectivas perdas específicas na culaça do gerador.

Tabela 9- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D e 3D.

Tabela 10- Comparação de perdas obtidas por simulação 2D e 3D nas regiões consideradas na Figura

29.

Tabela 11- Valores da densidade de fluxo magnético no centro de cada saliência do estator e respectivas

perdas específicas e perdas totais.

Tabela 12- Aumento de temperatura medida em vazio e a cerca de 32kW. Retirado de [16].

Tabela 13- Interpolação das perdas no ferro e nos magnetos para o gerador a 32kW.

Tabela 14- Dimensões gerais dos componentes da máquina de fluxo transversal.

Tabela 15- Comparação de volume e peso entre a máquina de fluxo radial e transversal.

Tabela 16- Amplitude das componentes , e e respectivas densidades de perdas específicas em

cada uma das regiões consideradas na Figura 74.

Tabela 17- Perdas no ferro nas várias regiões consideradas na Figura 74 com o gerador em vazio.

10

Lista de Símbolos

Símbolo Designação Unidade Área da superfície fronteira de convecção

Área da janela de cobre Área das superfícies da placa plana

Constante de Temperatura Campo de indução magnética

Amplitude da densidade de fluxo magnético

Norma da densidade de fluxo magnético

Componente radial da densidade de fluxo magnético Componente tangencial da densidade de fluxo magnético

Constante de temperatura

Capacidade eléctrica Capacidade térmica

Calor específico do material Diâmetro da máquina Diâmetro da secção do fio de cobre

Diâmetro exterior do estator

Diâmetro exterior do rotor Diâmetro interior do estator

Diâmetro interior do rotor

Diâmetro da superfície onde assentam os magnetos

Profundidade da ranhura Campo eléctrico

Frequência eléctrica

Frequência mecânica Espessura do entreferro

Campo magnético

Coercividade do material

Coeficiente de transferência de calor por convecção Altura do magneto Altura do rotor

Altura da peça de perfil E

Altura da peça de perfil I

Corrente eléctrica na fase a

Corrente eléctrica na fase b

Corrente eléctrica na fase c Corrente suportada por um condutor

Corrente eléctrica eficaz na fase da máquina

Densidade de corrente Constante de correntes de Foucault

Constante de histerese

Condutividade térmica do material Condutividade térmica do ar

Condutividade térmica média dos materiais do enrolamento

Condutividade térmica do cobre Condutividade térmica do isolamento Comprimento da máquina/cilindro horizontal

Distância entre superfícies da placa plana

Comprimento do estator

Comprimento do enrolamento da bobine

Comprimento do magneto Comprimento de uma volta condutora

Número de voltas por bobine

Número de bobines

Número de condutores em paralelo por volta

11

Número de espiras

Número de magnetos

Número de fases de uma máquina eléctrica

Número de ranhuras

Número de peças de perfil E

Número de peças de perfil I

Expoente de histerese

Número de par de polos

Potência térmica Potência eléctrica activa

Potência de perdas na culaça

Potência térmica transferida por condução

Potência térmica transferida por convecção Potência de perdas no cobre

Potência térmica com origem externa

Potência de perdas no extremo da saliência

Potência de perdas no ferro

Perdas por histerese

Potência de perdas no magneto

Potência térmica com origem própria Potência de perdas na saliência

Fluxo de calor transferido do exterior Fluxo de calor transferido do exterior Perdas específicas por correntes de Foucault

Perdas específicas no ferro

Perdas especificas por histerese

Densidade de potência térmica com origem interna Metade da espessura da lâmina

Resistência eléctrica

Resistência térmica de convecção Resistência térmica externa de condução no ar do entreferro

Resistência térmica externa de condução na culaça

Resistência térmica externa de condução

Resistência térmica externa de condução no cobre

Resistência térmica externa de condução na extremidade da saliência

Resistência térmica externa de condução no isolamento

Resistência térmica externa de condução na saliência

Resistência térmica externa

Resistência térmica própria de condução na culaça

Resistência térmica própria de condução

Resistência térmica própria de condução no cobre

Resistência térmica própria de condução na extremidade da saliência

Resistência térmica própria de condução no magneto

Resistência térmica própria de condução na saliência

Resistência térmica própria

Resistência eléctrica da fase da máquina

Resistência térmica de condução da placa

Resistência térmica de condução ou convecção

Coordenada cilíndrica

Raio interior da camada cilíndrica Raio exterior da camada cilíndrica

Raio médio do estator

Potência eléctrica complexa Área da secção da bobine

Área da secção transversal de um condutor de cobre Temperatura Temperatura na superfície 1

12

Temperatura na superfície 2

Temperatura do cobre

Temperatura do cobre inicial

Temperatura na superfície interna do estator

Temperatura exterior à máquina

Tempo Amplitude da tensão induzida na fase a

Amplitude da tensão induzida na fase b

Amplitude da tensão induzida na fase c

Tensão eléctrica simples e eficaz na fase da máquina

Amplitude da tensão total induzida numa fase

Volume do material Velocidade da máquina Largura do magneto

Largura superior da ranhura

Largura da peça de perfil E

Largura da peça de perfil I

Largura inferior da saliência

Reactância síncrona do gerador

Coordenada cartesiana

Admitância

Coordenada cartesiana

Impedância

Coordenada cartesiana

Constante

Coeficiente de temperatura do cobre

Constante

Diferença de temperatura

Diferença entre a temperatura à superfície da máquina e a temperatura da máquina quando a potência de saída é cerca de 32kW

Diferença entre a temperatura à superfície da máquina e a temperatura da máquina quando a máquina se encontra em vazio

Variação de energia interna Angulo de Torque rad

Força electromotriz induzida na fase a Força electromotriz induzida na fase b

Força electromotriz induzida na fase c

Força electromotriz induzida na bobine i Força electromotriz induzida numa fase

Força electromotriz induzida numa fase em vazio

Coeficiente de Steinmetz

Densidade mássica do material Condutividade eléctrica do material Condutividade eléctrica do cobre

Condutividade eléctrica do magneto

Espessura da lâmina

Fluxo magnético na bobine i

Fluxo magnético

Angulo de Carga rad

Fluxo magnético total Frequência eléctrica ângular

Velocidade mecânica da máquina Velocidade mecânica da máquina em vazio Gradiente local de temperatura

13

Símbolos do Anexo 2

Raio interior do entreferro

Área de transferência por convecção Raio exterior do entreferro

Calor específico do material Aceleração da gravidade Número de Grashof

Coeficiente de transferência de calor por convecção Condutividade térmica do material Comprimento característico

Número de Prandl

Número de Reynolds

Raio médio do entreferro

Número de Taylor

Velocidade livre Viscosidade cinemática Coeficiente de dilatação térmica Viscosidade dinâmica Densidade do fluido

velocidade angular

Lista de Abreviaturas

f.e.m.- força electromotriz

14

1. Introdução

Os geradores eléctricos com magnetos permanentes de baixa velocidade tal como qualquer

máquina eléctrica apresentam perdas de diferentes origens. O interesse em estudar e

identificar a distribuição da temperatura neste tipo de geradores encontra-se directamente

relacionado com a redução da vida útil das máquinas eléctricas, uma vez que as perdas podem

criar condições de aquecimento particularmente nocivas às partes mais sensíveis do gerador,

nomeadamente no isolamento elétrico e nos magnetos permanentes.

O estabelecimento de um modelo térmico para o dimensionamento de geradores de energia de

baixa velocidade tem sido alvo de maior interesse devido à globalização dos mercados e à

crescente necessidade de geradores mais eficientes, com menor custo e menor volume. Se as

restrições térmicas forem levadas em conta numa fase precoce do processo de optimização do

desenho da máquina, é possível conseguir uma distribuição de temperatura mais homogénea e

evitar pontos quentes na máquina. A informação proveniente de um modelo térmico pode então

ser útil para melhorar o desenho geral da máquina em termos de eficiência e exigências de

arrefecimento. Através do conhecimento da temperatura real da máquina será assim possível

projetar sem ter que recorrer a grandes margens de segurança dispensáveis.

Justifica-se, assim, a necessidade de se obter um modelo térmico que seja não apenas

adequado aos materiais e à geometria da máquina, mas também às suas condições de

funcionamento de forma a prever o seu comportamento térmico e assim as suas limitações.

O estudo da transferência de calor pode ser realizado numa primeira análise, através de uma

representação por parâmetros concentrados que contabiliza de uma forma global os diversos

processos térmicos através de elementos ideais.

Neste trabalho propõe-se um modelo térmico de parâmetros concentrados, por forma a

identificar as variações de temperatura nas diferentes regiões do gerador, que posteriormente é

comparado com um modelo numérico capaz de lidar com geometrias mais complexas.

15

2. Conceitos teóricos sobre transferência de calor aplicados aos geradores eléctricos de baixa velocidade

2.1. Tipos de transferência de calor em máquinas eléctricas

As máquinas eléctricas são a sede de muitas fontes de calor. O processo associado ao trânsito

de energia térmica (calor) chama-se transferência de calor. A literatura geralmente reconhece

três modos distintos de transferência de calor: condução, convecção e radiação.

No caso em estudo, o processo de radiação não irá ser abordado visto a quantidade de calor

transferida por este processo ser desprezável dada a baixa ordem de grandeza da temperatura

da máquina eléctrica (centenas de graus Celsius).

2.2. Modelo térmico a parâmetros concentrados aplicados a

máquinas eléctricas

Os modelos térmicos elaborados a parâmetros concentrados são descritos através de um

circuito térmico equivalente, o qual é formado por resistências (representam o processo de

condução ou convecção de energia térmica), capacidades (representam o processo de

acumulação de energia térmica), além de fontes de corrente (representam as diferentes

fontes de potência térmica, fontes de calor). Em regime estacionário as capacidades podem ser

ignoradas. Os nós do circuito são geralmente escolhidos para possuir um significado físico

claro. Como será mostrado a seguir, a perda de energia em cada parte da máquina é injetada

como "corrente" equivalente nos nós adequados e os potenciais resultantes em cada nó

equivalem às temperaturas. Na Tabela 1 apresenta-se a analogia entre o modelo térmico e a

teoria de circuitos eléctricos.

Propriedade Térmica Unidade Propriedade Eléctrica Unidade

Resistência térmica ºC/W Resistência eléctrica V/A

Capacidade térmica W sec/ºC Capacidade eléctrica A sec/V

Temperatura ºC Tensão eléctrica V

Quantidade de calor W Corrente eléctrica A

Tabela 1- Analogia entre o modelo térmico e a teoria dos circuitos eléctricos.

Para ilustrar o comportamento térmico de uma máquina eléctrica em termos de circuito

equivalente, apenas as perdas no cobre e no ferro do estator serão consideradas como fontes

de calor. O pressuposto básico é que a direcção do fluxo de calor é principalmente radial.

Neste processo, a estrutura geométrica do estator transforma-se numa estrutura equivalente

simplificada. A máquina eléctrica é modelizada por cilindros concêntricos representando os

16

seus diferentes materiais e cada um com um volume equivalente ao volume real de material

correspondente. A Figura 1 mostra uma parte do modelo simplificado do estator.

(a) (b)

Figura 1- Transformação da estrutura do estator: (a) Estrutura do estator. Retirado de [2]; (b) Modelo em

camadas cilíndricas.

Cada camada pode ser caracterizada por apresentar uma resistência térmica que deve ser

associada à potência térmica com origem externa à respectiva camada. Por outro lado,

quando ocorre produção de potência térmica na própria camada (por exemplo: perdas no

ferro , perdas no cobre ) deve-se também considerar uma segunda resistência térmica da

camada agora relativa ao próprio fluxo de calor, .

Neste caso, a diferença de temperatura entre a superfície interior e a superfície exterior

de uma camada é obtida conforme indicado na equação (1) pela soma de duas quedas de

temperatura. A primeira é devido à resistência térmica atravessada pelo fluxo de calor

gerado na camada em si. A segunda queda de tensão é o resultado da passagem de um fluxo

de calor com origem externa através da camada em questão.

(1)

Relembrando que , a equação (1) pode ser reescrita como (2) de modo a

estabelecer a temperatura .

(2)

A partir dos incrementos de temperatura calculados e do valor da temperatura do ar ambiente,

o valor médio da temperatura em cada material pode ser por fim determinado.

17

A troca de calor entre as diferentes partes do estator por um lado, e entre a máquina e o ar

ambiente por outro, são descritos usando uma representação em termos de circuitos. Um

esquema eléctrico representativo do modelo térmico simplificado do estator apresentado na

Figura 1 é dado na Figura 2. Obtém-se um circuito eléctrico com 8 nós associados a

temperaturas chave do estator, entre outras, ou seja, as temperaturas nas interfaces das

camadas consideradas. A temperatura em cada nó será pois determinada a partir da

temperatura ambiente e dos fluxos de calor considerados através da equação (2).

Cada material é representado por uma resistência entre dois nós do circuito, representando

dois níveis de temperatura. No circuito da Figura 2 o nó situa-se sobre a superfície interna

do estator. A temperatura diminui de seguida em função do raio e tende, naturalmente, para a

temperatura exterior à máquina .

