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DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia

Exercícios Resolvidos Parte II


1. Um experimento consiste em observar a soma dos números de 2 dados quando eles são jogados.

a)  Descreva o espaço amostral.

S =

1−6( ) 2−6( ) 3−6( ) 4−6( ) 5−6( ) 6−6( )1−5( ) 2−5( ) 3−5( ) 4−5( ) 5−5( ) 6−5( )1− 4( ) 2− 4( ) 3− 4( ) 4− 4( ) 5− 4( ) 6− 4( )1−3( ) 2−3( ) 3−3( ) 4−3( ) 5−3( ) 6−3( )1− 2( ) 2− 2( ) 3− 2( ) 4− 2( ) 5− 2( ) 6− 2( )1−1( ) 2−1( ) 3−1( ) 4−1( ) 5−1( ) 6−1( )

"

#

$$$$$$$$$$

%

&

''''''''''


b)  Assumido todos os resultados equiprováveis, encontre a probabilidade da soma ser 7 e a probabilidade da soma ser maior que 10.

P soma = 7( ) = P 1−6( )+ P 2−5( )+ P 3− 4( )+ P 4−3( )+ P 5− 2( )+ P 6−1( )

= 6× 136

=16

P soma >10( ) = P 5−6( )+ P 6−6( )+ P 6−5( ) = 3× 136 =112


2. Um experimento consiste em observar 6 pulsos consecutivos em um enlace de comunicações. Pulso pode ser positivo, negativo ou ausente. Experimentos individuais que determinam o tipo de pulso são independentes.

i-ésimo pulso: positivo: {xi = +1} negativo: {xi = -1} ausente: {xi = 0}

Assuma que P(xi = +1) = 0,4 e P(xi = -1) = 0,3.

a)  Encontre a probabilidade de todos os pulsos serem positivos.

b)  Encontre a probabilidade dos 3 primeiros serem positivos, os 2 seguintes serem negativos e o último ausente.

P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = +1( ) , x5 = +1( ) , x6 = +1( )!"

#$=

P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = +1( )P x5 = +1( )P x6 = +1( ) = 0,46 = 0,0041

P x1 = +1( ) , x2 = +1( ) , x3 = +1( ) , x4 = −1( ) , x5 = −1( ) , x6 = 0( )"#

$%=

P x1 = +1( )P x2 = +1( )P x3 = +1( )P x4 = −1( )P x5 = −1( )P x6 = 0( ) =

0,43 ×0,32 ×0,3= 0,0017


3. Um submarino atira 3 torpedos contra um porta-aviões. O porta-aviões só será afundado de 2 ou mais torpedos o atingirem. Sabendo que a probabilidade de um torpedo acertar o porta-aviões é de 0,4, qual é a probabilidade de afundar o porta-aviões.

P não acertar nenhum torpedo( ) =3

0

!

"##

$

%&& 0,4( )

01−0,4( )

3= 0,216

P acertar 1 torpedo( ) =3

1

!

"##

$

%&& 0,4( )

11−0,4( )

2= 0,432

P acertar 2 torpedos( ) =3

2

!

"##

$

%&& 0,4( )

21−0,4( )

1= 0,288

P acertar 3 torpedos( ) =3

3

!

"##

$

%&& 0,4( )

31−0,4( )

0= 0,064

P afundar o porta-aviões( ) = P acertar 2 torpedos( )+ P acertar 3 torpedos( ) = 0,352


4. Variável aleatória X: 0 ⇒ P(0) = α

1 ⇒ P(1) = 1 - α

a) Média:

b) Variância:

mX = E X!" #$= 0 ⋅α +1⋅ 1−α( ) =1−α

σ X2 = E X 2!

"#$−mX

2

E X 2!"

