Euler e a Análise Combinatória

• Em 1779 Euler apresentou uma solução original para um curioso problema…

• E introduziu um novo método de ataque a problemas matemáticos:

O Método Recursivo

O Problema

Quantas maneiras tenho de trocar as quatro rodas do meu carro de forma a que nenhuma fique na mesma posição?

O Problema

• Ou mais geralmente:

Se tiver N pessoas alinhadas quantas maneiras tenho de mudar as suas posições de maneira a que nenhuma fique no mesmo sítio?

Euler colocou assim o problema

• Dadas N letras

a b c d e …

quantas maneiras há de as trocar de modo a que nenhuma fique onde estava

E começou por baptizar esse número

• Número de maneiras para letras =

A seguir contou quantas dessas maneiras tinham “b” na primeira

posição

Uma maneira de por “b” na primeira posição é trocar o “b” com o “a”.

Quantas haverá que trocam o

“b” com o “a”?

E encontrou a resposta…

• Tantas quantas as maneiras de trocar as restantes N – 2 letras de modo a que nenhuma fique na mesma posição:

b a d f c …

• Ou seja:

E quantas com “b” na primeira posição mas sem o “a” na

segunda?

b a c d e f …O b está bem

mas, das restantes N -1, nenhuma pode ficar na mesma

posição…

Claro…

O número é:

Então…

• Com “b” na primeira posição há:

maneiras de fazer a troca…

Mas…

Na primeira posição podem ficar N – 1

letras: b, c, d, e,…

Ora para cada uma delas o número de casos é o mesmo que o que encontramos para “b” , ou seja:

Finalmente…

Uma fórmula Recursiva… porque…

Recursiva porque…

Sabemos o número de trocas para N

à custa, ou com recurso, ao

número de trocas para N – 1 e N – 2…

Assim…

• Para duas letras é:

• Para três letras é:

( 3) = 2 (c a b) e ( b c a)

(b a)

E agora usando a fórmula recursiva…

(2) = 1 (3) = 2 (4) = 3 [ 1 + 2 ] = 9 (5) = 4 [ 2 + 9 ] = 44 …

= 11 [] =

= 176,214,841

Aqui Euler notou que…

(2) = 1 (3) = 3 * (2) -1 = 2 (4) = 3 [ 1 + 2 ] = 9 = 4 * (3) + 1

(5) = 4 [ 2 + 9 ] = 44 = 5 * (4) – 1

Isto é que:

(n) = n * ( n – 1 ) + (-1)^n

Fórmula recursiva mais simples…

Da segunda obtém-se facilmente a primeira: (n) = n * ( n – 1 ) + (-1)^n (n-1) = (n-1) * ( n – 2 ) + (-1)^(n-1)

Agora basta somar as igualdades e passar o

(n - para o segundo membro

Da primeira obtém-se também a segunda

pode ser reescrito:

^ (^ (^

Euler notou que…

é fácil provar, por indução, que:

! [1)^ x

Assim a probabilidade de, ao fazer o rearranjo de N objectos, nenhum ficar na mesma posição é:

p(N) = [1)^ x

que tende para 1/e quando N --> ∞

Isto permite-nos montar uma experiência para calcular um valor aproximado de

e recorrendo a uma experiência aleatória.

p(5)=

e dá-nos o valor de 1/e com erro inferir a 1/6! < 0,002 por defeito; donde se tira: 1/(p(5)+0,002) < e < 1/p(5)

e logo:

1 / p(5) dá o valor de e

com erro inferior a 0,002.

Vamos então calcular aproximadamente p(5) sorteando aleatoriamente, e um número

suficientemente grande de vezes, os números

de 1 a 5 e contando, em cada dessas vezes, em quantas

nenhum i saiu na extracção i.

• Autor - José António Veiga de Faria Autor - José António Veiga de Faria

• fontes:fontes:

• Euler The Master of Us All de William Dunham Euler The Master of Us All de William Dunham

• A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta A History of Mathmatics de Carl Boyer e Uta MerzbachMerzbach

• WikipediaWikipedia