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FUVEST/992a Fase

FUV992F

QUESTÕES DE LÍNGUA PORTUGUESA

01. Observe este texto criado, para propaganda de embalagens:

Ao final do processo de reciclagem, aquele lixo de lata vira lata de luxo, embalando as bebidas que todo mundo gosta, das marcasque todo mundo pode confiar.

a) Reescreva, corrigindo-os, os segmentos do texto que apresentem algum desvio em relação à norma gramatical.b) Transcreva do texto um trecho em que apareça um recurso de estilo que torne a mensagem mais expressiva. Explique em que

consiste esse recurso.

Resolução:

a) Ao final do processo ... bebidas de que todo o mundo gosta, das marcas em que todo o mundo pode confiar.

Erro de regência → Quem gosta, gosta de algo. Quem confia, confia em algo. Sendo o pronome relativo que o objetoindireto dos respectivos verbos, estes pronomes devem ser antecedidos pelas competentes preposições: de que ... gosta,em que ... confiar.A expressão “todo o mundo” significa “o mundo inteiro”. Esta é a idéia que o texto quer dar.

b) A paronomásia consiste no jogo que se faz com palavras que tenham aproximação de sentido, através das letras e sons, masde significados diferentes. Assim, no texto acima, as palavras lixo e luxo se prestam a esta interpretação.

02.Mesmo sem ver quem está do outro lado da linha, os fãs dos bate-papos virtuais viram amigos, namoram e alguns chagam atéa casar. (Época, no 1, 25/05/98)

a) O segmento sublinhado constitui uma oração reduzida. Substitua-a por uma oração desenvolvida (introduzida por conjunçãoe com o verbo no modo indicativo ou subjuntivo), sem produzir alteração do sentido.

b) Reescreva a oração “os fãs dos bate-papos virtuais viram amigos” sem mudar-lhe o sentido e sem provocar incorreção,apenas substituindo o verbo.

Resolução:

a) Embora não vejam ... A mensagem que a oração reduzida transmite é a de concessão. As conjunções concessivas podem ser:mesmo que, ainda que, posto que, se bem que, apesar de que...

b) ... os fãs dos bate-papos virtuais tornam-se amigos, ...

03.Um jornal era isso, o sobressalto da novidade e a garantia de que a nossa rotina continuava. Simultaneamente um espalhafato— um espalha fatos — e um repetidor das nossas confortáveis banalidades municipais.

(L. F. Veríssimo, O Estado de São Paulo, 18/10/98, D7)

a) Interprete o jogo de palavras entre espalhafato e espalha fatos, considerando-o no contexto do trecho acima.b) A qual dos termos do primeiro período se refere a expressão “confortáveis banalidades municipais”?

Resolução:

a) “Espalhar fatos” significa divulgar notícias, fornecer notícias, propalar fatos, apregoar fatos, ...“Espalhafato” significa estardalhaço, escândalo, festividade, barbúrdia.

Novamente aparece a paronomásia (jogo de palavras alterando apenas sons e letras ou desmembrando-lhes em partesdistintas.

b) Corresponde a “a garantia de que a nossa rotina continuava.”

2 FUVEST 2a FASE

04. Um material moderno, de abordagem inovadora, que ensina de maneira cativante e, acima de tudo, eficiente. Mais do que isso,um material pautado por um método de ensino atual, que pensa em uma formação integral para o aluno, com valores querespeitam o seu crescimento e preparam para a vida.

O trecho acima, extraído de um texto publicitário, procura convencer o leitor por meio de juízos categóricos, isto é, juízos que,sem apresentar razões ou provas evidentes, não admitem contestação.

a) Transcreva duas expressões ou palavras que comprovem esse fato.b) Justifique sua escolha.

Resolução:

a) “Material moderno”, “abordagem inovadora”. Além destas expressões há outras, como: “ensina de maneira cativante”,“material pautado por um método de ensino atual” etc.O texto é um exemplo da função conativa ou apelativa da linguagem (Roman Jakobson). O receptor é o objetivo desta função.Tenta convencê-lo a mudar de atitude.

b) Não há justificativa para as afirmações. As afirmações são genéricas. Faltam-lhes as razões por que a escola apresenta todosestes dados.

05. O cheque em branco que o eleitor passa ao eleito é alto demais, faz parte da condição mesma de candidato expor-se ao escrutíniopúblico e abrir mão de uma série de prerrogativas, entre elas a privacidade.

(Folha de S. Paulo, 03/09/98)

a) Há algum problema de coerência na expressão alto demais, dado o contexto lingüístico em que ela ocorre? Justifique suaresposta.

b) Qual é, no texto, a relação de sentido entre prerrogativas e privacidade?

Resolução:

a) Se o cheque é em branco, como pode ser alto demais? Um modo de solucionar o problema da coerência seria usar umadvérbio junto à expressão “alto demais”. Por exemplo, “virtualmente alto demais”.

b) Prerrogativas são “privilégios”; privacidade é “vida íntima”.A privacidade é um direito, uma prerrogativa que todo cidadão deve ter. Esta prerrogativa não pertence a um candidato acargo de eleição.

06. Amantes dos antigos bolachões penam não só para encontrar os discos, que ficam a cada dia mais raros. A dificuldade aparecetambém na hora de trocar a agulha, ou de levar o toca-discos para o conserto.

(Jornal da Tarde, 22/10/98, p. 1C)

a) Tendo em vista que no texto acima falta paralelismo sintático, reescreva-o em um só período, mantendo o mesmo sentido efazendo as alterações necessárias para que o paralelismo se estabeleça.

b) Justifique as alterações efetuadas.

Resolução:

a) A falta de paralelismo está no uso das conjunções coordenativas não só ... mas também.O texto construído com esta correlação sintática ficaria assim: “Amantes dos antigos bolachões penam não só paraencontrar os discos, mas também na hora de trocar as agulhas, ou de levar o toca-discos ...”

b) Se a idéia é adição, soma, é claro que o emprego das conjunções correlatas deve estar presente no texto.

32a FASE FUVEST

Q07. uando da bela vista e doce riso,tomando estão meus olhos mantimento,1

tão enlevado sinto o pensamentoque me faz ver na terra o Paraíso.

Tanto do bem humano estou diviso,2

que qualquer outro bem julgo por vento;assi, que em caso tal, segundo sento,3

assaz de pouco faz quem perde o siso.

Em vos louvar, Senhora, não me fundo,4

porque quem vossas cousas claro sente,sentirá que não pode merecê-las.

Que de tanta estranheza sois ao mundo,que não é d’estranhar, Dama excelente,que quem vos fez, fizesse Céu e estrelas.

(Camões, ed. A. J. da Costa Pimpão)

1. Tomando mantimento — tomando consciência.2. Estou diviso — estou separado, apartado.3. Sento — sinto.4. Não me fundo — não me empenho.

a) Caracterize brevemente a concepção de mulher que este soneto apresenta.b) Aponte duas características desse soneto que o filiam ao Classicismo, explicando-as sucintamente.

Resolução:

a) O soneto apresenta uma concepção idealizada da mulher: ela é a visão do paraíso, estranha ao mundo terreno e próxima docriador do céu e das estrelas.

b) A medida nova (versos decassílabos) e a concepção neoplatônica do mundo são duas características que filiam o soneto aoclassicismo.

08.Este último capítulo é todo de negativas. Não alcancei a celebridade do emplasto, não fui ministro, não fui califa, não conheci ocasamento. Verdade é que, ao lado dessas faltas, coube-me a boa fortuna de não comprar o pão com o suor do meu rosto.

(Machado de Assis, Memórias póstumas de Brás Cubas)

a) Explique resumidamente o que era o “emplasto” e por que deveria ter trazido celebridade a Brás Cubas.b) Relacionando-a sucintamente ao contexto sócio-histórico em que se desenvolve o enredo do romance, explique a frase

“coube-me a boa fortuna de não comprar o pão com o suor do meu rosto.”

Resolução:

a) O emplasto era um medicamento anti-hipocondríaco que Brás Cubas caracterizava como sua idéia fixa; como obteria um“resultado verdadeiramente cristão”, isto é, curar a hipocondria, um dos grandes males da humanidade, o narrador pensavaque alcançaria, com ele, a glória. No entanto, a idéia fixa, que deveria trazer a celebridade, acaba por ser, segundo BrásCubas, a causa de sua morte.

b) Marcada pelo convívio do liberalismo e do escravismo, a sociedade brasileira do Segundo Reinado era regida pelo clientelismoe pelo “favor” e se, aparentemente, alterava-se, na realidade continuava a mesma. A aversão ao trabalho e a fruição dos benscom os quais já nascera expõem a mentalidade da classe dominante a que Brás Cubas pertencia, ainda calcada pelas idéiasescravistas.

4 FUVEST 2a FASE

09. Tinha piedade, tinha amor, tinha fraternidade, e era só. Era uma sarça ardente, mas era sentimento só. Um sentimentoprofundíssimo, queimando, maravilhoso, mas desamparado.

(Mário de Andrade, Contos Novos)

No fragmento acima, do conto “Primeiro de Maio”, o narrador refere-se à personagem principal, o “35”, e aos sentimentos deste.

a) Identifique e explique sucintamente o recurso de estilo que predomina na composição do fragmento.b) Contextualize esse fragmento, explicando brevemente a relação que existe entre os sentimentos da personagem, aí referidos,

e a experiência que ela vive no conto.

Resolução:

a) As repetições, sejam elas de formas verbais (“tinha” e “era”) ou de palavras (“só” e “desamparado”), são o principalrecursos de estilo que predomina no fragmento.

b) Em sua jornada em busca das festividades do Dia do Trabalho, “35” se vê desamparado porque não conta com o apoio doscolegas, que ficam trabalhando, e não encontra as manifestações que esperava no Palácio das Indústrias e nas ruas. Tomadopelos sentimentos mais nobres (“piedade”, “amor” e “fraternidade”), o “35” havia saído não só para comemorar o Dia doTrabalho, mas também para fazer valer seus princípios e ideais, mas descobriu-se só e desamparado quando percebeu queos outros não compartilhavam deles.

10. As meninas Nhinhinha e Brejeirinha são, respectivamente, personagens principais de “A menina de lá” e de “Partida do audaznavegante”, contos de Primeiras estórias.

a) Embora ambos os contos tenham como ambiente o meio rural, há, neles, elementos que permitam assinalar uma diferença denível social entre essas personagens? Justifique sucintamente sua resposta.

b) Qual dessas personagens se vincula primordialmente à própria literatura e qual se relaciona também, de modo explícito, àreligião? Justifique brevemente sua resposta.

Resolução:

a) Nhinhinha agia num ambiente rural mais simples do que aquele com o qual Brejeirinha convive. Enquanto a segunda fazreferências que nos levam a concluir que ela convive, por exemplo, com livros (“sem saber o amor, a gente pode ler osromances grandes?”), a primeira está inserida numa localidade repleta de religiosidade e superstição.

b) Brejeirinha, com seu vocabulário às vezes surpreendente para sua idade, deixa explícita sua ligação a um ambiente leitor. EmNhinhinha se materializa uma religiosidade sedenta de milagres e intervenções mágicas.

52a FASE FUVEST

REDAÇÃO

Dissertação

Como você avalia a jovem geração brasileira que constitui a maioria dos que chegam agora ao vestibular? Situada, em suamaior parte, na faixa etária que vai dos dezesseis aos vinte e um anos, que características essa geração apresenta? Que opinião vocêtem sobre tais características?

Para tratar desse tema, você poderá, por exemplo, identificar as principais virtudes ou os defeitos que eventualmente essa jovemgeração apresente; indicar quais são os valores que, de fato, ela julga mais importantes e opinar sobre eles. Você poderá, também,considerá-la quanto à formação intelectual, identificando, aí, os pontos fortes e as possíveis deficiências. Poderá, ainda, observarqual é o grau de respeito pelo outro, de consciência social, de companheirismo, de solidariedade efetiva, de conformismo ou deinconformismo que essa geração manifesta.

Refletindo sobre aspectos como os acima sugeridos, escolhendo entre eles os que você julgue mais pertinentes ou, caso achenecessário, levantando outros aspectos que você considere mais relevantes para tratar do tema proposto, redija uma dissertaçãoem prosa, apresentando argumentos que dêem consistência e objetividade ao seu ponto de vista.

COMENTÁRIO DA PROVA DE REDAÇÃO

Contrariando os últimos vestibulares da FUVEST, a banca apresentou explicitamente o tema de sua redação, facilitando inclusive atarefa do candidato por dois aspectos: o tema relaciona-se diretamente com o cotidiano do inscrito e o enunciado já dá “pistas” paraque houvesse uma orientação nos rumos do texto a seu produzido. O candidato só deveria ficar atento às generalizações habituaiscomo “Os jovens só (...)”. O aluno bem preparado não encontra dificuldade alguma para elaborar um bom texto sobre o tema.