Figura 2- Esquema eléctrico equivalente do modelo térmico em regime permanente.

2.2.1. Cálculo das capacidades térmicas

Quando um corpo recebe energia sob a forma de calor, admitindo-se que este não troca

energia com o exterior (apenas acumula a energia), existe uma relação proporcional entre a

potência térmica recebida (ou variação de energia interna por unidade de tempo) e a taxa de

variação do aumento de temperatura resultante.

(3)

Onde é a potência térmica recebida [W], é o calor específico do material , é a

densidade mássica do material e o volume do material . O termo em (3)

é usualmente designado por capacidade térmica do corpo e representa o processo de

acumulação de energia no mesmo. A capacidade térmica de um corpo estabelece pois a

relação entre a sua variação de energia interna e a respectiva variação de temperatura do

mesmo (4).

18

(4)

Propriedades térmicas típicas para uma gama de materiais comumente utilizados em máquinas

eléctricas são dadas na Tabela 2, obtidas nas referências [3], [4], [5] e [6].

Calor específico

Densidade

Ar (20ºC) 1005 1,205

Ferro 450 7850

Cobre 390 8950

Isolante eléctrico classe B 1170 2300

Magneto NdFeB 350-500 7400-7500

Tabela 2- Calor específico e densidade mássica para materiais típicos em máquinas eléctricas.

2.2.2. Cálculo das resistências térmicas

2.2.2.1. Transferência de calor por condução

A transferência de calor por condução é o modo predominante encontrado nas partes materiais

da máquina: nas partes em ferro que constituem o estator e o rotor da máquina, bem como

predominante nos seus enrolamentos.

Pela Lei de Fourier [7] o fluxo de energia térmica transferido do exterior por condução,

, num material isotrópico é formalizado pela equação (5).

(5)

Nesta, é a condutividade térmica do material , o gradiente local de

temperatura na mesma direcção do fluxo de calor, e o sinal negativo traduz o facto de que a

transferência de calor se faz do corpo quente para o corpo frio.

No caso das ligas ferro-silício empregues nas chapas construtivas da maioria das máquinas

eléctricas, a condutividade térmica pouco aumenta com a temperatura podendo ser

considerada constante. Para o mesmo intervalo de temperatura, o valor da condutividade

térmica das ligas de cobre usadas nos enrolamentos também apresenta um aumento pouco

significativo, logo tomando-se como um valor constante.

19

No caso de materiais anisótropos, a condutividade térmica é geralmente expressa por um

tensor com três componentes. Nas máquinas elétricas, esta situação ocorre nas partes da

máquina constituídas por chapas ferromagnéticas empilhadas e isoladas entre si, assim como

nos enrolamentos. Verifica-se, por exemplo, que o valor da condutividade térmica equivalente

nos enrolamentos (cobre + isolamento) é muito maior no sentido axial do que no sentido radial

(pode suceder uma razão de 1 para 400). Contrariamente aos enrolamentos, a condutividade

térmica equivalente do conjunto de chapas empilhadas é maior radialmente que axialmente. No

entanto, neste estudo irá considerar-se a condutividade térmica como isotrópica.

Considere-se um elemento de volume de um material onde existe transferência de calor por

condução. O balanço energético estabelecido é descrito como:

Figura 3- Balanço energético num elemento de volume onde existe transferência de calor por condução.

A formulação matemática do balanço energético é dada por (6), onde é o calor

específico do material, é a densidade de massa do material , é o fluxo de

calor de origem externa e a produção de densidade de potência térmica com origem

interna no elemento de volume sejam, por exemplo, perdas no cobre ou perdas no ferro.

(6)

Usando a expressão da lei de Fourier (5) em (6) permite escrever para um meio isótropo e

homogéneo, a equação do calor (7).

(7)

A densidade de potência térmica gerada no elemento de volume, , pode ser devida, no caso

específico de máquinas eléctricas, às perdas por efeito Joule (no cobre) ou perdas de ferro

(nas chapas de ferro silício ou magnetos permanentes).

Para ilustrar a expressão (7) e se compreender o significado físico da resistência térmica,

mostram-se os cálculos para o caso de propagação de um fluxo de calor por condução numa

20

placa plana. De seguida é abordada a propagação de um fluxo de calor por condução em

geometrias cilíndricas, por se tratar do caso mais apropriado para a modelização da troca de

calor em máquinas eléctricas que apresentam simetria cilíndrica.

2.2.2.1.1. Condução numa placa plana

Para se compreender o significado físico da resistência térmica considere-se o processo de

condução unidimensional, estacionária, através de uma placa plana com condutividade térmica

constante, como se ilustra na Figura 4. Neste processo as trocas de energia ocorrem através

das superfícies e , caracterizadas respectivamente pelas temperaturas e , sendo

a área das superfícies , a distância entre elas e é a condutividade térmica do

material. Nestas condições, (5) pode ser aproximada pela relação (8). Neste sistema considera-

se ainda que não há geração de perdas no seu interior, não há acumulação de energia e a

potência térmica tem um valor constante.

(8)

Figura 4- Ilustração da Lei de Fourier para o caso de um processo unidimensional, estacionário, através de uma placa plana com condutividade térmica constante.

O elemento designado por resistência térmica estabelece uma relação entre duas variáveis

globais: a variação de temperatura e e a potência térmica transferida (9).

(9)

A passagem de potência térmica por dois materiais diferentes é representada por duas

resistências, como se encontra ilustrado na Figura 5.

21

Figura 5- Representação de resistências térmicas em série.

2.2.2.1.2. Condução em geometrias cilíndricas

Condução em geometrias cilíndricas sem produção térmica própria

No caso particular de um fluxo de calor radial, através de uma camada de material isotrópico e

com geometria cilíndrica (Figura 6), podendo-se ainda admitir que a sua condutividade térmica

é independente da temperatura, a expressão (7) toma a forma (10).

(10)

Em regime estacionário e sem haver geração de calor interno na camada de material, a

expressão (10) é dada por (11).

(11)

Figura 6- Camada de material isotrópico e com geometria cilíndrica.

A solução geral da equação (11) assume a forma (12) onde as constantes e são obtidas a

partir do conjunto de condições de fronteira particulares ao problema. A expressão (12)

representa assim a temperatura em regime estacionário através de um cilindro.

22

(12)

Em seguida, descrevem-se as condições de fronteira empregues na determinação das

constantes e .

Considere-se que haja um fluxo de calor a atravessar a superfície cilíndrica em

(Condição de fronteira tipo Neumann), enquanto a temperatura à superfície (em )

apresenta uma temperatura igual a (Condição de fronteira tipo Dirichlet). Assim, em

tem-se a relação (13) que, substituída em (12), permite obter a constante

.

(13)

De forma similar, a segunda constante é determinada a partir da segunda condição de

fronteira,

. A expressão (12) fica então definida por (14).

(14)

Considera-se que o fluxo de calor é positivo quando o mesmo ocorre na direcção do exterior

do cilindro. Neste caso, visto que

é sempre positivo, tem-se que a temperatura será

maior que a temperatura , dada pela expressão (15).

(15)

A resistência térmica de condução numa geometria cilíndrica sem produção interna de calor

fica definida por (16), tendo em conta que a potência total transferida através da superfície

cilíndrica é dada por .

(16)

As máquinas elétricas apresentam não apenas perdas no cobre como no ferro. Assim, a

obtenção de um modelo térmico sem considerar aquela produção interna de calor somente

será válida em algumas partes da máquina. É pois necessário considerar um modelo de

condução térmica com produção própria de calor.

23

Condução em geometrias cilíndricas com produção própria de calor

No caso de uma propagação de calor puramente radial, em regime estacionário, numa camada

cilíndrica de material isotrópico e com dissipação de calor uniforme, a equação (10) fica

expressa por (17).

(17)

A integração de (17) ao longo da camada cilíndrica e o uso das condições de fronteira

expressas em (18) permite calcular em particular, a diferença de temperatura máxima na

camada em questão dada pela expressão (19) [2].

(18)

(19)

A potência de perdas total produzida no interior da camada cilíndrica é expressa por (20).

(20)

A resistência térmica de condução numa geometria cilíndrica agora com produção interna de

calor fica expressa por (21).

(21)

2.2.2.2. Transferência de calor por convecção

A transferência de calor por convecção decorre no ar contido no interior de uma máquina

eléctrica, como por exemplo no entreferro de ar entre o estator e o rotor, e no seu exterior

através do estator. Pela Lei do Arrefecimento de Newton a potência térmica transferida por

convecção é dada pela equação (22) [7].

(22)

onde é o coeficiente de transferência por convecção e é a área da superfície

fronteira . O processo encontra-se ilustrado na Figura 7.

24

Figura 7- Ilustração da Lei de Newton do arrefecimento.

Experiências mostram que é dependente de um grande número de factores incluindo o tipo

de escoamento (natural, forçado, laminar ou turbulento), sobre que geometria se dá o

escoamento (plana, cilíndrica ou esférica) e também das propriedades físicas do fluído

(densidade de massa, viscosidade, velocidade, condutividade térmica, etc.). Na prática o

coeficiente de transferência por convecção é usualmente determinado através de correlações

de dados experimentais. No estudo e análise do processo de convecção é comum reduzir o

número total de variáveis envolvidas formando grupos adimensionais que expressam as

propriedades termofísicas relevantes, geometria e condições de escoamento. [7]

No anexo 2 encontra-se o processo de cálculo do coeficiente de transferência de calor por

convecção através dos grupos adimensionais.

Convecção natural

O coeficiente de transferência por convecção natural de uma máquina eléctrica cilíndrica com

alhetas e de diâmetro , instalado na horizontal, apresenta segundo [8] um valor de

aproximado pela relação (23).

(23)

Por exemplo, para uma máquina com e para um aumento de temperatura de

, o valor coeficiente de transferência por convecção natural toma um valor igual a

para um fluxo de potência térmica igual a

.

Convecção forçada

Quando ocorre um fluxo de ar forçado sobre uma determinada superfície da máquina, o

coeficiente de transferência por convecção apresenta um aumento pela raiz quadrada da

velocidade do ar , ocorrendo valores típicos perto de cinco vezes maiores que a convecção

natural estimados pela relação (24).

25

(24)

Por exemplo, para um fluxo de ar com velocidade sobre uma máquina eléctrica de

comprimento igual e para um aumento de temperatura de , o valor

coeficiente de transferência por convecção forçada toma um valor igual a

para um fluxo de potência térmica igual a

.

Tal como a resistência térmica de condução, a resistência térmica de convecção é dada pela

relação entre a variação de temperatura e e a potência térmica transferida (25).

(25)

2.2.3. Cálculo das perdas

Numa máquina eléctrica, as perdas no ferro, as perdas no cobre e a forma como estas são

removidas determinam o aumento da temperatura. O conhecimento da corrente eléctrica a

circular nos enrolamentos de cobre permite obter as perdas por efeito Joule, no sentido

clássico das perdas óhmicas. No entanto, as perdas no ferro são mais difíceis de obter dada a

forma de onda e frequências envolvidas da densidade de fluxo magnético.

2.2.3.1. Perdas no cobre

As perdas no cobre do enrolamento (26) são dependentes da corrente de carga, , da

resistência eléctrica de fase, e do número de fases da máquina, .

(26)

Para calcular as perdas começa-se por determinar a resistência eléctrica de uma fase em

função do tamanho dos condutores utilizados e da condutividade do cobre.

Numa máquina com enrolamentos por fase ligados em série de secção cada e

comprimento , a resistência de uma fase fica então dada pela expressão (27). Nesta, a

condutividade eléctrica do cobre, será função da sua temperatura conforme a relação

(28).

(27)

26

(28)

Como se verifica pelas expressões (27) e (28) a resistência aumenta com a temperatura de

forma linear. Na expressão empírica para a condutividade eléctrica em função da temperatura

é o coeficiente de temperatura que depende do material, é a temperatura do cobre e

a temperatura do cobre inicial.

2.2.3.2. Perdas no ferro

As perdas que ocorrem no ferro e que se traduzem em aquecimento do material têm duas

origens: as perdas devidas ao fenómeno de histerese; e as perdas produzidas por correntes

induzidas originadas pela variação de fluxo magnético no material ferromagnético,

denominadas correntes de Foucault.

Perdas por histerese

O fenómeno conhecido por histerese é o resultado da tendência do material para reter

magnetismo ou opor-se à mudança de magnetismo. A Figura 8 representa o ciclo de histerese

que revela a energia posta em jogo durante o processo de magnetização do material

ferromagnético.

Um material ferromagnético que nunca tenha sido magnetizado ou que tenha sofrido

desmagnetização irá seguir a curva a tracejado da Figura 8. À medida que o campo magnético

aumenta maior é a indução magnética B. No ponto “a” quase todos os domínios magnéticos

estão alinhados e o aumento da intensidade do campo magnético irá provocar muito pouco (ou

nenhum) aumento da densidade de fluxo magnético. O material atingiu o ponto de saturação

magnética. Durante esta fase é consumida, por unidade volume do material, uma quantidade

de energia proporcional à área “g-a-h-b-g” do gráfico.

