Evau Matemáticas IInormal de media 30. o. C y varianza 25. Se pide: a) (0.75 puntos) Calcular la...

Universidad Complutense de Madrid

Evau

Matematicas II

Reunion de CoordinacionUniversidad Complutense de Madrid

29 de octubre de 2019

Reunion de Coordinacion Universidad Complutense de MadridEvau Matematicas II 29 de octubre de 2019 1 / 13


Orden del dıa

1 Convocatoria 2019. Resultados

2 Organizacion de la prueba. Normativa legal.

3 Contenidos y Estandares de aprendizaje.

4 Examen modelo. Examenes 2019

5 Calculadoras.

6 Ruegos y Preguntas.



Valoracion de resultados de materia. Convocatoria 2019Junio Junio Total Julio Julio Total

Matematicas II Obligatoria Optativa Obligatoria OptativaMatriculados 5720 297 6117 733 173 906Presentados 5708 284 5992 720 163 883Aptos 4319 164 4483 214 117 331%/presentados 75.67 57.75 74.81 29.72 71.78 37.49Nota media 6.52 5.40 6.47 3.92 6.31 4.36

junio julioObligatoria 75,67 29,72Optativa 57,75 71,78Total 74,81 37,49

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Obligatoria Optativa Total

% de Aptos (s. presentados) 2019

junio

julio



Comparacion Universidades

matematicas ii — junio 2019

Universidad Matriculados Presentados Aptos % MediaUAHUAM 4916 4879 3781 71,93 % 6,21

UC3M 2404 2404 1740 72,38 % 6,21UCM 6117 5992 4483 74,81 % 6,47UPM 565 565 457 80,88 % 6,66URJC 1628 1628 1155 70,95 % 6,08

% de AptosUAHUAM 71,93UC3M 72,38UCM 74,81UPM 80,88URJC 70,95

0102030405060708090

100

UAH UAM UC3M UCM UPM URJC

Comparativa Universidades

% de Aptos



Ultimos cursos

matematicas ii — Convocatoria ordinaria

Ano % Aptos Media (x)

16 61,98 % 5,4817 77,64 % 6,6118 72,58 % 6,1619 74,81 % 6,47



Organizacion de la prueba

Normativa legal.

Contenidos y Estandares de aprendizaje.



Normativa

Real decreto 1105/2014 (BOE 3 de enero de 2015)

Establece el currıculo basico de la Educacion Secundaria Obligatoria ydel Bachillerato.

Matematicas II. Se establecen cinco bloques:

Bloque 1: Procesos, metodos y actitudes en matematicas.

Bloque 2: Numeros y Algebra

Bloque 3: Analisis.

Bloque 4: Geometrıa.

Bloque 5: Estadıstica y Probabilidad.

Para cada bloque se determinan: Contenidos, Criterios de evaluacion,Estandares de aprendizaje evaluables.



Normativa

Orden PCI/12/2019, de 14 de enero (BOE 15/1/19)

Caracterısticas, diseno y contenido de la Evaluacion.

Matriz de especificaciones. (Anexo I).I Se asigna a cada bloque un porcentaje de ponderacion del 20 %.I Concreta los estandares de aprendizaje evaluables.I Al menos el 70 % de la calificacion se obtendra evaluando los

estandares definidos en la matriz.I Ponderaciones orientativas.



Resumen de normas sobre la estructura de la pruebaCada ejercicio constara de dos opciones diferentes entre las queel estudiante debera realizar una. Asimismo, las propuestas deexamen que se entreguen a los estudiantes deberan incluir laponderacion de cada una de las preguntas en la calificacion delejercicio.

Los enunciados no podran contener transcripciones deproblemas, cuestiones o ejercicios ya publicados por cualquiermedio o utilizados en examenes anteriores de la prueba deacceso.(...)



Resumen de normas sobre la estructura de la pruebaEn la elaboracion de los repertorios habra de tenerse en cuentala adecuacion de las cuestiones planteadas al tiempo establecidopara la realizacion del ejercicio y que la estructura dedesagregacion permita siempre una calificacion multiplo de 0,25.Asimismo, se observara el debido rigor en la exigencia deconocimientos y destrezas, evitandose que, dentro de la mismaopcion, se puntue en mas de una ocasion el mismo conocimientoo destreza.



Contenidos y Estandares. Modelo

La materia se divide en cinco bloques:1 Procesos, metodos y actitudes en Matematicas. (Incluido en los

otros bloques).2 Numeros y albegra.3 Analisis.4 Geometrıa.5 Estadıstica y Probabilidad.

La Comision elabora 6 repertorios de examen.

Modelo disponible enhttp://www.ucm.es/modelos-de-examen-y-criterios-generales-de-evaluacion-



Uso de Calculadoras y Otros Instrumentos

Electronicos

Caracterısticas:

Lista de calculadoras actualizada el curso pasado.

No podran disponer de capacidades graficas ni de calculosimbolico.

Las pantallas no dispondran de mas de dos lıneas de salida deinformacion alfanumerica.

Solo podran tener capacidad para almacenar los datos numericosnecesarios para calculos estadısticos o intermedios.



Enlaces

Direccion coordinador:Sixto Jesus Alvarez Contreras. Tel.:91 3944235. e-mail: [email protected]


UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRIDEVALUACION PARA EL ACCESO A LAS ENSENANZAS

UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADOCurso 2019-2020

Modelo

MATERIA: MATEMATICAS II

orientativo

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIONDespues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno debera escoger una de las dos opciones propuestasy responder razonadamente a las cuestiones de la opcion elegida.Para la realizacion de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las siguientescaracterısticas: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla grafica, resolucion de ecuaciones, opera-ciones con matrices, calculo de determinantes, calculo de derivadas, calculo de integrales ni almacenamiento dedatos alfanumericos. Cualquiera que tenga alguna de estas caracterısticas sera retirada.CALIFICACION: La valoracion de cada ejercicio se especifica en el enunciado.Todas las respuestas deberan estar debidamente justificadas.TIEMPO: 90 minutos.

