EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS

ROTEIRO DE CÁLCULO

I - DADOS

Ponte rodoviária. classe 45 (NBR-7188)

Planta, corte e vista longitudinal (Anexo)

Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura

Concreto : fck = 35 MPa

Aço : CA-50

Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3

concreto armado : 25 kN/m3

pavimentação : 24 kN/m3

recapeamento : 2 kN/m2

Viga principal - pré-dimensionamento:

valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971)

tipo de ponte concreto armado concreto protendido

pedestres 15 a 20 20 a 25

rodoviária 10 a 15 15 a 20

ferroviária 8 a 10 10 a 15

II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g)

1.1 - Cálculo da carga permanente g

1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g

1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g

1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g

2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q)

2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal

2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q

2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q

2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q

3- Esforços totais

3.1 - Momentos fletores extremos

3.2 - Esforços cortantes extremos

3.3 - Reações de apoio extremas

4- Dimensionamento das armaduras

4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção

4.2 - Cálculo da armadura de flexão

4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento

4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão

4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento

Corte e Vista longitudinal da ponte

Seção Transversal no apoio e no meio do vão

Vista inferior e Locação da Fundação

6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE

No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos

de cálculo:

Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas

como grelha.

6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE

A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada

viga, inclusive o peso próprio das transversinas.

Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da viga,

porém, sem o momento fletor correspondente.

6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS

Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes.

Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes

As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um

determinado ponto da viga 1 .

Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as

cargas sobre a viga 1, correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse

carregamento obtido sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal.

P P p' p'

1 2

η

1

A LI de R 1 ( reação da viga )

1 1 R P = + p' η

1 R = P . + p' . A η

( parcelas das cargas P e p'

suportadas pela viga 1 )

6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS

PRINCIPAIS

Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas

principais

OBS. Para se obterem os máximos valores de Q1, q1 e q

2 , observando a LI, deve-se colocar o

veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 .

6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS

Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de

influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes (M e V)

Exemplo: Extremos de Mc

Fig.6.4 - Linha de influência do momento fletor na seção C e as posições

do trem-

6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS

São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses

valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis.

O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-

se:

vão dividido em 10 partes

Recomenda-se : 5 seções para vão L entre 5 e 10 m

10 seções para vão L entre 20

e 30 m

Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga

6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO

6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE

6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes

L = 26 m

- Peso próprio de meia seção transversal

Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte

- Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m)

2

1

6

3

4

5 40

40 15

5 15 5 15

40 260 cm 40 80 230 cm cm

12 25

cm 200

10 cm

cm 5

Fig. 6.8 - Desconto nos apoios

- Peso próprio das cortinas

50 30 50 cm

200

10 25 cm

cm

laje já considerada

Fig.6.7 - Seção transversal da transversina

cm

,0 m 5

, 4 0 0 0 , 60

2 ,0 m transversina

viga principal

25 , 0 , 10 0

,0 m 2

, 25 2 25 , 0

0 25 ,

,50 m 0

,65 m 1

, 25 0

0 ,50 m

25 , 0

,50 m 12

5 2 , 0 0 ,25 m

laje já considerada

Ala

cortina Ala

cortina

Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas

- CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais

Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal

- Seções para cálculo dos esforços solicitantes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal 6.4.1.2 -

REAÇÕES DE APOIO

Rg2 = Rg12 = 1707,42 kN

6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg : (convenção: tração embaixo: positivo)

Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes

6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (convenção: horário positivo)

G = 118,17 kN G = 118,17 kN g = 105,95 kN/m

5 ,0 m 20 ,0 m 5 ,0 m

2 ,5 m 2 ,5 m 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 ,5 m 2 ,5 m

- -

+

627

1915

8

1475

2535

3170 3382

Mg [ kN . m ]

Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes

6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS

6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15)

Esforços devido a carga móvel

Coeficiente de Impacto Vertical (CIV)

CIV=1+1,06.(20/(LIV+50))

1. Balanço = 2.5 = 10 m

CIV=1+1,06.(20/(10+50))=1,353

2. Vão Central = 20 m

CIV=1+1,06.(20/(20+50))=1,303

Coeficiente de número de faixas

CNF = 1 – 0,05.(n-2) = 1– 0,05.(2-2) = 1,00

Coeficiente de impacto adicional (somente para elementos < 5 m)

Balanço = 1,353.1,00.1,00 = 1,353 (Versão Antiga da Norma = 1,33)

Vão Central = 1,303.1,00.1,00 = 1,303 (Versão Antiga da Norma = 1,26)

- -

+

118 383

648

1060 848

636 424

212 +

Vg [kN] 0

TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL

Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal

Balanço = 1,35 Vão Central = 1,30

Q1 = 75 . (1,35 + 1,05) .

coef

243,00 KN 234,00 KN

q1 = 5 . (0,97 . 6,4)/2 . coef 20,95 KN/m 20,18 KN/m

Q2 = 5 . (1,42 . 9,4)/2 . coef 45,05 KN/m 43,38 KN/m

6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS

Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis

Rq2,mín =−243,00.(0,10 + 0,175 +0,25) – 20,95.((0,025+0,25)/2).4,5-45,05.((0,025+0,5)/2)= -

152,36KN

Rq2,máx = 243,00.(1,25 +1,175 +1,10) +20,95.((1,025+1,25)/2).4,5+45,05((1,025.20,5)/2)=

1.437,12KN

6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES

Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,35

Seção Mk max Mk min

0 / 14 0 0

1 / 13 0 -915,97

2/12 0 -2816,39

3 / 11 1802,27 -2591,06

4 / 10 3163,37 -2365,74

5 / 9 4110,71 -2140,41

6/8 4711,47 -1915,08

7 4918,45 -1689,76

6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq)

Seção Vk máx Vk min

0 /- 14 0 -243

1 /-13 0 -538,5

2/-12 0 -845,8

2/-12 1055,38 -140,82

3 /- 11 909,08 -145,32

4 / -10 770,44 -158,84

5 /- 9 640,81 -212,39

6/-8 520,19 -305,98

7 408,58 -408,58

6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações)

O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então,

γg = 1,3, para efeitos desfavoráveis

γg = 1,0, para efeitos favoráveis

γq = 1,5, para cargas variáveis

6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md)

Md,máx = γ gMg + γ qMq,máx

Md,mín = γ gMg + γ qMq,mín

Seção Mg Mk max Mk min γg γq Mdmax γg γq Mdmin

0 / 14 0 0 0 1,30 1,00 1,5 0 1,30 1,00 1,5 0

1 / 13 -626,52 0 -915,97 1,30 1,00 1,5 -814,476 1,30 1,00 1,5 -2188,43

2/12 -1925,22 0 -2816,39 1,30 1,00 1,5 -2502,79 1,30 1,00 1,5 -6727,37

3 / 11 -8,13 1802,27 -2591,06 1,30 1,00 1,5 2692,836 1,30 1,00 1,5 -3894,72

4 / 10 1475,17 3163,37 -2365,74 1,30 1,00 1,5 6662,776 1,30 1,00 1,5 -3548,61

5 / 9 2534,67 4110,71 -2140,41 1,30 1,00 1,5 9461,136 1,30 1,00 1,5 -675,945

6/8 3170,37 4711,47 -1915,08 1,30 1,00 1,5 11188,69 1,30 1,00 0 3170,37

7 3382,27 4918,45 -1689,76 1,30 1,00 1,5 11774,63 1,30 1,00 0 3382,27

6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd)

Vd,máx = γ gVg + γ qVq,máx

Vd,mín = γ gVg + γ qVq,mín

Seção Vg Vk máx Vk min γg γq Vdmax γg γq Vdmin

0 /- 14 -118,2 0 -243 1,30 1,00 1,5 -153,66 1,30 1,00 1,5 -518,16

1 /-13 -383,04 0 -538,5 1,30 1,00 1,5 -497,952 1,30 1,00 1,5 -1305,7

2/-12 -647,92 0 -845,8 1,30 1,00 1,5 -842,296 1,30 1,00 1,5 -2111

2/-12 1059,5 1055,38 -140,82 1,30 1,00 1,5 2960,42 1,30 1,00 0 1377,35

3 /- 11 847,6 909,08 -145,32 1,30 1,00 1,5 2465,5 1,30 1,00 0 1101,88

4 / -10 635,7 770,44 -158,84 1,30 1,00 1,5 1982,07 1,30 1,00 0 826,41

5 /- 9 423,8 640,81 -212,39 1,30 1,00 1,5 1512,155 1,30 1,00 0 550,94

6/-8 211,9 520,19 -305,98 1,30 1,00 1,5 1055,755 1,30 1,00 1,5 -247,07

7 0 408,58 -408,58 1,30 1,00 1,5 612,87 1,30 1,00 1,5 -612,87

6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (Rd)

Rd2,máx = Rd12,máx =1,3x1707,42 +1,4x1.437,12= 4.357,33kN

Rd2,mín = Rd12,mín =1,0x1707,42 +1,4(−152,36) = 1.494,12kN

6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes

6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO

Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas

seções são as seguintes:

momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 11774,63kN.m

momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = - 2502,79kNm

cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2960,42kN

a) Seção 7 Md,máx = 11774,63kN.m ; tração embaixo → T

h = 225 cm

h f = 25 cm 10

40 cm

10 cm 10 cm

cm 120 120 cm 60 cm

b 2 620 - 20 = 600 cm =

h f 25 cm = 10 cm

10 cm 10 cm 40 cm

cm 120 60 cm 120 cm

Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante

viga V 1 viga V 2

Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se:

𝑘𝑐 = 𝑏. 𝑑²

𝑀𝑑=

300. (202,5)²

1.177.463,00= 10,44

Fck = 35 MPa → βc = 0,06 → x = 0,06.202,5 = 12,15 < hf = 25 cm

∴ L.N.na laje

b) Seção 2: Md,máx = - 2502,79kNm

tração em cima ∴seção retangular

verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio)

𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 𝑏. 𝑑²

𝑘𝑐=

40. (202,5)²

1,3= 1261730,77 𝐾𝑁𝑐𝑚 = 12.617,31 𝐾𝑁𝑚

Ou seja, não é necessário alargar a base em virtude do momento fletor

c) cortante máxima: Vd,máx = 2960,42kN

𝛼𝑣2 = (1 −35

250) = 0,86

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27.0,86. (3,5

1,4) . 40.202,5 = 4.702,05𝐾𝑁

A dimensão resiste!