#$= 0

2 ⋅α +12 ⋅ 1−α( ) =1−α

σ X2 = 1−α( )− 1−α( )

2= 1−α( )α


5. A PDF de uma variável aleatória X é dada por:

a)  Determine k.

b)  Seja a = -1 e b = 2. Calcule P(|X| ≤ 1/2).

f X x( ) =k a ≤ x ≤ b

0 fora

"#$

%$

f X x( )dx−∞

∞

∫ =1⇒ k dxa

b∫ =1⇒ k = 1

b− a

f X x( ) =13

−1≤ x ≤ 2

0 fora

#

$%

&%

P X ≤1 2( ) = P −12≤ X ≤

12

#

$%

&

'(= f X x( )dx−1 2

1 2∫ =

13dx

−1 2

1 2∫ =

13

x -1 0 2 -1/2 1/2

fX(x)

1/3


6. Assuma que a altura das nuvens é uma variável aleatória gaussiana X com média 1830 m e desvio padrão de 460 m. Qual a probabilidade das nuvens estarem acima de 2750 m?

FX x( ) = P X ≤ x( ) = 12 1+ erfx −mx2σ X

!

"##

$

%&&

'

(

))

*

+

,,

P X > 2750( ) =1− P X ≤ 2750( ) =1− 12 1+ erf2750−1830

2460

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

=12−12erf 2( ) = 12 −

12⋅0,954

= 0,023


7. Encontre a covariância de X e Y para

a)  X e Y independentes.

b)  X e Y relacionados por Y = aX + b.

Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X!" #$E Y!" #$−mXmY =mXmY −mXmY = 0

Cov XY!" #$= E XY!" #$−mXmY = E X aX +b( )!"

#$−mXmY

E XY!" #$= E X aX +b( )!"

#$= E aX

2 +bX!"

#$= aE X 2!

"#$+bE X!" #$= aE X 2!

"#$+bmX

mY = E aX +b!" #$= amX +b

Cov XY!" #$= aE X 2!"

#$+bmX −mX amX +b( ) = aE X 2!

"#$− amX

2 = aσ X2


8. Considere um processo aleatório X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias

a)  Mostre que a condição E[A] =E[B] = 0 é necessária para X(t) ser estacionário.

b)  Mostre que X(t) é estacionário no sentido amplo (WSS) se e somente se as variáveis A e B forem descorrelacionadas com igual variância, ou seja,

E[AB] = 0

e

E[A2] = E[B2] =σ2

mX t( ) = E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!"

#$= E A!" #$cos ωt( )+ E B!" #$sen ωt( )

Para X(t) ser estacionário, mX(t) tem que ser independente de de t, então

E A!" #$= E B!" #$= 0


E X 2 0( )!"

#$= E X 2 π

2ω

!

"#

$

%&

'

()

*

+,= RX 0( ) =σ X

2

mas X 0( ) = A e X π2ω

!

"#

$

%&= B

Então, E A2!"

#$= E B

2!"

#$=σ X

2 =σ 2

Se X(t) é estacionário no sentido amplo, então

RX t,t +τ( ) = E X t( ) X t +τ( )!"

#$= E Acos ωt( )+ Bsen ωt( )( ) Acos ωt +τ( )+ Bsen ωt +τ( )( )!

"#$=

E A2 cos ωt( )cos ωt +τ( )!"

#$+ E ABcos ωt( )sen ωt +τ( )!

"#$+

E ABsen ωt( )cos ωt +τ( )!"

#$+ E B

2 sen ωt( )sen ωt +τ( )!"

#$=

12E A2!"

#$+ E B

2!"

#${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )


RX t,t +τ( ) = 12E A2!"

#$+ E B

2!"

#${ }cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )

mas E A2!"

#$= E B

2!"

#$=σ

2

Então,

RX t,t +τ( ) =σ 2 cos ωτ( )+ E AB!" #$cosω 2t +τ( )

Note que RX(t, t+τ) será função apenas de τ se E[AB]=0. Assim, se E[AB]=0 e E[A2] = E[B2] = σ2 , então temos:

mX(t) = 0

RX(t, t + τ) = σ2cos(ωτ) = RX(τ) logo X(t) é WSS!!!


9. Mostre que se X(t) é WSS, então,

E[[X(t + τ) - X(t) ]2] = 2[RX(0) - RX(τ)]

onde RX(τ) é a autocorrelação de X(t).