OPCION A

Ejercicio 1 . Calificacion maxima: 2.5 puntos.

Se quiere construir un invernadero para el cultivo de semillas con ambiente controlado de temperatura, humedady composicion del aire. El aire que hay que suministrar debe contener un 78% de nitrogeno, un 21% de oxıgenoy un 1% de argon.

a) (0.5 puntos) Si la capacidad del invernadero es 2000 litros, determine cuantos litros de nitrogeno, cuantosde oxıgeno y cuantos de argon son necesarios.

b) (2 puntos) Para suministrar el aire se disponede tres mezclas gaseosas A, B y C, cuyacomposicion se expresa en la tabla adjunta.Obtenga la cantidad que hay que utilizar decada mezcla para llenar el invernadero de airecon la composicion requerida.

Mezcla Nitrogeno Oxıgeno ArgonA 80% 20% 0%B 70% 20% 10%C 60% 40% 0%


Dada la funcion f(x) = e3x−2, se pide:

a) (1 punto) Determinar el punto en el que la tangente a la curva y = f(x) tiene pendiente igual a3

ey escribir

la ecuacion de esta recta tangente.

b) (0.5 puntos) Calcular limx→2/3

1− f(x)6x− 4

.

c) (1 punto) Calcular el area de la superficie acotada por la curva y = f(x) y las rectas x = 0, y = 1.


Dadas las rectas r1 ≡{x = z − 1y = 2− 3z

, r2 ≡{x = 4 + 5zy = 4z − 3

, se pide:

a) (1.5 puntos) Estudiar su posicion relativa y hallar la distancia entre ellas.b) (1 punto) Hallar el punto de corte entre la recta r2 y el plano que contiene a r1 y pasa por el origen de

coordenadas.


Dados dos sucesos A y B, se conocen las siguientes probabilidades: P (A ∪ B) = 0.55, P (A ∪ B) = 0.90 yP (B|A) = 0.25. Se pide:

a) (2 puntos) Calcular P (A ∩B), P (A), P (B) y P (B|A).b) (0.5 puntos) Deducir de manera razonada si los sucesos A y B son independientes.

OPCION B


Dada las matrices A =

1 2 + t5 10 + 3t−1 −2

, X =

(xy

), B =

39

3t+ 3

, se pide:

a) (1 punto) Calcular el rango de la matriz A en funcion del parametro t.b) (1.5 puntos) Resolver el sistema AX = B, para los valores de t que lo hagan compatible y determinado.


Dada la funcion f(x) =3

x+ 1, se pide:

a) (1 punto) Calcular el area del triangulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente a la curvay = f(x) en x = 2.

b) (0.75 puntos) Determinar las posibles asıntotas de la curva y = f(x) y estudiar los intervalos de crecimientoy decrecimiento de f(x).

c) (0.75 puntos) Calcular∫ 2

0

xf(x) dx.


Dados los puntos A(1, 1,−2), B(3,−1, 4) y la recta r ≡

x = 1 + 3λy = −2 + 5λ,z = 3

se pide:

a) (1.5 puntos) Calcular el area del triangulo OPQ, siendo O(0, 0, 0), P el punto medio del segmento AB y Qla interseccion de la recta que pasa por A y B y el plano π ≡ z = 7.

b) (0.5 puntos) Hallar la ecuacion del plano que pasa por A y es perpendicular a la recta r.c) (0.5 puntos) Calcular el coseno del angulo que forman la recta r y la recta que pasa por A y B.


En cierta ciudad se estima que la temperatura maxima de cada dıa, en el mes de junio, sigue una distribucionnormal de media 30oC y varianza 25. Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un dıa cualquiera del mes la temperatura maxima este entre28oC y 32oC.

b) (1 punto) Calcular el numero esperado de dıas del mes con maxima superior a 36oC.c) (0.75 puntos) Determinar la temperatura maxima alcanzada el dıa 10 de junio, sabiendo que dicha tem-

peratura fue superada exactamente el 50% de los dıas del mes.

Distribucion Normal

z

Ejemplo: si Z tiene distribucion N(0, 1), P (Z < 0,45) = 0,6736.

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

MATEMATICAS II

CRITERIOS ESPECIFICOS DE CORRECCION Y ESTANDARES EVALUADOS EN CADA EJERCICIO

En cada ejercicio, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones,cualquier argumento valido que conduzca a la solucion sera valorado con la puntuacion asignada.Los estandares de aprendizaje del bloque 1 se evaluaran transversalmente en todos los ejercicios, pena-lizando en la calificacion de cada respuesta la falta de justificacion razonada o de precision y valorandolas estrategias, razonamientos y toma adecuada de decisiones.

OPCION AEjercicio 1.

a) Resultado: 0.25 puntos. Justificacion: 0.25 puntos.b) Definir las variables: 0.25 puntos. Plantear el sistema de ecuaciones: 1 punto. Resolver el sistema: 0.5 puntos.Interpretar el resultado: 0.25 puntos. (Si se plantea mal, pero se resuelve correctamente un sistema de tresecuaciones con tres incognitas, se valorara la resolucion.)

Estandar de aprendizaje evaluado: Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situacion dela vida real, estudia y clasifica el sistema de ecuaciones lineales planteado, lo resuelve en los casos que seaposible, y lo aplica para resolver problemas.

Ejercicio 2.

a) Calcular la derivada: 0.25 puntos. Plantear la ecuacion que determina el punto: 0.25 puntos. Calcular el punto:0.25 puntos. Ecuacion de la recta tangente: 0.25 puntos.b) Escribir el lımite y ver que es una indeterminacion: 0.25 puntos. Obtener el lımite: 0.25 puntos.c) Escribir la integral: 0.5 puntos. Obtener la primitiva: 0.25 puntos. Regla de Barrow: 0.25 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Aplica los conceptos de lımite y de derivada, ası como los teoremasrelacionados, a la resolucion de problemas. Aplica la regla de L’Hopital para resolver indeterminaciones en elcalculo de lımites. Aplica los metodos basicos para el calculo de primitivas de funciones. Calcula el area derecintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas.

