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IntroducaoModelo HMF

Modelo HMF-LadderConclusoes e Perspectivas

Extras

Relaxacao ao equilıbrio termodinamico emsistemas com interacoes de longo alcance†

Felipe Leite Antunes

10 de Agosto de 2014

†Trabalho financiado pela Comissao de Aperfeicoamento do EnsinoSuperior(CAPES).

Felipe Leite Antunes Relaxacao em sistemas com interacoes de longo alcance



Extras

Mecanica estatıstica de Boltzmann-Gibbs (BG)InteracoesLimite TermodinamicoRelaxacao ao equilıbrio

Figura 1: Ludwig Eduard Boltzmann




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Boltzmann (gases)

Equacao de Boltzmann → processo irreversıvel a partir deuma dinamica reversıvel;Teorema H (1872) → H ∼ −S;

min[H(t)] quando a distribuicao de velocidades eMaxwell-Boltzmann.




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Boltzmann (gases)

Equacao de Boltzmann → processo irreversıvel a partir deuma dinamica reversıvel;Teorema H (1872) → H ∼ −S;min[H(t)] quando a distribuicao de velocidades eMaxwell-Boltzmann.




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Natureza Estocastica

Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);

Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.




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Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;

Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.




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Loschmidit → impossibilidade de obter um processo reversıvela partir de uma dinamica com simetria temporal;Caos Molecular (colisoes nao correlacionadas);Natureza estocastica→ ingrediente que nao vem da mecanica;Zarmelo → teorema de recorrencia de poincare; temponecessario para retornar ao estado inicial.




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Ergodicidade

Teorema de recorrencia de Poincare esta relacionado com aergodicidade;A hipotese ergodica esta presente no formalismo da mecanicaestatıstica;

Sistemas integraveis nao sao ergodicos e os nao-integraveispodem ser ergodicos.




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Ergodicidade

Teorema de recorrencia de Poincare esta relacionado com aergodicidade;A hipotese ergodica esta presente no formalismo da mecanicaestatıstica;Sistemas integraveis nao sao ergodicos e os nao-integraveispodem ser ergodicos.




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Henon-Heiles

V =12

(x2 + y2 + 2x2y − 2

3y3)

Figura 2: y(t) vs. y(t) quando x(t) = 0. Retirada dehttp://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html.




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Curto alcance vs. Longo alcance

Interacoes de curto alcance: energia interna escala com N;Interacoes de longo alacance: energia interna escala com N2.Formalmente V ∼ r−α, onde α < d .




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Exemplos

Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;

Fısica de Plasmas;Laser de eletrons livres (FEL).




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Exemplos

Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;Fısica de Plasmas;

Laser de eletrons livres (FEL).




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Exemplos

Interacoes gravitacionais;Vortices em mecanica do fluidos 2D;Fısica de Plasmas;Laser de eletrons livres (FEL).




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Equilıbrio Termodinamico

Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;

No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;Como obter um limite termodinamico nao trivial?




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Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;

Como obter um limite termodinamico nao trivial?




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Energia Livre de Helmholtz: F (N,V ) = U(N,V )−TS(N,V );Distribuicao de velocidades de Maxwell-Boltzmann;No limite termodinamico, as interacoes de LA sao dominadaspela energia de interacao;Como obter um limite termodinamico nao trivial?




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Extensividade

Propriedade de que as variaveis termodinamicas quedependem do tamanho do sistema sao proporcionais ao seunumero de constituıntes;Para sistemas com interacoes de LA, ha perda daextensividade;

Ha um truque para recuperarmos a extensividade (ha umpreco).




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Extensividade

Propriedade de que as variaveis termodinamicas quedependem do tamanho do sistema sao proporcionais ao seunumero de constituıntes;Para sistemas com interacoes de LA, ha perda daextensividade;Ha um truque para recuperarmos a extensividade (ha umpreco).




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Prescicao de Kac




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Aditividade

Propriedade de que energia do sistema e igual a soma dasenergias de seus subsistemas;A aditividade nao pode ser recuperada.




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Evolucao

A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;

A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.




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Evolucao

A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;

Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.




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Evolucao

A prescicao de Kac elimina as correlacoes entre as partıculas;A evolucao do sistema passa a ser governada pela equacao deVlasov;A ordem em que tomamos t →∞ e N →∞ e importante;Tempo de validade da descricao de Vlasov cresce com otamanho do sistema.




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Teorema de Braun-Hepp




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Escalas de tempo

Primeiro estagio: solucaoestavel da equacao deVlasov;

Segundo estagio: colisoesresiduais.




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Escalas de tempo: estimativas

Sistemas nao homogeneos: termos de correlacao entre doiscorpos nao-nulos, escala de tempo proporcional a N;Sitemas homogeneos: termos de correlacao entre dois corposnulos, escala de tempo proporcional a N2.




