CONTEDO AOS LEITORES2 XVIII OLIMPADA DE MATEMTICADO CONE SUL3 Enunciados e resultado brasileiro XIX OLIMPADA DE MATEMTICADO CONE SUL11 Enunciados e resultado brasileiro ARTIGOS JOGOS E FEIJOADA NO SO PAULOS13 Emanuel Carneiro SUBSTITUIES ENVOLVENDO NMEROS COMPLEXOS17 Diego Veloso Ucha INTEGRAIS DISCRETAS25 Eduardo Poo PRODUTOS NOTVEIS32 Onofre Campos OLIMPADAS AO REDOR DO MUNDO 38 COMO QUE FAZ 48 SOLUES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 50 PROBLEMAS PROPOSTOS 58 AGENDA OLMPICA61 COORDENADORES REGIONAIS 62 Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 2AOS LEITORES com grande alegria que comemoramos em 2008os 10 anos da Revista EUREKA!etransmitimosaosleitoresanossasatisfaopelaacolhidarecebida nesteperodo.Duranteestes10anosdeexistnciatemosprocuradoatenderao leitormaisexigente,apresentandoumapublicaoespecficaquealmde fornecermaterialatualizadoedealtonvelacadmico,temtornadooestudoda matemticaolmpicamuitomaisinteressanteeacessvelaprofessoresejovens olmpicos de todo o Brasil. Nestenmeroespecialdarevistaapresentamosquatroartigos,cujos autoressotodosex-olmpicosdegrandedestaque,almdeumbomnmerode novosproblemaspropostospornossosleitores,queestocadavezmais inspirados. Agradecemos tambm a valiosa ajuda dos alunos que trabalharam na reviso deste nmero da Eureka!: lvaro Lopes Pedroso, Ana Lusa de Almeida Losnak, Custdio Moreira Brasileiro Silva, Elder Massahiro Yoshida, Guilherme Phillippe Figueiredo Hanon Guy LimaRossi, Henrique Pond de Oliveira Pinto, IllanFeimanHalpern,MarcoAntonioLopesPedroso,RafaelHorimotode Freitas,RenanHenriqueFinder,TalitaAlessandradaSilva,ThiagoSaksanian Hallak e Thiago da Silva Pinheiro, e particularmente ao Prof. Carlos Yuzo Shine, que coordenou a reviso e que foi responsvel pela seo Como que faz deste nmero. Continuaremoscontandocomoentusiasmoeacolaboraodosnossos leitoresparaqueaEUREKA!continuesendouminstrumentotilformao matemticaepreparaoolmpicadonossopblico.Esperamosquegostem deste nmero. Divirtam-se! Os editores Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 3XVIII OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL Enunciados e Resultado Brasileiro AXVIIIOlimpadadeMatemticadoConeSulfoirealizadanacidade de Atlntida,Uruguai nomsdejunho de2007.A equipe brasileirafoiliderada pelos professores Yuri Gomes Lima e Samuel Barbosa Feitosa, ambos da cidade de Fortaleza CE. RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRA BRA1Renan Henrique Finder Medalha de Ouro BRA2Marcelo Tadeu de S Oliveira SalesMedalha de Prata BRA3Grazielly Muniz da Cunha Medalha de Prata BRA4Thiago Ribeiro Ramos Medalha de Prata PRIMEIRO DIA PROBLEMA 1 Achar todos os pares de inteiros (x, y) que satisfazem 3 22 . x y x y xy xy + + = + SOLUO DE MARCELO TADEU DE S OLIVEIRA SALES (SALVADOR BA) De 3 22 x y x y xy xy + + = +temos: 3 2 2 22 ( 1 2 ) | x y x xy xy y x x y y y y x y + = + = 2 3 32 ( 2 1 ) | xy xy y x y x y x xy x x y x + = + = Ento | x y e| y x comexceodex=0ouy=0.Nessesdoiscasostemosque ambostmqueser0.Assim(x,y)=(0,0)anossaprimeirasoluo.Se| x yentox y (eujdesconsidereix=0ey=0)ese| y x