Ejercicio 3.

a) Posicion relativa: 1 punto (repartido en planteamiento: 0.5, resolucion: 0.5). Distancia: 0.5 puntos (repartidosen procedimiento: 0.25, calculos: 0.25).b) Hallar el plano: 0.5 puntos. Obtener el punto de corte: 0.5 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Analiza la posicion relativa de planos y rectas en el espacio, aplicandometodos matriciales y algebraicos. Obtiene las ecuaciones de rectas y planos en diferentes situaciones.

Ejercicio 4.

a) Cada probabilidad pedida se evaluara con 0.5 puntos (repartidos en resultado: 0.25, justificacion: 0.25).b) Respuesta correcta: 0.25 puntos. Justificacion: 0.25 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y com-puestos mediante la regla de Laplace, las formulas derivadas de la axiomatica de Kolmogorov y diferentestecnicas de recuento. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la formula de Bayes. Resuelve unasituacion relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en funcion de la probabilidadde las distintas opciones.

OPCION BEjercicio 1.

a) Obtener el valor crıtico (t = 0): 0.5 puntos (repartidos en planteamiento: 0.25, resolucion: 0.25). Determinar elrango en cada uno de los dos casos ([t = 0], [t 6= 0]): 0.25 puntos.b) Deducir (t = −1): 1 punto (repartido en planteamiento: 0.5, resolucion: 0.5). Resolver el sistema 0.5 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estasoperaciones adecuadamente. Determina el rango de una matriz, hasta orden 4, aplicando el metodo de Gauss odeterminantes. Clasifica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales.

Ejercicio 2.

a) Calcular f ′: 0.25 puntos. Obtener la recta tangente: 0.25 puntos. Cortes con los ejes: 0.25 puntos. Area deltriangulo: 0.25 puntos.b) Asıntota vertical: 0.25 puntos. Asıntota horizontal: 0.25 puntos. Intervalos de decrecimiento: 0.25 puntosc) Obtencion de la primitiva: 0.5 puntos (repartidos en procedimiento: 0.25, calculos: 0.25). Aplicacion regla deBarrow: 0.25 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa lafuncion en un entorno de los puntos de discontinuidad. Aplica los conceptos de lımite y de derivada, ası como losteoremas relacionados, a la resolucion de problemas. Aplica los metodos basicos para el calculo de primitivas defunciones.

Ejercicio 3.

a) Obtener el punto medio de A y B: 0.25 puntos. Hallar el punto Q: 0.5 puntos. Calcular el area del triangulo:0.75 puntos.b) Planteamiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.c) Planteamiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Obtiene las ecuaciones de rectas y planos en diferentes situaciones.Determina angulos, distancias, areas y volumenes utilizando los productos escalar, vectorial y mixto, aplicandolosen cada caso a la resolucion de problemas geometricos.

Ejercicio 4.

a) Procedimiento: 0.5 puntos. Resultado: 0.25 puntos.b) Calcular la probabilidad de que la temperatura sea mayor de 36o: 0.75 puntos. Obtener el numero esperadode dıas: 0.25 puntos.c) Resultado: 0.25 puntos. Justificacion: 0.5 puntos.

Estandares de aprendizaje evaluados: Conoce las caracterısticas y los parametros de la distribucion normaly valora su importancia en el mundo cientıfico. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenomenos quepueden modelizarse mediante la distribucion normal a partir de la tabla de la distribucion o mediante calculadora.Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas con el azar.

MATEMÁTICAS II - SOLUCIONES(Documento de trabajo Orientativo)

OPCIÓN A

Ejercicio 1

a) Para 2000 litros de aire, segun los porcentajes indicados, se precisan: 1560 litros de nitrogeno, 420 de oxıgenoy 20 litros de argon.b) Se tomaran x litros de mezcla A, y litros de mezcla B y z litros de mezcla C.

De acuerdo con los datos (x, y, z) debe satisfacer el sistema

0.8x+ 0.7y + 0.6z = 15600.2x+ 0.2y + 0.4z = 420,0.1y = 20

cuya solucion es

(x = 1700, y = 200, z = 100).Es decir son necesarios 1700 litros de mezcla A, 200 litros de mezcla B y 100 litros de mezcla C .

Ejercicio 2

a) La abscisa x del punto buscado debe verificar que f ′(x) = 3/e.

f ′(x) = 3e3x−2 =3

e⇔ e3x−2 =

1

e⇔ 3x− 2 = −1 ⇔ x = 1/3 .

Para x = 1/3 se tiene y = e3·1/3−2 = e−1 y en consecuencia, el punto pedido es (1/3, e−1) .

La recta tangente tiene por ecuacion y − 1

e=

3

e

(x− 1

3

).

b) Usando la regla de L’Hopital se tiene limx→2/3

1− e3x−2

6x− 4= lim

x→2/3=−3e3x−2

6= −1/2.

c) La abscisa del punto de corte entre la recta y = 1 y la curva y = f(x) es x = 2/3. Como en x = 0 se tiene que

f(0) = e−2 < 1, el area pedida viene dada por A =

∫ 2/3

0

(1− e3x−2) dx =

[x− 1

3e3x−2

]2/30

=1

3(1 + e−2) .

Ejercicio 3

a) El sistema{z − 1 = 4 + 5z2− 3z = 4z − 3

}es incompatible, luego las rectas no se cortan.

Un vector director de r1 es −→u = (1,−3, 1) y un vector director de r2 es −→v = (5, 4, 1). Los vectores −→u y −→v sonlinealmente independientes, luego las rectas se cruzan .Para hallar la distancia entre ellas obtenemos el plano τ que contiene a r1 y es paralelo a r2. Este plano estadeterminado por el punto P (−1, 2, 0) ∈ r1 y los vectores −→u y −→v . Su ecuacion implıcita es −7x+4y+19z−15 = 0.La distancia entre las rectas es la distancia del punto Q(4,−3, 0) ∈ r2 al plano τ :

d(Q, τ) =| − 28− 12− 15|√(−7)2 + 42 + 192

; d =55√426≈ 2.665 .

b) Plano π que contiene a r1 y pasa por el origen: 2x+ y + z = 0. Punto B de interseccion de π y r2 :

2(4 + 5µ) + (−3 + 4µ) + µ = 0⇒ µ =−13⇒ B

(7

3,−133,−13

).