Após um material ferromagnético atingir a saturação, se se remover o campo magnético ao

qual o material está sujeito, ou seja, a intensidade do campo passar a ser nula, o material em

causa permanecerá com uma indução magnética. A esta indução dá-se o nome de indução

residual, representada pelo ponto “b”. O que significa que alguns domínios magnéticos

permaneceram alinhados mas outros encontram-se numa direcção aleatória. Durante esta fase

é negativo e a energia é devolvida numa quantidade proporcional à área “b-a-h-b”.

A energia absorvida é maior que a energia devolvida, e a diferença de energia corresponde à

energia perdida sobre a forma de calor proporcional à área “g-a-b-g”.

27

Figura 8- Ciclo de Histerese. Figura adaptada de [9].

Quando o campo magnético é aplicado com sentido oposto ao inicial a curva move-se para o

ponto “c”, onde o fluxo magnético é zero. Este ponto é chamado o ponto de coercividade da

curva. A coercividade de um material ferromagnético é a intensidade do campo magnético

necessário para reduzir a sua magnetização a zero.

À medida que a intensidade do campo é aumentada no sentido negativo o material irá tornar-se

outra vez magneticamente saturado. Reduzindo a zero leva a curva para o ponto “e”. O

material terá um nível de magnetismo residual igual ao atingido na direcção oposta.

Aumentando na direcção positiva, irá voltar a zero. É de notar que a curva não volta à

origem do gráfico pois é necessária uma força para remover o magnetismo residual. A curva irá

completar o ciclo através de um caminho diferente.

Na Figura 9 são representadas áreas a sombreado proporcionais às energias postas em jogo

durante o ciclo de histerese na alternância positiva, na Figura 9 a), b) e c), e negativa, d),e) e f).

A área a sombreado representada (a) e (d) são uma medida da energia absorvida. Enquanto

que (b) e (e) representam a área proporcional à energia devolvida. A diferença entre a energia

absorvida e devolvida é representada (c) e (f) sendo proporcional à área do ciclo de histerese.

28

Figura 9- Áreas no ciclo de histerese proporcionais à quantidade de energia envolvida no processo.(a)

Energia consumida na alternância positiva (b) Energia devolvida na alternância positiva (c) Energia de perdas na alternância positiva .(d) Energia consumida na alternância negativa (e) Energia devolvida na

alternância negativa (f) Energia de perdas na alternância negativa. Figura adaptada de [10].

Durante um ciclo de magnetização uma quantidade de energia proporcional à área do ciclo

histerético não é devolvida, sendo gasta no trabalho de orientação dos domínios magnéticos.

Esta energia é dissipada sob a forma de calor, constituindo as chamadas perdas por histerese.

Com base em resultados experimentais de diferentes materiais ferromagnéticos, e obtendo a

área dos ciclos de histerese respectivos, Charles Steinmetz propôs uma fórmula empírica que

relaciona a energia de perdas por ciclo e o valor máximo da densidade de fluxo magnético,

na amostra. Sendo o campo magnético sinusoidal com uma frequência f, existem f

ciclos de magnetização por segundo e como consequência teremos uma dissipação de energia

por histerese f vezes superior à dissipada num só ciclo. A potência de perdas por histerese

para um dado volume de material, , sujeito a magnetização alternada à frequência f[Hz] é

então dada pela expressão (29) [11].

(29)

Em que é o coeficiente de Steinmetz do material e n é um expoente com valores entre 1,6 e

2.

Perdas por correntes de Foucault

As perdas por correntes de Foucault surgem quando na presença de campos magnéticos

alternados, são induzidas forças electromotrizes no material ferromagnético (condutor eléctrico)

29

que por sua vez originam correntes eléctricas. Este fenómeno é traduzido pela lei de indução

de Faraday:

(30)

Onde “a-b-c-d-a” é o caminho que limita a área atravessada pelo fluxo representado

na Figura 10. Quando o meio é condutor isso implica, necessariamente, que as correntes

elétricas circulem através deste caminho.

Para ilustrar as condições típicas que ocorrem no núcleo ferromagnético, considera-se uma

lâmina metálica percorrida por um fluxo magnético variável no tempo. A Figura 10 ilustra uma

lâmina com espessura [m], altura e comprimento unitários. É assumida uma distribuição

uniforme da densidade de fluxo magnético cuja amplitude é variável no tempo B(t). O

pressuposto de que a densidade de fluxo magnético é uniforme significa que o efeito das

correntes induzidas no material ferromagnético não influencia significativamente a distribuição

da densidade de fluxo magnético e que os caminhos de corrente como o “a-b-c-d-a” são

simétricos em relação à linha central.

(a) (b)

Figura 10- Lâmina de um núcleo ferromagnético: (a) Caminho percorrido pelas correntes de Foucault;

(b)Secção da placa do material ferromagnético. Adaptada de [10].

30

O integral de superfície avaliado sobre o plano “a-b-c-d” considerando-se a altura

unitária é . Visto que a altura é consideravelmente maior que a sua espessura, , os dois

lados da Figura 10 paralelos ao eixo do caminho não contribuem para o integral de linha.

(31)

A densidade de corrente, , relaciona-se com o campo eléctrico, através da condutividade

eléctrica do material, . A expressão resultante para a distribuição da densidade de corrente

fica expressa por (32), pois apenas se considera a densidade de corrente segundo já que a

altura é consideravelmente maior que a sua a espessura, .

(32)

Visto que x não é uma função de t, a potência instantânea por unidade de volume é dada por

(33).

(33)

A potência de perdas instantânea no volume da placa, tendo comprimento e altura unitária e

espessura é dada por (34).

(34)

A potência de perdas por correntes de Foucault instantânea por unidade de volume de material

laminado com perfeito isolamento entre as placas é dado por (35)

(35)

A equação (35) traduz a potência de perdas instantânea resultante da densidade de fluxo

magnético variável no tempo expressa por (36).

(36)

O quadrado da sua derivada é dado então por (37).

(37)

31

Substituindo a expressão (37) em (35), obtém-se a potência instantânea por unidade de

volume expressa em (38).

(38)

Visto que o valor médio de uma função seno quadrado é metade do seu valor máximo, a

potência de perdas média por unidade de volume, quando a densidade de fluxo varia

sinusoidalmente com frequência f[Hz] é dada por (39). [12]

(39)

Num circuito magnético contendo um volume de material ferromagnético sujeito às mesmas

condições que a unidade de volume anterior, a potência média de perdas por correntes de

Foucault é dada por (40).

(40)

Perdas totais no material ferromagnético

Num material ferromagnético sujeito a magnetização alternada variável no tempo, a potência

de perdas específicas [W/kg], que resulta em aquecimento do material, é dada pela soma da

potência de perdas específicas por histerese e por correntes de Foucault.

(41)

Em que Kh e Ke dependem da densidade e condutividade eléctrica do material, coeficiente de

Steinmetz e da espessura da placa.

2.2.3.3. Perdas nos magnetos permanentes

As perdas nos magnetos permanentes são, tal como nas perdas do ferro, devidas à presença

de correntes parasitas. A dedução feita no ponto 2.2.3.2. é válida para as perdas nos

magnetos, considerando-se como objecto do problema, em vez da lâmina (chapa metálica), um

magneto permanente com geometria rectangular. A Figura 11 representa a direcção das

grandezas do problema tal como as dimensões do magneto.

32

Figura 11-Dimensões do magneto permanente. Representação das grandezas em estudo.

A altura da lâmina é substituída pelo comprimento do magneto, , e a espessura da lâmina, ,

é substituída pela largura do magneto, . A expressão (40) toma a forma da expressão (42).

(42)

2.3. Características e modelos comportamentais dos materiais

mais comuns em máquinas eléctricas

2.3.1. Condutividade térmica dos materiais mais comuns em máquinas

eléctricas

A condutividade térmica quantifica a propensão dos materiais de transferir energia térmica,

ou seja, calor. Materiais de alta condutividade térmica transferem a energia térmica de forma

mais rápida e eficiente e funcionam como dissipadores térmicos, como é o caso do cobre,

alumínio ou ferro. No que diz respeito a materiais com baixa condutividade térmica, estes

funcionam como isoladores térmicos e contribuem para a acumulação de calor na máquina,

como é o caso do ar e do isolante eléctrico. Os valores numéricos de variam

dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais.

Com base em dados obtidos através da referência [13] foi construído o gráfico da Figura 12

que representa a variação da condutividade térmica entre os 27ºC e os 527ºC dos metais mais

usados em máquinas eléctricas (alumínio, ferro e cobre).

33

Figura 12- Variação da condutividade térmica do cobre, alumínio e ferro com a temperatura.

A variação da condutividade destes materiais com a temperatura é pouco significativa e como

será verificado em capítulos posteriores, a sua pequena variabilidade tem pouco impacto no

modelo térmico e na previsão da temperatura final da máquina. Por essa razão, os valores de

condutividade térmica adoptados no modelo térmico são os tabelados para a temperatura

27ºC.

A variação da condutividade do ar (componente presente nas máquinas eléctricas,

nomeadamente no entreferro) com a temperatura é mais significativa que os metais como

revela o gráfico da Figura 13 construído com dados da referência [14]. Em capítulos

posteriores, irá ser analisado o seu impacto no modelo térmico e na previsão da temperatura

final da máquina.

Figura 13- Variação da condutividade térmica do ar com a temperatura.

34

2.3.2. Característica térmica e magnética dos magnetos permanentes A temperatura a que o magneto permanente está sujeito tem impacto na sua característica

magnética, o que justifica a importância de estudar o comportamento dos magnetos

permanentes através das respectivas curvas de desmagnetização e correspondente alteração

com a temperatura.

Na Figura 14 encontram-se curvas de magnetização para diferentes temperaturas de um

magneto neodímio-ferro-boro com nome comercial N35 produzido pela Arnold Magnetic

Technologies [15].

Figura 14- Curvas de desmagnetização do magneto NdFeB N35. Retirado de [15].

A respectiva temperatura de Curie, temperatura limite onde um material perde as suas

propriedades magnéticas, é 310ºC. A sua temperatura máxima de funcionamento sem

preocupação de desmagnetização é de 80ºC, que é sempre inferior à temperatura de Curie.

O valor da densidade de fluxo magnético residual tende a diminuir com o aumento da

temperatura. Comportamento idêntico é registado para a coercividade do magneto,

caracterizada pelo aparecimento de um decaimento “joelho” como mostra a curva do magneto.

As variações registadas são provenientes das mudanças na orientação das estruturas

cristalinas do material.

Para garantir que o magneto não é desmagnetizado, o ponto de operação deverá intersectar as

curvas de desmagnetização num ponto sempre acima do “joelho”. Caso contrário, o magneto

iria sofrer uma desmagnetização comprometendo assim o seu desempenho e obviamente o da

aplicação no qual estaria inserido.

35

2.3.3. Características magnéticas das chapas

Em projectos de máquinas eléctricas tem sido mais utilizadas, como material constituinte do

núcleo ferromagnético, diversas ligas tal como o aço-silício, em detrimento do ferro puro.

Este tipo de material surge num conjunto de chapas laminadas em vez de um material

compacto. As chapas laminadas de aço-silício são prensadas de modo a que fiquem paralelas

às linhas de campo magnético, reduzindo o caminho eléctrico das correntes de Foucault.

Assim, a intensidade das correntes induzidas é reduzida resultando numa menor densidade de

perdas para o núcleo ferromagnético.

Neste tipo de liga existem dois tipos de soluções disponíveis no mercado. O material laminado

não-orientado e o material laminado de grão-orientado. O primeiro é um material isotrópico, ou

seja, apresenta as mesmas propriedades magnéticas de uma forma quase uniforme para todas

as direcções. No caso do material de grão-orientado, este possui uma disposição cristalina

orientada numa determinada direcção. O material não orientado é o mais comum para

aplicações de máquinas eléctricas rotativas.

Na Figura 15 encontra-se a curva BH do material de nome comercial M250-50A, liga de aço

com silício não orientado com laminação de espessura 0,5mm. Os valores da curva BH podem

ser encontrados em forma de tabela no Anexo 1.

Figura 15- Característica BH do material M250-50A. Retirado de [1].

Na Tabela 3 encontram-se as perdas específicas do mesmo material fornecidas pelo fabricante

para frequências entre os 50Hz e os 2500Hz, e para valores de indução magnética entre 0,1T e

1,8T.

36

Perdas (W/kg)

B(T) f=50Hz f=100Hz f=200Hz f=400Hz f=1000Hz f=2500Hz

0,1 0,02 0,04 0,1 0,28 1,38 5,71

0,2 0,07 0,16 0,42 1,15 4,91 19,8

0,3 0,13 0,34 0,88 2,41 10 41,4

0,4 0,22 0,57 1,47 4,03 16,8 71,8

0,5 0,31 0,83 2,17 6,03 25,6 113

0,6 0,43 1,13 3 8,47 36,6 169

0,7 0,55 1,47 3,95 11,3 50,3 243

0,8 0,7 1,85 5,05 14,7 67,2 338

0,9 0,86 2,28 6,3 18,7 87,8 461

1 1,02 2,75 7,73 23,4 113 617

1,1 1,21 3,28 9,36 28,8 143

1,2 1,42 3,89 11,2 35,2

1,3 1,67 4,61 13,4 42,4

1,4 2,02 5,51 15,9 50,9

1,5 2,38 6,51 18,9 60,7

1,6 2,71

1,7 2,96

1,8 3,18

Tabela 3- Matriz de perdas específicas do material M250-50A. Retirado de [1].