QUESTÕES DE QUÍMICA

01. Magnésio e seus compostos podem ser produzidos a partir da água do mar, como mostra o esquema a seguir:

a) Identifique X, Y e Z, dando suas respectivas fórmulas.b) Escreva a equação que representa a formação do composto X a partir do Mg(OH)2 (s). Esta equação é de uma reação de

oxirredução? Justifique.

Águado mar

Mg (OH)2 (s)

cal

X Y

CO2 (g)

aquecimento

1. HCl (aq)

2. cristalizaçãoMgCl2 (s)

eletróliseígnea

Mg (s)

Z

6 FUVEST 2a FASE

l

l

Resolução:

a) As equações que produzem X, Y e Z são, respectivamente:

Mg (OH)2(s) + CO2(g) → Mg CO3(s) + H2O(l)carbonato de magnésio

Mg (OH)2(s) ∆ MgO(s) + H2O(l)

óxido de magnésio

Mg Cl2(s) i Mg(s) + Cl2(g)

gás cloro

Mg (OH)2(s) + CO2(g) → Mg CO3(s) + H2O(l)

b) Na equação: Nox: +2 –2 +1 +4 –2 +2 +4 –2 +1 –2

Nenhum dos participantes apresenta variação de Nox. Portanto, a reação não é de oxirredução.

02. As etapas finais de obtenção do cobre a partir da calcosita, Cu2S, são, seqüencialmente:

I. ustulação (aquecimento ao ar).

II. refinação eletrolítica (esquema ao lado).

a) Escreva a equação da ustulação da calcosita.

b) Descreva o processo da refinação eletrolítica, mostrando o que ocorre em cada um

dos pólos ao se fechar o circuito.c) Indique, no esquema dado, o sentido do movimento dos elétrons no circuito e o

sentido do movimento dos íons na solução, durante o processo de eletrólise.

Resolução:

a) Cu2 S(s) + O2(g) → 2 Cu(s) + SO2(g)

b) Quando o circuito se fecha, temos:

Pólo – (cobre puro) Cu aq( )2+ + 2 e– → Cu(s) Redução / Cátodo

Pólo + (cobre impuro) Cu(s) → Cu aq( )2+ + 2 e– Oxidação / Ânodo

c) No circuito: Elétrons saem do cobre impuro e vão em direção ao cobre puro.

Na solução: Os cátions Cu aq( )2+ saem do cobre impuro e vão em direção ao cobre puro.

Obs.: Os íons SO42− não se deslocam, pois nesta eletrólise aquosa o OH– da água tem prioridade de descarga.

cobrepuro

cobreimpuro

CuSO4(aq)

− − − − − +

Cu2+(aq)

CobrePuro

CobreImpuro

e–

– +

x674 84

y678

z678

72a FASE FUVEST

massa molar do CO2 ... 44 g/mol

03. Calcula-se que 1,0 x 1016 kJ da energia solar são utilizados na fotossíntese, no período de um dia. A reação da fotossíntese podeser representada por

energia solar

6CO2 + 6H2O C6H12O6 + 6O2 , clorofila

e requer, aproximadamente, 3,0 x 103 kJ por mol de glicose formada.

a) Quantas toneladas de CO2 podem ser retiradas, por dia, da atmosfera, através da fotossíntese?b) Se, na fotossíntese, se formasse frutose em vez de glicose, a energia requerida (por mol) nesse processo teria o mesmo valor?

Justifique, com base nas energias de ligação. São conhecidos os valores das energias médias de ligação entre os átomos:C — H, C — C, C — O, C == O, H — O.

H H H H H O

Glicose H C C C C C C H

OH OH OH OH OH

Resolução:

a) Pela equação fornecida: 3 x 103 kJ + 6 CO2 + 6 H2O → C6H12O6 + 6O2

↓ ↓ ↓

3 x 103 kJ 6 mols 1 mol

1 x 1016 kJ x mols

x = 2 . 1013 mols de CO2 y = 8,8 . 108 ton

1 mol de CO2 44 g

b) Não, pois as duas moléculas apresentam o mesmo número de ligações de cada tipo.

04. Para distinguir o 1-butanol do 2-butanol foram propostos dois procedimentos:

I. Desidratação por aquecimento de cada um desses compostos com ácido sulfúrico concentrado e isolamento dos produtosformados. Adição de algumas gotas de solução de bromo em tetracloreto de carbono (solução vermelha) aos produtosisolados e verificação da ocorrência ou não de descoramento.

II. Oxidação parcial de cada um desses compostos com dicromato de potássio e isolamento dos produtos formados. Adição dereagente de Tollens aos produtos isolados e verificação da ocorrência ou não de reação (positiva para aldeído e negativapara cetona).

Mostre a utilidade ou não de cada um desses procedimentos para distinguir esses dois álcoois, indicando os produtos formadosna desidratação e na oxidação.

Resolução:I. A desidratação de um álcool pode ser intramolecular ou intermolecular:

Intramolecular

HO CH2 CH2 CH2 CH3H2SO4

∆H2C CH2 CH2 CH3 + H2O

1-butanol 1-buteno

OH

H3C CH CH2 CH3H2SO4

∆H3C CH CH CH3 + H2O

2-buteno

Neste caso, tanto o 1-buteno quanto o 2-buteno são capazes de reagir com o Br2 e, portanto, o procedimento não serve paradiferenciar.

H H H H H

Frutose H C C C C C C H

OH OH OH OH O OH

8 FUVEST 2a FASE

Intermolecular

A desidratação intermolecular de um álcool forma éteres, que não reagem com Br2 e, portanto, o procedimento não servepara diferenciar.

2 HO CH2 CH2 CH2 CH3H2SO4

∆H3C CH2 CH2 CH2 O CH2 CH2 CH2 CH3 + H2O

1-butanol butóxi-butano

OH

2 H3C CH CH2 CH3H2SO4

∆H3C CH O CH CH3 + H2O

2-butanol CH2 CH2

CH3 CH3

éter disec-butílico

II. Oxidação

HO CH2 CH2 CH2 CH3K2C2O7 C CH2 CH2 CH3 + H2O

1-butanol aldeído (reage com reativo de Tollens)

OH

H3C CH CH2 CH3K2C2O7 H3C C CH2 CH3 + H2O

2-butanol Ocetona (não reage com reativo de Tollens)

Este procedimento é útil para a diferenciação do 1-butanol e do 2-butanol.

05. O equilíbrio H2 (g) + I2 (g) 2HI(g) tem, a 370 °C, constante Kc igual a 64. incolor violeta incolor

Para estudar esse equilíbrio, foram feitas 2 experiências independentes A e B:

A) 0,10 mol de cada gás, H2 e I2, foram colocados em um recipiente adequado de 1 L,mantido a 370 ºC até atingir o equilíbrio (a intensidade da cor não muda mais).

B) 0,20 mol do gás HI foi colocado em um recipiente de 1 L, idêntico ao utilizado em A,mantido a 370 ºC até atingir o equilíbrio (a intensidade da cor não muda mais).

a) Atingido o equilíbrio em A e em B, é possível distinguir os recipientes pela intensidadeda coloração violeta? Justifique.

b) Para a experiência A, calcule a concentração de cada gás no equilíbrio. Mostre, emum gráfico de concentração (no quadriculado ao lado), como variam, em função dotempo, as concentrações desses gases até que o equilíbrio seja atingido. Identifiqueas curvas no gráfico.

O

H

K2Cr2O7

K2Cr2O7

92a FASE FUVEST

H2 I2 2 HI

Início 0,1 mol 0,1 mol 0

Reação x x 2 x

Equilíbrio (0,1 – x) (0,1 – x) 2 x

H2 I2 2 HI

Início 0 0 0,2 mols

Reação x x 2 x

Equilíbrio x x 0,2 – 2x

05. a) No equilíbrio A teremos:

K

xL

xL

xL

CA=

FH

IK

−FH

IK

−FH

IK

21

0 11

0 11

2

, , = 64 ∴

x = 0,08 mols

L e [ I2 ] = 0,02

molsL

No equilíbrio B teremos:

Kx

x xCB=

( ,2 – )0 2 2

. = 64 ∴

x = 0,02 mols

L e [ I2 ] = 0,02

molsL

Como as concentrações de iodo nos dois experimentos é igual não será possível identificar as soluções pela cor.

b)

06. Com base nas seguintes equações de semi-reações, dados os respectivos potenciais padrão de redução,

Eº (volt)H2O (l) + e– 1/2 H2 (g) + OH– (aq) – 0,83

Al (OH)4– (aq) + 3e– Al (s) + 4OH– (aq) – 2,33

Cu (OH)2 (s) + 2e– Cu (s) + 2OH– (aq) – 0,22 ,

responda:

a) Objetos de alumínio e objetos de cobre podem ser lavados com solução aquosa alcalina sem que ocorra a corrosão do metal?Justifique, escrevendo as equações químicas adequadas.

b) Qual dos metais, cobre ou alumínio, é melhor redutor em meio alcalino? Explique.

[ ] Experimento A

0,16 M

0,10 M

0,02 MH2(g) e I2(g)

HI (g)

tempo

10 FUVEST 2a FASE

Resolução:

a) Analisando a espontaneidade das reações, temos:

Para o alumínio:

invertendo a 2a equação: Al(s) + 4 OH aq( )− → Al ( )OH 4

− + 3 e– Eº = + 2,33 V

triplicando a 1a equação: 3 H2O(l) + 3 e– → 3/2 H2(g) + 3 OH aq( )− Eº = – 0,83 V

Equação Global: Al(s) + 3 H2O + OH– → Al (OH)4 + 3/2 H2 Eº = + 1,5 V

Como Eº > 0, a reação ocorre, corroendo o alumínio.

Para o cobre:

invertendo a 3a equação: Cu(s) + 2 OH aq( )− → Cu (OH)2(s) + 2 e– Eº = + 0,22 V

dobrando a 1a equação: 2 H2O(l) + 2 e– → H2(g) + 2 OH– Eº = – 0,83 V

Equação Global: Cu(s) + 2 H2O(l) → Cu (OH)2(s) + H2(g) Eº = – 0,61 V

Como Eº < 0, a reação não ocorre, portanto o cobre não será corroído.

b) O alumínio é o melhor redutor, pois sofre oxidação (perde elétrons).

07. Rutherford determinou o valor da constante de Avogadro, estudando a série radioativa abaixo, onde está indicado o modo dedecaimento de cada nuclídeo.

Ra Rn 21884Po Pb Bi Po Pb

a) Escreva as equações de desintegração dos nuclídeos nas etapas II e III da série dada. Indique todos os números atômicose de massa.

b) Calcule a constante de Avogadro, sabendo que:— 1,0 g de rádio, Ra, produz 3,0 x 1015 partículas α por dia, na etapa I da desintegração.— Uma vez formado o radônio, Rn, este e os demais nuclídeos que o sucedem se desintegram rapidamente até dar o último

nuclídeo (Pb) da série apresentada.— As partículas α transformam-se em átomos de hélio.— 1,0 g de rádio, Ra, considerando-se todas as etapas da desintegração, produz, em 80 dias, 0,040 mL de gás hélio,

medido a 25ºC e 1 atm.

Dado: volume molar dos gases a 25 ºC e 1 atm = 25 L/mol

Resolução:

Completando o número de massa e o número atômico, já que 2ααααα4 e –1βββββ0, temos:

a) 80Ra210 ( )α → 82Rn214 ( )α → 84Po218 ( )α → 82Pb214 ( )β → 83Bi214 ( )β → 84Po214 ( )α → 82Pb210

Obs.: Quando um átomo emite uma partícula (α) o número atômico diminui “duas” unidades, e o número de massa “quatro”.

Quando um átomo emite uma radiação (β) o número atômico aumenta uma unidade, e o número de massa não se altera.

I II IIIααααα ααααα ααααα αααααβββββ βββββ

112a FASE FUVEST

b) 1,0g Ra Etapa I → produz 3,0 x 1015 átomos de Hélio por dia. Em todas as etapas são emitidas 4 partículas ααααα (por dia) ∴

1,0g Ra 80 dias produz( ) → 80 x 4 x 3,0 . 1015 átomos de He

O volume molar (1 atm, 25ºC) foi dado: 1 mol átomos He X átomos He 25ºC, 1 atm 25 L

9,6 . 1017 átomos He 0,040 x 10–3 L

∴ X = 9 6 10 25

4 10

17

5

, x x

. − = 6 . 1023 (constante de Avogadro)

Obs.: Não foi considerada a perda de massa do Rádio ao longo dos 80 dias (não foi levado em conta o período de semi-desintegração).

08. O rótulo de uma solução de alvejante doméstico, à base de cloro, traz a seguinte informação: teor de cloro ativo = 2,0 a2,5% em peso*. Para se determinar o teor, faz-se reagir um volume conhecido de alvejante com KI (aq) em excesso, ocorrendoa formação de I2, conforme a equação:

OCl– + 2I– + H2O → I2 + Cl– + 2OH–

A quantidade de iodo formada é determinada por titulação com solução de tiossulfato de sódio.Em uma determinação, 10 mL do alvejante foram diluídos a 100 mL com água destilada. Uma amostra de 25 mL dessa soluçãodiluída reagiu com KI (aq) em excesso e a titulação indicou a formação de 1,5 x 10–3 mol de I2.

a) Verifique se a especificação do rótulo é válida, calculando o teor de cloro ativo desse alvejante.b) Dentre os seguintes materiais de vidro: bureta, pipeta, balão volumétrico, proveta, béquer e erlenmeyer, cite dois e sua

respectiva utilização nessa determinação.

* Apesar de o componente ativo do alvejante ser o hipoclorito (OCl–), a especificação se refere à porcentagem em massa de

cloro (Cl) no alvejante.

Dados: densidade do alvejante: 1,0 g/mL massa molar do Cl: 35 g/mol

Resolução:

a) Minicial de OCl– = X molsL

1a Etapa — Diluição

Mi . Vi = Mf . Vf ⇒ X . 10 mL = Mf . 100 mL → Mf = 0,1 X

2a Etapa — Titulação

OCl– + 2 I– + H2O → I2 + Cl– + 2 OH–

↓ ↓1 mol 1 mol

1,5 . 10–3 mol 1,5 . 10–3 mol

ηOCl− = Mfinal OCl– . V = 0,1X . 0,025 L = 1,5 . 10–3 mols ∴ X = 0,6 mols

L de OCl–

9 6 1017, . átomos He

1 244 344

RST

12 FUVEST 2a FASE

C = M . M1 ⇒ COCl− = 0,6 . 51 =

30 6, g de OCL

l− ou

30,6 g OCl– 1 L solução 1 000 g (solução)

20,9 g de Cl 1 000 g (solução)Z 100 g (solução)

Z = 2,09 g de Cl ou 2,09% . A especificação do rótulo é válida.

b) Os mais indicados para esta experiência são a bureta, que tem a função de medir o volume de um dos reagentes usados natitulação, e o erlenmeyer, cuja função é servir de recipiente para o meio reacional.

09. Alguns gases presentes em atmosferas poluídas formam, com água da chuva, ácidos tais como o sulfúrico e o nítrico.

a) Escreva, para cada um desses ácidos, a equação que representa sua formação a partir de um óxido gasoso poluente.

b) Um reservatório contém 100m3 (1,0 x 105 L) de água de pH igual a 6,0. Calcule o volume, em litros, de chuva de pH igual

a 4,0 que esse reservatório deve receber para que o pH final da água atinja o valor de 5,0. Basta o valor aproximado. Neste

caso, despreze o aumento de volume da água do reservatório com a chuva.

Resolução:

a) SO3(g) + H2O(l) → H2SO4(g)trióxido de ácido enxofre sulfúrico

b) [ H+ ]inicial + Acréscimo = [ H+ ]final

↓ ↓ ↓

105 L . 10–6 molL

+ V . 10–4 molL

= 105 L . 10–5 molL

∴

↑ ↑ ↑

pH = 6 pH = 4 pH = 5

V (volume da chuva) = 1 10

10

1

4

− −

− = 9 000 L = 9 . 103 L

3 NO2(g) + H2O(l) → 2 HNO3(l) + NO(g)dióxido de ácidonitrogênio nítrico

132a FASE FUVEST

H2 / Ni

redução oxidaçãoreação comamônia edesidratação

reduçãoH2 / Ni

H2

10. Náilon 66 é uma poliamida, obtida através da polimerização por condensação dos monômeros 1,6-diaminoexano e ácidohexanodióico (ácido adípico), em mistura equimolar.

H2N — (CH2)6 — NH2 1,6 – diaminoexano HOOC — (CH2)4 — COOHS ácido adípico

O ácido adípico pode ser obtido a partir do fenol e o 1,6-diaminoexano, a partir do ácido adípico, conforme esquema abaixo:

OH H

C

H2C CH2

fenol ácido adípico

H2C CH2

CN C (CH2)4 C N náilon 66

1,6 - diaminoexano

a) Reagindo 2 x 103 mol de fenol, quantos mols de H2 são necessários para produzir 1 x 103 mol de cada um desses

monômeros? Justifique. Admita 100% de rendimento em cada etapa.

b) Escreva a equação que representa a condensação do 1,6-diaminoexano com o ácido adípico.

Resolução:

1o) Obtenção do monômero (ácido adípico).

H2 / Ni

Redução

[ O ] C C C C C C + H2O

C6H6O + 3 H2 C6H12O4 [ O ]

C6H10O4 + H2O

Portanto: 1 mol fenol consome 3 mols H2 1 mol ácido adípico

103 mol 3 x 103 mol 1 x 103 molfenol H 2 ácido adípico

Foram gastos 3 x 103 mols de H2 para produzir 103 mol de ácido adípico.

1 24 34

OH

OH OH

OC H2 H2 H2 H2

OH

1 24 34

14 FUVEST 2a FASE

2o) Obtenção do monômero (1,6 - diamino exano)

1 mol fenol + 3 mols H24 [ O ]

1 mol ácido adípico (C6H10O4)

1 mol ácido adípico + NH3(H2O) 1 mol C6H8N2

H2 H2 H2 H21 mol C6H8N2 + 4 H2 H2C C C C C CH2 (C6H16N2)

NH2 NH2

1 mol fenol + 7 mols H2 → 1 mol diamino exano

103 mols 7 x 103 mols 103 mol

Foram gastos 7 x 103 mols de H2 para produzir 103 mols de diamino exano

portanto para reagir 2 x 103 mols de fenol, teremos que consumir 10 x 103 mols (104 mols) de hidrogênio (H2).

b) reação de polimerização (náilon 6,6)

H2 H2 H2 H2 H2 H2 H2 H2 H2 H2n C C C C C C + H N C C C C C C N H

H H

C

H

C

2FHG

IKJ 4 C + (n – 1) H2O

COMENTÁRIO

Prova difícil. Exigiu conhecimento do conteúdo, raciocínio e cálculo.

DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES

30% − Química Geral20% − Eletroquímica20% − Química Orgânica30% − Físico - Química

O

N

H

C

2FHG

IKJ 6 N

H

O

n

O

HO

O

OH

nH

152a FASE FUVEST

QUESTÕES DE HISTÓRIA

01. Uma das origens da servidão feudal, no Ocidente medieval, remonta à crise do século III da era cristã, que afeta e transformaprofundamente o Império Romano. Descreva essa crise e estabeleça sua relação com a servidão feudal.

Resolução:

A existência da República Romana e do Império Romano estava diretamente ligada à história da expansão territorial, buscandosempre novas terras e novos escravos. No século III, o processo de expansão chegou ao fim e teve como conseqüência diretaa crise do modo de produção escravista; ainda somados à crise, tivemos o início da ruralização romana, a inflação, a corrupçãogovernamental e os conflitos internos do exército. Este conjunto configurou a crise do século III.Diante desta crise, um dos imperadores, Diocleciano (285-305), tentou resolver o problema da carência de mão-de-obra implantandoo “colonato” (fixação do homem à terra) dando origem ao servo feudal. Em resumo: a carência de escravos, com o passar dosséculos, fez aparecer uma relação de dependência do mais fraco (o servo) para garantir a produção de alimentos (homens fixosà terra) em troca de segurança e proteção dadas pelo senhor.Em tempo: o colono foi o “meio-caminho” entre o escravo romano e o servo medieval.

02. Frei Antônio de Montesinos, em 1512, no Caribe, pregava aos conquistadores espanhóis:“Com que direito haveis desencadeado uma guerra atroz contra essas gentes que viviam pacificamente em sua própria terra? Porque os deixais em semelhante estado de extenuação? Por que os matais a exigir que vos tragam diariamente seu ouro? Acaso nãosão eles homens? Acaso não possuem razão e alma? Não é vossa obrigação amá-los como a vós próprios?”Explique essas palavras de Montesinos dentro do contexto da conquista espanhola da América.

Resolução:

A conquista espanhola na América, a partir de Cristovão Colombo (1492), estava inserida no contexto da expansão marítima ecomercial européia, na prática mercantilista que visava basicamente à riqueza e ao poder do Estado, além do enriquecimentoatrelado da burguesia. Os espanhóis, sedentos por ouro e prata, passaram a dizimar, a praticar um verdadeiro genocídio em nomeda acumulação primitiva. A realeza, a burguesia e grande parte do clero fizeram vistas grossas a tais fatos, visto que eram osprincipais beneficiários de tamanha exploração e matança. Caminhando contra a corrente, alguns cléricos começaram a protestar.A exemplo de Frei Antônio de Montesinos também o Frei Bartolomeu de Las Casas defendeu os nativos contra os europeus,com frases de efeito que estão no texto de Montesinos, por exemplo:“Acaso não são eles homens?”, “acaso não possuem razão e alma?”, “não é vossa obrigação amá-los como a vós próprios?”

03. Em 1651, por ocasião de uma visita da frota inglesa ao porto de Cadiz, Espanha, o almirante Blake provocou a irritação deFelipe IV, quando este último soube que aquele declarara, em praça pública, que “graças ao exemplo dado por Londres, todos osreinos iriam aniquilar a tirania e tornar-se repúblicas. A Inglaterra já o tinha feito; a França seguia o mesmo caminho; econsiderando-se que a natural indolência dos espanhóis tornava mais lento o seu movimento, dava a eles dez anos, antes queno país explodisse a revolução”.

a) A que acontecimentos históricos o almirante Blake se referia ao mencionar os exemplos da Inglaterra e da França?b) A previsão de Blake com relação à Espanha veio a realizar-se?

Resolução:

a) De 1642 a 1648, a Inglaterra conhecera a Guerra Civil ou Revolução Puritana, quando os Round Heads (puritanos lideradospelo “barebine” Oliver Cromwell) venceram os Knights, partidários do Rei Carlos I, que foi executado em 1649. Nascia, então,a República Puritana (1649/60) cujo Lorde Protetor era o já referido Oliver Cromwell. Numa visão marxista, um poucorevolucionista, a República Puritana teria sido pró-burguesia.Já na França, quando da menoridade de Luis XIV, ocorreu uma revolta burguesa: a Fronda Parlamentar, esmagada por Mazzarino.

b) A Revolução não ocorreu na Espanha dentro do período profetizado por Blake. Ao contrário, os Habsburgos decaíram,foram substituídos pelos Bourbons e um arremedo de revolução liberal só ocorreria com a Constituição de Cádiz, no final daocupação bonapartista.

04. Estabeleça as relações entre a produção açucareira no Nordeste e a dominação holandesa no Brasil, na primeira metade doséculo XVII.

16 FUVEST 2a FASE

Resolução:

O capital holandês teve uma presença significativa nas colônias portuguesas do Atlântico. Tendo financiado vários engenhos,refinando e distribuindo o açúcar brasileiro no mercado europeu, a Holanda configurava-se como país credor do mercantilismoportuguês.A partir de 1580, os Habsburgos espanhóis passaram a reinar também sobre Portugal (União Ibérica). Declarando-se livre dadominação Habsburgo, a Holanda passou a sofrer represálias da Espanha durante vários anos. Sem sucesso em suas investidasmilitares, a coroa espanhola promoveu um embargo comercial contra a Holanda, prejudicando seu lucrativo negócio açucareironos trópicos.Acossados, os grandes capitalistas holandeses fundaram várias empresas comerciais-militares, objetivando a conquista decolônias. Surgiu assim a Companhia das Índias Ocidentais, empresa de capital aberto responsável pelo desembarque, conquistae dominação flamenga do Nordeste brasileiro até 1654.

05. Em 1703, é assinado o Tratado de Methuen entre Portugal e Inglaterra. Esse acordo, segundo Celso Furtado, “significou paraPortugal renunciar a todo o desenvolvimento manufatureiro e implicou transferir para a Inglaterra o impulso dinâmico criado pelaprodução aurífera no Brasil”. Explique o que foi o Tratado de Methuen e discuta a afirmativa de Celso Furtado.

Resolução:

O apoio da Inglaterra à Restauração de Bragança (fim da dominação espanhola sobre Portugal) lhe rendeu uma posição dehegemonia comercial, e mesmo política, sobre a frágil coroa lusa, traduzida em vários tratados comerciais desvantajosos paraPortugal. O Tratado de Methuen foi um deles. Mantinha várias vantagens alfandegárias aos tecidos ingleses no mercadoportuguês, e reduzia taxas aduaneiras aos vinhos portugueses na Inglaterra. Assim, Portugal acumulava déficits (já que semostrou nítida a vantagem inglesa), que eram pagos graças aos recursos advindos da exploração mineradora do Brasil-Colônia.Tal fato está por trás da afirmação do economista Celso Furtado, já que a utilização do ouro brasileiro para o pagamento dosdéficits estancou, de fato, o desenvolvimento de manufaturas em Portugal.

06. Discuta, exemplificando, as dificuldades enfrentadas pela monarquia, nas décadas de 1830 e 1840, para a manutenção da unidadeterritorial brasileira.

Resolução:

Após a abdicação de Pedro I e com a minoridade do seu legítimo sucessor, instala-se, no Brasil, conforme estabelecia aConstituição de 1824, um sistema regencial de governo. Nele, após o ato adicional de 1824, uma série de levantes contestatóriosao centralismo político eclode: no Pará, os cabanos repudiam a nomeação de Lobo de Souza à Presidência da Província;movimento semelhante ocorre no Rio Grande do Sul, com o levante dos estancieiros liberados por Bento Gonçalves. No mesmoperíodo, movimentos por maior autonomia provincial ocorrem, também, no Maranhão (balaiada) e na Bahia (sabinada).Durante a década de 40, após o “golpe da maioridade”, a “dissolução do gabinete liberal” e a “recondução dos conservadores”do ministério, revoltas liberais ocorrem em Minas Gerais com Teófilo Otoni e em São Paulo com Tobias de Aguiar. A instalaçãode um parlamentarismo às avessas foi o caminho utilizado por Pedro II no apaziguamento e na manutenção da unidade nacional.

07. “Quando os brancos chegaram, nós tínhamos as terras e eles a Bíblia; depois eles nos ensinaram a rezar; quando abrimos osolhos, nós tínhamos a Bíblia e eles as terras”.

Essa frase — atribuída a Jomo Kenyatta, fundador da República do Quênia — remete à partilha da África, no quadro doimperialismo europeu. Comente e interprete o trecho.

Resolução:

No quadro do imperialismo europeu, além da conquista territorial, militar, política e econômica era preciso também concretizar eutilizar o domínio ideológico. A religião cristã (católica ou protestante) foi a principal via desta dominação. Enquanto os paísesindustrializados dominavam e dividiam os territórios africanos e asiáticos restava aos nativos contentarem-se com o seu novoDeus, seus representantes e seus ensinamentos.Esta manipulação ideológica ajudava a justificar os milhares de nativos mortos e a famosa frase “O fardo do homem branco” deR. Kipling. ou ainda a justificativa de “missão civilizadora”.

08. Durante o regime militar no Brasil (1964-1985), a oposição à ditadura também se expressou por meio da arte (música, literatura,cinema, teatro). Comente a afirmação, dando, pelo menos, dois exemplos dessas formas artísticas de expressão.

172a FASE FUVEST

Resolução:

Embora violentamente castradas pela censura, normalmente após o AI-5 de 13 de dezembro de 1968, as diversas manifestaçõesartísticas tiveram um importante papel de “cultura de resistência” à ditadura militar, que existia sob uma aparência de “democraciaformal” (com mecanismos tais como “eleições”, rodízio de governantes etc.

• Música → A Bossa NovaExemplos: Chico Buarque de Holanda → Apesar de você;

Geraldo Vandré → P’ra não dizer que não falei das floresHino da Esquerda Armada

• Cinema Novo → O Desafio (Paulo César Serraceni)Fome de Amor (Nelson Pereira dos Santos)P’rá frente Brasil (Roberto Farias)

• Teatro → Um Grito Parado no Ar (Gianfrancesco Guarnieri)Explode Coração (Oduvaldo Viana Filho)Calabar O Elogio da Traição (Chico Buarque e Rui Guerra)

• Literatura → Quarup (Antônio Callado)Pessach — A travessia (Carlos Heitor Cony)A Poética de MoacirFélix

09. Quando o Muro de Berlim foi construído, em 1961, a União Soviética estava no auge de sua força — havia até mesmo seadiantado aos Estados Unidos na exploração espacial. Quando o Muro de Berlim foi derrubado, em 1989, a União Soviéticaestava em plena crise e desapareceria dois anos depois. Explique essa reviravolta e a relação entre o Muro de Berlim e a UniãoSoviética.

Resolução:

A URSS, ao longo das décadas de 60/70 e início da de 80, conheceu o que se denominou os “Anos Perdidos”. De fato, o“neostalinismo” de Leonid Brejnev foi marcado pelo burocratismo, pelo dirigismo econômico altamente irracional, pela corrupçãodos quadros partidários (a “nomenklatura”), pelo retardamento tecnológico e pelos gastos militares absurdos, notadamentepara fazer face à Iniciativa de Defesa Estratégica (“a guerra das estrelas” do presidente Reagan).A necessidade de reformas, iniciadas por Yuri Dupropov (82/84), levou à Secretaria Geral Gorbachev, que deu início simultâneoà liberalização política (Glassnost) e à reforma econômica (Perestroika). Isto provocou a possibilidade de críticas antes darenovação econômica das medidas positivas, descontrolando o regime.Além disso, Gorbachov procurou abrandar as tensões internacionais, pondo fim à “Guerra Fria”. Assim, a URSS perdeu avontade política de impedir a queda das nações “socialistas” do Leste Europeu. Deu-se uma reação em “cadeia”: a perda dosestados bálticos, o fim do socialismo polonês, a “Revolução de Veludo” em Praga e, pelo não apoio soviético, a queda daRepública Democrática da Alemanha. Finalmente, o frustrado golpe de 19 de agosto de 1891 poria fim à URSS.

10. “Como se fosse uma hidra, a desigualdade racial [no Brasil] recupera-se a cada golpe que sofre. Onde os interesses e os liamesdas classes sociais poderiam unir as pessoas ou os grupos de pessoas, fora e acima das diferenças de ‘raça’, ela divide e opõe,condenando o ‘negro’ a um ostracismo invisível e destruindo, pela base, a consolidação da ordem social competitiva comodemocracia racial.”

Florestan Fernandes, A integração do negro na sociedade de classes.

Com base nesse texto, comente a tese do autor sobre a questão da democracia racial no Brasil.

Resolução:

O grande mentor da sociologia marxista no Brasil, Florestan Fernandes, ressalta que as derrotas que o racismo sofreu em nossopaís (Abolição, Lei Afonso Arinos, a “Constituição Cidadão” de 1988 que definem a discriminação racial como “crime inafiançável)sempre são resgatadas pelo próprio racismo, que se torna mais insidioso e sutil.Não temos, no país, uma quebra classista bem definida, pois a raça firma-se como um fator que impede classes com interessese consciência homogêneos. De fato, o elemento racial interfere tornando-se o negro marginalizado pela sua própria classe,portanto a solidariedade plena dentro do mesmo segmento classista.Não podemos deixar de lembrar a tese clássica de Florestan: dentro da sociedade de classes brasileiras permanecem resquíciosda ordem escravista, notadamente no plano da consciência com todas as seqüelas sociais daí decorrentes.Assim, pode-se dizer que o racismo impede até mesmo a competitiva “democracia burguesa”. Verifica-se, assim, a fraude do mitoda nossa “democracia racial”.

18 FUVEST 2a FASE

GEOGRAFIA

01.

a) Identifique os complexos regionais I e III,apresentando duas de suas características físicas eduas econômicas.

b) Explique por que a porção oriental do Maranhão e onorte de Minas Gerais fazem parte do complexoregional II.

Resolução:

a) I − Amazônia II − NordesteIII − Centro-Sul

Amazônia: Clima Equatorial — Floresta Latifoliada Amazônica — Predomínio de atividades extrativas vegetais e minerais ePecuária Extensiva

b) A região II é caracterizada por climas mais secos, o que também acontece no leste do Maranhão e Norte de Minas Gerais, cujaeconomia também está mais próxima da que prevalece no Nordeste.

02.

Fonte: Santos, 1994.

a) Analise e justifique os fluxos migratórios representados nos mapas A, B e C.b) Explique a dinâmica atual dos fluxos migratórios.

Resolução:

a) A - Na década 50-60, o fluxo principal origina-se no Sertão Nordestino, em direção à Mata dos Cocais, no Maranhão, epara o Centro-Sul, onde se iniciava a industrialização e expansão da agricultura (no Paraná) e a construção de Brasíliaa criação das colônicas agrícolas de Ceres e Ipameri (GO) e o início da ocupação agrícola do Mato Grosso (no Centro-Oeste).No sul do país, o deslocamento se deve à expansão da cultura cafeeira no Norte do Paraná.

I

II

III

0 270

km

AMigração Interna na Década de 50-60

Brasil

BMigração Interna na Década de 60-70

Brasil

CMigração Interna na Década de 70-80

Brasil

192a FASE FUVEST

Lestedos EUA

Oesteda

Europa

OrienteMédio

Oestedos EUA

Japão3200 km

Coréia

estreito ou canal nós de comunicação aérea

B - Na década 60-70, a ação dos governos militares através de programas como: Polocentro — Polonoroeste — Poloamazônica— agrovilas — projetos minerais, além da implantação das rodovias ligadas ao PIN, deram início à ocupação econômica doCentro-Oeste e Amazônia. A região nordestina, onde a posse de terras é muito difícil e as secas são periódicas, continuarama fornecer migrantes para as demais regiões. Neste período, famílias de agricultores do Sul e Sudeste, pressionadas pelapenetração da agro-indústria e atraídas pelas terras-fáceis, dirigem-se para a região.C - Na década 70-80, o Nordeste continua a fornecer levas de migrantes para o Centro-Sul, pelas mesmas razões expostasacima. Entretanto, os maiores fluxos ocorrem a partir do Sul e Sudeste, em direção à Amazônia, com a expansão da fronteiraagrária. A pequena seta que parte do Paraná e sai do país é constituída pelos brasilguaios, que buscavam terras para plantar,em especial, a soja.

b) Continua a prevalecer a migração rumo à Amazônia dada a disponibilidade de terras e a possiblidade de emprego nosprojetos minerais. O fato mais notável está na diminuição do fluxo de migrantes do Nordeste para o Centro-Sul: estes dirigem-se, também, para a Amazônia.

03. Faça uma análise comparativa entre dois momentos do processo de industrialização brasileira — década de 50 e final da décadade 90 — levando em consideração:

a) o papel do Estado.b) o mercado consumidor.

Resolução:

a) O papel do Estado nos dois momentos da industrialização brasileira foi muito diferente. Nos anos 50, era o Estado Empresário,que construiu a infra-estrutura que seria aproveitada pelas indústrias multinacionais que se instalam a partir de 1956. nosanos 90, o Estado (falido), sem capacidade de investir, permite a entrada sem restrições de empresas multinacionais, quepassam a dominar setores inteiros da economia, e privatiza a maior parte das empresas estatais.

b) O mercado consumidor, nos anos 50, era restrito às áreas urbanas no Centro-Sul. Nos anos 90, a expansão da urbanização ea incorporação de novas áreas ao processo produtivo fez surigir novos centros e padrões de consumo.

04. Grandes Rotas Marítimas Grandes Rotas Aéreas

a) Considerando os fluxos de circulação marítima e aérea, apresente duas semelhanças e duas diferenças entre eles.b) Atualmente, o desenvolvimento das telecomunicações e da informática tem ampliado a importância de fluxos imateriais.

Dentre esses, analise os fluxos financeiros e compare seus principais pólos com os da rede aérea.

Gibraltar

Suez

Panamá

Bering

20 FUVEST 2a FASE

Resolução:

a) Semelhanças: Unem as mesmas regiões − os maiores fluxos estão entre os países centrais.Diferenças: As rotas marítimas são mais longas e lentas − As rotas marítimas transportam principalmente mercadorias,enquanto que as aéreas transportam pessoas.

b) Os fluxos financeiros ocorrem principalmente entre os países centrais, que respondem também pelo maior fluxo de passageirosaéreos, dados os custos desse transporte. As economias emergentes também estão presentes na trajetória desses fluxos.Vale ressaltar que a África, apesra de estar nas rotas aéreas, não está nas financeiras.

05. Centro-Oeste

Fonte: Simielli, 1997.

a) Apoiando-se no mapa e no gráfico acima, apresente as principais características do pantanal brasileiro quanto a: formas derelevo, formações vegetais e dinâmica hidrológica.

b) Cite um tipo de interferência antrópica modificadora da dinâmica hidrológica natural de lagoas e rios pantaneiros. Explique.

Resolução:

a) Relevo: planície sedimentar recenteVegetação: complexa, com a presença de variadas formas, ocupando áreas vizinhas, tais como: florestas − cerrados −mangues − palmeiras.Dinâmica Hidrológica: A pequena inclinação da planície faz com que as águas dos rios da bacia hidrográfica do Paraguaiescoem lentamente, produzindo grandes inundações no período das chuvas, entre outubro e março.

b) O desmatamento, que leva ao assoreamento dos cursos fluviais, interferindo nos ecossistemas naturais, que mantém ricafauna e flora, além de modificar as áreas inundáveis.

60°W20°s

500m

Chapada dos Parecis

Planíciedo

Pantanal

SA.Bodoquena

SA

.de

Mar

aca

ju

CAMPOGRANDE

Caiapó

do

Serra

800m

0 300 km

20

J F M A M J J A S O N D

60

100

140

180

220

260

300mm

Precipitação

10203040°C

Tem

pera

tura

Campo Grande - MS

Região

212a FASE FUVEST

06. Grandes Aglomerações Urbanas no ano 2.000

Fonte: Adap. Sassen, 1998.

