Mestrado Integrado em Engenharia Civil TEORIA DAS ESTRUTURAS 2

Exame (poca normal) 18/06/2007

Parte terica (sem consulta)

Durao: 1 hora

NOME __________________________________________________________ 1. (3.5 VAL.) Considere a barra de comprimento 10 m com uma zona de maior altura na extremidade esquerda como se representa na figura.

a) Sabe-se ainda que impedindo a rotao das duas extremidades e provocando um deslocamento relativo de uma unidade das extremidades, na direco perpendicular ao seu eixo, necessrio aplicar na

extremidade da direita uma fora vertical de 15 kN e um momento de 50 kNm. Indique na figura o valor

das foras representadas e complete a matriz de rigidez da barra.

K =

N de ordem

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Exame (poca normal) 18/06/2007

Parte terica (sem consulta)

Durao: 1 hora

NOME __________________________________________________________ b) Supondo que a barra de seco constante tem um EI = 6000 kNm2 e que na barra da alnea anterior

preciso aplicar um momento de 500 kNm e de -390 kNm nas extremidades esquerda e direita,

respectivamente, para impedir a rotao dessas extremidades quando a barra se encontra submetida a

uma carga concentrada de 300 kNm no ponto de transio de altura da seco, calcule pelo mtodo de

Cross, e desenhe o correspondente diagrama de momentos, a estrutura representada na figura (No caso

de no ter resolvido a alnea anterior adopte valores razoveis para as quantidades necessrias ao

clculo)

c) Admitindo que no existe o apoio central, diga como podia calcular a estrutura da alnea anterior.

Esboce o correspondente diagrama de momentos

2. (1.5 VAL.) Indique como se pode deduzir a matriz de rigidez geomtrica de uma barra de seco constante (responda no verso desta pgina).

N de ordem

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Exame (poca normal) 18/06/2007

Parte terica (sem consulta)

Durao: 1 hora

NOME __________________________________________________________ 3. (1.5 VAL.) Admitindo que um oscilador linear de um grau de liberdade sujeito a uma excitao de natureza sinusoidal, diga de que factores dependem os efeitos dinmicos induzidos por essa aco.

4. (1.5 VAL.)

a) D a noo de espectro de resposta de aceleraes utilizado para caracterizao da aco ssmica

b) Diga por que razo a anlise ssmica de um oscilador linear de N graus de liberdade, atravs do mtodo da sobreposio modal, envolve a realizao de uma ponderao quadrtica de contributos modais.

N de ordem

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Exame (poca normal) 18/06/2007

Parte prtica (com consulta)

Durao: 2 horas

1) (3.0 VAL.)

Considere a viga contnua representada na Figura 1. A barra B1 tem uma seco transversal cujo momento

de inrcia 0.002 m4. No caso da barra B2, o momento de inrcia 0.001 m4. Ambas as barras possuem

um mdulo de elasticidade de 20 GPa. No apoio do n 1 existe um assentamento de apoio de 2 cm.

Notas: Em cada um dos 3 ns devem ser considerados 2 graus de liberdade (deslocamento vertical e rotao). Considere como positivos os vectores dirigidos para cima como representado na Figura 1.

1 3 2

4.0 m 2.0 m

24 kN/m

2 cm

1 2

B1 2 I B2 I

2.0 m

40 kN

E = 20 GPa

I = 0.001 m4

Figura 1

Recorrendo formulao matricial do mtodo dos deslocamentos,

a) calcule os deslocamentos e rotaes dos ns 1, 2 e 3 segundo os graus de liberdade no prescritos;

b) calcule a reaco vertical no n 3;

c) considere que acrescentada uma mola no n 2. Esta mola tem eixo vertical e introduz uma reaco vertical no n 2. Relativamente a esta mola, calcule a rigidez KM que faz com que o deslocamento

vertical do n 2 seja igual ao do n 1 (2 cm).

N de ordem

2) (4.0 VAL.)