37

3. Análise electromagnética de um gerador síncrono de magnetos permanentes de fluxo radial

3.1. Descrição do gerador e respectivas características

construtivas

De modo a analisar as perdas por efeito Joule inerentes a uma máquina eléctrica (perdas no

ferro e perdas no cobre) e o consequente desenvolvimento do respectivo modelo térmico,

procedeu-se à simulação de um gerador síncrono de magnetos permanentes dito clássico

(fluxo radial) com aplicação às turbinas eólicas, descrito em [16], tendo sido escalonado de

uma potência nominal de 3MW para 50kW, cuja foto é apresentada na Figura 16.

Devido à área de aplicação prevista no seu projeto (energia eólica), o gerador terá uma

velocidade de rotação baixa (51,7 r.p.m.) apresentando, por isso, um elevado número de polos

(116 polos). Conforme mostra o esquema da Figura 16 (b), a máquina elétrica é de fluxo radial

onde os magnetos permanentes estão localizados no rotor, enquanto o induzido apresenta

conjuntos de enrolamentos concentrados dispostos numa camada. Os magnetos permanentes

com geometria rectângular usados nesta aplicação são magnetos de Neodímio-Ferro-Boro, de

nome comercial N35. Quanto ao material constituinte do núcleo foi utilizado o material M250-

50A, liga de aço com silício não orientado com laminação de espessura 0,5mm. Construção

patenteada por Smart Motor AS.

(a) (b)

Figura 16- Gerador síncrono de 50kW estudado: (a) Fotografia do gerador; (b) Desenho do gerador. Retirado de [16].

38

Trata-se de uma máquina com geometria cilíndrica de diâmetro 1777mm e profundidade

100mm. Encontram-se 60 enrolamentos concentrados dispostos no estator, cada um

constituído por 19 voltas com 36 condutores em paralelo de diâmetro 1,2mm. As dimensões

gerais dos componentes da máquina encontram-se indicados na Figura 17, enquanto os seus

valores são listados na Tabela 4.

Figura 17- Dimensões gerais do gerador (saliências e magnetos permanentes).

Estator Rotor

Diâmetro exterior [mm] 1777 Diâmetro exterior [mm] 1547

Diâmetro interior [mm] 1557 Diâmetro da superfície onde assentam os magnetos [mm] 1507

Profundidade da ranhura [mm] 80 Diâmetro interior [mm] 1450

Largura superior da ranhura [mm] 22,3 Altura do magneto [mm] 20

Largura inferior da saliência[mm] 18,5 Largura do magneto [mm] 33

Número de ranhuras 120 Número de magnetos 116

Comprimento [mm] 100 Comprimento [mm] 100

Espessura do entreferro [mm] 5 Espessura do entreferro [mm] 5

Bobines Número de bobines 60 Número de voltas por bobine 19

Diâmetro da secção do fio de cobre [mm]

1,2 Número de condutores em paralelo por volta

36

Tabela 4- Dimensões do gerador de fluxo radial.

39

3.2. Modelo em elementos finitos do gerador: 2D

Com base nas dimensões e características dos materiais do gerador, elaborou-se um modelo

em parâmetros distribuídos usando um programa de simulação multi-física com recurso ao

método de elementos finitos (COMSOL Multiphysics 4.3), através do qual foram realizadas

simulações do gerador eléctrico a funcionar em regime permanente.

A Figura 18 mostra aproximadamente um quarto do gerador numa simulação em regime

permanente. Apesar de se mostrar apenas um quarto da máquina de modo a tornar mais

visível as saliências e os magnetos da máquina, a simulação foi realizada com a máquina

completa. A figura mostra a distribuição da densidade de fluxo magnético para o gerador em

vazio, ou seja, quando todo o campo magnético existente tem origem apenas nos magnetos

permanentes.

Figura 18- Visão de aproximadamente um quarto do modelo 2D do gerador, implementado em

parâmetros distribuídos através de um modelo de elementos finitos.

Conforme indicado na Tabela 4, este gerador tem 120 saliências no estator e 116 magnetos

dispostos de forma simétrica ao longo do rotor. Esta configuração implica assim que a posição

relativa entre uma saliência e um magneto varie ao longo da máquina. Na Figura 19 (a) pode

observar-se uma região da máquina onde as saliências estão posicionadas entre dois

magnetos, enquanto a Figura 19 (b) mostra uma outra região do gerador em que as saliências

se encontram alinhadas com os magnetos. A periodicidade na posição relativa entre uma

saliência e o magneto é de 90º mecânicos, ou seja, uma saliência encontra-se sempre alinhada

com o magneto de 90º em 90º na máquina.

As linhas de cor preta correspondem às linhas do potencial magnético, o qual é perpendicular

ao plano da imagem. Dado que magnetos adjacentes têm polaridades inversas, as linhas de

força tendem a fechar-se pelos magnetos adjacentes mais próximos.

40

(a) (b)

Figura 19-(a) Saliências posicionadas entre dois magnetos; (b) Saliências alinhadas com magnetos.

3.3. Distribuição da densidade de fluxo magnético no

entreferro em vazio

Nas Figuras 20 e 21 encontra-se respectivamente a distribuição da densidade de fluxo

magnético nas suas componentes radial, e tangencial, no entreferro do gerador ao longo

de 360º mecânicos.

Figura 20 –Componente radial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do

gerador.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

Br-

De

nsid

ad

e d

e f

luxo

ma

gné

tico

ra

dia

l(T

)

Ângulo(º)

41

Figura 21- Componente tangencial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do

gerador.

Visto que a posição relativa entre as saliências e magnetos varia ao longo da máquina com

uma periodicidade de 90º mecânicos, o andamento da densidade de fluxo magnético variará ao

longo do entreferro também com um período de 90º mecânicos como mostram as Figuras 20 e

21.

Na Figura 22 pode ser igualmente verificada essa periodicidade na componente normal da

densidade de fluxo magnético, , definida pela equação (43).

(43)

Figura 22- Norma da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do gerador.

A Figuras 23 mostra, por outro lado, a distribuição da densidade de fluxo magnético no

entreferro durante os primeiros 90º, correspondentes a ¼ do gerador.

-150 -100 -50 0 50 100 150-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Bt-

De

nsid

ad

e d

e f

luxo

ma

gné

tico

ta

nge

ncia

l(T

)

Ângulo(º)

-150 -100 -50 0 50 100 1500.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Bn

- N

orm

a d

a d

ensid

ad

e d

e f

luxo

ma

gné

tico

(T)

Ângulo(º)

42

Figura 23- Densidade de fluxo magnético num quarto da circunferência no entreferro, ou seja, ao longo

dos seus 90º mecânicos.

A frequência de variação da densidade de fluxo magnético normal é maior quando as

saliências se encontram posicionados entre dois magnetos, e menor quando as saliências se

encontram alinhados com os magnetos.

3.4. Modelo em elementos finitos do gerador: 3D

A simulação do gerador eléctrico através de um modelo em 2D pressupõe que a distribuição e

valores do campo de indução magnética se mantêm uniformes ao longo da dimensão

relacionada com a profundidade da máquina. Visto de outra forma, os resultados da

distribuição do campo obtidos de uma simulação 2D equivalem à distribuição que se obtém ao

longo do plano de simetria do dispositivo 3D. Com o objectivo de verificar eventuais efeitos de

borda sobre a densidade de fluxo magnético não contabilizados nos resultados da secção

anterior, elaborou-se um modelo electromagnético 3D do gerador síncrono.

Para verificar se a densidade de fluxo magnético é constante em profundidade, registou-se o

seu valor médio na linha representada na Figura 24 ao longo do tempo (com o gerador em

rotação), para várias profundidades da máquina, como se indica na Figura 25.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Bn

- N

orm

a d

a d

ensid

ad

e d

e f

luxo

ma

gné

tico

(T)

Ângulo(º)

43

Figura 24- Linha de medição da densidade de fluxo magnético na saliência.

Figura 25- Esquema da saliência do estator em profundidade. Profundidades em foi medida a densidade

de fluxo magnético.

A Figura 26 representa o valor médio da densidade de fluxo magnético ao longo do tempo

para as 3 profundidades medidas. O valor de B vai diminuindo em posições mais próximas do

extremo devido aos efeitos da dispersão do campo, designados frequentemente por efeitos de

borda.

44

Figura 26- Densidade de fluxo magnético em função do tempo em várias profundidades do estator.

As curvas representadas na Figura 26 permitem obter uma discretização da distribuição do

campo ao longo da profundidade da máquina (100 mm), efectuando-se o integral ao longo do

tempo das curvas em cada uma das profundidades. A Figura 27 representa a percentagem

contabilizada do fluxo total em relação à posição central da máquina. Os resultados apontam

assim para uma perda de fluxo magnético em aproximadamente 16% devido ao efeito de borda

da máquina, relativamente ao valor anteriormente obtido pelo modelo 2D.

Figura 27- Percentagem fluxo total em relação à posição central da máquina nas várias profundidades.

3.5. Cálculo das perdas no ferro do gerador em vazio à

velocidade nominal

3.5.1. Perdas no estator

Neste capítulo são calculadas as perdas no ferro do estator com o gerador em vazio, ou seja,

quando todo o campo magnético existente na máquina é produzido apenas pelos magnetos

permanentes no rotor.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo(s)

De

nsid

ad

e d

e F

luxo

Ma

gné

tico

(T)

50 mm

75 mm

93.75mm

45

Conforme referido no capítulo 2.2.3.2. podem identificar-se duas parcelas principais no cálculo

das perdas específicas no ferro expressas em (41): as perdas por histerese magnética e as

perdas por correntes de Foucault. Segundo [17] , obtendo-se a expressão (44) através da

qual se verifica a dependência das perdas no ferro com a frequência do campo de

indução magnética (alternado sinusoidal) e com o valor máximo de densidade de fluxo

magnético, . Para a obtenção dos valores das constantes e usam-se os dados

fornecidos pelo fabricante relativamente às perdas específica do material

ferromagnético usado para diferentes densidades de fluxo magnético e diferentes frequências

(Tabela 3) . Com o valor destas constantes é pois possível extrapolar a densidade de perdas

para os valores de frequência e de densidade de fluxo magnético pretendidos, fazendo uso das

expressões (44).

(44)

O material constitutivo do estator do gerador em estudo é uma liga de aço-silício laminado,

M250-50A, comercializada pela Cogent Power Ltd. As perdas específicas e os dados relativos

às características B-H do material encontram-se representados no capítulo 2.3.3 e foram

retirados dos catálogos disponibilizados pela empresa referida [1].

Por forma a obter-se os valores das constantes e , foi utilizada a ferramenta Surface

Fitting Tool do programa MATLAB. Nesta ferramenta foi inserida a matriz das perdas

específicas representada na Tabela 3, assim como a função expressa pela equação (44),

obtendo-se os valores e .

Na Figura 28 mostra-se a superfície de interpolação dos dados do fabricante estabelecida

através da ferramenta Surface Fitting Tool do programa MATLAB.

Figura 28- Superfície de interpolação dos dados do fabricante do material M250-50A.

46

Para o cálculo das perdas no ferro do estator consideram-se 4 regiões distintas em cada

saliência constituinte do estator, como se mostra na Figura 29. Esta divisão deve-se ao facto

de na extremidade da saliência (regiões 1, 2 e 3) se atingirem maiores valores de B, chegando

até 1,75T. Comparando este valor com a curva BH do material ferromagnético mostrada

anteriormente, verifica-se que na extremidade da saliência o material atinge a saturação

magnética e, por isso, maior é o conteúdo harmónico na indução magnética nessas regiões.

Figura 29- Divisão de cada saliência do estator em 4 regiões.

3.5.1.1. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando

elementos 2D

Através da simulação com recurso ao método de elementos finitos, é possível obter o conteúdo

harmónico da componente radial e componente tangencial da densidade de fluxo magnético

em cada uma das 4 regiões. A Tabela 5 apresenta o conteúdo harmónico de cada componente

com o gerador em vazio e à velocidade nominal de 51,7 r.p.m. O conteúdo harmónico da tabela

foi obtido com base no andamento ao longo do tempo do valor médio de B numa linha

pertencente a cada uma das regiões, que se encontram representadas na Figura 30.

47

Figura 30- Representação das linhas de medição da grandeza B nas saliências do estator.

Amplitude harmónicas (T) Região 1 Região 2 Região 3 Região 4

1ª harmónica (50 Hz) 1,35 0,99 1,35 1,02

3ª harmónica (150 Hz) 0,11 0,07 0,11 -

1ª harmónica (50 Hz) 1,32 1,09 1,32 -

3ª harmónica (150 Hz) 0,13 0,04 0,13 -

5ª harmónica (250 Hz) 0,02 0,03 0,02 -

Tabela 5- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29.