2.550 kmPrincipais Zonas de PescaCorrente FriaCorrente Quente

Cidade do México

Nova York

Londres

S e u l

Osaka

Buenos Aires

Paris

0 5 10 15 20 25 30milhões hab.

a) Separe essas aglomerações em dois grupos: A (paísesdesenvolvidos) e B (países de industrialização recente).

b) Apresente uma característica da urbanização do grupoA e duas características da urbanização do grupo B,justificando-as.

Resolução:a) A − Nova York − Londres − Osaka − Paris

B − Cidade do México − Seul − Buenos Airesb) A − Urbanização mais antiga ligada à revolução industrial.

B − Urbanização mais recente, ligada à industrialização ocorrida após a 2a Guerra Mundial.Apresenta forte macrocefalismo urbano, com favelas, aumento da criminalidade, deficiência nos serviços básicos.

07. Na sociedade contemporânea, o lixo tornou-se um dos problemas cruciais. Esse problema era menor antigamente e exclusivo dascidades. Nas zonas rurais, as sobras faziam parte da forma de produzir e de viver.

a) Relacione o problema do lixo com os processos de urbanização e industrialização.b) Caracterize o problema do lixo da Região Metropolitana de São Paulo (RMSP), quanto a: sistema de coleta, destinação e

tratamento atualmente existentes.

Resolução:a) A urbanização acelera a produção de lixos de vários tipos.

A maior parte dele não é reciclada, embora o pudesse ser, gerando forte impacto ambiental.b) Na RMSP, o sistema de coleta é precário, não atingindo todas as regiões e não é feito de maneira seletiva, o que facilitaria a

reciclagem. O destino do lixo urgano são os lixões a céu aberto e em alguns casos aterros sanitários. Uma pequena parcelado lixo orgânico é transformada em adubo, em usinas de compostagem como a da vila Leopoldina.

08.

22 FUVEST 2a FASE

A maior ou menor piscosidade dos mares depende de alguns fatores, tais como: a trajetória das correntes marítimas, a distânciada costa e a profundidade e temperatura dos mares.

a) Cite três países em que a pesca é significativa do ponto de vista econômico.b) Explique a relação entre a corrente marítima do Golfo e a pesca na Europa setentrional.c) Compare o Japão e o Brasil no que se refere à atividade pesqueira.

Resolução:

a) Noruega − Peru − Islândia.Vale lembrar que os maiores pescadores do mundo são: Japão - China - Canadá, porém nestes países a pesca não representaparcela substancial da economia.

b) A deriva norte-atlântica, ou corrente do Golfo, leva águas aquecidas até acima do Círculo Polar Ártico: os cardumes, emespecial de bacalhau, retiram seu alimento do planctum contido nessas águas.

c) No Japão a pesca é uma atividade industrial, com frotas pesqueiras que, acompanhadas por navios-fábrica, percorrem osmares. Nessa atividade, utilizam moderna tecnologia de detecção dos cardumes.No Brasil a pesca é artezanal, realizada sem o uso de moderna tecnologia e em embarcações precárias.

09. A designação do termo ‘tropical’ abrange grande diversidade de tipos climáticos, conforme se observa no mapa abaixo.

a) Identifique as áreas A e B quanto à sua localização geográfica e seus respectivos tipos climáticos, utilizando a legendaparcial do mapa.

b) Compare A e B quanto à amplitude térmica diária e o regime de chuvas.

Resolução:

a) A − Continente Asiático − Península Arábica − clima áridoB − Continente Africano − região das Savanas − clima subúmido

b) A amplitude térmica diária nas regiões áridas é muito elevada, enquanto que nas chamadas zonas tropicais, como a dassavanas, é regular, com índices bem menores que os das zonas áridas. O regime de chuvas nas zonas áridas é baixo eirregular: na área A, as chuvas concentram-se no verão, entre janeiro e fevereiro. Na zona B, as chuvas acontecem no verãode acordo com os hemisférios.

Tipos de clima tropicalsuperúmido (> 2500 mm)úmido (2500-1500 mm)subúmido (1500-750 mm)semi-árido (750-250 mm)árido (250-100 mm)hiperárido (< 100 mm)

60°

0°

Trop. Capricórnio

Equador

Trop. Câncer

18°C

18°C

18°C 18°C

18°C

0°

120°60°0°

A

B

0 4660km

Fonte: Conti, 1998.

??????

232a FASE FUVEST

10. O SIVAM, Sistema de Vigilância da Amazônia, tem sido alvo de críticas por parte da sociedade civil brasileira, desde suas fasesde licitação e projeto.

a) Descreva esse sistema quanto aos objetivos e recursos técnicos envolvidos.b) Cite e comente duas das principais críticas que lhe têm sido atribuídas.

Resolução:

a) O SIVAM tem por objetivo realizar uma vigilância aérea eficaz da região amazônica, coibindo o narcotráfico e o contrabando.Os recursos que serão utilizados consistem em aparelhos de radar fixos e móveis, para rastrear os aviões na região. Parainterceptá-los, serão construídas várias bases militares, de onde decolarão os interceptores.

b) As maiores críticas ligam-se: à lisura da concorrência, vencida pela Reaytion (EUA) e à utilização de componentes esoftwares importados, que nos deixa na dependência dos interesses norte-americanos.

BIOLOGIA

01. O esquema a seguir representa um corte de célula acinosa do pâncreas, observado ao microscópio eletrônico de transmissão.

a) Identifique as estruturas apontadas pelas setas A, B e C, eindique suas respectivas funções no metabolismo celular.

b) Por meio da ordenação das letras indicadoras das estruturascelulares, mostre o caminho percorrido pelas enzimascomponentes do suco pancreático desde seu local desíntese até sua secreção pela célula acinosa.

Resolução:

a) Estrutura A : Retículo Endoplasmático RugosoFunção: Síntese de proteínas de exportação.

Estrutura B : MitocôndriasFunção: Liberação de energia, ou seja, respiração celular.

Estrutura C : Complexo de GolgiFunção: Secreção celular.

b) O caminho será: A → C → DAs enzimas são proteínas produzidas, nesse caso, pelo R E R, encaminhadas e concentradas no aparelho de Golgi que aslibera para o meio através dos grânulos de secreção (D).

02. Em certa linhagem celular, o intervalo de tempo entre o fim de uma mitose e o fim da mitose seguinte é de 24 horas. Uma céluladessa linhagem gasta cerca de 12 horas, desde o início do processo de duplicação dos cromossomos até o início da prófase. Dofim da fase de duplicação dos cromossomos até o fim da telófase, a célula gasta 3 horas e, do início da prófase até o fim datelófase, ela gasta 1 hora. Com base nessas informações, determine a duração de cada uma das etapas do ciclo celular (G1, S, G2e mitose) dessas células.

Resolução:

Basta fazer as contas:

∆t G1 : 24 – 13 = 11 hs

∆t S : 13 – 3 = 10 hs

∆t G2 : 3 – 1 = 2 hs

∆t E! : 1 h (dado no enunciado)

24 hs

12 hs

3 hs

1 h

E !G2SG1

Luz do ácino

A B

F

EC

D

24 FUVEST 2a FASE

03. Em vegetais, as taxas de fotossíntese e de respiração podem ser calculadas a partir da quantidade de gás oxigênio produzido ouconsumido num determinado intervalo de tempo.

O gráfico ao lado mostra as taxas de respiração e de fotossíntesede uma planta aquática, quando se varia a intensidade luminosa.

a) Em que intensidade luminosa o volume de gás oxigênioproduzido na fotossíntese é igual ao volume desse gásconsumido na respiração?

b) Em que intervalo de intensidade luminosa a planta estágastando suas reservas?

c) Se a planta for mantida em intensidade luminosa r , ela podecrescer? Justifique.

Resolução:

a) No ponto de compensação fótico que é a intensidade de luz em que as taxas de fotossíntese e respiração se igualam. Nográfico é o ponto n.

b) A planta gasta suas reservas enquanto a intensidade de luz estiver abaixo do P.C.F.. No gráfico, entre os pontos l e n.c) Sim. O crescimento requer um excesso de nutrientes orgânicos, ou seja, que a taxa de fotossíntese seja maior que a de

respiração. Isso significa que o crescimento será possível quando a planta estiver acima do P.C.F. (ponto n).

04. Ana e Maria são gêmeas idênticas. Maria, aos 10 anos, teve seus dois ovários removidos cirurgicamente e nunca se submeteua tratamento com hormônios. Atualmente, as gêmeas têm 25 anos de idade e apresentam diferenças físicas e fisiológicasdecorrentes da remoção das gônadas.

a) Cite duas dessas diferenças.b) Se Maria tivesse sido operada aos 18 anos, as diferenças entre ela e Ana seriam as mesmas que apresentam atualmente?

Justifique.

Resolução:

a) Maria se tornará uma mulher estéril, pois os ovários têm função de armazenar e liberar ciclicamente os óvulos para afecundação. Maria terá caracteres sexuais imaturos, pois os ovários produzem os hormônios estrógeno e progesterona, queestimulam o desenvolvimento de tais caracteres durante a adolescência. Exemplo: desenvolvimento das mamas, maturaçãodo útero etc.

b) Não. Aos 18 anos, Maria já teria passado pela adolescência e mostraria maturidade sexual. A extração dos ovários após essaidade provocaria esterilidade, porém vários caracteres sexuais já teriam sido produzidos, como, por exemplo, as mamas quejá teriam se desenvolvido.

05. Em cobaias, a cor preta é condicionada pelo alelo dominante D e a cor marrom, pelo alelo recessivo d. Em um outro cromossomo,localiza-se o gene responsável pelo padrão da coloração: o alelo dominante M determina padrão uniforme (uma única cor) e oalelo recessivo m, o padrão malhado (preto/branco ou marrom/branco). O cruzamento de um macho de cor preta uniforme comuma fêmea de cor marrom uniforme produz uma ninhada de oito filhotes: 3 de cor preta uniforme, 3 de cor marrom uniforme, 1preto e branco e 1 marrom e branco.

a) Quais os genótipos dos pais?b) Se o filho preto e branco for cruzado com uma fêmea cujo genótipo é igual ao da mãe dele, qual a proporção esperada de

descendentes iguais a ele?

Intensidade luminosal m n o p q r s t

taxa

Respiração

Fotossíntese

252a FASE FUVEST

Resolução:

Preta > Marrom Uniforme > Malhado(D) (d) (M) (m)

Preta Uniforme Marrom Uniforme

Dd Mm dd Mm

3 Preto 3 Malhado 1 Preto 1 Malhado

Uniforme Uniforme Malhado Malhado

Dd M— dd M— Dd mm dd mm

a) O genótipo dos pais é: : Dd Mm e : dd Mm

b) Filho x (igual à mãe)

Dd mm dd Mm

P (Dd mm) = ?

gametas gametas

1/2 D m d M 1/21/2 d m d m 1/2

Prole: Dd Mm, Dd mm, dd Mm, dd mm1/4 1/4 1/4 1/4

A proporção esperada de descendentes iguais a ele é 1/4, ou seja, a cada 4 filhotes, 1 deverá ser igual ao pai.

06. É comum o cruzamento entre jumento e égua para se obter o híbrido conhecido como burro. Este, apesar de seu vigor físico, éestéril.

a) Sabendo-se que o número diplóide de cromossomos do jumento é 62 e o da égua 64, quantos cromossomos devem estarpresentes em cada célula somática do burro?

b) Com base no conceito biológico de espécie, o jumento e a égua pertencem à mesma espécie? Por quê?

Resolução:

a) Jumento x Égua

Zn = 62 Zn = 64↓ ↓gametas gametasn = 31 n = 32

BurroZn = 63

As células somáticas do burro terão 63 cromossomos.

b) Não. Indivíduos da mesma espécie são, geralmente,possuidores do mesmo cariótipo (característicascromossômicas, quanto ao número, tamanho e forma).Além disso, podem intercruzar em condições naturaisproduzindo descendência fértil. Jumento e égua nãoobedecem a nenhum dos dois critérios.

26 FUVEST 2a FASE

07. O desenvolvimento da Genética, a partir daredescoberta das leis de Mendel, em 1900, permitiua reinterpretação da teoria da evolução de Darwin.Assim, na década de 1940, formulou-se a teoriasintética da evolução. Interprete o diagrama ao lado,de acordo com essa teoria.

a) Que fator evolutivo está representado pelaletra A?

b) Que mecanismos produzem recombinaçãogênica?

c) Que fator evolutivo está representado pelaletra B?

Resolução:

a) A letra A representa as mutações, importante fator gerador de variabilidade gênica.b) A segregação independente (aleatória) de cromossomos homólogos durante a meiose e a permutação de pedaços equivalentes

entre os pares de homólogos (crossing-over) que também ocorre durante a meiose.c) A letra B representa os fatores que geram seleção natural. São exemplos desses fatores: tipo de solo, disponibilidade de

água, temperatura, predação, competição etc.

08. Preencha a tabela abaixo, assinalando as características de cada organismo indicado na primeira coluna:

a) Usando todas e tão somente as características mencionadas na tabela, escolha dois dos organismos citados que podem serincluídos num mesmo grupo.

b) Cite uma característica não mencionada na tabela que diferencie as categorias taxonômicas às quais pertencem os organismosque você agrupou no item a.

