ESTUDOS DOS TRIÂNGULOS

7ª Série / Ensino Fundamental Professor Luciano Vieira

DEFINIÇÃO:

“Triângulo é o polígono de três lados”

ELEMENTOS:

Num triângulo ABC, temos :

A , B e C são os vértices do triângulo

AB , BC e AC são os lados do triângulos, esses lados podem ser denominados pela letra minúscula correspondente a seu ângulo oposto.

A

B C

ELEMENTOS:

Assim o lado BC poderá ser denominado como a, o lado AC poderá ser denominado como b e o lado AB poderá ser denominado como c

BAC , ACB e CBA são os ângulos internos do triângulo

AB + BC + AC = a + b + c é o perímetro do triânguloA

B Ca

bc

Observe o que acontece com o quadrado.

a

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Ele pode “cair” para o lado, sem comprometer a integridade de seus lados. Cada vez mais, o quadrado perde área, e muda seus ângulos, mas nunca tem seus lados alterados. Isto é exemplo de uma figura não rígida.

Dizemos uma figura é rígida, se não podemos construir com os mesmos segmentos de seus lados, outra figura distinta. No caso do triângulo isto é verdade. Dado um triângulo qualquer, não é possível alterar sua forma sem quebrar seus lados ou seus vértices.

A rigidez é uma importante propriedade, e é por isso que o triângulo aparece com muita freqüência no construção civil: em telhados ,torres, etc.

Condição de Existência

Escrevemos esta condição de existência, de um triângulo ABC qualquer, como:

Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados

Exemplo

Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois. Assim:

Para verificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas 7 cm, 4 cm e 2 cm .

impossível, não? Logo não existe o triângulo cujos lados, medem 7cm, 4cm e 2cm.

EXERCÍCIOS

1) Existe ou não um triângulo com lados medindo:

a) 10 cm , 8cm e 7cm?b) 8cm, 4cm e 3 cm ?c) 2cm, 4 cm e 6 cm?d) 3 cm, 4 cm e 5 cm?e) 3 cm, 5 cm e 6 cm?f) 4 cm, 10 cm e 5cm?

2) Dois Lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 15 cm. Qual poderá ser a medida do terceiro lado?

Soma dos ângulos internos é igual a 180°

Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90°, isto é um é complemento do outro:.

Ângulos suplementares são dois ângulos que somados são iguais a 180°, um suplemento do outro.

Consideramos ângulos opostos pelo vértice, aqueles que possuem um lado como sendo semi-retas opostas aos lados dos outros.Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles são congruentes:

1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?

2) Copie e complete o quadro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.

3) Determine x em cada um dos triângulos

3) Determine x em cada um dos triângulos

Medianas

baricentro

Mediana é uma reta que vai de um vértice do triângulo até o ponto médio do lado oposto. Um triângulo tem então 3 medianas:

O ponto onde se encontram as medianas se chama BARICENTRO. Este ponto é o centro de massa do triângulo, o que significa que podemos equilibrá-lo apoiando apenas este ponto.

Outra propriedade do baricentro é que ele divide

cada mediana numa proporção de

por , do vértice ao lado.

BissetrizesUma bissetriz é um segmento que parte de um vértice, dividindo o ângulo deste ao meio até o lado oposto. Um triângulo tem 3 bissetrizes:

O ponto onde encontram as bissetrizes é chamado de INCENTRO. Leva este nome por ser também o centro do círculo inscrito no triângulo. Podemos facilmente perceber pelo desenho.

incentro

ortocentro

O ponto onde se encontram as alturas chama-se ORTOCENTRO. O ortocentro nem sempre está dentro do triângulo. Num triângulo com ângulo maior que 90° o ortocentro e duas alturas se encontram fora da figura.

Altura é um segmento que parte de um vértice a um lado, fazendo um ângulo de 90° com lado em questão. A altura é importante, por que é distância de um vértice a um lado, e é usada no cálculo de áreas. Um triângulo tem 3 alturas:

Alturas

Para traçar as alturas de um triângulo obtusângulo como o abaixo, basta estender os lados conectados ao vértice do ângulo obtuso.

Para achar o ortocentro, basta estender as alturas até que se encontrem.

ÁreaA área do triângulo é bem conhecida. É a metade da

área do paralelogramo. Com b como a base e h como a altura em relação a esta base, temos:

Isso acontece porque todo triângulo é metade de um paralelogramo, como mostraremos:

Duas figuras são congruentes, se e somente se uma figura têm as mesmas medidas que a outra. Em outras palavras, são ambas idênticas. Ilustramos com gêmeos uni vitelinos:

Podemos dizer que ambos os gêmeos são congruentes até um certo ponto.

Congruência

Na matemática, dois polígonos são congruentes se ambos têm exatamente a mesma forma. Num triângulo, como só há 3 ângulos e 3 lados, podemos restringir os casos de semelhança como de acordo com as medidas iguais encontradas:

1) Ângulo Lado Ângulo (ALA)

2) Lado Ângulo Lado (LAL)

3) Lado Lado Lado (LLL)

Escrevemos congruência de dois triângulos e ,

usando o símbolo: .

Congruência de Triângulos

Dados dois ângulos e um segmento, só podemos obter um triângulo, portanto se dois triângulos satisfazem esse caso, eles são iguais.

ALA

LAL

Determinando o triângulo:

Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são congruentes.

LLL

A rigidez do triângulo vem exatamente deste caso. Não se pode deformar um triângulo sem mudar o tamanho de seus lados.

Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes.

Nos triângulos abaixo, informe o caso de congruência: