Exercícios Básicos_PO

Engenharia de Produo Professor: Claudio Bastos Sikilero

Pesquisa Operacional PROGRAMAO LINEAR

1) Uma indstria especializada na produo de alimentos para animais est lanando no mercado comida diettica para ces de caa. Calculou-se que um co, com aproximadamente 45 quilogramas de peso, dever ingerir diariamente, no mnimo, 500 unidades de protenas, 650 unidades de calorias, 50mg de vitamina A, 150 mg de clcio, e no mximo, 1.500 gramas de rao diria e 350 mg de acares. Na tabela a seguir, tm-se informaes complementares:

Tipo de Rao

Protenas p/Kg.peso

Calorias p/Kg. peso

Vitamina A p/Kg. peso

Clcio p/Kg. peso

Acar p/Kg. peso

Custo R$ p/Kg. peso

Canina 475 643 48 143 230 19,32 Kannel 468 670 43 149 219 22,41 Dogo 460 610 40 139 249 21,76

Dog 480 590 52 135 270 23,89 Caador 423 659 60 150 220 19,84

Campeo 470 630 52 147 250 19,23

Formule o modelo matemtico, ou seja, construa um problema buscando otimizar a deciso do consumidor, sabendo que ele deseja adquirir rao para 3 animais e para o consumo no perodo de 90 dias.

2) Uma indstria de concentrados, molhos e pats, est testando um novo produto. Pat tipo ligth para ser lanado no mercado no curto prazo. O novo produto utiliza carne bovina magra e carne de frango sem pele e sem osso.

A carne bovina contm 79% de carne magra e 21% de gordura e custa R$9,78 o kg.

A carne de frango contm 68% de carne magra e 32% de gordura e custa R$7,34 o kg. Qual a quantidade de carne bovina e de carne de frango que ser utilizada em cada kg de pat ligth, se o objetivo do industrial otimizar os custos e obter gordura de pat no superior a 27%.

Formule, construa um modelo matemtico que quando resolvido permita - se obter a soluo tima.

3) Uma fabrica esta efetuando o seu planejamento de produo mensal. Em uma, das suas dez linhas de trabalho, poder produzir 4 tipos diferentes de produtos, que aps fabricados devero ser pintados e polidos. Os produtos A, B, C e D necessitam respectivamente de 5, 3, 4

e 6 horas para serem fabricados e 4, 5, 3 e 7 horas respectivamente para serem pintados e polidos. Como valor pela venda a empresa receber R$39,77, R$36,75, R$37,89 e R$36,58 por unidade respectivamente. A empresa conta com 84.456 horas de maquinas para a fabricao e 73.568 horas destinadas a pintura e polimento.

Construa um modelo matemtico, buscando otimizar a deciso do empresrio, sabendo-se que tudo o que for produzido ser vendido.

4) Um grupo empresarial montou fbricas destinadas a produo de aparelhos de ar condicionado para veculos. A fabrica instalada em Canoas produz mensalmente 2.100 aparelhos destinados caminhes e 1.700 aparelhos destinados automveis. A fabrica de Gravata produz 2.710 aparelhos destinados caminhes e no produz aparelhos destinados automveis. A fabrica instalada em Cachoeirinha produz 2.310 aparelhos de ar condicionado para automveis e no produz aparelhos destinados a caminhes. Os custos para as fbricas trabalharem e produzirem, alcanam mensalmente R$2.140.000,00, R$2.350.000,00 e R$2.135.000,00 respectivamente.

A empresa fechou um contrato de exportao e dever produzir, no mnimo 39.560 aparelhos de ar condicionado para caminhes e 37.120 aparelhos de ar condicionado para automveis.

Formule um problema matemtico buscando encontrar uma deciso do empresrio.

5) Um grupo empresarial fabricante de eletrodomstico possui fbricas localizadas em 5 diferentes cidades. Afim de incrementar sua vendas desenvolveu uma campanha publicitrio, oferecendo aos compradores de seus produtos a entrega dos mesmos sem custos de frete, ou seja, esse encargo ficaria a conta da empresa vendedora. Os resultados foram timos no RS. Os lojistas de Porto Alegre adquiram 3.150 unidades, os de Canoas 2.160, os de Caxias do Sul 2.010 e os de Santa Maria adquiriram 2.150 unidades. Todas as quantidades adquiridas devero ser entregues no mximo em 30 dias. As fbricas esto localizadas em So Paulo, Taubat, So Carlos, Santo Amaro e Bauru e a produo mensal alcana respectivamente, 2.060 unidades, 2.150 unidades, 1.930 unidades, 2.720 unidades e 2.950 unidades.

As despesas de frete, por unidade transportada da cidade do fabricante para a cidade compradora, em R$, so fornecidas na tabela a seguir:

Da fbrica para Porto Alegre Canoas Caxias do Sul Santa Maria

So Paulo 13,45 12,56 13,57 16,04 Taubat 14,78 11,79 10,68 14,68

So Carlos 12,07 14,09 12,57 13,64 Santo Amaro 11,68 10,39 13,04 12,39

Bauru 14,89 12,98 11,47 13,79

Construa um modelo matemtico visando auxiliar a tomada de deciso do empresrio.

6) Um agricultor poder produzir SOJA, ARROZ, MILHO e FEIJO, obtendo como receite por hectare produzido a importncia respectiva de R$635,00, R$643,00, R$624,00 e R$628,00. O empresrio conta com os seguintes insumos: 47.670 m3 de gua destinada a irrigao, 38.210 horas de mo de obra, 45.750 horas de mquinas e 3.320 t. de fertilizante.

Na tabela dada a seguir, verifica-se a quantidade de insumos utilizados por hectare de produto cultivado.

Produto m3/gua p/irrig horas m.obra horas mquinas t. fertilizante

Soja 22,34 18,95 24,87 2,87 Arroz 23,15 19,56 21,80 2,67 Milho 24,14 17,85 22,10 2,45 Feijo 23,15 18,24 21,45 2,33

Face as restries de mercado o agricultor no dever cultivar mais que 527 hectares com feijo. A rea plantada com Soja e Arroz dever ser superior a 647 hectares.Alm dessas informaes de mercado qualquer outra combinao que otimize as alternativas poder ser empregada.

Construa um modelo matemtico, formule o problema.

7) Um industrial de rea de calados pode produzir BOTAS, SAPATOS E BOLSAS. A receita por unidade produzida respectivamente R$56,00, R$52,00 e R$48,00.O empresrio dispe de 1.570 kgs de couro, 1.325 horas de mquinas e 2.190 horas de mo de obra.

Para produzir um par de BOTAS gasta 0,7 kgs de couro, 1,2 horas de mquinas e 0,9 horas de mo de obra.

Para produzir um par de SAPATOS gasta 0,8 kgs de couro, 1,0 horas de mquinas e 1,2 horas de mo de obra.

Para produzir uma unidade de BOLSAS gasta 0,67 kgs de couro, 1,13 horas de mquinas e 1,1 horas de mo de obra.

Em funo do mercado consumidor o empresrio no deseja produzir mais que 195 pares de Botas e no menos que 179 unidades de Bolsas.

Defina as variveis, F.O e conjunto de restries pensando em construir o modelo matemtico que otimize a deciso do empresrio.

8) Um fabricante de artigos para escritrio participou e sagrou-se vencedor de uma concorrncia pblica e a curto prazo dever entregar no mnimo 178 armrios, 194 mesas e 183 mapotecas, todos os produtos devero ser confeccionados em ao. O produto bruto a ser industrializado, no caso AO em folhas, poder ser adquirido de trs diferentes fornecedores. Na usina GUAIRA o valor de U$728,00 a unidade, na usina BARRACO o valor de U$773,00 a unidade e na usina CATARINENSE o valor de U$781,00 a unidade.

-1 unidade de ao de GUAIRA fornece material para a produo de 0,2 armrios, 0,4 mesas e 0,37 mapoteca,.

-1 unidade de ao de BARRACO fornece material para a produo de 0,3 armrios, 0,3 mesas e 0,4 mapotecas, e,

-1 unidade de ao CATARINENSE fornece material para a produo de 0,4 armrios, 0,2 mesas e 0,35 mapotecas.

Para auxiliar a tomada de deciso do empresrio formule o modelo matemtico.