Considere a estrutura apresentada na Figura 2. As barras AB e BC tm um mdulo de elasticidade

E = 20 GPa e uma inrcia I = 0.003125 m4. A seco da Barra CD, que articulada, tem uma rea de

0.0040 m2. Esta ltima barra de um material com E = 200 GPa. Despreze a deformabilidade axial das barras AB e BC.

Como se observa, a estrutura no de ns fixos pelo que no pode usar directamente o mtodo de Cross.

a) Proponha uma estrutura auxiliar de ns fixos, passvel de ser calculada pelo mtodo de Cross directamente e com a qual consiga, atravs da sobreposio de efeitos, calcular a estrutura indicada.

b) Calcule os coeficientes de transmisso e os coeficientes de distribuio da estrutura apresentada em a).

c) Calcule os momentos flectores nos ns da estrutura da Figura 2.

d) Determine o esforo axial na barra CD.

e) Determine qual seria a variao de esforo axial na barra CD se na mesma fosse introduzida uma variao de temperatura capaz de anular o momento flector em B.

0.001m

2.0m 2.0m

BA

10kN/m

2.0m

CD

0.001m

2.0m 2.0m2.0m 2.0m

BA

10kN/m10kN/m

2.0m

CD

Figura 2

3) (3.0 VAL.)

a) Determine a matriz de rigidez da estrutura definida na Figura 3, correspondente aos graus de liberdade de translao horizontal representados;

b) Admita que a estrutura possui amortecimentos modais correspondentes a 2% do amortecimento crtico e que actuada ao nvel do grau de liberdade 2 por uma aco dinmica horizontal cuja expresso

( ) ( )100 30F t sen t= , com t em seg. e F em kN. Determine o esforo transverso na seco A, considerando apenas a parcela estacionria (permanente) da contribuio do primeiro modo de

vibrao.

Caso no tenha resolvido a alnea a) considere que a matriz de rigidez da estrutura

1299 480480 955

= K kN/m

c) Conhecidas as frequncias de vibrao no amortecidas do sistema 1 3.0=f Hz e 2 6.0=f Hz ,

conhecida a matriz de massa 1.0 00 2.0

= M toneladas e utilizando o espectro de resposta regulamentar para o amortecimento modal de 2% representado na Figura 4, determine a acelerao

mxima e o deslocamento mximo que podem ocorrer nos dois graus de liberdade representados na

Figura 3, considerando a contribuio independente do 1 modo.

d) Determine o valor da massa adicional Mextra representada na Figura 1 que necessrio adicionar de

modo a obter uma nova frequncia 1f que seja igual a 1.5Hz .

K = 409,5 kN/m4

K = 237,5 kN/m1 K = 237,5 kN/m2

K = 409,5 kN/m3

[m]

M extra

A

u2

EI = 5000 kNm em todas as barras 2

u1

Figura 3

Espectro de Aceleraes - Aco Ssmica Tipo I - Amortecimento de 2% do crtico

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8f [Hz]

Sa [m

/s2 ]

Figura 4

4) (2.0 VAL.)

Considere a viga contnua representada na Figura 5, sendo o factor de carga. A barra CD apresenta uma seco transversal e uma tenso de cedncia que conduzem a um momento plstico de 200 kNm. Os

troos ABC e DE so infinitamente rgidos, no se admitindo a a formao de rtulas plsticas.

Notas: O peso prprio da estrutura deve ser desprezado. As cargas indicadas correspondem a um valor base em kN ou kN/m multiplicado por

um factor de carga adimensional ( ). As barras devem ser consideradas axialmente indeformveis.

A

C B D

40

E

2.5 m 2.5 m 4.0 m 2.0 m

10

Figura 5

Com base no estudo do mecanismo de rotura e supondo que entre rtulas plsticas no existem

deformaes, calcule o valor de que conduz ao colapso da estrutura. Resolva esta pergunta recorrendo ao Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV) aplicado a pelo menos dois mecanismos distintos.

Chamada_1_18_06_07_Terica.pdfChamada_1_18_06_07_Prtica