Resolução:

VARIABILIDADE

ADAPTAÇÃO

BA

gera atuando sobre ...

... promovegera

Recombinaçãogênica

Organismo Tipo de célula Número de células Nutrição

procarionte eucarionte unicelular pluricelular autótrofo heterótrofo

Bactéria

Paramécio

Anêmona

Cogumelo

Briófita

Organismo Tipo de célula Número de células Nutrição

procarionte eucarionte unicelular pluricelular autótrofo heterótrofo

Bactéria sim não sim não sim sim

Paramécio não sim sim não não sim

Anêmona não sim não sim não sim

Cogumelo não sim não sim não sim

Briófita não sim não sim sim não

272a FASE FUVEST

a) As anêmonas e cogumelos apresentam completa semelhança quanto às características levantadas na tabela.b) Os cogumelos são partes do corpo de fungos. Estes apresentam fibras (hifas) que constituem seus corpos (micélio). As hifas

produzem enzimas digestivas que eliminam para o substrato. Posteriormente absorvem o produto da digestão.As anêmonas são celenterados que apresentam uma cavidade no corpo especializada em digestão, a cavidade digestiva paraa qual o alimento é trazido através da boca e no interior da qual se processa a digestão inicial.Essas e outras diferenças os colocam em reinos diferentes: reino Fungi (cogumelos) e reino dos Animais (anêmonas).

09. A conquista do meio terrestre, pelas plantas, foi possível graças a um conjunto de adaptações.

a) Cite duas adaptações dos vegetais terrestres relacionadas à economia de água.b) Que estruturas vegetais permitem a dispersão das pteridófitas e das gimnospermas, independentemente do meio aquático?

Resolução:

a) Desenvolvimento de tecidos e substâncias impermeabilizantes, tais como súber e epiderme (tecidos) suberina e lignina(tecidos).Desenvolvimento dos estômatos, que controlam a transpiração nas folhas.

b) As pteridófitas se dispersam sem água durante a fase assexuada de seu ciclo através de esporos.As gimnospermas sofrem dispersão na fase sexuada através de sementes que abrigam embriões em seu interior.Ambos os grupos podem se dispersar assexuadamente através da regeneração de fragmentos de seus corpos.

10. Em determinada região, as populações de capim, preás e cobras constituem uma cadeia alimentar. Medidas das variações notamanho das três populações, durante certo intervalo de tempo, permitiram a construção dos seguintes gráficos:

Elabore uma hipótese plausível para explicar o que aconteceu, nessa região, no intervalo de tempo A – F, identificando aspopulações representadas, respectivamente, pelos gráficos I, II e III.

Resolução:

Durante o intervalo de tempo considerado A − F ocorreu um desequilíbrio ecológico diminuindo as populações de preás(presas) e de cobras (predadores), o que acarretou um aumento populacional de capim (produtores). Um fator que poderia estarcausando essa redução de consumidores primários e secundários é a caça predatória e alteração de habitat.

Gráfico III

Núm

ero

de i

ndiv

íduo

s

TempoA FCB ED

Gráfico I

Núm

ero

de i

ndiv

íduo

s

TempoA FCB ED

Gráfico II

Núm

ero

de i

ndiv

íduo

s

TempoA FCB ED

28 FUVEST 2a FASE

FÍSICA

Quando necessário, adote para a aceleração da gravidade o valor g=10m/s2; para a densidade da água, o valor 1.000 kg/m3 e parao calor específico da água, o valor de 1,0 cal/gºC.

01. O gráfico ao lado descreve o deslocamento vertical y, para baixo, de um surfista

aéreo de massa igual a 75 kg, em função do tempo t. A origem y = 0, em

t = 0, é tomada na altura do salto. Nesse movimento, a força R de resistência doar é proporcional ao quadrado da velocidade v do surfista (R = kv2, onde k é

uma constante que depende principalmente da densidade do ar e da geometria do

surfista). A velocidade inicial do surfista é nula; cresce com o tempo, poraproximadamente 10s, e tende para uma velocidade constante denominada

velocidade limite (vL). Determine:

a) O valor da velocidade limite vL.b) O valor da constante k no SI.

c) A aceleração do surfista quando sua velocidade é a metade da velocidade limite.

Resolução:

As forças que atuam sobre o surfistasão o seu peso e a resistência do ar.

a) A partir do instante t = 10 s quando atinge a velocidade limite, ele passa a mover-se em movimento uniforme; portanto, entre

10 s e 14 s, temos: VL = ∆∆St =

S S14 1014 10

–– =

525 32514 10

–– ⇒ VL = 50 m/s

b) Sendo o movimento uniforme após t = 10 s, temos: P – Rar = 0 ⇒ P = Rar ⇒ m . g = k (VL)2

75 . 10 = k . 502 ⇒ k = 0,30 kg/m

c) P – Rar = m . a ⇒ m . g – k VL2

2FHG

IKJ

= m . a ⇒ 75 . 10 – 0,3 . 252 = 75 a ⇒ 75 a = 562,5 ⇒ a = 7,5 m/s2

02. Sobre a parte horizontal da superfície representada na figura, encontra-se parado um corpo B de massa M, no qual está presauma mola ideal de comprimento natural L0 e constante elástica k. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico, entre o corpoB e o plano, são iguais e valem µ. Um outro corpo A, também de massa M, é abandonado na parte inclinada. O atrito entre ocorpo A e a superfície é desprezível. Determine:

a) A máxima altura h0, na qual o corpo A pode ser abandonado, para que, após colidir com o corpo B, retorne até a alturaoriginal h0.

b) O valor da deformação X da mola, durante a colisão, no instante em que os corpos A e B têm a mesma velocidade, nasituação em que o corpo A é abandonado de uma altura H > h0.(Despreze o trabalho realizado pelo atrito durante a colisão).

y (m)

500

400

300

200

100

0 2 4 6 8 10 12 14

t (s)

g

h 0

A

BL 0

Rar

P

292a FASE FUVEST

Resolução:

a) Para que o bloco A retorne até a altura original h0, ele deve conservar sua energia mecânica durante acolisão; portanto, o bloco B não deve se movimentar, e a força elástica aplicada pela mola não deve superara força de atrito estático máximo:

Fel ≤ Fatmáx ⇒ kx ≤ µMg ⇒ x ≤ µMg

k

Logo: xmáx = µMg

k1

Ao colidir com a mola, no instante em que sua velocidade se anula, temos uma transferência total de energia mecânica:

12

. k (xmáx)2 = M . g . h0 ⇒ 1

2 . k . µ

2 2 2

2. .M g

k = M . g . h0

Logo: h0 = µ 2 . M . g

2k

b) Abandonado de uma altura H > h0 e aplicando-se o Teorema da Conservação da Energia Mecânica para o corpo A:

M . g . H = 12

MVa2 ⇒ Va = 2gH

Seja V’ a velocidade dos corpos A e B no instante em que eles têm a mesma velocidade. Aplicando-se o Princípio daConservação da Quantidade de Movimento, temos:

MVa = MV’ + MV’ ⇒ V’ = Va2

Aplicando-se, agora, o Princípio da Conservação da Energia Mecânica para o sistema mola/blocos:

12 kx2 + MV MV MVa

' ' .2 2

22 2

12

+ = ⇒ 12 kx2 + MV’ 2 =

MVa2

2 ⇒

⇒ 12

kx2 + M . Va

2

4 =

MVa2

2 ⇒ 1

2 kx2 =

MVa2

4 ⇒ 1

2 kx2 =

M gH24

⇒ xMgH

k=

03. Na figura 1 estão representados um tubo vertical, com a extremidadesuperior aberta, e dois cilindros maciços Q e R. A altura do tuboé H = 6,0 m e a área de sua secção transversal interna éS = 0,010 m2. Os cilindros Q e R têm massa M = 50kg e alturah = 0,5 m, cada um. Eles se encaixam perfeitamente no tubo, podendonele escorregar sem atrito, mantendo uma vedação perfeita.Inicialmente, o cilindro Q é inserido no tubo. Após ele ter atingidoa posição de equilíbrio y1, indicada na figura 2, o cilindro R éinserido no tubo. Os dois cilindros se deslocam então para asposições de equilíbrio indicadas na figura 3. A parede do tubo étão boa condutora de calor que durante todo o processo atemperatura dentro do tubo pode ser considerada constante eigual à temperatura ambiente T0. Sendo a pressão atmosféricaP0 = 105 Pa (1 Pa = 1N/m2), nas condições do experimento,determine:

a) A altura de equilíbrio inicial y1 do cilindro Q.b) A pressão P2 do gás aprisionado pelo cilindro Q e a altura de equilíbrio final y2 do cilindro Q, na situação da figura 3.c) A distância y3 entre os dois cilindros, na situação da figura 3.

R

P3y3

y2P2

Qy1P1

Q

H =

6mg = 10 m/s2

Q R

T0

P0

0,5 m

figura 1 figura 2 figura 3

30 FUVEST 2a FASE

Resolução:

a) Comparando-se as situações do ar dentro do tubo nas figuras 1 e 2:

P0 . V0 = P1 . V1 ⇒ 106 . S . 6 = P1 . S . y1 ⇒ P1 = 6 105

1

.y 1

Mas, a pressão sobre o ar na figura 2 é dada por:

P1 = P0 + PQ ⇒ P1 = 105 + MgS ⇒ P1 = 105 +

50 100 010

., ⇒ P1 = 1,5 x 105 Pa 2

1 = 2 ⇒ 6 105

1

.y = 1,5 x 105 ⇒ y1 = 4 m

b) Na figura 2 temos: P P P

P P PR

Q

3 0

2 3

= +

= +RS|T|

⇒ P2 = PQ + PR + P0

P2 = 50 100 010

50 100 010

.,

.,

+ + 105 ⇒ P2 = 2 x 105 Pa

P0 . V0 = P2 . V2 ⇒ 105 . 6 . 0,010 = 2 x 105 . 0,010 . y2 ⇒ y2 = 3 m

c) P3 = P0 + PR ⇒ P3 = 105 + 50 100 010

., ⇒ P3 = 1,5 x 105 Pa

P0 . V0 = P3 . V3 ⇒ 105 . 0,010 . 6 = 1,5 x 105 . 0,010 . y3 ⇒ y3 = 1,0 m

04. Um pêndulo, constituído de uma pequena esfera, com carga elétricaq = +2,0 x 10–9 C e massa m = 33 x 10–4 kg, ligada a uma

haste eletricamente isolante, de comprimento d = 0, 40 m,

e massa desprezível, é colocado num campo elétricoconstante

rE (|

rE| = 1,5 x 10+6 N/C). Esse campo é criado

por duas p lacas condutoras ver t ica is , car regadas

eletricamente.

O pêndulo é solto na posição em que a haste forma um ângulo

α = 30º com a vertical (ver figura) e, assim, ele passa a oscilar emtorno de uma posição de equilíbrio. São dados sen 30º = 1/2;

sen 45º = 2 /2; sen 60º = 3 /2. Na situação apresentada,

considerando-se desprezíveis os atritos, determine:

a) Os valores dos ângulos α1, que a haste forma com a vertical, na posição de equilíbrio, e α2, que a haste forma com a vertical

na posição de máximo deslocamento angular. Represente esses ângulos na figura dada.b) A energia cinética K, da esfera, quando ela passa pela posição de equilíbrio.

–––––––––

+++++++++

P

dα30°

g

E

312a FASE FUVEST

Resolução:

a) Na posição de equilíbrio:

tg α1 = F

Pel ⇒ tg α1 = q E

m g..

tg α1 = 2 10 1 5 10

3 3 10 10

6

4

x x

x

–9

–

. ,

. ⇒ tg α1 = 1

3

ααααα1 = 30º

A posição de máximo deslocamento angular (α2 em relação à vertical) é simétrica da posição original (B) em que o pênduloé abandonado em relação à posição de equilíbrio (A). Pela figura temos:

θ = α1 + 30º ⇒ θ = 60ºα2 = θ + α1 ⇒ α2 = 90º

b) Pelo Teorema da Energia Cinética:

τRes = EcF – EcI ⇒ τP + τFel + τT = K – 0 ⇒ 0 + Fel . AB + 0 = K ⇒ q . E . AB = K

Como AB = 0,4 m pois o triângulo PAB é equilátero: 2 x 10–9 . 1,5 x 106 . 0,4 = K ⇒ K = 1,2 x 10–3 J

05. Quando água pura é cuidadosamente resfriada, nas condições normais de pressão, pode permanecer no estado líquido atétemperaturas inferiores a 0°C, num estado instável de “superfusão”. Se o sistema é perturbado, por exemplo, por vibração, parteda água se transforma em gelo e o sistema se aquece até se estabilizar em 0°C. O calor latente de fusão da água é L = 80 cal/g.Considerando-se um recipiente termicamente isolado e de capacidade térmica desprezível, contendo um litro de água a – 5,6°C,à pressão normal, determine:

a) A quantidade, em g, de gelo formada, quando o sistema é perturbado e atinge uma situação de equilíbrio a 0°C.b) A temperatura final de equilíbrio do sistema e a quantidade de gelo existente (considerando-se o sistema inicial no estado

de “superfusão” a – 5,6ºC), ao colocar-se, no recipiente, um bloco metálico de capacidade térmica C = 400 cal/ºC, natemperatura de 91°C.

