Exercícios - Circuitos II - Ruth

7/22/2019 Exerccios - Circuitos II - Ruth

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EXERCCIOS DE

CIRCUITOS ELTRICOS II

Professora Ruth Pastra Saraiva Leo

Universidade Federal do Cear UFC


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Captulo 01Exerccios


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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARCENTRO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa:RUTH P.S. LEO

LISTA DE EXERCCIOS

1. Qual o perodo, a freqncia e a velocidade angular de uma onda senoidal em que 5 ciclosso realizados em 12 s?

O perodo T de uma onda senoidal o tempo necessrio para completar um ciclocompleto da onda.

5 12

1

c ms

c x

122,4

5x ms= =

Freqncia

3

1 1420

2, 4 10f Hz

T= = =

Velocidade angular

2 2 420 2638,94f rad s = = =

61802638,94 2638,94 60 9 10 rpmrad s

2. Se o pico positivo de uma onda senoidal ocorre em 1ms e o prximo pico positivo ocorre em2,5ms, qual o perodo da onda?

t1=1ms

t2=2,5msT=t2-t1=1,5ms

t1 t2


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3. Se o tempo entre picos negativos de uma dada onda senoidal 50 s, qual a freqncia daonda?

6

1 150 200

50 10T s f kHz

T = = = =

4. Certa onda senoidal percorre 4 ciclos em 20 ms. Qual a freqncia da onda? A freqncia de uma onda dada pelo nmero de ciclos realizados em 1s.

s1x

s020,0c4

Hz200

020,0

4x ==

5. Quantos pontos mximos tm uma onda senoidal de 60 Hz?

Se em um ciclo h 2 pontos mximos em 60 ciclos haver 120 pontos mximos acada segundo.

6. Um gerador de 2 pares de plos tem uma rotao de 100 rps. Determine a freqncia datenso gerada.

2 100 2002

pf n Hz= = =

7. Se a freqncia gerada de um gerador de quatro plos 60 Hz, qual a velocidade de rotaoem rpm?

120 120 601800

120 4

p n ff n rpm

p

= = = =

8. Determine o valor eficaz de uma onda senoidal de amplitude igual a 4,5 V, e o valor mdioda onda de meio ciclo.

O valor eficaz de uma onda senoidal igual ao Vp/2.

V182,32

5,4

2

VV prms ===

O valor mdio de uma onda senoidal completa retificada igual a Vmed=0,6366.Vp.

V865,25,46366,0V6366,0V pmed ===


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9. Qual o valor eficaz em cada um dos seguintes casos: Vp=2,5 V; Vpp=10 V; Vmed=1,5 V?

Para Vp=2,5V V768,12

5,2

2

VV

prms ===

Para Vpp=10V V536,322

10

22

VV pprms =

=

=

Para Vmed=1,5V )rmsmed V26366,0V = V666,16366,02

5,1Vrms =

=

10.Calcule o valor mdio de meia onda para ondas senoidais de:Vp= 10 V;Vrms=2,3 V;Vpp=60 V.

2

0

2 20,6366

T

med p pV V sen t dt V T T

= =

[ ]0, 6366 10 6,366medV V= =

[ ]0,6366 2 0,6366 2 2,3 1,035med rmsV V V= = =

[ ]0,6366 0,6366 30 19,0982pp

med

V

V V= = =

11.Se uma onda senoidal A cruza o zero no sentido positivo em 15 e uma outra senide B, demesma freqncia, cruza em 23, qual o ngulo de fase entre as senides?

O deslocamento angular entre as duas senides de (23 - 15)=8, estando a senideA adiantada em relao senide B.

Considerando a expresso geral de uma senide em que f(t)=Fp.sen(t ), tem-se:

fA(t15) = 0 t+=0; como t=15 A=-15


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fB(t23) = 0 t+=0; como t=23 B=-23

Assim, as sinusides so definidas como:

fA(t)=A.sen(t 15) e fB(t)=B.sen(t 23)

12.Quando o zero no sentido positivo de uma senide ocorre em 0o, qual o ngulocorrespondente aos seguintes pontos?

a) pico positivo b) zero no sentido negativoc) pico negativo d) fim do primeiro ciclo completo (2)

Definio de f(t):

f(t0) = 0 t+=0 =0 f(t)=A.sen(t)

a) Para f(t)=A t=/2

b) Para f(t)=0 t=

c) Para f(t)=-A t=3/2

d) Para f(t)=0 t=2

13.Uma tenso senoidal tem um valor de pico de 20 V. Qual o valor instantneo da onda a 65de seu cruzamento por zero?

14.Determine as expresses das senides A, B e C da figura abaixo e o valor instantneo paraum ngulo instantneo t de 90.

Senide A: f(t)=5.sen(t+45) f(t)=5.sen(90o + 45o)=5x0,707=3,536Senide B : f(t)=7,5.sen(t) f(t)=7,5.sen(90)=7,5Senide C: f(t)= 10.sen(t-60) f(t)=10.sen(90o 60o)=10x0,5=5


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16.Determine o perodo, freqncia, e razo cclica para o trem de pulsos abaixo.

T=10sf=1/T=1/10=0,1Hzd=(tw/T).100=(1/10).100=10%

17.Determine o valor mdio de cada uma das formas de onda abaixo.

Vmed= base + d.(amplitude)

V2,0210

1

0Vmed =+=

V5,352

11Vmed =+=

V0220

101Vmed =+=

18.Qual a harmnica de segunda ordem de uma freqncia fundamental de 1kHz? f2 =2x f1 = 2x1kHz = 2kHz

19.Qual a freqncia fundamental de uma onda quadrada com perodo igual a 10s?

A freqncia fundamental e dada por: f1=1/10=0,1Hz

20.Atravs da srie de Fourier determine as componentes de freqncia presentes em uma ondaquadrada.

1s

10s

1ms

10ms

2

0

V(V)

1 2 3 4 5 6

1

6

0

V(V)

0 10 20 30 40 50 60-1

+1

V(V)

f(t)

t

V

-V


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Definio da onda de tenso no tempo:

(t) = +V 0 t T/2

(t) = -V T/2< t T

Os coeficientes a0, ah, bh, ch, e h sero obtidos:

( )

022

2

2

2

2

2

20

2

0 2

00

=

=

=

+=

=

TT

T

T

V

tt

T

V

VdtVdtT

dttfT

a

T

T

T

T T

T

T

Como a onda de tenso quadrada e simtrica em relao ao tempo, seu valor mdio zero e, porconseguinte, a0 nulo.

Os coeficientes ah e bh:


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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

[ ] h00hV

hsen2hsen0senhsenh

V

tT

2hsen

T

2h

1t

T

2hsen

T

2h

1

T

V2

dtthcosVdtthcosVT2

dtthcostfT

2a

T

2T

2T

0

2T

0

T

2T 11

T

0 1h

==

+=

=

=

=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]

"

"

,8,6,4,2h,0

,7,5,3,1h,h

V4

11hcos2h

V

hcos2hcos0coshcosh

V

tT

2hcos

2h

Tt

T

2hcos

2h

T

T

V2

dtthsendtthsenT

V2

dtthsentfT

2b

T

2

T

2T

0

2T

0

T

2T 11

T

0 1h

==

==

++=

++=

+

=

=

=

Portanto, a funo no domnio das freqncias :

( ) ( ) { }"1,3,5,7,h,thsenh

V4tf 11h =

=

A funo f(t) uma funo senoidal, portanto mpar (f(x)=-f(-x)) e como tal os coeficientes dotermo co-senoidal so nulos. Por tratar-se de uma onda quadrada as componentes de freqnciaso mpares.


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Para uma funo de onda quadrada par, tem-se:

A onda de tenso definida como:

(t) = +V - T/4 t T/4

(t) = -V T/4< t 3T/4

Como visto a funo simtrica em relao ao eixo do tempo com a0=0.

O coeficiente ah dado por:

( ) ( )

( ) ( )

{ }",3,13

2

3

2

3

22

3

22

2212

212

coscos2

cos2

43

4

4

4

4

4

43

4 11

0 1

==

=

+

+

=

=

=

=

hh

V

hsenhsen

h

V

hsenhsenhsenhsenh

V

tT

hsen

Th

tT

hsen

Th

T

V

dtthVdtthV

T

dtthtfT

a

T

T

T

T

T

T

T

T

T

h

O coeficiente bh e dado por:

t

V

f(t)

-V

T/2 T


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( ) ( )

( ) ( )

h

hh

h

V

hhhhh

V

tT

hh

Tt

Th

h

T

T

V

dtthsendtthsenT

V

dtthsentfT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

h

02

cos2

3cos

2cos

2

3cos

2cos

2cos

2cos

2

2cos

2

2

2

2b

43

4

4

4

4

4

43

4 11

0 1

=

=

+

+

=

+

=

=

=

Portanto, funo no domnio da freqncia pode ser escrita como:

( ) ( ) { }"1,3,5,7,h,cos4

11=

=th

h

Vtf

h

Note que em sendo uma funo par, somente o termo em co-seno existe e por se tratar de umaonda quadrada apenas as componentes mpares esto presentes.

Na forma trigonomtrica compacta, tem-se:

02ac 00 ==

",7,5,3,1h,h

V4bac 2h

2hh ==+=

ngulo da co-senide:

D90a

btg

h

h1h =

=

ngulo da senide:


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D0b

atg

h

h1h =

=

Assim tem-se:

( ){ }

( )thsenh

V4t 1,5,3,1h

=

"

ou

( ){ }

( )D"

90thcosh

V4t 1

,5,3,1h

=


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Captulo 02Exerccios


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CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa:RUTH P.S. LEO

LISTA DE EXERCCIOS

1. Converter os seguintes nmeros complexos da forma retangular para a formapolar e indicar no plano complexo o quadrante a que pertencem.

(a) A=8+j6 (b) A=-7+j10 (c) A=-12-j18 (d) A=10-j5

|A| = A2

A

2

x y+1o e 4o quadrantes

= arctg (xy

A

A

)

2o e 3o quadrantes

=180 tg-1(xy

A

A )

64 36 10A = + =

( )1 8 53,136tg= =

49 100 12,21A = + =

( )1 10180 1257tg= =

144 324 21,63A = + = 25 100 11,18A = + =

yA

xA

|A|

yA

|A|

-xA

=180o

-

(a) 1 quadrante (b) 2 quadrante

-yA|A|

-xA

=-180o+

-yA

xA

-|A|

3 quadrante4 quadrante


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( )1 18180 236,3112tg= = ( )1 5 26,5710tg

= =

2. Converter as seguintes quantidades polares para a forma retangular.

(a) 1030 (b) 200-45 (c) 4135

3. Calcule as seguintes operaes.

(a) (-10-j20)/(1030) (b) (8+j6).(10-j5)

(c) (10050)/(2520) (d) (1045).(520)

4. Trs fontes de tenso senoidais de mesma freqncia angular so conectadasem srie como mostra a Figura. Determine a tenso e a corrente total expressasna forma polar. A resistncia uma grandeza com ngulo zero.

VT=2,50o + 4,230o + 5,1-45o =

=(2,5+j0) + (3,64+j2,1) + (3,61-j3,61) = 9,74-j1,51=9,86-8,79o V

mA79,897,18,887,9105

1V

R1

I3T

=

==

~

~

~

5k

2,50o V

4,230o V

5,1-45o V


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Captulo 03Exerccios


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CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH P.S. LEO

LISTA DE EXERCCIOS

1. Determine a corrente rms total e em cada componente L1, L2 e L3 na Figura 1.Expresse a corrente na forma polar.

A reatncia total: 632

321 10334,634020

402050 =

+

+=

+

+= jj

LL

LLLjXT

= mjXT 34,994

A corrente total: 1 310 0

994,34 10 90F

T L

T

VI I

jX

= = =

D

D

A9006,10II 1LTD==

A corrente em L2:( )

+

=+

=4020

409006,10

32

32

D

LL

LII TL

A9071,6I 2LD=


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A corrente em L3: DD 9071,69006,1023 == LTL III

A9035,3I 3LD

=

Diagrama fasorial:

Qual a tenso sobre L1 e sobre L2//L3?