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DescricaoSimulacaoCondicao VirialRelaxacao ao equilıbrio

Konishi e Kaneko (1992)




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Antoni e Ruffo (1995)




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Rotores XY interagindo




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Hamiltoniano

H =N∑

i=1

p2i

2 +γ

2NN∑

i ,j=1[1− cos(θi − θj)];

H =N∑

i=1

p2i

2 −1−M2

2 ;

θi = −M senθi .




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Propriedades

Relaxacao violenta;Transisoes de fase;

Estados quasi-estacionarios;Longo tempo relaxacao.




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Propriedades

Relaxacao violenta;Transisoes de fase;Estados quasi-estacionarios;

Longo tempo relaxacao.




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Propriedades

Relaxacao violenta;Transisoes de fase;Estados quasi-estacionarios;Longo tempo relaxacao.




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Analogia

O HMF e o oscilador harmonico dos sistemas com interacoes delongo alcance.




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Metodologia

Simulacoes de DinamicaMolecular;Integrador simpletico de 4a

ordem (PEFRL).




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Dependencia da magnetizacao inicial

Figura 3: Magnetizacao como funcao do tempo obtida usando dinamica molecularcom N = 106 e mesma energia u = 0.62. Para M0 = 0.2 e paramagnetico e paraM0 = 0.8, ferromagnetico.




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Dependencia da energia inicial

Figura 4: Espaco de fases obtido via dinamica molecular com N = 105 partıculasdurante t = 5000τD .Em (a) u = 0.7 e (c) u = 0.45. A magnetizacao inicial e amesma em ambos casos, M0 = 0.8.




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Teorema Virial

Quanto mais proximo da condicao virial, menores sao asoscilacoes do potencial de campo medio.Em um estado estacionario, o virial G = 〈p · q〉 nao dependedo tempo;

No caso de interacoes de LA:⟨p2⟩= −

∫dqdpf (q,p)

[−∂V (q)

∂q · q]

;

Para um distribuicao inicial do tipo WB:2ε− 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).




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Teorema Virial

Quanto mais proximo da condicao virial, menores sao asoscilacoes do potencial de campo medio.Em um estado estacionario, o virial G = 〈p · q〉 nao dependedo tempo;No caso de interacoes de LA:⟨p2⟩= −

∫dqdpf (q,p)

[−∂V (q)

∂q · q]

;

Para um distribuicao inicial do tipo WB:2ε− 1 + M cos(θm) = 0 (CVG).




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Validade da Condicao Virial Generalizada

Figura 5: Evolucao da magnetizacao ao longo do tempo para ε = 0.3(a),ε = 0.4(b), ε = 0.5(c) e ε = 0.6(d).




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Modelo de partıcula teste

Na condicao virial o potencial de campo medio e estatico;Cada uma das partıculas possui uma dinamica integravel;

θ = −M senθ.




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Na condicao virial o potencial de campo medio e estatico;Cada uma das partıculas possui uma dinamica integravel;θ = −M senθ.




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Figura 6: Mapa estroboscopico da dinamica da partıcula teste para ε = 0.3(a) eε = 0.6(b).




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Kurtosis da distribuicao de velocidades

Definido como κ =

⟨p4⟩〈p2〉

;

Para distribuicoes Gaussianas (caso da distribuicao MB),→ κ = 3.




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Distribuicao de Velocidades

Figura 7: Distribuicoes de velocidade no equilıbrio para um sistema onde ε = 0.6 eM0 = 0.43 no tempo t = 1.35× 107τD , quando κ ' 3, obtidas atraves da dinamicamolecular com N=60000 (pontos). A linha solida e a distribuicao prevista pelaestatıstica de Boltzmann-Gibbs.




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Colapso

Figura 8: Relaxacao para o equilıbrio, caracterizada pelo Kurtosis, com o temporeescalado por 3× 104τD em (a) e por τ× = τDN1.0 em (b). Neste caso a energia eε = 0.6 e a magnetizacao inicial vale 0.43.




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Ilustracao




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Hamiltoniano

H =N∑

i=1

12(p2θi + p2

φi

)

+1

2N

N∑i ,j=1

[1− cos(θi − θj)] +1

2N

N∑i ,j=1

[1− cos(φi − φj)]

+ εN∑

i=1cos(θi − φi)

.




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HMF + HMF + curto alcance

H = Hθ + Hφ + εN∑

i=1cos(θi − φi);

Hθ =N∑

i=1

12p2

θi +N2(

1−M2θ

);

Hφ =N∑

i=1

12p2

φi +N2(

1−M2φ

).