Resolução:

a) Para que 1 L (1000 g) de água se aqueça a 5,6 ºC:Q1 = 1000 . 1 . 5,6 ⇒ Q1 = 5600 cal

Para que x gramas de água congelem: Q2 = x . (– 80)Q1 + Q2 = 0 ⇒ 5600 – 80 x = 0 ⇒ x = 70 g

b) Bloco metálico: Qb = C . ∆tQb = 400 . (tF – 91)

Água: Qa = 1000 . 1 . (tF – (– 5,6))

Qa + Qb = 0400 (tF – 91) + 1000 (tF + 5,6) = 0 ⇒ tF = 22 ºC

––––––––

++++++++

→→→→→T

ααααα 1

P

→→→→→Fel

ααααα 1

––––––––

++++++++

A

ααααα 1

P

30ºθθθθθ

B

32 FUVEST 2a FASE

06. A figura representa, no plano do papel, uma região quadrada em que há um campo magnético uniforme de intensidade B = 9, 0tesla, direção normal à folha e sentido entrando nela. Considere, nesse plano, o circuito com resistência total de 2,0 Ω, formadopor duas barras condutoras e paralelas MN e PQ e fios de ligação. A barra PQ é fixa e a MN se move com velocidade constantev = 5,0 m/s. No instante t = 0s a barra MN se encontra em x = 0m. Supondo que ela passe por cima da barra PQ (sem nelaencostar) e que os fios não se embaralhem,

a) determine o valor ε, em volt, da força eletromotriz induzida no circuito quandoMN está em x = 1,0 m.

b) determine o valor F da força que age sobre a barra MN quando ela está em

x = 1,0 m, devida à interação com o campo rB.

c) represente num gráfico o valor da força F aplicada à barra MN, devida à

interação com o campo rB, em função da posição x, no intervalo 0 < x < 3, 0 m,

indicando com clareza as escalas utilizadas.

Resolução:

a) ε = B . V . l ⇒ ε = 9 . 5 . 2 ⇒ ε = 90 V

b) FM = B . i . l sendo: i = εR ⇒ FM =

BR

. .ε l ⇒ FM =

9 90 22

. . ⇒ FM = 810 N

c) Como →FM é sempre perpendicular a

→B, significa que

→FM

permanece constante no intervalo 0,5 < x < 2,5 m e nula nos intervalos

0 < x < 0,5 e 2,5 < x < 3,0 m:

07. No circuito da figura, o componente D, ligado entre os pontos A e B, é um diodo.Esse dispositivo se comporta, idealmente, como uma chave controlada pela diferençade potencial entre seus terminais. Sejam VA e VB as tensões dos pontos A e B,respectivamente.

Se VB < VA, o diodo se comporta como uma chave aberta, não deixando fluir nenhumacorrente através dele, e se VB ≥ VA, o diodo se comporta como uma chave fechada,de resistência tão pequena que pode ser desprezada, ligando o ponto B ao ponto A.

O resistor R tem uma resistência variável de 0 a 2Ω. Nesse circuito, determine o valor da:

a) Corrente i através do resistor R, quando a sua resistência é 2Ω.b) Corrente i0 através do resistor R, quando a sua resistência é zero.c) Resistência R para a qual o diodo passa do estado de condução para o de não-condução e vice-versa.

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

v

v

B

Q

M

N

P

2 m

x (m)

0 1,0 2,0 3,0

810

0 0,5 2,5 3,0X (m)

FM(N)

Ri

1 Ω2 ΩD

B8V

20V

A

332a FASE FUVEST

Resolução:

a)

Se VB < VA ⇒ chave aberta ⇒ ramo AB não funciona, então: – 20 + 2 i + 1 i + 2 i = 0 ⇒ i = 4 A

Se VB > VA ⇒ chave fechada ⇒ ramo AB funciona, então:

• na malha externa: – 20 + 2 i1 + 1i + 2 i = 0 ⇒ 3 i + 2 i1 = 20 1

• na malha menor direira: – 8 + 1 i + 2 i = 0 ⇒ 3 i = 8 ⇒ i = 83 A

em 1 : 3 . 83 + 2 i1 = 20 ⇒ i1 = 6 A

no nó A: i1 + i2 = 1 ⇒ 6 + 12 = 83 ⇒ i2 = –10

3A

o que contraria a hipótese VB > VA, portanto: i = 4A

b) Se: VB < VA ⇒ chave aberta ⇒ ramo AB não funciona, então: – 20 + 2 . i0 + 1 . i0 + 0 . i0 = 0 ⇒ i0 = 203

A

No entanto, estabelecendo-se aleatoriamente Vc = 0:

V V

V V

V V R i

D

B

A D

=

==

RS|

T|

20

8

0– .

VA = 20 – 2 . 203

⇒ VA = 203 N

ou seja: VB > VA, o que contraria a hipótese VB < VA

Se: VB > VA ⇒ chave fechada ⇒ ramo AB funciona, então:

• na malha externa: – 20 + 20 i1 + i0 = 0 1

• na malha menor direira: – 8 + 1 . i0 = 0 ⇒ i0 = 8 A

Substituir em 1 : – 20 + 2 . i1 + 8 = 0 ⇒ i1 = 6 A

c) • na malha menor direita: 8 + 1 . 6 + R . 6 = 0 ⇒ R = 13 ΩΩΩΩΩ

i 1

20V

i 2

2 ΩΩΩΩΩ

8V B

AD E

i

1 ΩΩΩΩΩ

2 ΩΩΩΩΩ

C C C

34 FUVEST 2a FASE

08. Um tubo em forma de U, graduado em centímetros, de pequeno diâmetro, secção constante, aberto nas extremidades, contémdois líquidos I e II, incompressíveis, em equilíbrio, e que não se misturam. A densidade do líquido I é ρI = 1.800 kg/m3 e asalturas hI = 20 cm e hII = 60 cm, dos respectivos líquidos, estão representadas na figura. A pressão atmosférica local valeP0 = 105 N/m2.

a) Determine o valor da densidade ρII do líquido II.b) Faça um gráfico quantitativo da pressão P nos líquidos, em função da posição ao longo do tubo, utilizando os eixos

desenhados acima. Considere zero (0) o ponto médio da base do tubo; considere valores positivos as marcas no tubo à

direita do zero e negativos, à esquerda.c) Faça um gráfico quantitativo da pressão P’ nos líquidos, em função da posição ao longo do tubo, na situação em que, através

de um êmbolo, empurra-se o líquido II até que os níveis dos líquidos nas colunas se igualem, ficando novamente em

equilíbrio. Utilize os mesmos eixos do item b.

Resolução:

a) As pressões exercidas pelos líquidos I e II no fundo do tubo são iguais (Princípio de Pascal):ρI = ρII

P0 + ρI . g . hI = P0 + ρII . g . hII1800 . g . 20 = ρII . g . 60 ⇒ ρρρρρII = 600 kg/m3

b) Sabendo que a pressão varia linearmente em função da profundidade hI temos:

posição (cm) pressão (N/m2)

– 80 a – 40 105

– 20 a 0 ρρρρρI = 1,036 x 105

80 105

80

60

40

hII

20–20 0

–80

–60

–40

h I

P (105 N/m2)

1,07

1,06

1,05

1,04

1,03

1,02

1,01

–80 –20–40–60 0 20 40 60 80 cm

P (105 N/m2)

1,07

1,06

1,05

1,04

1,02

1,01

–80 –20–40–60 0 20 40 60 80cm

1,036

1,03

1,00

352a FASE FUVEST

c) Nestas condições, o líquido I subirá da posição – 40 cm para a posição – 60 cm, estando sujeito à pressão:

PI’ = P0 + ρI . g . hI’ ⇒ PI’ = 105 + 1800 . 10 . 0,4

PI’ = 1,072 x 105 Pa

por outro lado, a pressão exercida pelo êmbolo é dada por: Pe = PI’ – PII . g . hII’

Pe = 1,108 . 105 – 600 . 10 . 0,4

Pe = 1,048 x 105 Pa

09. A foto foi publicada recentemente na imprensa, com a legenda: “REFLEXOS”: Yoko Ono “ENTRA” em uma de suas obras.

Um estudante, procurando entender como essa foto foi obtida, fez o esquemamostrado na folha de resposta, no qual representou Yoko Ono, vista de cima,sobre um plano horizontal e identificada como o objeto O. A letra d representaseu lado direito e a letra e seu lado esquerdo. A câmara fotográfica foirepresentada por uma lente L, delgada e convergente, localizada no pontomédio entre O e o filme fotográfico. Ela focaliza as 5 imagens (I0, I1, I2, I1’e I2’, todas de mesmo tamanho) de O sobre o filme. Assim, no esquemaapresentado na folha de resposta:

a) Represente um ou mais espelhos planos que possibilitem obter a imagem I1. Identifique cada espelho com a letra E.b) Represente um ou mais espelhos planos que possibilitem obter a imagem I1’. Identifique cada espelho com a letra E’.

c) Trace, com linhas cheias, as trajetórias de 3 raios, partindo do extremo direito (d) do objeto O e terminando nos

correspondentes extremos das três imagens I0, I1 e I2. Os prolongamentos dos raios, usados como auxiliares na construção,devem ser tracejados.

P (105 N/m2)

1,06

1,05

1,04

1,02

1,01

–80 –20–40–60 0 20 40 60 80(cm)

1,048

1,03

1,07

1,072

1,00

36 FUVEST 2a FASE

09.

10. Um veículo para competição de aceleração (drag racing) tem massa

M = 1100 kg, motor de potência máxima P = 2,64 x 106 W (~3.500cavalos) e possui um aerofólio que lhe imprime uma força aerodinâmica

vertical para baixo, Fa, desprezível em baixas velocidades. Tanto em

altas quanto em baixas velocidades, a força vertical que o veículoaplica à pista horizontal está praticamente concentrada nas rodas

motoras traseiras, de 0,40 m de raio. Os coeficientes de atrito estático

e dinâmico, entre os pneus e a pista, são iguais e valem µ = 0,50. Determine:

a) A máxima aceleração do veículo quando sua velocidade é de 120 m/s, (432 km/h), supondo que não haja escorregamento

entre as rodas traseiras e a pista. Despreze a força horizontal de resistência do ar.

b) O mínimo valor da força vertical Fa, aplicada ao veículo pelo aerofólio, nas condições da questão anterior.c) A potência desenvolvida pelo motor no momento da largada, quando: a velocidade angular das rodas traseiras é

ω = 600 rad/s, a velocidade do veículo é desprezível e as rodas estão escorregando (derrapando) sobre a pista.

Resolução:

a) 1. Supondo Pmáx ⇒ Pmáx = Fmáx . V

2,64 x 106 = Fmáx . 120 ⇒ Fmáx = 2,2 x 104 N

2. Desprezando a componente horizontal da força do ar, temos:

Fmáx = M . amáx ⇒ 2,2 x 104 = 1,1 x 103 . amáx ⇒ amáx = 20 m/s2

b) F ≤ Fat (a força que acelera o veículo vem do chão através do atrito)

Fmáx = µ (P + Fa) ⇒ 2,2 x 104 = 0,50 (1,1 x 104 + Fa) ⇒ Fa = 3,3 x 104 N

c) rodas derrapando ⇒ atrito dinâmicoFat = µµµµµ . P = 0,5 x 11000 = 5500 N

Velocidade dos pontos da periferia da roda ⇒ V = ω . R ⇒ V = 600 x 0,40 = 240 m/s

Potência desenvolvida pelo motor ⇒ P = Fat . V = 5500 x 240 = 1,32 x 106 ω

I 2’

I 1’

I 0

A’

I 1

I 2

F’

F

L

A O

dE

E’C

372a FASE FUVEST

MATEMÁTICA

01. Ache todas as soluções da equação sen3x cos x – 3 sen x cos3x = 0 no intervalo [0, 2π].

Resolução:

Resolvendo a equação no intervalo [0, 2π], temos:

sen3x cos x – 3 sen x cos3x = 0 ⇒ sen x cos x (sen2x – 3 cos2x) = 0 ⇒

sen x = 0 x = 0 ou x =⇒

= ⇒ = =

= ⇒ =

R

S||

T||

ππ πcos

– cos – ( – )

x x ou x

sen x x sen x sen x

02

32

3 0 3 1 02 2 2 2

4 sen2x – 3 = 0 ⇒ sen x = ± 32

⇒ x = π3 ou x =

23π

ou x = 43π

ou x = 53π

S = 0,3

,2

, 23

, , 43

, 32

, 53

π π π π π π π

02. Um jogo eletrônico funciona da seguinte maneira: no início de uma série de partidas, a máquina atribui ao jogador P pontos; emcada partida, o jogador ganha ou perde a metade dos pontos que tem no início da partida.

a) Se uma pessoa jogar uma série de duas partidas nas quais ela ganha uma e perde outra, quantos pontos terá ao final?b) Se uma pessoa jogar uma série de quatro partidas nas quais ela perde duas vezes e ganha duas vezes, quantos pontos terá

ao final?c) Se uma pessoa jogar uma série de sete partidas, qual o menor número de vitórias que ela precisará obter para terminar com

mais que P pontos?