9) Uma industria de beneficiamento de PETRLEO adquire o produto bruto, industrializa e vende os derivados. O empresrio participou de uma negociao na qual comprometeu -se a entregar em 360 dias, no mnimo, 1.570.000 litros de gasolina, 1.320.000 litros de leo diesel e 890.350 litros de querosene.O produto bruto apresenta rendimentos diferenciados, o valor pago por barril tambm diferente. Face essas diferenas o industrial no sabe que deciso tomar.No entanto, como informaes complementares, tem-se que:

Poder comprar petrleo da VENEZUELA cujo custo por barril U$23,98 e a produtividade 65 litros de gasolina, 29 litros de diesel e35 litros de querosene.

Se comprar da ARGENTINA a produtividade de 60 litros de gasolina, 32 litros de diesel e 33 litros de querosene e o seu custo de U$ 24,03 o barril.

Se comprar do PER o valor de U$24,13 o barril e a produtividade de 67 litros de gasolina, 27 litros de diesel e 31 litros de querosene.

Formule o problema para tomar a deciso mais adequada.

10) Um fabricante de mveis de jardins produz vasos, floreiras e suportes p/ flores, todos em fibras. Aps diversas avaliaes constatou que os ganhos p/ unidade produzida so respectivamente R$17,50, R$15,40 e R$ 16,15.

Pensando em otimizar a receita mensal o fabricante quer saber o quanto produzir de cada produto no ms de dezembro, j que conta com disponibilidade semanal de 12.760 h/ mquinas, 14.250 kgs de fibra e 12.760 h/homem. O fabricante sabe que para produzir 1 unidade de vaso consome 3,5h/mq,4,0 kgs /fibra e 3,7h/homem. Para produzir 1 unidade de floreira gasta 3,8h/mq, 3,6kgs/fibra e 3,2h/homem e p/ produzir 1 unidade de suporte gasta 3,7h/mq, 3,8kgs/fibra e 3,4h/h.

Tambm, sabe-se que no ms de dezembro sero trabalhadas 3,7 semanas.

-Formule o problema - Defina Variveis, F.O. e Restries.

11) Um comerciante de APARAS adquire seu produto vindo da prpria cidade. O carrinho com 121 kgs do produto, vindo da Zona Sul custa R$ 118,00. O carrinho com 128 kgs, vindo da Zona Norte custa R$113,00 e o carrinho com 117 kgs vindo da Zona Leste custa R$ 117,00. O comerciante efetuou uma negociao e comprometeu-se a entregar a curto prazo, no mnimo, 6.760 kgs do papel qualidade, A, 8.125kgs de papel qualidade B e 7.230 kgs de papel qualidade C.

Na tabela a seguir tem-se a informao de quantos kgs de papel, cfe. a qualidade, se obtm de cada carrinho de aparas.

Carrinho de aparas kgs/papel cfe. qualidade

kgs/papel cfe. qualidade

kgs/papel cfe. qualidade

Zona de fornecimento A B C Zona Sul 20 33 27

Zona Norte 23 30 25 Zona Leste 26 27 26

OBS:.O resduo de aparas de qualquer fornecedor no tem valor comercial e doado em troca de sua retirada do ptio da empresa.

Formule o problema.

12) Uma empresa produtora de alimentos fez uma pesquisa no mercado e constatou existir lacunas a serem preenchidas na rea de alimentao, mais especificamente em bolachas. Aps algumas avaliaes ficou constatado que 4 tipos do produto poderiam disputar mercado sem grandes problemas de comercializao. Bolachas do tipo gua, doce, recheada e chocolate. A empresa dispe de quatro tipos de mquinas utilizadas na fabricao desses produtos. Os ganhos por unidade produzida, as disponibilidades em horas de cada mquina e o tempo gasto so fornecidos a seguir:

Bolachas Tipo de Mquina dgua doce recheada chocolate h/disp.mq

amassar 0,9 1,0 0,85 0,96 20.950 sovar 1,2 1,1 0,96 0,96 22.146

cozinhar 1,5 1,4 1,2 1,1 21.980 embalar 1,45 1,37 1,3 0,99 24.100

A mesma pesquisa indicou que os preos recebidos pelos produtos so respectivamente R$1,35, R$1,27, R$1.33 e R$1,30, por unidade produzida.

Construa um modelo matemtico, buscando a melhor alternativa.