Ejercicio 4

a) P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− P (A ∪B) = 1− 0.90 = 0.10.

P (B|A) = P (A ∩B)

P (A)=

0.1

P (A)= 0.25⇒ P (A) = 0.4.

P (B) = P (A ∪B)− P (A) + P (A ∩B) = 0.55− 0.4 + 0.10 = 0.25.

P (B|A) = P (B ∩A)P (A)

=P (B)− P (A ∩B)

1− P (A)=

0.25− 0.1

1− 0.4= 0.25.

b) Como P (B|A) = P (B), B es independiente de A. (Tambien se puede argumentar que son independientesporque P (A ∩B) = P (A)P (B).)

SOLUCIONESOPCION B

Ejercicio 1

a) La matriz A es equivalente, haciendo operaciones elementales de fila, a

A =

1 2 + t5 10 + 3t−1 −2

∼ 1 2 + t

0 −2t0 t

∼ 1 2 + t

0 t0 0

⇒ Si t 6= 0: rg (A) = 2 y si t = 0: rg (A) = 1.

b) Para que el sistema AX = B sea compatible determinado, debe ser rg (A) = rg (A|B) = 2:

(A|B) =

1 2 + t

∣∣∣ 3

5 10 + 3t∣∣∣ 9

−1 −2∣∣∣ 3t+ 3

∼

1 2 + t∣∣∣ 3

0 t∣∣∣ 3

0 t∣∣∣ 3t+ 6

∼

1 2 + t∣∣∣ 3

0 t∣∣∣ 3

0 0∣∣∣ 3t+ 3

,

de donde se concluye que t = −1 .

Sustituyendo t = −1 se obtiene el sistema{x+ y = 3−y = 3

, que tiene por solucion (x = 6, y = −3) .

Ejercicio 2

a) La recta tangente es y = f(2) + f ′(2)(x− 2). Como f(2) = 1, f ′(x) = − 3

(x+ 1)2→ f ′(2) = −1

3, la tangente es

y = −1

3x+

5

3, que corta al eje OX en P (5, 0) y al eje OY en Q(0, 5/3). El area del triangulo es A =

25

6.

b) El dominio de f es D = R − {−1} y limx→−1+

3

x+ 1= +∞. Por tanto la curva y = f(x) tiene una

asıntota vertical: x = −1 . Por otra parte limx→±∞

f(x) = 0, luego hay una asıntota horizontal: y = 0 .

Para estudiar el crecimiento vemos que f ′(x) = − 3

(x+ 1)2< 0, ∀x ∈ D, por tanto que f es decreciente en cada

uno de los intervalos en que esta definida, es decir f es decreciente en (−∞,−1) y en (−1,∞) .

c)∫ 2

0

xf(x) dx = 3

∫ 2

0

x

x+ 1dx = 3

∫ 2

0

(1− 1

x+ 1

)dx = [3(x− ln(x+ 1))]

20 = 6− 3 ln 3

Ejercicio 3

a) Calculamos los vertices del triangulo: El punto medio de A y B es P (2, 0, 1). La recta que pasa por A y B tiene

ecuacion implıcita{x+ y = 23x− z = 5

y corta al plano z = 7 en el punto Q(4,−2, 7).

El area del triangulo es 12‖−−→OP ×

−−→OQ‖ = 1

2‖(2,−10,−4)‖ =√30 .

b) Un vector normal al plano pedido es (3, 5, 0) (vector director de r), por lo que la ecuacion implıcita del plano esde la forma 3x+ 5y + 0z = d. Para que pase por el punto A debe ser d = 8 y queda 3x+ 5y = 8 .c) Un vector director de r es −→v1 = (3, 5, 0) y un vector director de la recta que pasa por A y B es −→v2 = (1,−1, 3).

El coseno del angulo formado por estos dos vectores es cosα =|−→v1 · −→v2 |‖−→v1‖‖−→v2‖

=2√374≈ 0.1034 .

Ejercicio 4

Sea X ∼ N(30, 5) la variable aleatoria “temperatura maxima” y Z =x− 30

5la variable normalizada asociada.

a) P (28 < X < 32) = P (−0.4 < Z < 0.4) = 2P (Z < 0.4)− 1 = 0.3108.b) P (X > 36) = P (Z > 1.2) = 1 − P (Z < 1.2) = 0.1151. El numero esperado de dıas es 30 · 0.1151 ≈ 3.45.Cabe esperar que entre 3 y 4 dıas del mes se superen los 36o .

c) Se trata de hallar a tal que P (X > a) = 0.5 y esto es justamente el valor medio de la variable. Luegoel dıa 10 de junio se alcanzaron 30o .

DOCUMENTO DE ORIENTACIONES PARA LA EvAU

Matemáticas II. Curso 2019/2020

ESTRUCTURA DEL EXAMEN

El examen constará de cuatro problemas igualmente ponderados, cada uno de ellos relativo a uno de los cuatro bloques con contenido específico del currículo oficial de MATEMÁTICAS II, 2º Bachillerato: ÁLGEBRA, ANÁLISIS, GEOMETRÍA y PROBABILIDAD.

CONTENIDOS

Las pruebas se elaborarán teniendo en cuenta el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, y Orden PCI/12/2019, de 14 de enero, por la que se determinan las características, el diseño y el contenido de la evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad, y las fechas máximas de realización y de resolución de los procedimientos de revisión de las calificaciones obtenidas en el curso 2018-2019). Se podrá pedir en las mismas la realización de tareas similares a las siguientes:

ÁLGEBRA

Usar matrices como herramienta para representar datos estructurados ysistemas de ecuaciones lineales.