E X t +τ( )− X t( )"#

$%

2"#&

$%'= E X 2 t +τ( )− 2X t +τ( ) X t( )+ X 2 t( )"

#$%=

E X 2 t +τ( )"#

$%− 2E X t +τ( ) X t( )"

#$%+ E X 2 t( )"

#$%=

RX 0( )− 2RX τ( )+ RX 0( ) =

2 RX 0( )− RX τ( )"#

$%


10. Um processo aleatório X(t) é dado pela soma de N sinais complexos:

onde An é uma variável aleatória representando a amplitude do n-ésimo sinal. A variável aleatória Θn é uniformemente distribuída no intervalo {0, 2π}. An e Θn são estatisticamente independentes. Encontre a autocorrelação de X(t).

X t( ) = An exp j2π f0t + jΘn( )n=1

N

∑

RX τ( ) = E X * t( ) X t +τ( )!"

#$

= E An exp − j2π f0t − jΘn( ) Am exp j2π f0 t +τ( )+ jΘm( )m=1

N

∑n=1

N

∑!

"(

#

$)

= exp j2π f0τ( ) Em=1

N

∑n=1

N

∑ AnAm!" #$E exp j Θm −Θn( ){ }!"

#$

Pois An e Θn são estatisticamente independentes.


Entretanto,

Logo,

RX τ( ) = exp j2π f0τ( ) E An2!

"#$

n=1

N

∑

RX τ( ) = exp j2π f0τ( ) Em=1

N

∑n=1

N

∑ AnAm"# $%E exp j Θm −Θn( ){ }"#

$%

=0 para m≠n=1 para m=n

E exp j Θm −Θn( ){ }#$

%&= E cos Θm −Θn( )#

$%&+ jE sen Θm −Θn( )#

$%&

=14π 2

cos θm −θn( )0

2π∫0

2π∫ + jsen θm −θn( )dθmdθn

=1 para m = n

0 para m ≠ n

)*+

,+


11. Um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo possui função de autocorrelação:

onde A é uma constante. Encontre o espectro de potência deste processo.

RX τ( ) = Aexp −3 τ( )

S f( ) = RX τ( )−∞

∞

∫ exp − j2π f τ( )dτ

= Aexp −3 τ( )−∞

∞


= A exp − 3+ j2π f( )τ$%

&'dτ0

∞

∫ + A exp 3− j2π f( )τ$%

&'dτ−∞

0∫

=A

3+ j2π f+

A3− j2π f

=6A

9+ 4π 2 f 2


12. A relação entre a entrada e a saída de um diodo é:

Seja X(t) um processo aleatório gaussiano com média zero e autocorrelação dada por:

Encontre a média, a autocorrelação e a densidade espectral de potência de Y(t).

média:

Y t( ) = X 2 t( )

RX τ( ) = exp −α τ( ) α > 0

mY = E Y t( )!"

#$= E X 2 t( )!

"#$

= RX 0( ) = exp 0( )=1


Autocorrelação: mas X(t) e X(t – τ) são variáveis aleatórias gaussianas com média zero, então:

RY τ( ) = E Y t( )Y t −τ( )"#

$%= E X 2 t( ) X 2 t −τ( )"

#$%

RY τ( ) = E X 2 t( )!"

#$E X 2 t −τ( )"#

$%+ 2 E X t( ) X t −τ( )"

#$%{ }

2

= RX 0( )RX 0( )+ 2 RX τ( )!"

#$

2

=1+ 2exp −2α τ( ) α > 0

E X 2 t( ) X 2 t −τ( )!"

#$= E X 2 t( )!

"#$E X 2 t −τ( )!"

#$+ 2 E X t( ) X t −τ( )!