Com os dados da Tabela 5 e fazendo uso da expressão (44), obtiveram-se as perdas

especificas presentes na Tabela 6 para cada região e cada uma das componentes.

Perdas específicas (W/kg) Região 1 Região 2 Região 3 Região 4

1ª harmónica (50 Hz) 3,227 1,723 3,227 1,825

3ª harmónica (150 Hz) 0,081 0,029 0,081 -

1ª harmónica (50 Hz) 3,102 2,100 3,102 -

3ª harmónica (150 Hz) 0,104 0,009 0,104 -

5ª harmónica (250 Hz) 0,003 0,008 0,003 -

Tabela 6- Perdas específicas causadas pelas componentes radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D.

Obtêm-se as perdas totais de uma dada região somando as perdas específicas das várias

componentes harmónicas e posteriormente multiplicando pela massa da região respectiva

(produto do volume de cada região pela densidade do ferro, ). As perdas

totais numa saliência são dadas pela soma das perdas das regiões demarcadas.

48

A Tabela 7 mostra que embora as regiões 1, 2 e 3 apresentem valores superiores de B e

contenham maior conteúdo harmónico, a região 4 é aquela que apresenta mais perdas por

representar um maior volume de material. O gerador em vazio e à velocidade nominal

apresenta perdas nas 120 saliências de aproximadamente 310W, 0,62 % da respectiva

potência nominal.

Região 1 Região 2 Região 3 Região 4

Perdas Totais (W) 0,15 0,18 0,15 2,10

Perdas Totais na saliência (W) 2,58

Perdas Totais nas 120 saliências (W) 309,85

Tabela 7- Perdas nas saliências totais quando o gerador funciona em vazio e à velocidade nominal.

Para proceder ao cálculo das perdas totais no estator, às perdas totais nas saliências devem

ser somadas as perdas na culaça do gerador. A Tabela 8 apresenta o conteúdo harmónico

nesta zona do gerador e as respectivas perdas específicas para cada componente fazendo uso

da expressão (44).

Amplitude harmónicas (T) Perdas específicas 10

-4 (W/kg)

1ª harmónica (50 Hz) 0,221 864

3ª harmónica (150 Hz) 0,008 4

5ª harmónica (250 Hz) 0,011 14

1ª harmónica (50 Hz) 0,034 20

3ª harmónica (150 Hz) 0,006 2

5ª harmónica (250 Hz) 0,003 1 Tabela 8- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético e respectivas perdas específicas na culaça do gerador.

Admitindo-se que a culaça corresponde ao volume de material acima das saliências

(0,0164m3), as perdas totais resultantes em vazio e à velocidade nominal são 11W nesta zona.

As perdas totais no estator somam então 321W, correspondentes a 0,64 % da respectiva

potência nominal.

3.5.1.2. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando

elementos 3D

Como na simulação 2D se assume que a distribuição da densidade de campo magnético é

constante e uniforme em profundidade, a simulação em 3D tem por objectivo detectar

eventuais efeitos de borda sobre a sua magnitude e consequente influência no cálculo de

perdas. Para tal, na simulação em 3D, os valores de B considerados para o cálculo de perdas

foram o seu valor médio na superfície transversal da saliência do estator (ver Figura 31), ou

seja o seu valor médio em profundidade para cada uma das 4 regiões consideradas.

49

Figura 31- Superfícies transversais de medição do B na saliência do estator.

Na Tabela 9 é comparado o conteúdo harmónico de cada componente com o gerador em vazio

e à velocidade nominal de 51,7 r.p.m, na simulação em 2D e 3D.

Amplitude harmónicas (T) Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4

Frequência (Hz) 3D 2D 3D 2D 3D 2D 3D 2D

1ª harmónica (50 Hz) 1,09 1,35 1,03 0,99 1,11 1,35 0,97 1,02

3ª harmónica (150 Hz) 0,16 0,11 0,06 0,07 0,15 0,11 - -

5ª harmónica (250 Hz) 0,02 - - - 0,02 - - -

1ª harmónica (50 Hz) 1,15 1,32 1,21 1,09 1,17 1,32 - -

3ª harmónica (150 Hz) 0,16 0,13 0,13 0,04 0,15 0,13 - -

5ª harmónica (250 Hz) 0,02 0,02 0,04 0,03 0,02 0,02 - -

Tabela 9- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo

magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D e 3D.

A partir dos dados da Tabela 9 foram obtidas as perdas totais em cada região pela mesma

metodologia usada na secção anterior. A Tabela 10 compara as perdas totais em cada região

para uma dada saliência através da simulação em 2D e 3D.

Região 1 Região 2 Região 3 Região 4

Perdas na saliência por simulação 2D (W) 0,15 0,18 0,15 2,10

Perdas na saliência por simulação 3D (W) 0,11 0,21 0,11 1,92

Tabela 10- Comparação de perdas obtidas por simulação 2D e 3D nas regiões consideradas na Figura

29.

50

Nas regiões 1, 3 e 4 verifica-se uma diminuição das perdas pelo método em 3D devido ao facto

de se ter observado um valor de B menor. Através da simulação 3D obtém-se perdas totais em

todas as saliências de 284W, 9% abaixo das perdas obtidas por simulação em 2D.

3.5.2. Perdas no rotor

O rotor é constituído por uma estrutura de ferro onde assentam os magnetos permanentes.

Dado que os componentes do rotor são constituídos por materiais ferromagnéticos as perdas

nesta peça são devidas ao fenómeno de histerese e às correntes de Foucault, como descrito

no capítulo 2.2.3.

O material assumido para a estrutura de ferro onde assentam os magnetos é o mesmo do

núcleo ferromagnético do estator (M250-50A), e por isso as perdas nesta estrutura são obtidas

pela equação (44) com os valores de e obtidos na secção anterior.

Por forma a calcular as perdas no rotor, à semelhança do método utilizado para o cálculo das

perdas no estator, foi obtido o conteúdo harmónico da componente radial e componente

tangencial da densidade de fluxo magnético no rotor através da simulação com recurso ao

método de elementos finitos. A Figura 32 representa os pontos de medição da evolução

temporal da indução magnética na estrutura de ferro.

Figura 32- Pontos de medição da evolução temporal da indução magnética no rotor.

Nos pontos 1 e 2 da estrutura onde assentam os magnetos, verificou-se que a variação da

indução magnética é muito reduzida, assim como as perdas associadas (inferiores a 1W). O

campo magnético estacionário nestes pontos é coerente na medida em que os magnetos estão

assentes na estrutura e por isso a sua rotação não impõe um campo magnético variável.

51

Como visto no capitulo 2.2.3. as perdas nos magnetos permanentes ocorrem devido à

presença de correntes eléctricas induzidas pela variação temporal da densidade de fluxo

magnético. A potência de perdas no magneto é estimada fazendo uso da equação (45) que

expressa a dependência das perdas nos magnetos em relação às suas dimensões (largura,

e volume, que podem ser consultados na Tabela 4), à sua condutividade eléctrica

( ) e à frequência e amplitude do campo de indução magnética

alternado sinusoidal.

(45)

A densidade de fluxo magnético, é aproximadamente uniforme em todo o magneto e como

tal a evolução desta grandeza ao longo do tempo foi medida na superfície total do magneto

representada na Figura 33. Sendo que o valor médio de na superfície anda em torno de

0,95T.

Figura 33- Superfície de medição da evolução temporal da indução magnética no magneto.

Quando o gerador se encontra em vazio e à velocidade nominal, verifica-se para além da

componente DC de indução magnética com o valor de 0,95T a existência de uma harmónica

em 100Hz e com amplitude aproximadamente 0,025T (ver Figura 34).

Figura 34- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra em vazio.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Frequência (Hz)

Am

plitu

de (

T)

52

Esta variação da densidade de fluxo magnético origina segundo (45) perdas de 43W, 0,09%

da respectiva potência nominal.

3.6. Disposição dos enrolamentos e força electromotriz

induzida O cálculo do fluxo magnético com recurso ao método de elementos finitos é, não só a base

para o cálculo das perdas no ferro, como também para a obtenção da f.e.m. induzida por

bobina. A metodologia empregue para obter o fluxo magnético ligado em função da posição

angular do rotor consistiu na integração da densidade de fluxo magnético sobre uma secção

transversal da saliência (Figura 31) para cada ângulo do rotor ao longo de um ciclo eléctrico.

A f.e.m induzida em cada bobina constitutiva de uma fase do gerador dependerá da variação

do fluxo ligado com a mesma e, por isso, é necessário conhecer a disposição de cada conjunto

de bobinas constitutivas da fase do estator. Como referido na Tabela 4, o número de ranhuras

do gerador é 120, permitindo a disposição de um total de 60 bobines como a ilustrada na

Figura 35.

Figura 35- Colocação do enrolamento a constituir uma das bobinas do estator. Retirado de [16].

A Figura 36 mostra que o estator é dividido em quatro secções onde se encontra cada quarta

parte de cada uma das três fases. Cada secção de cada uma das fases é constituída por 5

bobines em série como representado na Figura 36. As quatro secções são pois ligadas em

série, constituindo uma fase do gerador.

53

Figura 36- Disposição dos enrolamentos no estator dividido em quatro secções. Retirado de [16].

Como já foi referido, o gerador é constituído por 120 saliências (dentes) e 116 magnetos, o que

implica que a posição relativa entre cada saliência e um magneto varie ao longo da máquina.

Como tal, os fluxos magnéticos que atravessam duas saliências adjacentes serão desfasados.

Na Figura 37 mostra-se o fluxo magnético que atravessa cada uma das cinco saliências onde

assentam as cinco bobines constitutivas de uma das secções da fase A para um total de 3

ciclos eléctricos.

Figura 37- Fluxos magnéticos ligados com cada uma das 5 saliências onde assentam as cinco bobines

consecutivas de uma das fases em função do ângulo do rotor.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3

Ângulo(º)

Flu

xo

Ma

gné

tico

(Wb

)

saliencia1

saliencia2

saliencia3

saliencia4

saliencia5

54

A f.e.m. induzida em cada uma das bobines, , é obtida através da derivada temporal de cada

uma das curvas da Figura 37, multiplicada pelo número de voltas da bobine respectiva.

(46)

Assim, com o gerador a rodar à velocidade nominal de 51,7 r.p.m, o fluxo magnético (e a sua

derivada) serão caracterizados por uma frequência elétrica de 50Hz (Figura 38).

Figura 38- Força electromotriz induzida em cada uma das 5 bobinas consecutivas e que fazem parte de

uma das fases do gerador.

Em cada secção da fase, as 5 bobines encontram-se em série. Logo, a f.e.m. resultante

corresponde à soma das f.e.m’s nas 5 bobines. Visto que a posição relativa entre as saliências

e magnetos se altera ao longo da máquina com uma periodicidade de 90º, o fluxo magnético

ligado total (e f.e.m. induzida) das quatro secções das fases (A1-A2-A3-A4; B1-B2-B3-B4; e

C1-C2-C3-C4) irá ter o mesmo andamento. Como, tal a f.e.m induzida resultante nas três fases

A-B-C fica estabelecida por (47), (48) e (49), respectivamente.

(47)

(48)

(49)

Para a velocidade nominal de 51,7 r.p.m obtém-se então um sistema trifásico de tensões

alternado sinusoidal equilibrado de amplitude 245V, com frequência 50Hz e com desfasamento

de 120º entre elas, como mostra a Figura 39.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-15

-10

-5

0

5

10

15

Tempo(s)

Forç

a e

lectr

om

otr

iz induzid

a (

V)

saliencia1

saliencia2

saliencia3

saliencia4

saliencia5

55

Figura 39- Tensões nas fases A-B-C do gerador.

3.7. Cálculo das perdas no cobre

3.7.1. Modelo em parâmetros concentrados da máquina síncrona:

Resistência elétrica e indutância síncrona por fase do gerador

O enrolamento do estator é constituído por bobinas, alojadas em cavas, que cobrem toda a sua

superfície interior, sendo os condutores longitudinais e paralelos ao veio da máquina. Na

superfície do rotor estão dispostos magnetos permanentes que dão origem a um fluxo

magnético que se fecha através do entreferro e do estator. De acordo com a lei de Faraday, o

fluxo magnético ligado com a bobina ao apresentar uma variação no tempo induz uma força

electromotriz na mesma, a qual dá origem a uma corrente elétrica num circuito exterior ligado

entre os respectivos terminais. Devido à forma construtiva da máquina, a distribuição espacial

da indução magnética é aproximadamente sinusoidal, como se verifica na Figura 37.

A máquina síncrona em regime síncrono directo e equilibrado é representada pelo circuito

monofásico equivalente da Figura 40. O circuito equivalente por fase inclui uma f.e.m.,

representativa da força electromotriz induzida na(s) bobine(s) de uma fase, em série com a

resistência eléctrica do enrolamento e uma reactância em série, reactância síncrona, .

Figura 40- Circuito equivalente da máquina em regime síncrono.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

Tensão induzid

a(V

)

Ângulo eléctrico(º)

a

b

c

56

De seguida, caracterizam-se os parâmetros eléctricos para o gerador em estudo: resistência de

fase e o valor da indutância não saturada.