Realizar operaciones con matrices y aplicar propiedades.

Calcular determinantes de orden menor o igual que 4 y manejar laspropiedades elementales.

Calcular la inversa de una matriz cuadrada de orden no superior a tres. Usaradecuadamente las propiedades de la matriz inversa.

Calcular el rango de una matriz de orden no superior a 4, por determinanteso por el método de Gauss. Estudiar el rango de una matriz que dependacomo máximo de un parámetro.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales. Discutir las soluciones de unsistema lineal, dependiente de un parámetro.

Plantear y resolver problemas que simulen situaciones de la vida real, cuyasolución pueda obtenerse a partir de un sistema lineal de, como máximo, tresecuaciones con tres incógnitas.

ANÁLISIS

Calcular el límite de una función en un punto y en el infinito. Calcular límiteslaterales y resolver indeterminaciones sencillas.

Interpretar el significado de la continuidad y la discontinuidad. Identificarfunciones continuas y tipos de discontinuidad. Manejar operacionesalgebraicas con funciones continuas y composición de funciones continuas.

Usar el teorema de Bolzano para localizar soluciones de una ecuación.

Manejar y saber interpretar el concepto de derivada de una función en unpunto. Manejar las propiedades de la derivación y calcular derivadas.

Usar derivadas para estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento y valores extremos. Plantear y resolver de problemas de optimización.

Conocer y aplicar los resultados del Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio y la regla de L’Hôpital.

Calcular primitivas inmediatas y de funciones que sean derivadas de una función compuesta. Integrar por partes y mediante cambio de variables (ejemplos simples). Integrar funciones racionales (con denominador de grado no mayor que dos).

Calcular áreas de recintos limitados por rectas o curvas sencillas. GEOMETRÍA

Operar con vectores del espacio tridimensional. Estudiar la

dependencia e independencia lineal. Manejar los conceptos de base y coordenadas.

Manejar el producto escalar: definición, propiedades e interpretación geométrica; vectores unitarios, ortogonales y ortonormales.

Calcular el ángulo entre dos vectores.

Manejar el producto vectorial: definición, propiedades e interpretación geométrica.

Manejar el producto mixto de tres vectores: definición, propiedades e interpretación geométrica.

Aplicar los distintos productos al cálculo de áreas y volúmenes.

Obtener ecuaciones de rectas en el espacio, en cualquiera de sus formas. Obtener ecuaciones de planos. Estudiar la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio.

Resolver problemas de geometría afín con rectas y planos.

Calcular distancias entre puntos rectas y planos, así como ángulos entre dos planos, entre dos rectas que se corten y entre una recta y un plano.

PROBABILIDAD

Calcular la probabilidad de sucesos aleatorios, mediante la regla de

Laplace o las fórmulas de la axiomática de Kolmogorov. Calcular probabilidades condicionadas. Usar el teorema de probabilidad

total y la fórmula de Bayes. Identificar variables aleatorias discretas. Calcular probabilidades de

sucesos asociados a una distribución binomial. Calcular la media y la desviación típica de una variable aleatoria con distribución binomial.

Calcular probabilidades de sucesos que se puedan modelizar mediante una distribución binomial, a partir de su aproximación por la normal.

Calcular probabilidades de sucesos que pueden modelizarse mediante una distribución normal.

MATEMATICAS IIPrecisiones sobre el documento de orientaciones y estandares evaluables

Bloque de Algebra.

No habra sistemas de ecuaciones matriciales.

Sistemas de no mas de tres ecuaciones. Podran depender de un parametro y demodo que la ecuacion que permita obtener los valores crıticos sea polinomicacon no mas de dos soluciones distintas.

Problemas de enunciado resolubles mediante sistemas lineales de no mas detres incognitas, preferiblemente con solucion unica o facil de interpretar enotro caso.

Propiedades de los determinantes. Se evitaran los ejercicios del tipo “conocidoel valor de un determinante obtener el valor de otro elaborado con combina-ciones lineales diversas de filas y columnas”.

Bloque de analisis.

Se pueden poner problemas en los que haya que calcular lımites, derivadas ointegrales de funciones de variable real, que pueden estar definidas a trozos.

No funciones dependientes de parametros.

En las reglas de derivacion lo unico excluido es la derivacion logarıtmica. Lasderivadas de arcoseno y arcotangente estan incluidas aunque no aparecen demanera explıcita en el documento de contenidos. Por lo tanto, las integralesdel tipo arcotangente estan incluidas.

No integrales de funciones racionales, en las que sea necesario hacer descom-posicion en fracciones simples.

No volumenes de cuerpos de revolucion

No derivadas sucesivas. Aunque se pueda usar la derivada segunda, por ejem-plo, para caracterizar extremos relativos.

No ejercicios consistentes, exclusivamente, en el estudio y representacion grafi-ca de una funcion, aunque se pueden pedir resultados parciales que incluyaninterpretacion grafica.

En los problemas de optimizacion, debera ser posible obtener los puntos crıti-cos resolviendo ecuaciones polinomicas (con no mas de dos raıces distintas) omediante propiedades de funciones elementales.

Bloque de Geometrıa.

No incluida la ecuacion de la esfera.

No problemas en los que sea imprescindible manejar haces de planos.

No se pondran problemas con situaciones dependientes de parametros.

El concepto de modulo de un vector es exigible. No aparece de manera explıci-ta pero es un concepto fundamental y esta implıcito, por ejemplo, en el con-cepto de vector unitario.

Bloque de Probabilidad.

Aproximacion de la binomial por la normal, incluida la correccion de conti-nuidad.

Se evitara el uso de numeros combinatorios, mas alla del calculo de los coefi-cientes de la binomial.

Se procurara que en todos los modelos haya algun problema de enunciado.





OPCION A


Dadas la matrices A =

1 3 4 11 a 2 2− a−1 2 a a− 2

y M =

1 0 00 1 00 0 00 0 1

, se pide:

a) (1.5 puntos) Estudiar el rango de A en funcion del parametro real a.b) (1 punto) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz AM para el caso a = 0.