1) Definio de Variveis

X1 = qtidade em kgs da rao Canina a adquirir X2 = qtidade em kgs da rao Kannel a adquirir X3 = qtidade em kgs da rao Dogo a adquirir X4 = qtidade em kgs da rao Dog a adquirir X5 = qtidade em kgs da rao Caador a adquirir X6 = qtidade em kgs da rao Campeo a adquirir

Funo Objetiva de Min. de Custos = 19,32 X1 + 22,41 X2 + 21,76 X3 + 23,89 X4 + 19,84 X5 + 19,23 X6

Restries :

X1 X2 X3 X4 X5 X6 Capac/neces R1: Protenas 475 468 460 480 423 470 > 500 x 3 x 90 R2: Calorias 643 670 610 590 659 630 > 650 x 3 x 90 R3: Vitamina A 48 43 40 52 60 52 > 50 x 3 x 90 R4: Clcio 143 149 139 135 150 147 > 150 x 3 x 90 R5: Rao Diria 1 1 1 1 1 1 < 1500 x 3 x 90 R6: Acares 230 219 249 270 220 250 < 350 x 3 x 90 No negatividade X1 X2 X3 X4 X5 X6 > 0


Xb = qtidade em kgs de carne bovina adquirida para compor 1 kg de Pat Light Xf = qtidade em kgs de carne de frango adquirida para compor 1 kg de Pat Light

Funo Objetiva de Min de Custos = 9,78 Xb + 7,34 Xf

Restries:

Xb Xf Capac/neces R1: Gordura 0,21 0,32 < 0,27 R2: Garantia Unidade 1 1 = 1 No negatividade Xb Xf > 0


Xa = qtidade em unidades do produto A a produzir Xb = qtidade em unidades do produto B a produzir Xc = qtidade em unidades do produto C a produzir Xd = qtidade em unidades do produto D a produzir

Funo Objetiva de Max de Receitas = 39,77 Xa + 36,75 Xb + 37,89 Xc + 36,58 Xd

Restries:

R1: 5 Xa + 3Xb + 4Xc + 6Xd < 84.456 horas de mquina R2: 4 Xa + 5Xb + 3Xc + 7Xd < 73.568 hs destinadas a pintura e polimento No negatividade: Xa , Xb , Xc , Xd > 0


X1 = qtidade de meses que a fbrica de Canoas vai trabalhar X2 = qtidade de meses que a fbrica de Gravata vai trabalhar X3 = qtidade de meses que a fbrica de Cachoeirinha vai trabalhar

FO de Min. de Custos = 2.140.000 X1 + 2.350.000 X2 + 2.135.000,00 X3

Restries:

R1: Qtd.mn.de apar. ar condic. p/caminhes: 2.100 X1 + 2.710 X2 + 0 X3 > 39.560 R2: Qtd.mn.de apar. ar condic. p/automveis: 1.700 X1 + 0 X2 + 2.310 X3 > 37.120 No negatividade: X1, X2 e X3 > 0


Xij = qtidade transportada da fbrica i para a cidade j, sendo:

i = A, B, C, D, E para So Paulo, Taubat, S.Carlos, Sto Amaro, Bauru, respectivamente.

j = F, G, H, I para Porto Alegre, Canoas, Cx. Sul, Sta Maria, respectivamente.

Ento exemplo XAF = qtidade transportada, em unidades, da fbrica de So Paulo para a cidade de Porto Alegre.

Assim sucessivamente para todas as possibilidades de transporte. Neste caso so 20 as alternativas, uma vez que so cinco fbricas que podem enviar seus produtos para 4 diferentes cidades compradoras.

Funo Objetiva de Min. de Custos de Transportes = 13,45 XAF + 12,56 XAG + 13,57 XAH + 16,04 XAI + 14,78 XBF + 11,79 XBG + ...................+ 13,79 XEI

Restries:

a) XAF + XAG + XAH + XAI < 2.060 b) XBF + XBG + XBH + XBI < 2.150 c) XCF + XCG + XCH + XCI < 1.930 d) XDF + XDG + XDH + XDI < 2.720 e) XEF + XEG + XEH + XEI < 2.950 f) XAF + XBF + XCF + XDF + XEF > 3.150 g) XAG + XBG + XCG + XDG+ XEG >. 2.160 h) XAH + XBH + XCH+ XDH + XEH > 2.010 i) XAI + XBI + XCI + XDI + XEI > 2.150 j) todos xij > 0


xs = qtidade de hectares produzidos com soja xa = qtidade de hectares produzidos com arroz xm = qtidade de hectares produzidos com milho xf = qtidade de hectares produzidos com feijo