"#${ }2

(provar)


Densidade espectral de potência:

SY f( ) = RY τ( )−∞

∞


= 1+ 2exp −2α τ( )$%

&'−∞

∞


= exp − j2π f τ( )dτ−∞

∞

∫ + 2 exp − j2π f τ − 2α τ( )dτ−∞

∞

∫

= δ f( )+ 2απ 2 f 2 +α 2


13. Suponha que um processo aleatório X(t) estacionário no sentido amplo com densidade espectral de potência SX(t) é a entrada de um filtro como mostrado abaixo. Encontre a densidade espectral de potência do processo Y(t) de saída.

Atraso T

ΣX(t) Y(t) +

-

Y t( ) = X t( )− X t −T( )

h t( ) = δ t( )−δ t −T( )Resposta ao impulso do filtro:

H f( ) =1− exp − j2π fT( )


Então,

SY f( ) = H f( )2SX f( )

= 1− exp − j2π fT( )2SX f( )

= 1− cos 2π fT( )( )2+ sen2 2π fT( )!

"#$

%&SX f( )

= 2 1− cos 2π fT( )( )SX f( )

exp ± jθ( ) = cosθ ± jsenθ


14. Um processo gaussiano estacionário X(t) com média zero e densidade

espectral de potência SX(f) é aplicado em um filtro linear cuja resposta ao

impulso h(t) é mostrada abaixo. Uma amostra Y do processo aleatório é

tomada na saída do filtro no tempo T.

a) Determine a média e a variância de Y.

b) Qual é a função densidade de probabilidade de Y?

( )th

t

T1

T0


a)  Saída do filtro

Fazendo T – τ = u, então, o valor da amostra de Y(t) em t = T é igual a

A média de Y é portanto,

Y t( ) = h τ( ) X t −τ( )dτ−∞

∞

∫

=1T

X t −τ( )dτ0

T∫

Y = 1T

X u( )du0

T∫

E Y!" #$=1TE X u( )du0

T∫"#$

%&'=1T

E X u( )!"

#$du0

T∫ = 0

( )th

t

T1

T0


e a variância de Y é

mas

então,

σY2 = E Y 2!

"#$− E Y!" #$

2= E Y 2!

"#$ = RY 0( )

σY2 = SY f( )df−∞

∞

∫ = SX f( ) H f( )2df

−∞

∞

∫

H f( ) = h t( )exp − j2π f t( )dt−∞

∞

∫ =1T

exp − j2π f t( )dt0

T∫ =

1Texp − j2π f t( )

− j2π f0

T

=1

2π f T1− exp − j2π f T( )!"

#$= sinc f T( )exp − jπ f T( )

σY2 = SY f( )df−∞

∞

∫ = SX f( )sinc2 f T( )df−∞

∞

∫


b) Como a entrada do filtro é gaussiana, segue que a saída do filtro também é

gaussiana. Então, a função densidade de probabilidade de Y é dada por:

fY y( ) = 1

2πσYexp −

y2

2σY2

"

#$$

%

&''


15. Seja X(t) e Y(t) definidos por

X(t) = Acos(ωt) + Bsen(ωt) Y(t) = Bcos(ωt) - Asen(ωt)

onde ω é uma constante e A e B são variáveis aleatórias independentes possuindo média nula e variância σ2. Encontre a correlação cruzada de X(t) e Y(t).

RXY t1,t2( ) = E X t1( )Y t2( )!"

#$

= E Acos ωt1( )+ Bsen ωt1( )( ) Bcos ωt2( )− Asen ωt2( )( )!"

#$

= E AB!" #$ cos ωt1( )cos ωt2( )− sen ωt1( )sen ωt2( )( )−E A2!

"#$ cos ωt1( )sen ωt2( )( )

−E B2!"

#$ sen ωt1( )cos ωt2( )( )


Como

E AB!" #$= E A!" #$E B!" #$= 0

E A2!"

#$= E B

2!"

#$=σ

2

Então, RXY t1,t2( ) = −E A2!"

#$ cos ωt1( )sen ωt2( )( )

+E B2!"

#$ sen ωt1( )cos ωt2( )( )

=σ 2 sen ωt1( )cos ωt2( )− cos ωt1( )sen ωt2( )( )=σ 2 senω t1 − t2( )

RXY τ( ) =σ 2 sen ωτ( )

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