Dada f(x) =ln(x)

x, donde ln denota el logaritmo neperiano, definida para x > 0, se pide:

a) (0.5 puntos) Calcular, en caso de que exista, una asıntota horizontal de la curva y = f(x).b) (1 punto) Encontrar un punto de la curva y = f(x) en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal

y analizar si dicho punto es un extremo relativo.c) (1 punto) Calcular el area del recinto acotado limitado por la curva y = f(x) y las rectas y = 0 y x = e.


Dadas la recta r ≡ x− 1

2=y − 3

−2= z y la recta s que pasa por el punto (2,−5, 1) y tiene direccion (−1, 0,−1), se

pide:a) (1 punto) Estudiar la posicion relativa de las dos rectas.b) (1 punto) Calcular un plano que sea paralelo a r y contenga a s.c) (0.5 puntos) Calcular un plano perpendicular a la recta r y que pase por el origen de coordenadas.


La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva mas de 5 anos es del 10 %. Se pide:

a) (1 punto) Si en un acuario tenemos 10 peces de esta especie nacidos este ano, hallar la probabilidad deque al menos dos de ellos sigan vivos dentro de 5 anos.

b) (1.5 puntos) Si en un tanque de una piscifactorıa hay 200 peces de esta especie nacidos este mismo ano,usando una aproximacion mediante la distribucion normal correspondiente, hallar la probabilidad de que alcabo de 5 anos hayan sobrevivido al menos 10 de ellos.

OPCION B


Una estudiante pidio en la cafeterıa 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pago un total de 19 euros.Al mirar la cuenta comprobo que le habıan cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de mas. Reclamo y ledevolvieron 4 euros.Para compensar el error, el vendedor le ofrecio llevarse un bocadillo y un refresco por solo 3 euros, lo que suponıaun descuento del 40 % respecto a sus precios originales. ¿Cuales eran los respectivos precios sin descuento deun bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?


Dada la funcion f(x) =√4x2 − x4, se pide:

a) (0.5 puntos) Determinar su dominio.b) (1.5 puntos) Determinar sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

c) (0.5 puntos) Calcular los lımites laterales limx→0−

f(x)

x, limx→0+

f(x)

x.


Dados el punto A(2, 1, 0) y el plano π ≡ 2x+ 3y + 4z = 36, se pide:

a) (0.75 puntos) Determinar la distancia del punto A al plano π.b) (1 punto) Hallar las coordenadas del punto del plano π mas proximo al punto A.c) (0.75 puntos) Hallar el punto simetrico de A respecto al plano π.


Una companıa farmaceutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atopica en un 80 % de los casos.Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejorıa espontanea es del 10 %. En un estudioexperimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo.

a) (1 punto) Determinar cual es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.

b) (1.5 puntos) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido tratado conel medicamento.

Distribucion Normal

z


z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

MATEMATICAS II

CRITERIOS ESPECIFICOS DE CORRECCION

Todas las respuestas deberan estar debidamente justificadas.En cada ejercicio, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en las soluciones, cualquier argu-mento valido que conduzca a la solucion sera valorado con la puntuacion asignada.


a) Obtener los valores crıticos ([a = 1] y [a = −2]): 0.75 puntos (repartidos en procedimiento: 0.5 y calculos 0.25).Realizar correctamente el estudio del rango: 0.25 puntos, por cada uno de los tres casos.b) Multiplicar correctamente las dos matrices: 0.25 puntos. Calcular la inversa: 0.75 puntos.

Ejercicio 2.

a) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.b) Planteamiento: 0.25 puntos. Calcular f ′(x): 0.25 puntos. Hallar el punto de tangente horizontal: 0.25 puntos.Justificar que es un maximo relativo: 0.25 puntos.c) Plantear la integral a calcular: 0.25 puntos. Primitiva: 0.5 puntos. Regla de Barrow: 0.25 puntos

Ejercicio 3.

a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.c) Procedimiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.

Ejercicio 4.

a) Identificar la binomial: 0.25 puntos. Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.b) Encontrar la normal adecuada: 0.5 puntos. Tipificar: 0.5 puntos. Obtener la probabilidad pedida: 0.5 puntos.


Planteamiento correcto del sistema: 1.5 puntos (0.5 por cada ecuacion). Resolucion del sistema planteado 0.5puntos. Interpretacion correcta (incluyendo la identificacion de las variables): 0.5 puntos.

Ejercicio 2.

a) Procedimiento: 0.25 puntos. Resultado: 0.25 puntos.b) Calcular f ′(x): 0.25 puntos. Hallar los puntos crıticos: 0.25 puntos. Estudiar el crecimiento en los cuatrointervalos: 1 punto (repartidos en procedimiento: 0.5, resultados: 0.5).c) Cada lımite: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.

a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.c) Procedimiento: 0.5 puntos. Resultado: 0.25 puntos.

Ejercicio 4.

a) Identificacion correcta de las probabilidades: 0.5 puntos. Planteamiento: 0.25 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.b) Planteamiento: 1 punto. Resolucion: 0.5 puntos.





OPCION A


La aerolınea “Air”, para uno de sus vuelos, ha puesto a la venta 12 plazas de Clase Preferente (P), a 250 euroscada una, 36 plazas de Clase Turista (T), a 150 euros cada una, y 72 plazas de Clase Economica (E), a 100 euroscada una. Se sabe que ha vendido el 90 % del total de las plazas, recaudando un importe de 13 800 euros.

a) (0.25 puntos) Determine el numero total de plazas vendidas.b) (2.25 puntos) Sabiendo que se han vendido el triple de plazas de clase (T) que de clase (P), obtenga el

numero de billetes vendidos de cada clase y cuanto dinero se ha recaudado de cada clase.


Dada la funcion f(x) =

2 sen

(πx2

2

)si x ≤ 1,

x− 1√x− 1

si x > 1,se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar la continuidad de f(x) en x = 1.b) (0.75 puntos) Determinar, si existe, f ′(1).

c) (1 punto) Calcular el valor de∫ 1

0

x f(x) dx.