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Equacoes de Movimento

θi = −Mθ sen(θi) + ε sen(θi − φi);φi = −Mφ sen(φi)− ε sen(θi − φi).




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Distrubicao Inicial

Figura 9: Exemplo de uma distribuicao waterbag centrada em 0 (a) e centrada emπ (b), com N = 5× 104, εθ = εφ = 0.6 e Mθ = Mφ = 0.5.




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Teorema Virial

A partir do teorema virial, obtemos as seguintes equacoesacopladas:⟨p2θ

⟩= M2

θ − cos(θm)(Mθ − εMφ)− εMφMθ e⟨p2φ

⟩= M2

φ + cos(φm)(Mφ − εMθ)− εMφMθ.




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Hipoteses

Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;

A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;Podemos escrever⟨p2θ

⟩= 2E − 1 + M2

θ e⟨p2φ

⟩= 2E − 1 + M2

φ.




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Hipoteses

Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;

Podemos escrever⟨p2θ

⟩= 2E − 1 + M2

θ e⟨p2φ

⟩= 2E − 1 + M2

φ.




Extras


Hipoteses

Partindo de uma condicao virial, Mθ e Mφ oscilam de maneiradesprezıvel;Logo, ε 〈cos(θ − φ)〉 = εMθMφ durante toda a evolucao;A energia individual de cada watterbag e igual (εθ = εφ = E )e conservada individualmente ao longo da evolucao;Podemos escrever⟨p2θ

⟩= 2E − 1 + M2

θ e⟨p2φ

⟩= 2E − 1 + M2

φ.




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CVG

Comparando, obtemos a CVG, dada pela solucao simultaneadas seguintes equacoes:0 = 2E − 1 + cos(θm)(Mθ − εMφ) + εMφMθ e0 = 2E − 1− cos(φm)(Mφ − εMθ) + εMφMθ.




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Figura 10: O valor de ε e 0.01 e as magnetizacoes iniciais saoMθ = −Mφ = 0.823128 com E = 0.3 (a), E = 0.4 (b), E = 0.5 (c) e E = 0.6 (d).




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Figura 11: Comparacao da previsao teorica, para E = 0.3 (vermelho) e 0.6 (azul)com ε ∈ [0, 0.5], e os valores obtidos atraves da dinamica molecular (pontos) comN = 2.5× 105 no instante tD = 500 para valores de ε neste mesmo intervalo.




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Modelo de Partıcula teste

Utilizaremos os valores estacionarios de Mθ e Mφ obtidos dasimulacao;Faremos um mapa estroboscopico do plano pθ vs. θ quandopφ = 0.




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Figura 12: Mapa estroboscopico da dinamica de partıcula teste com magnetizacoesdo qSS obtidas atraves da dinamica molecular para N = 2.5× 105 no instantetD = 500 e E = 0.6.




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Figura 13: Diagrama contendo a evolucao temporal para N = 100000, ε = 0.1com energias εθ = εφ = 0.45, εθ = εφ = 0.5 e εθ = εφ = 0.6.




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Hipoteses

O Caos no qSS levara o sistema mais rapidamente aoequilıbrio termodinamico.Quanto maior o valor do acoplamento ε menor sera o valor doexpoente δ.




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Kurtosis

Figura 14: Distribuicoes de velocidades, (a) pθ e (b) pφ, para um sistemainicialmente distribuido como uma waterbag de magntizacoes Mθ = −Mφ = 0.638 eenergias εθ = εφ = 0.6, cuja constante de acoplamento vale ε = 0.5.




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Colapso: ε = 10−4 e δ = 0.95

Figura 15: Kurtosis como funcao do tempo para diferentes de N: 3× 104

(vermelho), 4× 104(azul), 5× 104 (verde), 6× 104 (laranja). As condicoes iniciaissao: E = 0.6, ε = 0.0001 e M = 0.431.




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Colapso: ε = 10−2 e δ = 0.55






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Tabela

ε δ

0.0000 1.000.0010 0.750.0100 0.550.1000 0.500.1500 0.450.5000 0.701.0000 0.751.5000 0.302.0000 0.20




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O que fizemos

Propomos um modelo com interacoes mistas;Obtemos uma condicao virial generalizada para o modelo;Para um mesmo valor de ε, o aumento da energia faz com queo qSS seja destruıdo mais rapidamente;Identificamos que caos no modelo de partıcula teste esta comvalor do expoente delta δ.Tempo de relaxacao diminui a medida que aumentamos oacoplamento, apesar de ser difıcil identicar o colapso paraε > 0.15;




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Proximos passos

Caracterizar o caos atraves da obtencao dos expoentes deLyapunov;Obter uma estimativa teorica para o tempo de relaxacao;Implementacao em CUDA.




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THE END




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