ento, y x da . x y =Assim temos dois casos:Primeiro caso: x = ySubstituindotemos 4 2 32 2 . x x x x + = + Como0 x e0 y entopodemos simplificar.Assim, 3 22 2 x x x + = + eda| 2 x ,ento{ 2, 1,1, 2}. x Desses valores,onicoquenoadmitesoluox=2entoparaessecaso ( , ) ( 1, 1);(1,1);(2, 2). x y = Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 4Segundo caso: x = y. Substituindo temos 4 2 32 . x x x = + Como0 x temos 4 2 3 22 1 2 x x x x x = + = +e da 2 82x =que no inteiro, ento no h soluo para esse caso. Assim as solues so( , ) ( 1, 1);(0, 0);(1,1) x y = e (2, 2). PROBLEMA 2 Considere100inteirospositivostaisquesuasomaigualaoseuproduto. Determinaraquantidademnimadenmeros1quepodemexistirentreos100 inteiros. SOLUO DE RENAN HENRIQUE FINDER (JOINVILLE SC) SejaKonmerode1squeaparecem.Sejam 1 2 100, ... a a a osnmeros,com 1 2... 1.Ka a a = = = =1 2 100 1 2 100... ... a a a a a a + + + =1 100 1 2 100... ...K K KK a a a a a+ + ++ + + =Vamosminimizar 1 2 100 1 2 100... ... .K K K Ka a a a a a+ + + + Paraisso,suponha 2.ja Note que 1 100 1 100 1 1 100 1... ... ... ... 2 ... ... 2 ...K j K j K j j Ka a a a a a a a a a a+ + + + 1 1 100 1 100 1 1 1 100... ... ... 2 ... ... 2j j K j j K j ja a a a a a a a a a a + + + + 1 1 1 100... ... ( 2) 2,K j j j ja a a a a a+ + oqueocorredefato.Ento,adiferena mnima quando 1 2 100... 2.K Ka a a+ += = = =Logo, 100 1001 2 100 1 100... ... 2 2 (100 ) 0 2 200K KK K KK a a a a a K K + + += + 1002 200 .KK Se93200 107 K K e 100 72 2 128,K = oqueobriga 94. K Note que h um exemplo para K = 95: 1 2 45... 1 a a a = = = =96 952 a a = =98 99 1003 a a a = = =Asoma195 2 2 3 3 95 4 9 108 + + = + + = eoproduto 2 32 3 108. = Restao casoK=94,isto,ocaso94 . a b c d e f abcdef + + + + + + = Supondo, 3, a b minimizemos. abcdef a b c d e f Temos Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 53 3 ( 3) 3, abcdef a b c d e f bcdef b c d e f a bcdef a o que ocorre. Alm disso, 2 2 ( 2) 2, abcdef a b c d e f abcde a b c d e abcde f f o que ocorre, pois1, f logo2. f Conclumosqueaexpressomnimasea=3ef=2.Analogamente,ela mnima quando b = 3 e c = d = e = 2. Ento, 2 43 2 4 2 3 2 144 14 130 94. abcdef a b c d e f = = >Ento,impossvel94 abcdef a b c d e f = seduasdasvariveis forem3 .Jsesumafor3 (digamosquea,teremosb=c=d=e=f=2, logo 52 10 94 31 104, a a a = = absurdo,pois31 | 104. / Setodasasvariveis foremiguaisa2,obtemostambm 31 104 31 2 104, a = =absurdo.Ento K = 95 o mximo que podemos obter. PROBLEMA 3 SejaABCumtringulocomtodososseusngulosagudos,dealturasAD,BEe CF(comDemBC,EemACeFemAB).SejaMopontomdiodosegmento BC. A circunferncia circunscrita ao tringulo AEF corta a reta AM em A e X. A reta AM corta a reta CF em Y. Seja Z o ponto de encontro entre as retas AD e BX. Demonstrar que as retas YZ e BC so paralelas. SOLUO DA BANCAObservemos que AFHE inscritvel, pois90 . AEH AFH = = Da que 90 . AXH = Seja A um ponto sobre a semireta AM tal que AM = MA. O quadriltero ABAC um paralelogramo, onde A BH A BC CBH = + (90 ) ACB ACB = + 90 = , A XH = OusejaqueoquadrilteroBHXAinscritvel.AlemdissoBHCAtambm inscritvel j que (180 ) 180 . BHC BAC