Dados los vectores −→v = (1, 0,−1) y −→w = (1, 1, 0), se pide:a) (1 punto) Calcular un vector que sea ortogonal (perpendicular) a −→v y a −→w , que tenga modulo

√3/2, y cuya

tercera coordenada sea negativa.b) (0.5 puntos) Calcular un vector −→u ortogonal a −→v y tal que −→u ,−→v y −→w sean linealmente independientes.c) (1 punto) Hallar la proyeccion del punto P (5, 1,−1) sobre el plano que pasa por el origen de coordenadas y

contiene a los vectores −→v y −→w .


Dados dos sucesos aleatorios A y B, con probabilidades respectivas P (A) = 0.4 y P (B) = 0.5, se denota por Ay B a los sucesos complementarios de A y B. Se pide:

a) (1 punto) Suponiendo que A y B son independientes, calcular P ((A ∩B) ∪ (A ∩B)).b) (1 punto) Suponiendo que A y B son incompatibles, calcular P ((A ∩B) ∪ (A ∩B)).c) (0.5 puntos) Si P (A ∪B) = 0.9, ¿son A y B independientes?

OPCION B


Sean las matrices A =

1 1 11 0 −21 1 −1

y B =

0 0 41 m 2m 2 1

. Se pide:

a) (0.5 puntos) Calcular los valores de m ∈ R para los cuales B no tiene inversa.b) (1 punto) Para m = 1, calcular la inversa de la matriz B.c) (1 punto) Para m = 2, calcular la matriz producto AtB (donde At denota la matriz traspuesta de A) y el

determinante de la matriz A2B.


Dada la funcion f(x) =1

2(x− 1), se pide:

a) (1.25 puntos) Determinar las asıntotas de la curva y = f(x) y estudiar los intervalos de crecimiento y dedecrecimiento de f(x).

b) (1.25 puntos) Calcular el area del recinto acotado limitado por la curva y = f(x) y la recta 2x+ 4y = 7.


Dadas las rectas r ≡{x− y = 5y + z = 1

y s ≡{x+ z = 3y + z = 4

, se pide:

a) (1.25 puntos) Escribir unas ecuaciones parametricas de cada una de las dos rectas y determinar la posicionrelativa de ambas.

b) (1.25 puntos) Dado el punto P (5, 0, 1), de la recta r, obtener un punto Q, de la recta s, de modo que eltriangulo OPQ sea rectangulo, con angulo recto en O(0, 0, 0), y calcular las longitudes de los tres lados dedicho triangulo.


Una companıa de mensajerıa tiene una probabilidad del 2 % de danar cada uno de sus envıos. Asumimos quelas probabilidades de que varios envıos distintos resulten danados son independientes entre sı. Se pide:

a) (0.5 puntos) Hallar la probabilidad de que en un lote de 10 paquetes hayan llegado con desperfectos exac-tamente 2 envıos.

b) (0.5 puntos) Hallar la probabilidad de que en un lote de 10 paquetes hayan llegado con desperfectos 2 omas envıos.

c) (1.5 puntos) Usando la aproximacion por la normal adecuada, hallar la probabilidad de que en un lote de2000 paquetes hayan llegado exactamente 30 paquetes defectuosos.

Distribucion Normal

z


z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

MATEMATICAS II




a) Obtener el resultado correcto: 0.25 puntos.b) Planteamiento del sistema: 1.5 puntos (0.5 por cada ecuacion). Resolucion: 0.5 puntos (repartidos en proce-dimiento: 0.25, calculos: 0.25). Obtener el dinero recaudado por cada clase: 0.25 puntos.

Ejercicio 2.

a) Calcular cada lımite lateral: 0.25 puntos. Deducir que f es continua: 0.25 puntos.b) Calcular cada derivada lateral: 0.25 puntos. Deducir que f no es derivable en x = 1: 0.25 puntos.c) Plantear la integral: 0.25 puntos. Calcular la primitiva: 0.5 puntos. Aplicar la regla de Barrow: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.

a) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.b) Dar un vector valido: 0.25 puntos. Justificacion: 0.25 puntos.c) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.

Ejercicio 4.

a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.c) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.


a) Procedimiento: 0.25 puntos. Resultado: 0.25 puntos.b) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.c) Escribir At: 0.25 puntos. Calcular AtB: 0.25 puntos. Calcular el determinante de A2B: 0.5 puntos.

Ejercicio 2.

a) Asıntota vertical: 0.25 puntos. Asıntota horizontal: 0.25 puntos. Calcular f ′(x): 0.25 puntos. Crecimiento: 0.5puntos.b) Hallar los puntos de corte de la recta y la curva: 0.25 puntos. Plantear la integral definida: 0.5 puntos. Calcularla primitiva: 0.25 puntos. Aplicar la regla de Barrow: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.

a) Escribir unas ecuaciones parametricas: 0.25 puntos, para cada recta. Ver que los vectores directores sonproporcionales: 0.5 puntos. Comprobar que r y s no son coincidentes: 0.25 puntos. Si estudia la posicion relativade otro modo, se calificara esta tarea con 0.75 puntos (0.5 por el procedimiento y 0.25 por el resultado).b) Imponer la ortogonalidad: 0.25 puntos. Determinar Q: 0.25 puntos. Longitud de cada lado: 0.25 puntos.

Ejercicio 4.

a) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.b) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.c) Parametros de la normal: 0.5 puntos. Tipificar: 0.5 puntos. Obtener la probabilidad pedida: 0.5 puntos.





OPCION A


Dado el sistema de ecuaciones

kx + (k + 1)y + z = 0,−x + ky − z = 0,

(k − 1)x − y = −(k + 1),se pide:

a) (2 puntos) Discutir el sistema segun los valores del parametro real k.b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para k = −1.


a) (1.25 puntos) Sean f y g dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos:f(1) = 1, f ′(1) = 2, g(1) = 3, g′(1) = 4.