A referência [16] indica como valores de resistência e indutância por fase do gerador a uma

frequência de 50Hz os seguintes valores e . Neste capítulo

pretende-se confirmar estes valores a partir dos resultados relativamente aos ensaios em carga

efectuados com o gerador e descritos no gráfico da Figura 41 [16].

A Figura 41 ilustra ensaios experimentais aplicados ao gerador com o objectivo de investigar o

tipo de carga que permite atingir a potência nominal. Utilizaram-se dois tipos de carga no

gerador: uma carga resistiva e uma carga RC paralela. As curvas pretas a tracejado definem

uma determinada resistência fixa, os seus valores são por ordem decrescente: 26,2Ω; 20,3Ω;

11,7Ω; 5,6Ω; 4,5Ω; 3,7Ω; 2,8Ω e 2,1Ω. As curvas a cor verde, azul, vermelho e amarelo

correspondem cada uma a um valor definido de capacidade por fase, respectivamente,

, , e . Cada ponto marcado no gráfico corresponde assim a

um valor de resistência e capacidade diferentes.

Os resultados exibidos na Figura 41 mostram que com uma carga puramente resistiva não é

possível atingir 50kW, atingindo-se um máximo de potência de saída de 28,5kW. No entanto,

com uma carga capacitiva em paralelo, a potência de saída aumenta, conseguindo-se um valor

perto de 50kW com uma capacidade de .

Figura 41- Ensaios experimentais aplicados ao gerador com dois tipos de carga: uma carga resistiva e uma carga RC paralela. Retirado de [16].

57

A resistência e indutância por fase do gerador são estimadas a partir dos valores do

ensaio com carga resistiva (curva verde da Figura 41). Começa-se então por representar na

Figura 42 o diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga puramente

resistiva.

Assume-se que no ensaio em carga resistiva a velocidade do gerador é mantida constante e

por isso a força electromotriz, , e a frequência angular, , também. Logo, admite-se que a

f.e.m. induzida em vazio com valor 180V não decai ao longo da curva e a sua frequência

eléctrica se mantém igualmente constante com valor .

Figura 42- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga puramente resistiva.

A partir do diagrama fasorial da Figura 42 estabelece-se a relação (50) onde é o valor eficaz

da força electromotriz induzida em cada fase do gerador, é a tensão eficaz aos terminais

da fase, é a corrente eléctrica na fase e a frequência angular eléctrica.

(50)

Aplicando a equação (50) a duas situações de cargas resistivas diferentes (dois pontos da

curva verde na Figura 41) permite obter um sistema de duas equações (51) e (52) com duas

incógnitas ( e ), o que irá permitir a resolução do sistema de equações.

(51)

(52)

58

A corrente eléctrica para cada situação foi obtida como

para , onde os

valores e foram retirados a partir do gráfico da Figura 41: , ,

e . Resolvendo o sistema de equações (51)-(52) obtêm-se os

valores de resistência e indutância por fase do gerador: Ω e .

3.7.2. Corrente na fase

A carga utilizada nos ensaios experimentais cujos resultados se encontram na Figura 41 foi

uma resistência e um condensador em paralelo como ilustra a Figura 43.

Figura 43- Carga RC paralela aplicada ao gerador por fase.

Para o cálculo da corrente na fase é necessário recorrer à definição de potência complexa,

, cuja relação com a corrente é dada por (53). Sendo que para a carga em questão

e , substituindo em (53), tem-se a relação (54).

(53)

(54)

Contudo a potência cujos valores estão presentes no gráfico da Figura 41 é a potência activa, a

qual pode ser obtida através das relações (55) ou (56).

(55)

59

(56)

Os dados da tensão de fase, , potência activa, e capacidade da carga, , são retirados

da Figura 41. A resistência da carga, , é determinada através da expressão (56). Por fim, a

corrente é obtida através da expressão (57) baseada na relação (55).

(57)

A Figura 44 representa o diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando por uma carga

RC. A partir do diagrama fasorial estabelece-se a relação (58).

Figura 44- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga RC paralelo.

(58)

A partir da equação (58) obtém-se a força electromotriz induzida para cada condição de carga,

com este valor a velocidade da máquina pode ser obtida por (59).

(59)

A velocidade da máquina é obtida através das expressões (58) e (59). Na Figura 45

encontram-se os valores de corrente na fase para cada condição de carga, em função da

velocidade do rotor que se mantém aproximadamente constante em torno do valor 51,7 r.p.m.

60

Figura 45- Corrente de fase em função da velocidade da máquina para diferentes condições de carga.

A potência de saída do gerador alcança o valor nominal de 50kW para uma carga com

capacidade (curva amarela na Figura 41), obtendo-se uma corrente na fase igual a

. Nos resultados da Figura 46, este valor diz respeito ao último ponto da curva cor-

de-rosa.

Figura 46- Corrente de fase em função da potência de saída para diferentes condições de carga.

3.7.3. Perdas no Cobre

Conforme referido no capitulo 2.2.3.1. a potência de perdas no cobre é expressa por (60).

(60)

30 35 40 45 50 55 60 65 700

20

40

60

80

100

velocidade da maquina(r.p.m.)

Co

rren

te(A

)

Carga Resistiva

C=440uF

C=850uF

C=960uF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

0

20

40

60

80

100

Potência de saída(W)

Co

rren

te(A

)

Carga Resistiva

C=440uF

C=850uF

C=960uF

61

Com base nos dados da corrente de fase apresentados na Figura 46, foram obtidas as perdas

no cobre para cada condição de carga (Figura 47). Na condição nominal de funcionamento do

gerador, o valor das perdas no cobre obtidas foi de 3955 W, 8% da potência nominal.

Figura 47- Perdas no cobre em função da potência de saída para diferentes condições de carga.

3.8. Cálculo das perdas no ferro em carga à velocidade

nominal

3.8.1. Perdas no estator

Para a análise das perdas no ferro do estator em vazio, foi apenas analisada a evolução da

densidade de fluxo magnético numa das saliências do estator pois a evolução é equivalente

nas restantes saliências. Embora as saliências não tenham a mesma posição relativamente ao

magneto, e por isso a evolução da densidade de fluxo magnético esteja desfasada entre

saliências adjacentes, a densidade de fluxo magnético atinge o valor máximo de 1,02T em

todas as saliências quando estas estão alinhadas com um magneto.

Quando o gerador está em carga, a densidade de fluxo magnético presente no estator

apresenta duas origens: os magnetos permanentes e a corrente a circular nos enrolamentos do

gerador. Neste caso, a amplitude da densidade de fluxo magnético não será igual em todas as

saliências devido à soma destas duas componentes.

Como foi visto no capítulo 3.6 e novamente ilustrado aqui na Figura 48, o estator do gerador

síncrono é dividido em quatro secções onde se encontra ¼ do enrolamento que constitui cada

uma das três fases ABC. Cada ¼ do enrolamento de uma fase é constituído por 5 bobines

concentradas e ligadas em série como representado na Figura 48. Por fim, as quatro secções

são ligadas em série para formar o enrolamento completo de uma fase do gerador.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Potência de saída(W)

Pe

rda

s n

o C

ob

re(W

)

Carga resistiva

C=440uF

C=850uF

C=960uF

62

Figura 48- Disposição dos enrolamentos trifásicos nas quatro secções do estator ao longo do gerador.

Adaptado de [16].

Assumindo-se que sob a saliência 2 (numerada na Figura 48) está colocado um magneto com

polaridade inversa, a Figura 49 representa a vermelho a direcção da densidade de fluxo com

origem nesse magneto. Segundo a lei de indução magnética, devido à variação do fluxo ligado

causada pela rotação dos magnetos irá ser induzida uma força electromotriz no enrolamento

disposto na saliência 2 com o sinal indicado a verde na Figura 49. Quando ligado a uma carga,

o enrolamento será percorrido por uma corrente que induzirá um campo magnético na mesma

direcção que o magneto.

Figura 49- Direcções das grandezas electromagnéticas no fenómeno de indução magnética. Densidade

de fluxo magnético (vermelho), tensão induzida (verde) e corrente eléctrica (azul).

63

O estudo das perdas no ferro em carga foi feito para a condição de operação nominal, 51,7

r.p.m. Através do capítulo 3.7 concluiu-se que a potência nominal de 50kW é atingida com uma

carga capacitiva com ( ) originando uma corrente na fase com

amplitude de 99A. As correntes nas fases serão dadas pelas relações (61), (62) e (63).

(61)

(62)

(63)

À semelhança das perdas em vazio a amplitude da densidade de fluxo magnético foi estimada

através de simulação com recurso ao método de elementos finitos. Neste caso a indução

magnética foi medida num ponto central da saliência, representado na Figura 50.

Figura 50- Ponto de medição da densidade de fluxo magnético na saliência quando o gerador está em

carga.

A Figura 51 exemplifica um período da densidade de fluxo magnético com origem apenas no

magneto nas saliências 2, 4, 6, 8 e 10 (numerados na Figura 48), além da densidade de fluxo

magnético proveniente da corrente alternada que percorre os enrolamentos dispostos nessas

saliências.

Como se pode verificar pelas curvas a densidade de fluxo magnético proveniente do magneto

na saliência 10 encontra-se mais desfasada da densidade de fluxo magnético proveniente da

corrente alternada do que na saliência 2. O que leva a que a amplitude da densidade de fluxo

64

magnético na saliência 10 seja menor que na saliência 2 como se verifica na Tabela 11 e na

Figura 52.

Figura 51- Densidade de fluxo magnético radial com origem no magneto e na corrente alternada.

A Figura 52 representa a densidade de fluxo magnético radial devida a ambas as origens

(magneto e corrente alternada) em saliências onde assentam bobines consecutivas.

Figura 52- Densidade de fluxo magnético radial em saliências onde assentam bobines consecutivas.

Através de simulação numérica pelo método de elementos finitos obtiveram-se os valores das

amplitudes da densidade fluxo magnético radial em cada uma das saliências listadas na Tabela

11 quando submetidas a correntes descritas pelas equações (61), (62) e (63). Visto que a

geometria da máquina se repete de 90 em 90 graus mecânicos, foi analisado apenas um

quarto da máquina. Através do software e método utilizado não foi conseguida uma solução

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo(s)

Br(

T)

Saliência 2 (Br do Magneto)

Saliência 4 (Br do Magneto)

Saliência 6 (Br do Magneto)

Saliência 8 (Br do Magneto)

Saliência 10 (Br do Magneto)

Br da Corrente Alternada

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo(s)

Br(

T)

Saliência 2

Saliência 4

Saliência 6

Saliência 8

Saliência 10

65

que convergisse na saliência 11 e 21, e por isso a amplitude considerada nos cálculos foi a

máxima observada nas restantes saliências de 1,3784T.

As perdas específicas no ferro em carga foram obtidas tal como as perdas especificas em

vazio através da equação (64), onde , e .

(64)

As perdas específicas terão de ser multiplicadas pela densidade do ferro e

pelo volume da saliência, obtendo-se as perdas totais em cada saliência mostradas na Tabela

11. As letras A, B e C na tabela representam a forma da corrente (equações (61), (62) e (63)

respectivamente) que contribui com indução magnética para aquela saliência.

66

Fase

Saliência 1 A e C 1,2618 2,83 3,25

Saliência 2 C 1,3726 3,35 3,85

Saliência 3 C 1,3232 3,11 3,58

Saliência 4 C 1,2928 2,97 3,41

Saliência 5 C 1,2734 2,88 3,31

Saliência 6 C 1,2175 2,63 3,03

Saliência 7 C 1,2026 2,57 2,95

Saliência 8 C 1,1402 2,31 2,66

Saliência 9 C 1,1179 2,22 2,55

Saliência 10 C 1,0633 2,01 2,31

Saliência 11 C e B 1,3784 3,37 3,88

Saliência 12 B 1,3462 3,22 3,70

Saliência 13 B 1,2971 2,99 3,44

Saliência 14 B 1,2616 2,83 3,25

Saliência 15 B 1,2409 2,73 3,15

Saliência 16 B 1,1822 2,48 2,86

Saliência 17 B 1,1652 2,41 2,77

Saliência 18 B 1,1009 2,15 2,48

Saliência 19 B 1,0774 2,06 2,37

Saliência 20 B 1,0179 1,84 2,12

Saliência 21 B e A 1,3784 3,37 3,88

Saliência 22 A 1,3784 3,37 3,88

Saliência 23 A 1,3256 3,12 3,59

Saliência 24 A 1,2987 2,99 3,45

Saliência 25 A 1,2756 2,89 3,32

Saliência 26 A 1,2216 2,65 3,05

Saliência 27 A 1,2038 2,57 2,96

Saliência 28 A 1,1435 2,32 2,67

Saliência 29 A 1,1182 2,22 2,55

Saliência 30 A 1,0643 2,01 2,31

Total de perdas nas saliências em 1/4 da máquina 92,60

Tabela 11- Valores da densidade de fluxo magnético no centro de cada saliência do estator e respectivas

perdas específicas e perdas totais.