BAC BAC + = + = Desta forma os pontos B, H, X, C so concclicos, onde Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 6 XBM XBC XAC BAM = = = (1) Seja. T AB XH = NotemosqueHtambmoortocentrodotringuloATY, uma vez queTY AY e. YF AT Da que, AH TY ento// . TY BCSe provamos que, Z TY o problema estar terminado. Seja ento . Z AD TY = Vamosmostrarque. Z Z = Agora, 90 HZ Y HXY = = entoHXYZ inscritvel, e portanto, XZ Y XHY FAX BAM = = (2) Das relaes (1) e (2) segue-se que , XZ Y XBM = ou seja, que os pontos B, Z eXsocolineares.Pormento Z AD BX Z = eassim Z Z = ,como queramos. B A E F H X Y DM Z C PROBLEMA 4 Considere um tabuleiro2007 2007. So pintadas algumas casas do tabuleiro. Dizemosqueotabuleirocharruasenenhumalinhaesttotalmentepintadae nenhuma coluna est totalmente pintada. a)Qualonmeromximokdecasaspintadasqueumtabuleirocharruapode ter? b)Paratalnmerok,calcularonmerodetabuleiroscharruasdistintosque existem. Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 7 SOLUO DE GRAZIELLY MUNIZ DA CUNHA (FORTALEZA CE) a) Note que todas as colunas tm que ter no mximo 2006 casas pintadas. Como so2007colunasentoonmerodecasaspintadasnomximo 2007 2006, nmeroqueatingidopintandotodasascasas,excetouma diagonal, como na figura abaixo 2007 2007 b) como para k no mximo iremos pintar 2006 casas em cada coluna, ento temos queescolherqualcasaficarsemserpintada.Enotequenopodemosterduas casassemserempintadasemumamesmalinha,poissenoterumalinhaque ficar toda preenchida. Logo para a primeira coluna poderemos escolher qualquer umadas2007casasparanoserpintada,nasegundacolunapodemosescolher qualquer umade 2006casas, pois no podemos escolher umacasa queestejana mesma linha qua a que foi escolhida na primeira coluna, na terceira coluna temos 2005escolhas,naquarta2004escolhaseassimsucessivamente,logoso 2007 2006 2005... 2007! = maneirasdeescolher,logoso2007!tabuleiros charruas distintos, com o nmero k. PROBLEMA 5 Seja ABCDE um pentgono convexo que satisfaz as seguintes condies: Existe uma circunferncia tangente a cada um de seus lados.As medidas de todos os seus lados so nmeros inteiros. Ao menos um dos lados do pentgono mede 1. O lado AB mede 2.Seja P o ponto de tangncia de com o lado AB. a) Determinar as medidas dos segmentos AP e BP. Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 8b) Dar um exemplo de um pentgono que satisfaz as condies estabelecidas. SOLUO DE RENAN HENRIQUE FINDER (JOINVILLE SC) a)SejamQ,R,SeTospontosdetangnciadeemBC,CD,DEeEA, respectivamente, como a seguir: E D C BQ R P S T A Seja AP = x. Temos:AB = 2 BP = 2 xQB = BP QB = 2 xQC = BC QB = BC 2 + x CR = QC CR = BC 2 + x DR = CD CR = CD BC + 2 x DS = DR DS = CD BC + 2 x ES = DE DS = DE C D + BC 2 + x ET = ES ET = DE CD + BC 2 + xAE = AT + TE = x + DE CD + BC 2 + x 2x = AE DE + CD BC *2++ ZComo2 2 4, x AB x < = < pode-seter2 3, 2 2 x x = = ou2 1. x = Oitemb) mostraumaconfiguraopara 32x = eocaso 12x = obviamenteanlogo (troque A por B e C por E). Resta ver o que acontece se x = 1. Temos1 1. AT AE = > Ento2, AE porqueAEZ.Como1, ET AE = vale que e1. ET ET ZAssim,1, SE pois. SE TE = Dessemodo,2. DE SE DE > Como DS DE SE = tem-se1, DS masento1 1. DR DC > Logo2, DC uma vezque. DCZ Masento1, CR jque. CR DC DR DC DS = = Z E tambm1 CQ e, CQZ j que. RC QC =Deste modo,1. BC CQ BC > >E 1. AB AP > =Ento todos os lados so maiores que 1: absurdo. Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 9Obs.Nodesenhodoitemb),defato 3,2AP = pois 1 312 2 2wAP x = + = + = (o pontoPbissectaosegmentodemedidawpoisessesegmentooladodeum hexgonoregular).Poroutrolado,naverdadejprovamosquespodamoster 32AP = ou 1.2AP = Issomostraque 32AP = e 12BP = umapossibilidade(e que, analogamente, 32BP =e 12AP =tambm ). b) Tome um hexgono regular de lado 1, seu incrculo, dois de seus lados no opostosenoadjacenteseosprolongue.SejaAaintersecoobtida.O pentgonoABCDEofechoconvexodauniodospontosdohexgonoedo ponto A, como a seguir: ACD BE P w x z y 120 120 Notequeotringulodeladosxey,comvrticeemA,temdoisngulosde 180 120 60 , = logoeqiltero,edelado1(seuterceiroladoladodo hexgonoL)! Como w e z so lados do hexgono, w = x = y = z = 1. Ento: ABCDE circunscrvel BC = CD = DE = 1 AB = EA = w + x = y + z = 1 + 1 = 2 Todos os lados so inteiros, como queramos. PROBLEMA 6 Demonstrar que, para cada inteiro positivo n, existe um inteiro positivo k tal que a representaodecimaldecadaumdosnmerosk,2k,...,nkcontmtodosos dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sociedade Brasileira de Matemtica EUREKA!N27,2008 10SOLUO DE MARCELO TADEU DE S OLIVEIRA SALES (SALVADOR BA) Lema: Para todo, nexiste *k+Z tal que nk contm todos os dgitos 0, 1, 2, ..., 9, onde *. n+ZDemonstrao:Aofatorarmosntemosquendaforma2 5a bq ondeqo produto dos outros fatores primos de n. Seja c = mx (a, b). Vou mostrar que para10cn q = o lema vlido.Temos que2 5a bq divisor de10 ,cq eporBzoutexisteumxtalque 110 10 (mod 10 )c c cqx+ ,pois ( ,10) 1 mdc q = Assim,semultiplicarmos10cqx por2,3,...,9eledarrestos2 10 ,..., 9 10c c , ouseja,apareceremosdgitosquensquisermosnabasedecimal.Considere 2 810 ( 2 10 3 10 ... 9 10 )c p p pqx qx qx qx + + + + ondexonmerotalque 110 10 (mod 10 )c c cqx+ e p um inteiro tal que 10 9 10 .p cqx > Ento k 2 810( 2 10 3 10 ... 9 10 )p p px x x x = + + + + satisfaz as nossas condies pois ao multiplicarmos k por 10cq temos o seguinte:Em10cq x vaiaparecerumdgito1porque 110 10 (mod10 ).c c cq x+ Em 10 2c pq x+ vai aparecer um dgito 2. Em 810 9c pq x+ vaiaparecerumdgito9eeumultipliqueitudopor10para aparecer o 0. Assim k o que queramos. Agora vou terminar o problema por induo Casos iniciais1 n =e1234567890 k =n = 2 e 1234567890617283945ou 6172839450k = Passo indutivo suponha que at n verdadeira ento existe um k tal que k, 2k, 3k,...,nktmtodososdgitos0,1,...,9.Observequesemultiplicarmoskpor 10/para *+ / Zcontinua sendo verdade para, 2 ,caso,. k k nkPelolema,temosqueexisteumrtalque(n+1)rtemtodososdgitos0,1,...,9. Assim,fazendo10 s k r = +/,onde/ uminteirotalque10 ( 1) , n r > +/esses satisfaz as condies do enunciado para 1 at (n + 1) pois de 1 at n teremos que , 2 ,..., s s ns tero todos os dgitos porque10 ,...,10 k nk/ /tm (e porque/ grande o suficiente para que10 ). nr