Dada h(x) = f((x+ 1)2), use la regla de la cadena para calcular h′(0). Dada k(x) =f(x)

g(x), calcule k′(1).

b) (1.25 puntos) Calcule la integral∫(senx)4(cosx)3dx. (Se puede usar el cambio de variables t = senx.)


Dados los puntos A(1, 1, 1), B(1, 3,−3) y C(−3,−1, 1), se pide:

a) (1 punto) Determinar la ecuacion del plano que contiene a los tres puntos.

b) (0.5 puntos) Obtener un punto D (distinto de A, B y C) tal que los vectores−−→AB,

−→AC y

−−→AD sean linealmente

dependientes.c) (1 punto) Encontrar un punto P del eje OX, de modo que el volumen del tetraedro de vertices A, B, C y P

sea igual a 1.


Una empresa ha llevado a cabo un proceso de seleccion de personal.

a) (1.25 puntos) Se sabe que el 40 % del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si entrelos aspirantes habıa un grupo de 8 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 2 de ellos hayan sidoseleccionados.

b) (1.25 puntos) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de seleccion siguen una dis-tribucion normal, X, de media 5.6 y desviacion tıpica σ. Sabiendo que la probabilidad de obtener unapuntuacion X ≤ 8.2 es 0.67, calcule σ.

OPCION B


Dadas las matrices: A =

(1− a 11 1 + a

), I =

(1 00 1

), se pide:

a) (1 punto) Calcular para que valores a ∈ R se verifica A2 − I = 2A.b) (0.75 puntos) Calcular los numeros reales a para los que la matriz A admite inversa y calcularla, cuando

sea posible, en funcion del parametro a.c) (0.75 puntos) Calcular, en funcion de a, el determinante de la matriz (AAt)2, donde At denota la matriz

traspuesta de A.


Un brote de una enfermedad se propaga a lo largo de unos dıas. El numero de enfermos t dıas despues deiniciarse el brote viene dado por una funcion F (t) tal que F ′(t) = t2(10− t).

a) (1 punto) Sabiendo que inicialmente habıa 6 personas afectadas, calcule la funcion F (t).b) (1 punto) Calcule cuantos dıas despues de iniciarse el brote se alcanza el numero maximo de enfermos y

cual es ese numero.c) (0.5 puntos) Calcule, usando el teorema de Bolzano, cuantos dıas dura el brote.


Dados el plano, π ≡ 2x + 3y − z = 4, y las rectas r ≡{x+ y − z = 0x+ y + z = 2

y s ≡ (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, 0, 1), con

λ ∈ R, se pide:a) (1 punto) Calcular el punto simetrico de P (1, 2, 3) respecto de π.b) (1 punto) Hallar la ecuacion de la recta perpendicular al plano π, que pasa por el punto interseccion de las

rectas r y s.c) (0.5 puntos) Calcular el angulo que forman entre sı las rectas r y s.


Un concesionario dispone de vehıculos de baja y alta gama, siendo los de alta gama 1/3 de las existencias. Entrelos de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricacion que obligue a revisarlos durante el rodaje esdel 1.6 %, mientras que para los de alta gama es del 0.9 %. En un control de calidad preventa, se elige al azar unvehıculo para examinarlo.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el vehıculo elegido resulte defectuoso.b) (1.5 puntos) Si se comprueba que el vehıculo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de

gama baja.

Distribucion Normal

z


z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,68790,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,83891,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90151,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91771,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,93191,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95451,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96331,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97061,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,97672,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,98572,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,98902,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,99162,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,99362,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99642,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99742,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99812,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,99863,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

MATEMATICAS II




a) Obtener los valores crıticos (k = ±1): 0.5 puntos (repartidos en planteamiento: 0.25, resolucion: 0.25). Discutirel sistema: 0.5 puntos, por cada uno de los tres casos ([k = −1], [k = 1], [k 6= ±1]). En cada caso se valorara con0.25 puntos el resultado correcto y con 0.25 la justificacion.b) Procedimiento: 0.25 puntos. Calculos: 0.25 puntos.

Ejercicio 2.

a) Calcular h′(0): 0.5 puntos (repartidos en 0.25 por la aplicacion correcta de la regla de la cadena y 0.25 por elresultado final). Calcular k′(1): 0.75 puntos (0.5 por aplicar la derivada del cociente y 0.25 por el resultado final).b) Planteamiento del cambio de variable: 0.5 puntos. Hacer la primitiva de la funcion polinomica: 0.5 puntos.Deshacer el cambio: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.

a) Procedimiento: 0.5 puntos. Calculos: 0.5 puntos.b) Eleccion adecuada del punto D: 0.25 puntos. Justificacion: 0.25 puntos.c) Saber como tienen que ser las coordenadas de un punto del eje OX: 0.25 puntos. Planteamiento: 0.5 puntos.Resultado: 0.25 puntos

Ejercicio 4.

a) Identificar la variable binomial: 0.5 puntos. Calcular la probabilidad: 0.75 puntos (repartidos en 0.5 por elproceso y 0.25 por los calculos).b) Planteamiento: 0.75 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.


a) Calcular A2 − I y 2A: 0.5 puntos. Obtener los valores de a: 0.5 puntos.b) Obtener a: 0.25 puntos. Calcular la inversa en funcion del parametro: 0.5 puntos.c) Procedimiento: 0.5 puntos. Resultado: 0.25 puntos.

Ejercicio 2.

a) Planteamiento: 0.25 puntos. Calcular la primitiva: 0.5 puntos. Ajustar la constante: 0.25 puntos.b) Calcular los puntos crıticos: 0.5 puntos. Justificar que el maximo esta en t = 10: 0.25 puntos. Obtener elnumero maximo de enfermos: 0.25 puntos.c) Planteamiento: 0.25 puntos. Aplicar correctamente el teorema de Bolzano: 0.25 puntos.

Ejercicio 3.

a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.b) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.c) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolucion: 0.25 puntos.

Ejercicio 4.

a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolucion: 0.5 puntos.b) Planteamiento: 0.75 puntos. Resolucion: 0.75 puntos.

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