67

Da Tabela 11 conclui-se que as perdas nas saliências em ¼ da máquina na condição nominal

são aproximadamente 92W e, por isso, as perdas totais nas saliências do ferro da máquina em

carga serão cerca de 370W.

Para completar as perdas no ferro resta contabilizar as perdas na extremidade da saliência e

na culaça do gerador. No capítulo relativo às perdas em vazio, as perdas nas extremidades das

saliências e na culaça constituíam 28% das perdas no restante volume das saliências. Visto

que a nova distribuição de campo permite manter as mesmas regiões definidas na Figura 29,

considerou-se a mesma percentagem no cálculo das perdas em carga. As perdas no ferro do

estator em carga dão um total de 472W, 0,9% da potência nominal.

3.8.2. Perdas no rotor

As perdas no rotor em carga foram obtidas pela mesma metodologia que as perdas em vazio.

Visto a densidade de fluxo magnético, ser aproximadamente uniforme em todo o magneto, a

medição desta grandeza foi medida na superfície total do magneto representada na Figura 33.

Neste caso, o campo magnético existente é produzido não só pelos magnetos permanentes

mas também pela corrente alternada que percorre os enrolamentos do estator. O caso

estudado foi para a condição nominal, com corrente 99A. A densidade de fluxo magnético do

magneto foi analisada nos casos em que o enrolamento é percorrido pela fase a, b e c

obtendo-se componentes harmónicas da indução magnética muito semelhantes. Para além da

componente DC com o valor de 0,97T verifica-se uma harmónica em 100Hz e com amplitude

aproximadamente 0,035T.

Figura 53- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra em carga.

Esta variação da densidade de fluxo magnético origina segundo (45) perdas de 76W, 0,15% da

potência nominal.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Frequência (Hz)

Am

plitu

de (

T)

68

4. Modelo térmico do gerador síncrono de magnetos permanentes em regime estacionário

4.1. Modelo térmico em parâmetros concentrados: modelo em

camadas cilíndricas para o circuito térmico

Como primeira aproximação do modelo térmico de parâmetros concentrados para o gerador,

considera-se uma representação em camadas cilíndricas. Como referido no capítulo 2, esta é a

representação mais apropriada para a modelização da troca de calor em máquinas eléctricas

que apresentam simetria cilíndrica. Cada camada representará os diferentes materiais

constitutivos da máquina eléctrica em termos do seu volume equivalente e das suas

propriedades térmicas, assim como representará também a produção interna de fluxo de calor

nos materiais que apresentam perdas.

Neste caso, a estrutura geométrica do gerador torna-se uma estrutura equivalente simplificada,

como se mostra na Figura 54, onde a primeira camada representa os magnetos permanentes

assentes no rotor, a segunda camada consiste no entreferro de ar equivalente do gerador, a

terceira e quarta representam as saliências do núcleo ferromagnético estatórico, a quinta, sexta

e setima representam os enrolamentos dispostos no estator constituídos por isolante eléctrico e

cobre, e por fim, a camada mais exterior representa o restante volume de núcleo

ferromagnético estatórico.

Figura 54- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas.

69

Com o gerador em carga, a origem do fluxo de calor provém das perdas nos magnetos, no

cobre e no núcleo ferromagnético estatórico, as quais são difundidas para o exterior,

radialmente por condução através do estator. O calor depois de difundido radialmente pelo

estator é transferido por convecção através do ar da superfície da máquina para o ambiente. A

Figura 55 mostra o circuito térmico equivalente dos fluxos de calor considerados.

No circuito térmico considerado, as fontes de calor referem-se à potência de perdas na

condição nominal (50kW) em cada uma das camadas. Considera-se que a temperatura

ambiente é 25ºC imposta no circuito pela fonte de temperatura, . As resistências no circuito

traduzem os processos de transferência de calor na camada por condução e convecção e são

representadas no circuito com as cores das camadas respectivas.

Figura 55- Circuito em parâmetros concentrados do modelo considerado na Figura 54.

Como referido e deduzido no capitulo 2, nas camadas onde ocorre produção interna de calor a

transferência de calor por condução é traduzida por uma resistência própria, dada pela

equação (21) no capitulo 2, enquanto que a transferência de calor com origem externa numa

dada camada é traduzida por uma resistência externa, dada pela equação (16) no capitulo

2. Através das equações (16), (21) e (25) conclui-se que as resistências de condução e

convecção dependem para além da geometria do gerador, da condutividade térmica dos

materiais, k, no caso da condução e do coeficiente de transferência de calor por convecção, h.

Nos subsequentes subcapítulos vai ser apresentado o método de cálculo de h, assim como, os

valores de condutividade térmica considerados e a sua variação com a temperatura.

4.1.1. Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção

Como visto no capitulo 2 a resistência de convecção que traduz a convecção no ar exterior à

máquina depende para além da superfície de transferência de calor (área lateral da máquina),

do coeficiente de transferência de calor por convecção.

70

O coeficiente de transferência de calor por convecção natural de uma máquina eléctrica

cilíndrica, instalada na horizontal, apresenta como visto no capítulo 2 um valor de aproximado

pela relação (65).

(65)

em que é a diferença entre a superfície exterior da máquina e a temperatura ambiente, α e

β são valores dependentes das condições de fluxo e geometria.

Pelo facto da convecção térmica ser um fenómeno complexo que não pode ser resolvido por

abordagens puramente matemáticas e a fim de se obter resultados mais precisos, foram

usados dados empíricos do gerador em estudo para calibrar a correlação (65).

A correlação (65) pode ser escrita na forma logarítmica:

(66)

Os valores de e são obtidos a partir de uma regressão linear da expressão (66) com

valores experimentais e valores estimados de .

Os dados experimentais do gerador estão presentes na Tabela 12, obtidos a partir de [16]. Os

dados mostram o aumento de temperatura medida em 5 zonas da máquina quando o gerador

se encontra em vazio e a cerca de 32kW.

Aumento de

Temperatura (ºC) Em vazio

A cerca de

32kW

Superfície do

estator - 33,8ºC

Entreferro 10,6ºC 40ºC

Centro do

enrolamento 14ºC 69,2ºC

Fundo da cavidade 15ºC 51,9ºC

Extremidade da

saliência 15,7ºC 57,6ºC

Tabela 12- Aumento de temperatura medida em vazio e a cerca de 32kW. Retirado de [16].

71

A diferença de temperatura presente nas relações (65) e (66) corresponde à variação da

temperatura na superfície da máquina. Na condição em que a máquina se encontra a 32kW,

é obtido directamente da tabela, . Para a condição da máquina em vazio não

existem dados experimentais do aumento da temperatura na superfície da máquina e por isso

a temperatura à superfície da máquina neste caso é estimada com base no aumento da

temperatura na extremidade da saliência (ponto 1 da Figura 56, 15,7ºC) subtraída do aumento

de temperatura entre a extremidade da saliência (ponto 1 da Figura 56) e a superfície da

máquina (ponto 2 da Figura 56). Esta variação de temperatura entre o ponto 1 e 2 é estimada

com base nas perdas em vazio e resistências calculadas nos capítulos anteriores. Obtendo-se

Figura 56- Representação do circuito térmico. Ponto 1-Temperatura na extremidade da saliência. Ponto

2- Temperatura na superfície da máquina.

A definição da resistência térmica permite encontrar os valores de h (67) para o

correspondente aumento de temperatura e .

(67)

Sendo a potência de perdas totais da máquina (perdas no ferro, cobre e magnetos), D o

diâmetro da máquina e L o comprimento da máquina.

A potência de perdas do gerador foi estimada quando este se encontra em vazio (365W) e na

condição nominal (4504W). A potência de perdas do gerador a cerca de 32kW foi interpolada

com base nas perdas nas duas condições estudadas (vazio e na condição nominal, 50kW)

Relativamente ao valor das perdas no ferro e nos magnetos para a condição do gerador a

cerca de 32kW, este foi interpolado linearmente. A Tabela 13 representa as perdas das três

situações em estudo: a condição em vazio (corrente nula); a condição nominal (corrente de

fase 99A) e o ponto interpolado (corrente de fase 63A), obtendo-se 481W de perdas no ferro e

nos magnetos.

72

Condição do gerador Corrente de fase (A) Perdas no Ferro e nos

magnetos (W)

Vazio 0 365

Gerador a 32kW 63 481

Condição nominal (50kW) 99 548

Tabela 13- Interpolação das perdas no ferro e nos magnetos para o gerador a 32kW.

As perdas no cobre foram obtidas no capítulo 3 para diferentes condições de carga. Com base

nos valores obtidos, a situação em que o gerador se encontra a 32kW pode ser interpolada. A

Figura 57 representa os valores das perdas no cobre e a respectiva potência de saída.

Figura 57- Perdas no cobre em função da respectiva potência de saída.

O polinómio que mais se adequa aos dados é um polinómio de terceiro grau. Com base nesta

função foi obtido o valor das perdas para 32kW, 1736W.

Os valores de e são obtidos a partir de uma regressão linear da expressão (66) com os

valores experimentais e os valores estimados de , obtendo-se a correlação:

(68)

Para a potência de perdas na condição nominal obtém-se um , verificando-se

uma temperatura à superfície da máquina de 89,3ºC.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Potência de saída(W)

Pe

rda

s n

o c

ob

re(W

)

dados

curva ajustada

73

4.1.2. Variação da condutividade térmica dos materiais com a temperatura

A condutividade térmica é uma característica específica de cada material, e depende

fortemente da própria temperatura na qual o material se encontra como pode ser visto nos

gráficos 12 e 13 do capítulo 2. Neste capítulo pretende-se ver o impacto da condutividade

térmica adoptada para o ferro, cobre e ar no modelo, na temperatura final no interior da

máquina na condição nominal.

A Figura 58 representa a temperatura no magneto ( no circuito da Figura 55) para várias

condutividades tabeladas do ferro desde 27ºC a 527ºC e mantendo as condutividades dos

restantes materiais constantes e para uma temperatura de 27ºC.

Figura 58- Temperatura no magneto para condutividades do ferro desde 27ºC a 527ºC

Visto que a máquina atinge temperaturas na ordem dos 200ºC a condutividade do ferro a

adoptar seria . No entanto, a alteração desta condutividade não provoca

grande alteração na temperatura (variação de menos 1%), pelo que a condutividade adoptada

no modelo foi .

A Figura 59 representa a temperatura no magneto ( no circuito da Figura 55) para várias

condutividades tabeladas do cobre desde 27ºC a 527ºC e mantendo as condutividades dos

restantes materiais constantes e para uma temperatura de 27ºC.

74

Figura 59- Temperatura no magneto para condutividades do cobre desde 27ºC a 527ºC.

Visto que a máquina atinge temperaturas na ordem dos 200ºC a condutividade do cobre a

adoptar seria . No entanto, a alteração desta condutividade não provoca

grande alteração na temperatura (variação de menos 1%), pelo que a condutividade adoptada

no modelo foi .

A Figura 60 representa a temperatura no magneto ( no circuito da Figura 55) para várias

condutividades tabeladas do ar desde 27ºC a 527ºC e mantendo as condutividades dos

restantes materiais constantes e para uma temperatura de 27ºC.

Figura 60- Temperatura no magneto para condutividades do ar desde 27ºC a 527ºC.

75

Visto que a máquina atinge temperaturas na ordem dos 200ºC a condutividade do ferro a

adoptar seria . Neste caso, a alteração desta condutividade induz uma

alteração significativa na temperatura estimada (variação na ordem dos 5%).

Conclui-se que a alteração da condutividade térmica do cobre e do ferro não afectam a

temperatura estimada no modelo, enquanto que a variação da condutividade térmica do ar tem

um efeito mais apreciável na temperatura estimada. Para um maior precisão do modelo

considera-se então , sendo que a temperatura estimada no magneto

( ) é 172,7ºC.

4.2. Modelo térmico pelo método de elementos finitos

Com base nas dimensões do gerador descritas no capítulo 2 foi construído um modelo da

máquina com recurso a software. Utilizou-se um programa com recurso ao método de

elementos finitos, de nome COMSOL Multiphysics 4.3, onde foram efectuadas simulações em

regime estacionário descritas de seguida. O método de elementos finitos (FEM) é baseado no

conceito de dividir a geometria pretendida em partes triangulares menores, onde um conjunto

de equações são resolvidas para cada elemento, formando uma rede. Neste capítulo foi usado

o módulo Heat Transfer- Joule Heating.

Em cada um dos domínios foram definidas as perdas respectivas na condição nominal do

gerador (50kW). Tal como no modelo em parâmetros concentrados, admite-se que no interior

do gerador o processo de transferência de calor é a condução. A condutividade térmica no

núcleo ferromagnético, magnetos permanentes e entreferro (ar) foram as mesmas

consideradas no modelo anterior. A representação dos enrolamentos do estator é feita

assumindo-se um material com condutividade térmica dada pela junção da condutividade

térmica do cobre, isolante e ar, na respectiva proporção ao seu volume (69) na ranhura

ilustrada a verde na Figura 61.

(69)

Figura 61- Modelo Comsol Multiphysics. Fronteira com o exterior (azul). Ranhuras onde assentam os

enrolamentos (verde).