Resolução:

a) • O valor inicial possuído pelo jogador é P pontos.

• Após uma vitória, ganhando metade da quantia disponível, o valor é: P Px

32

32

= pontos.

• Após uma derrota, perdendo metade dos pontos disponíveis, resta a outra metade; o valor final é: 32

12

34

P Px =

pontos.

b) • Em raciocínio idêntico ao do item anterior: o valor inicial é P.

• Após duas vitórias, o valor possuído é: P Px x

32

32

94

= pontos.

• Após as duas derrotas: 94

12

12

916

P Px x = pontos.

c) Vamos indicar o número de vitórias por “V” e o de derrotas por “D” , lembrando que V + D = 7.De acordo com a análise feita no item (a), o número final de pontos é dado por:

Pfinal = P . 12

32

FH

IK

FH

IK

D V. > P ⇒ P . 1

232P

V

V. > P ⇒

32 27

V

V V– . > 1 ⇒ 327

V > 1 ⇒ 3V > 27

38 FUVEST 2a FASE

O valor de V pode ser calculado pela tabela abaixo e concluímos que o menor valor aceitável de V é 5.

V 3V 27 3V > 27

0 1 128 Não

1 3 128 Não

2 9 128 Não

3 27 128 Não

4 81 128 Não

5 243 128 Sim

03. Um pirata enterrou um tesouro numa ilha e deixou ummapa com as seguintes indicações: o tesouro estáenterrado num ponto da linha reta entre os doisrochedos; está a mais de 50 m do poço e a menos de 20m do rio (cujo leito é reto).

a) Descreva, usando equações e inequações, asindicações deixadas pelo pirata, utilizando para istoo sistema de coordenadas mostrado na figura.

b) Determine o menor intervalo ao qual pertence acoordenada x do ponto (x, 0) onde o tesouro estáenterrado.

Resolução:

a) Chamando de T (x, y) as coordenadas do tesouro, P (0, y) as coordenadas do poço e (r) a equação da reta suporte do rio,temos:

I. da primeira condição: y = 0 e 0 < x < 120 II. da segunda condição (distância de T até P é maior do que 50). ⇒ x2 + (y – 40)2 > 502

III. da terceira condição (distância de T até (r) é menor do que 20). ⇒ x y– – 20

2 < 20

a equação de (r) é x – y – 20 = 0

O sistema é, portanto:

y = 0

0 < x < 120

x2 + (y – 40)2 > 502

x – y – 20

2 < 20

poço

40m

20m

rochedo 120m

100m

rochedo 2

rio

x

y

392a FASE FUVEST

b) Observando-se que y = 0 e x > 0 para as coordenadas de T, temos para a abscissa x de T as condições:

0 < x < 120x2 > 900 ⇒ x > 30

x – 20

2 < 20 ⇒ x < 20 (1 + 2 )

Fazendo-se a intersecção obtemos: 30 < x < 20 (1 + 2 )

04. A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1, 2) e é perpendiculara r . Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r , respectivamente,

a) determine a equação de s.b) calcule a área do triângulo ABC.

Resolução:

2x + y = 3 (r)

Ponto A ∈ Ox ∴ é da forma (xA, 0)

2x + 0 = 3 ⇒ x = 32

∴ A 32

; 0FH IKP (1, 2) ∈ s

a) equação de s:

mr = – ab = – 2

Temos que r s ⇒ mr . ms = – 1 ⇒ – 2 . ms = – 1 ⇒ ms = 12

⇒

y – y0 = m (x – x0) Para P (1, 2) e ms = 12 temos y – 2 =

12 (x – 1) multiplicando por 2 temos

2y – 4 = (x – 1) ⇒ x – 2y + 3 = 0 (s)

b)B O

B sx∈

∈UVW B (xB; 0)

x – 2 (0) + 3 = 0 ⇒ x = – 3 ∴ B (– 3; 0)

C = r ∩ s 2 3

2 3

x y

x y

+ ==

RST – – (mutiplicando por – 2)

2x + y = 3– 2x + 4y = 6

5y = 9 ⇒ yC = 9/5

RST

P (1; 2)

y

x

A32

; 0FH IK1

2

40 FUVEST 2a FASE

Substituindo em (r):

2x + 95 = 3 ⇒ 2x =

155

95

– ⇒ 2x = 65

xC = 35 ∴ C

35

95

;FH IK

Área = b h.

2

b = xA – xB = 32 – (–3) =

32

62

92

+ =

h = yC = 95

Área = b h.

2 = 92

95

28120

.= ⇒ Área = 81

20

05. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z, w:

2 2

1

1 2 2

1

x my

x y

y m z w

z w

+ =+ =+ + =

=

R

S||

T||

–

–

( – )

–

a) Para que valores de m, o sistema tem uma única solução?b) Para que valores de m, o sistema não tem solução?c) Para m = 2, calcule o valor de 2x + y – z – 2w.

Resolução:

a)

2 2 1

1 2

1 2 2 3)

1 4

x my

x y

y m z w

z w

+ =+ =+ + =

=

R

S||

T||

– ( )

– ( )

( – ) (

– ( )

Escalonando as equações (1) e (2) do sistema temos: E1 – 2 E2

2 2

2 0

1 2 2 3)

1 4

x my

m y

y m z w

z w

+ ==

+ + ==

R

S||

T||

–

( – )

( – ) (

– ( )

Substituindo y = 0 no sistema temos:

2 2

0

1 2 2

1

x

y

m z w

z w

==

+ ==

R

S||

T||

–

( – )

–

⇒ E3 – 2 E4

2 2

0

1 4

1

x

y

m z

z w

==

+ ==

R

S||

T||

–

( )

–

Então o sistema será possível e determinado para m ≠ 2 e m ≠ –1.

B (−−−−−3, 0)

y

xA 3

2, 0

FH

IK

C3

5,

9

5

FH

IK

para m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ⇔ y = 0

para m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ –1

412a FASE FUVEST

b) Observe que para m = – 1 o sistema será impossível, de acordo com a 3a equação.

c) Para m = 2, temos:

2 2 2

1

2 2

1

x y

x y

y z w

z w

+ =+ =+ + =

=

R

S||

T||

–

–

–

x y

y z w

z w

+ =+ + =

=

RS|

T|

– ( )

( )

– (

1 1

2 2 2

1 3)

Multiplicando a equação (1) por 2 e subtraindo da (2) temos: 2x + 2y – y – z – 2w = – 2 – 2 ⇒ 2x + y – z – 2w = – 4

06. Considere a função f (x) = 2 loga (x2 + 1) – 4 log a x, com a > 1, definida para x > 0.

a) Determine g (x) tal que f (x) = log a g (x), onde g é um quociente de dois polinômios.

b) Calcule o valor de f (x) para x = 1

12a –.

Resolução:

f (x) = 2 loga (x2 + 1) – 4 loga x a > 1 x > 0

a) f (x) = loga g (x)

g (x) = ?

f (x) = 2 loga (x2 + 1) – 4 loga x

f (x) = loga (x2 + 1)2 – loga x

4

f (x) = loga x

x

2 2

4

1+d i

f (x) = loga g (x)

loga x

x

2 2

4

1+d i = loga g (x)

Comparando-se: g (x) = x 1

x

2 2

4

+d i

b) Para x = 1

12a –temos:

f (x) = loga g (x) = logax

x

2 2

4

1+d i

42 FUVEST 2a FASE

Substituindo x temos: f 1

12a –

F

HGG

I

KJJ = loga

1

11

1

1

2

2 2

2

4

a

a

–

–

F

HGG

I

KJJ +

L

N

MMM

O

Q

PPP

F

HGG

I

KJJ

Como a > 1 ⇒ a2 – 1 > 0 ∴ a22

1–FH IK = a2 – 1

Logo: f 1

12a –

F

HGG

I

KJJ = loga

11

1

1

1

2

2

2 2

a

a

–

–

+FHG

IKJ

d i

= loga 1

11

2

2

a –+

FHG

IKJ . (a2 – 1)2 = loga

11

1 12

22

aa

–( – )+

FHG

IKJ

LNMM

OQPP

=

= 2 loga (1 + a2 – 1) = 2 loga a2 = 4 loga a = 4 ∴ f 1

a – 12

F

HGG

I

KJJ = 4

07. As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s.Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontosB e C, respectivamente. O ângulo agudo entre o segmento AB e a reta r mede α α α α α.

a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo α.b) Para que valor de ααααα a área do triângulo ABC é mínima?

Resolução:

a) AABC = AB . AC

2 1

∆ ABD: sen α = 1

AB ⇒ AB = 1

senα 2

∆ ACE: cos β = 2

AC ⇒ AC = 2

cosβ

Mas: 90º – α + 90º + β = 180º ⇒ β = α

então: AC = 2

cosα 3

Substituindo 2 e 3 em 1 temos:

AABC = 12

1 2. .cossenα α ⇒ =A 2

sen 2ABC α

b) AABC será mínima quando sen 2α for máximo; como a função seno tem valor máximo 1, temos:

sen 2α = 1 ⇒ 2α = 90º ⇒ ααααα = 45º

r

s

D

EC

Bααααα

βββββ

A

1

2

90º–x

B

A

C

ααααα r

s

432a FASE FUVEST

08. Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8 m e base quadradade lado 6 m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8 m e base quadrada comlado 6 m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, apartir da base (h ≤ 8). Determine o volume da água para um valor arbitrário de h, 0 ≤ h ≤ 8.

Resolução:

Chamando-se V o volume da água, temos V = V1 – V2, onde V1 é o volume deum paralelepípedo reto-retângulo e V2 é o volume de um tronco de pirâmide.

• Cálculo de V1, considerando-se uma altura h de águaV1 = 6 . 6 . h = 36 h

• Cálculo de V2:

Observando-se lateralmente, temos a figura:

O volume V2 do tronco é a diferença entre o volume V’ da pirâmide com arestada base 6 e altura 8 e o volume V’’ da pirâmide com aresta da base x e altura 8 – h.

V’ = 13 . 62 . 8 = 96 V’’ =

13 x2 (8 – h)

Exprimindo-se x em função de h, temos:

xh8

68–

= ⇒ x = 34

(8 – h)

∴ V’’ = 3

16 (8 – h)3

Logo, temos V2 = V’ – V’’ = 96 – 3

16 (8 – h)3

Temos, portanto, V = V1 – V2 = 36 h – 96 + 3

16 (8 – h)3

V (h) = 36 h – 96 + 316 (8 – h)3, 0 ≤ h ≤ 8

09. Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e razão q2, onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn)uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.b) Existe algum valor de n para o qual an = bn?c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm?

Resolução:

P.G. (an) a 1

razão: q (q 1)

1

2

=

>

RS|T|

P.G. (bn) razão: q

8

66

h

8 – h

8x

6

h

44 FUVEST 2a FASE

a) termo geral:

an = a1 . qn – 1

a11 = 1 . (q2)11 – 1 ⇒ a11 = q20 1

b17 = b1 . q17 – 1 ⇒ b17 = b1 . q16 2

1 = 2 ⇒ q20 = b1 . q16 ⇒ b1 = q4

b) an = bn ⇒ 1 (q2)n – 1 = q4 (q)n –1

q2n – 2 = q4 . qn – 1 ⇒ q2n – 2 = q4 + n – 1

2n – 2 = 4 + n – 1 ⇒ n = 5

c) an = bm ⇒ 1 (q2)n – 1 = q4 . (q)m – 1

q2n – 2 = q4 . qm – 1 ⇒ q2n – 2 = q4 + m – 1

2n – 2 = 4 + m – 1 ⇒ 2n – m = 5 ⇒ n = m 5

2+

Com m e n devem ser inteiros positivos (m, n ∈ Z+* ), concluímos que m deve ser ímpar.

10. a) Construa, com régua e compasso, um trapézio ABCD, onde AB seja

paralelo a CD , conhecendo-se os pontos A, M , N e I , que satisfazem as

seguintes condições: M é o ponto médio do lado AD , N é o ponto médio

de BC e I é o ponto de intersecção do segmento MN com a reta que

passa por B e é paralela a AD .

b) Descreva e justifique a construção feita.

Resolução:

a)

b) – prolonga-se o segmento AM no sentido A → M e transporta-se a medida AM tal que AM = MB, determinando ovértice D.

– por A e D traçam-se as paralelas r e s ao segmento MN .– por I traça-se paralela ao segmento AB, determi-nando-se o vértice B tal que: B = r ∩ t.– liga-se o vértice B ao ponto N, até encontrar a reta s, determinando-se o vértice C.

A

MI

N

A

M I N

B

D Cs

r

t