Funo Objetiva de Max. Receita = 635,00 xs + 643,00 xa + 624,00 xm + 628,00 xf

Restries :

a) 22,34 xs + 23,15 xa + 24,14 xm + 23,15 xf < 47.670 b) 18,95 xs + 19,56 xa + 17,85 xm + 18,24 xf < 38.210 c) 24,87 xs + 21,80 xa + 22,10 xm + 21,45 xf < 45.750 d) 2,87 xs + 2,67 xa + 2,45 xm + 2,33 xf < 3.320 e) xf < 527 f) xs+ xa > 647 e) xs , xa , xm, xf > 0


x1 = qtidade de unidades (pares) produzidos de botas x2 = qtidade de unidades (pares) produzidos de sapatos x3 = qtidade de unidades produzidos de bolsas

Funo Objetiva de Max. Receita = 56,00 x1 + 52,00 x2 +48,00 x3

Restries :

a) 0,7x1 + 0,8x2 + 0,67 x3 < 1.570 b) 1,2x1 + 1,0x2 + 1,13 x3 < 1.325 c) 0,9x1 + 1,2x2 + 1,10 x3 < 2.190 d) x1 < 195 e) x3 > 179 f) x1 , x2 , x3 > 0


X1 = qtidade de unidades fls de ao adquiridas na usina Guaira X2 = qtidade de unidades fls de ao adquiridas na usina Barraco

X3 = qtidade de unidades fls de ao adquiridas na usina Catarinense

Funo Objetiva de Min. Custos = 728,00 x1 + 773,00 x2 +781,00 x3

Restries:

a) 0,2x1 + 0,3x2 + 0,4 x3 > 178 b) 0,4x1 + 0,3x2 + 0,2 x3 > 194 c) 0,37x1 + 0,4x2 + 0,35 x3 > 183 d) x1 , x2 , x3 > 0


X1 = qtidade de unidades de Barris de Petrleo adquiridos na Venezuela X2 = qtidade de unidades de Barris de Petrleo adquiridos na Argentina X3 = qtidade de unidades de Barris de Petrleo adquiridos no Peru


Restries:

a) 65x1 + 60x2 + 67 x3 > 1.570.000 b) 29x1 + 32x2 + 27 x3 > 1.320.000 c) 35x1 + 33x2 + 31 x3 > 890.350 d) x1 , x2 , x3 > 0


x1 = qtidade de unidades produzidos de vasos x2 = qtidade de unidades produzidas de floreiras

x3 = qtidade de unidades produzidos de suportes p/flores

Funo Objetiva de Max. Receita = 17,50 x1 + 15,40 x2 + 16,15 x3

Restries:

a) 3,5x1 + 3,8x2 + 3,7 x3 < 12.760 x 3,7 b) 4,0x1 + 3,6x2 + 3,8 x3 < 14.250 x 3,7 c) 3,7x1 + 3,2x2 + 3,4 x3 < 12.760 x 3,7 d) x1 , x2 , x3 > 0


X1 = qtidade de unidades de Carrinhos c/ Aparas adquiridos na Zona Sul X2 = qtidade de unidades de Carrinhos c/ Aparas adquiridos na Zona Norte

X3 = qtidade de unidades de Carrinhos c/ Aparas adquiridos na Zona Leste


Restries:

a) 20x1 + 23x2 + 26 x3 > 6.760 b) 33x1 + 30x2 + 27 x3 > 8.125 c) 27x1 + 25x2 + 26 x3 > 7.230 d) x1 , x2 , x3 > 0


x1 = qtidade de unidades (pacotes) produzidos de bolachas dgua x2 = qtidade de unidades (pacotes) produzidos de bolachas doce x3 = qtidade de unidades (pacotes) produzidos de bolachas recheada x4 = qtidade de unidades (pacotes) produzidos de bolachas chocolate

Funo Objetiva de Max. Receita = 1,35 x1 + 1,27 x2 + 1,33 x3 + 1,30 x4

Restries:

a) 0,9x1 + 1,0x2 + 0,85 x3 + 0,96 x4 < 20.950 b) 1,2x1 + 1,1x2 + 0,96 x3 + 0,96 x4 < 22.146 c) 1,5x1 + 1,4x2 + 1,2 x3 + 1,1 x4 < 21.980 d) 1,45x1 + 1,37x2 + 1,3 x3 + 0,99 x4 < 24.100 e) x1 , x2 , x3 ; x4 > 0

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