Instituto Politecnico de Viseu

Escola Superior de Tecnologia e Gestao

Area Cientıfica de Matematica

Analise Matematica II

(Lic. Engenharia Mecanica)

Frequencia (1o Teste) 29 de marco de 2013Duracao: 1h15mn (com 15mn de tolerancia).

Observacao: Esta prova esta cotada de 0 a 6, 6 valores

Nao e permitida a consulta de quaisquer apontamentos nem a utilizacao de maquina de calcular.Justifique convenientemente todas as respostas. Em caso de fraude, a sua prova e imediatamente anulada.

1. Considere a seguinte equacao diferencial de primeira ordem:

(x+ y) dx+ (x− y) dy = 0 (1)

(a) Mostre que a equacao deferencial (1) e homogenea. [0,5 val]

(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial (1). [1,0 val]

2. Considere o problema de condicao inicial:{

y′ + 3y = 4y(0) = 1

(2)

(a) Mostre, sem resolver a equacao diferencial, que y =4

3−

e−3x

3e solucao do problema. [0,4 val]

(b) Resolva o problema de condicao inicial, utilizando:

i. o metodo de equacoes diferenciais lineares de primeira ordem. [1,0 val]

ii. o metodo das transformadas de Laplace. [1,0 val]

3. Admita que a transformada de Laplace de uma certa funcao f(t) e dada por L{f(t)} =e−s

s+ 1, s > −1 .

(a) Calcule, justificando, o valor do seguinte integral improprio

∫ +∞

0

f(t)dt . [0,5 val]

(b) Utilize as propriedades das transformadas de Laplace para calcular [0,7 val]

L{

e−tf ′(t) + tf(t)}

.

(c) Utilize as propriedades das transformadas de Laplace para calcular f(t) . [0,5 val]

4. Considere o sistema de equacoes diferenciais:

y′′(t) + x′(t) = u(t)y′(t)− x(t) = v(t)x(0) = y(0) = y′(0) = 0 .

Admitindo que L{u(t)} = U(s) e que L{v(t)} = V (s), mostre que L{x(t)} =1

2

(

U(s)

s− V (s)

)

e

conclua que x(t) =1

2

(∫

t

0

u(z)dz − v(t)

)

. [1,0 val]

FIM

1