76

A convecção térmica é apenas admitida no exterior da máquina. Na fronteira entre a superfície

lateral do gerador e o ar exterior (representada a azul na Figura 61) é definido o coeficiente de

transferência de calor por convecção com o valor considerado no modelo de parâmetros

concentrados, .

Na Figura 62 encontra-se a distribuição de temperatura no gerador na condição nominal.

Figura 62- Distribuição de temperatura no gerador na condição nominal.

4.3. Comparação dos dois modelos: alteração do modelo de

parâmetros concentrados

A Figura 63 compara a temperatura estimada nos dois modelos em 4 locais da máquina. A

temperatura no interior da máquina (nos magnetos permanentes) entre os dois modelos difere

em 33,3%.

Figura 63- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos.

77

Visto que no modelo baseado no método de elementos finitos os enrolamentos são

representados como um material com condutividade mista optou-se por alterar o modelo de

parâmetros concentrados e representar os enrolamentos por uma única camada com

condutividade . A Figura 64 representa a nova modelização.

Figura 64- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas, considerando os enrolamentos numa

única camada.

Com esta alteração a temperatura estimada no magneto é de 112,4ºC, diferindo do modelo

baseado no método de elementos finitos em 2,4%. Como pode ser observado pelo gráfico da

Figura 65 este modelo de parâmetros concentrados aproxima-se do modelo em elementos

finitos.

Figura 65- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos.

78

5. Conclusões

Com este estudo concluiu-se que as perdas dominantes em geradores síncronos de magnetos

permanentes para aplicações de baixas velocidades ocorrem no cobre. No gerador analisado,

as perdas no cobre foram obtidas com base em dados experimentais para diferentes condições

de carga, atingindo na condição nominal 8% da potência nominal.

As perdas no ferro do gerador foram estimadas usando um modelo numérico com recurso ao

método de elementos finitos para o cálculo do campo electromagnético. A maior parte das

perdas no ferro ocorrem no estator, atingindo na 0,9% da potência nominal, nomeadamente

nas suas saliências onde se localizam valores superiores de densidade de fluxo magnético. As

perdas no ferro localizadas no rotor podem ser divididas nas perdas presentes nos magnetos,

com valor 0,2% da potência nominal, e as perdas na estrutura ferromagnética onde assentam

os magnetos, que verificou perdas associadas desprezáveis devido à variação da indução

magnética muito reduzida. O campo magnético estacionário nestes pontos é coerente na

medida em que os magnetos estão assentes na estrutura e por isso a sua rotação não impõe

um campo magnético variável.

Da comparação em termos de potência de perdas no ferro e no cobre entre os geradores

síncronos com magnetos permanentes mas com topologias diferentes (radial e transversal),

verificou-se que, embora a máquina de fluxo transversal apresente perdas ligeiramente

menores, as duas máquinas são equivalentes em termos de perdas e logo, no respectivo

rendimento.

Os fenómenos térmicos que ocorrem nas máquinas eléctricas, especialmente o fenómeno da

convecção térmica, apresentam uma complexidade elevada tornando por vezes impossível

estudá-los por abordagens puramente analíticas. Por essa razão, no gerador em análise, foram

usados dados experimentais existentes do gerador eléctrico de fluxo radial para ajustar o

modelo térmico analítico com o objectivo de obterem-se resultados mais rigorosos. Neste

sentido, desenvolveu-se um modelo térmico para o gerador em parâmetros concentrados, o

qual apresentou um erro de 2% em relação à análise numérica com recurso a elementos

finitos.

Através dos resultados obtidos pelos modelos propostos, prevê-se temperaturas no

enrolamento eléctrico abaixo dos 100ºC. Esta temperatura permite a utilização de um

isolamento eléctrico de qualquer classe, visto que a classe que suporta menores temperaturas

(classe A) permite uma temperatura no isolante de 105ºC (para um tempo de vida médio de 2

anos e meio). Nos magnetos permanentes (N35) prevê-se temperaturas de 115ºC. A esta

temperatura o ponto de operação do magneto encontra-se na zona linear da curva de

magnetização por isso não se preveem problemas quanto à sua desmagnetização.

79

6. Trabalhos futuros

Com a produção em larga escala de máquinas síncronas de magnetos permanentes de baixa

potência contendo um número elevado de pares de polos, a solução de geração em que se

utiliza uma máquina síncrona gerando correntes alternadas e conversão electrónica tem sido

cada vez mais uma opção para os sistemas de micro-geração de baixa velocidade (com

especial ênfase para os sistemas de eólicos). Por essa razão, um estudo a servir como

trabalho futuro será a caracterização das respectivas perdas do gerador neste sistema.

O estudo comparativo entre dois geradores de geometrias diferentes com a mesma potência

em termos de perdas energéticas poderá ser completado, desenvolvendo-se o modelo térmico

aplicado ao gerador de fluxo transversal.

7. Referência Bibliográficas

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80

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[22] “Geocities.ws” [Online]. Available: http://www.geocities.ws/mecfin3/atricci.html [Acedido em

14 Novembro 2014].

81

8. Anexos

Anexo 1- Característica BH do material M250-50A

H(A/m) B(T)

30,6 0,1

40,7 0,2

47,9 0,3

54,5 0,4

61,3 0,5

69 0,6

77,8 0,7

88,6 0,8

102 0,9

120 1

145 1,1

186 1,2

278 1,3

584 1,4

1600 1,5

3680 1,6

6890 1,7

11600 1,8

Tabela 1- Característica BH do material M250-50A

82

Anexo2- Processo de cálculo do coeficiente de transferência de

calor por convecção, h

Neste capítulo irão ser examinados os métodos de cálculo da transferência de calor por

convecção, em particular, as formas de prever o valor do coeficiente de transferência por

convecção, h.

De seguida são apresentados os grupos adimensionais mais relevantes no cálculo de h.

Número de Reynolds

O número de Reynolds é a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas e permite avaliar

se o escoamento é laminar ou turbulento. Este parâmetro é usado em casos de convecção

forçada (convecção causada por um agente externo) em que o fluído se encontra com uma

velocidade livre .

(1)

Sendo o comprimento característico e a viscosidade dinâmica

No regime laminar o fluido move-se de forma regular em camadas sem que haja disrupção com

as camadas adjacentes. As partículas movem-se de forma ordenada, mantendo sempre a

mesma posição relativa. Este tipo de escoamento ocorre tipicamente para velocidades do fluido

reduzidas.

O regime turbulento é aquele que não segue uma linha de fluxo, aquele no qual as partículas

apresentam movimento caótico macroscópico, isto é, descrevem trajetórias com variações de

pressão e velocidade no espaço e no tempo. Este tipo de regime ocorre normalmente para

velocidades elevadas do fluido.

Para números de Reynolds grandes as forças inerciais são predominantes e por isso o

escoamento é turbulento. Para números de Reynolds pequenos as forças viscosas são

predominantes e por isso o escoamento é laminar.

Número de Grashof

O número de Grashof é aplicado em casos de convecção natural e tem um papel similar ao do

número de Reynolds na convecção forçada, sendo a variável usada como critério para a

transição entre o escoamento laminar e turbulento.

A convecção natural é resultado do movimento do fluido devido a diferenças de densidade

provocados por um gradiente de temperaturas. As forças responsáveis por este movimento são

as forças de flutuação, causadas por um gradiente de densidades e que não estariam

presentes se não existisse uma força externa como a gravidade.

83

O ar presente no entreferro da máquina é actuado pela força centrifuga e por isso poderá

experienciar correntes de convecção natural se uma das superfícies de contacto do fluido for

aquecida.

O número de Grashof expressa a relação entre a sustentação/flutuação de um fluido e a

viscosidade.

(2)

Sendo o comprimento característico , a aceleração da gravidade e o

coeficiente de dilatação térmica .

A flutuação resulta numa força que age sobre o fluido e acelerá-lo-ia continuamente se não

existissem forças viscosas. As forças viscosas opõem-se às forças de flutuação e levam o

fluido a mover-se com uma distribuição de velocidade que cria um equilíbrio entre as forças de

flutuação e as forças viscosas.

Para números de Grashof grandes as forças de flutuação são predominantes e por isso o

escoamento é turbulento. Para números de Grashof pequenos as forças viscosas são

predominantes e por isso o escoamento é laminar.

Número de Taylor

O número de Taylor caracteriza a importância das forças centrífugas (forças inerciais devido à

rotação de um fluído em relação a um eixo), relativamente às forças viscosas.

O contexto típico deste número é na caracterização do tipo de escoamento (laminar ou

turbulento) entre cilindros concêntricos rotativos.

O número de Taylor é definido por:

(3)

Sendo o raio interior do entreferro e b o exterior, a velocidade angular, a viscosidade

cinemática e

.

Número de Prandtl

O número de Prandtl expressa a relação entre a difusão de quantidade de movimento e a

difusão de quantidade de calor dentro do próprio fluido. O número de Prandtl pode ser visto

como o rácio entre a taxa com que as forças viscosas penetram no material e a taxa de energia

térmica que penetra no material.

84

(4)

Para valores pequenos de , significa que o calor se difunde muito facilmente comparado à

velocidade do fluido (momento), o que se verifica em metais líquidos. Para valores grandes de

significa que o calor se difunde muito devagar relativamente à velocidade, o que se verifica

em óleos viscosos.

Número de Nusselt

O número de Nusselt é dado pela razão entre a quantidade de calor transferida por convecção

e a quantidade de calor transferida por condução.

(5)

Quanto maior o número de Nusselt, mais predominante será o processo de convecção.

Quando o processo de transferência de calor é puramente de condução. O número de

Nusselt pode ser considerado como o coeficiente de transferência de calor por convecção

adimensional, pois é a partir deste parâmetro que se obtém .

A transferência de calor é quantificável por correlações do tipo na convecção

forçada e do tipo na convecção natural.

Na Figura 1 encontra-se o resumo do processo de cálculo do coeficiente de transferência de

calor por convecção, .

85

Figura 1 -Resumo do procedimento de cálculo do coeficiente de transferência de calor por

convecção

Especificar fluído em estudo e as suas propriedades físicas

Especificar geometria e se o fluído é interno ou externo.

Definir temperatura inicial do fluído

Geometria Fixa Geometria Rotativa

Convecção Forçada

Convecção Natural

Escoamento Laminar

Valores de e pequenos.

Escoamento Turbulento

Valores de e grandes.

Cilindros e Esferas concêntricas

em rotação

Escolha da correlação empírica de

Cálculo do coeficiente de transferência por convecção,

Modificação

da

temperatura

86

Aplicação do cálculo de h a geometrias particulares

Visto que o gerador em estudo neste trabalho tem uma geometria cilíndrica os casos

particulares que se irão dar mais foco são em primeiro lugar a convecção sobre a superfície de

um cilindro horizontal, pretendendo modelar a convecção na superfície da máquina e em

segundo lugar a convecção no entreferro.

Convecção natural sobre a superfície de um cilindro horizontal

No caso da convecção natural a correlação empírica do parâmetro é obtida a partir da gama

de valores de . Segundo a referência [7] as correlações de para a gama de

valores para um cilindro horizontal são as representadas na Tabela 1.

Gama de

0-10-5

10-5

-104

104-10

9

109-10

12

>1012

Tabela 2- Correlações empíricas de para uma geometria de cilindro horizontal

Como foi visto anteriormente o parâmetro é dado por:

(6)

Sendo que o comprimento característico do cilindro é igual ao seu diâmetro . Quando

escolhida a correlação de adequada, obtém-se a partir da equação (6).

Entreferro

Como ilustrado na Figura 2 o ar no entreferro escoa entre duas superfícies paralelas em

movimento relativo, a superfície do estator e do rotor. Se o módulo da velocidade relativa é

pequeno o fluido é separado em camadas paralelas (escoamento laminar). Quando um fluido

escoa paralelamente a uma superfície, as partículas do fluido em contacto com a superfície

aderem à própria superfície, ou seja, a velocidade relativa fluido-superfície é zero. Assim a

87

camada adjacente à superfície móvel move-se com ela, devido à viscosidade a camada

seguinte move-se com uma velocidade de módulo um pouco menor e assim sucessivamente

até à camada adjacente à placa imóvel com velocidade nula.

Figura 2- Escoamento laminar no entreferro. Retirado de [22].

O procedimento aqui descrito para o cálculo do valor de h para uma máquina de geometria

cilíndrica é baseado na referência [18].

Segundo a referência [18] o valor do número de Nusselt dependerá do valor do número de

Taylor definido pela equação (3).

Sendo que é o factor geométrico:

(7)

E sendo S dado por:

(8)

Para

, o escoamento é laminar e a transferência de calor deve-se maioritariamente

à condução. Nu é dado por (9) sendo que :

(9)

Para

o escoamento encontra-se num regime transitório entre o regime

laminar e turbulento e Nu é dado por:

(10)

88

Para

o escoamento é turbulento e Nu é dado por:

(11)

Visto que a máquina em estudo se trata de um gerador de baixa velocidade, espera-se um

valor baixo do número de Taylor, e portanto um regime de escoamento laminar.

A fórmula de Nusselt a aplicar é por isso a equação (9) donde se obtém o valor de h.