+

+=

+

+

=

4020

402050

50010

32

321

11

D

LL

LLL

LVV FL

V01,2V 1LD=

DD 01,201013//2 == LFLL VVV V09,7V 3L//2LD=

Ou( ) V0108,29006,10901050105,22 63111 DDD === LLL IjXV

( ) V09,79035,3901040105,22 63333 DDD === LLL IjXV

2. Determine a potncia reativa do circuito da Figura 1.

Potncia total: ( )22 06,1090994,0 == DTTT IjXS [ ]100,63TS j var =

ou[ ]* 10 0 10,06 90 100,6 90 100,6T F TS V I j var = = = =

D D D


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3. Suponha que voc dispe de um indutor de 12 mH, sendo este o menor valordisponvel. Voc necessita de uma indutncia de 8 mH. Que valor pode ser

usado em paralelo a fim de obter 8 mH?

x

xT LL

LLL

+

=

128

128

=

=

LL

LLL

T

T

x mH24L x =

4. Determine a reatncia total de cada circuito da Figura 2 quando uma tenso comuma freqncia de 5 kHz aplicada aos terminais de cada circuito.

No circuito (a) o ncleo da bobina de ferro e no circuito (b) de ar. Como o ferro

apresenta menor relutncia passagem de fluxo, e em sendo a indutncia L=/i,implica que a indutncia em (a) maior que em (b).

No circuito (a):

+=

+

+=

15

5011052 3

32

321

LL

LLLXT = k1,136XT

No circuito (b):( ) 33

321

321 10200

1001001052

=+++

= LLL

LLLXT 1,57TX k=

Qual a reatncia equivalente do arranjo (b) usando os componentes de (a)?

( ) ( )1 2 3 31 2 3

1 10 52 5 10 29,452 k

1 10 5TL L L

XL L L

+ +

= = = + + + +

5. Quantas espiras so necessrias para produzir 30 mH com uma bobina enroladaem um ncleo cilndrico de rea transversal de 10x10-5 m2 e comprimento de0,05m? O ncleo tem uma permeabilidade de 1,2x10-6.


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l

ANL

2 =

56

23

1010102,1

1051030

=

=A

lLN

voltas3535N =

6. Uma bateria de 12 V conectada aos terminais de uma bobina com resistnciade enrolamento igual a 12 e indutncia de 100 mH. Qual a corrente na

bobina? Qual a tenso nos terminais da bobina?

A1R

VIF ==

Aps a energizao, a reatncia da bobina nula, o que significa que toda a

tenso est aplicada sobre o resistor.7. Qual a energia armazenada pela bobina da questo 6 e quanto tempo leva para

alcanar esta energia?

32 101002

1

2

1 == FILW mJ50W =

O tempo que a bobina leva para atingir 50mJ de:

1210100555 3===

R

Lt ms67,41t =

8.Na Figura 3 (a), quanto vL no instante que a chave CH1 fechada? E quanto vL aps 5? Na Figura 3(b), quanto vL no instante que CH1 abre e CH2 fecha?Quanto vL aps 5?


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Circuito (a):No instante que CH1 fechada a tenso aplicada sobre R e L, no entanto a

corrente nula no havendo queda de tenso sobre R e assim, toda tenso da fonte aplicada sobre o indutor: vL=25V com a mesma polaridade da fonte para opor-se mudana da condio de corrente nula. Aps 5 o indutor um curto-circuito evL=0V.

Circuito (b):Com CH1 fechada e CH2 aberta, a corrente de estado permanente que circulaatravs de R1 e L dada por:

AR

V

I 08,212

25

1 ===

Quando CH1 aberta, uma tenso induzida criada nos terminais de L de modo amanter a corrente de 2,08 circulando por um instante. Neste caso, a tensovL=R2.I=100.2,08=208V. O indutor opera como uma fonte de corrente. Passados5 aps a abertura de CH1 e fechamento de CH2, a corrente no indutor decai a zeroe vL=0V.

9. Em cada circuito da Figura 4, que freqncia necessria para produzir umareatncia XC de 100.

Circuito (a):Cf2

1XC

=

CXC2

1f

=

kHz88,33f =

Circuito (b): 21T CCC += CT XC2

1f

=

Hz69,63f =

Circuito (c):21

21T CC

CCC

+

=

CT XC2

1f

=

kHz18,3f =


22/100

10.Determine o valor de C1 na Figura 5.

V0390I90XV 3XC3C3CDDD ==

kHz54,141XC2

1f

3C3

=

=

mA9033,590X

VI

2C

3C2C

D

D

=

=

mA9033,9III 3C2C1CD=+=

V02I90XV 1C1C1CDD ==

== D9023,375I

VX

1C

1C1C

F003,0Xf2

1C

1C1

=

=


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Captulo 04Exerccios


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LISTA DE EXERCCIOS

1. Determine a tenso nos terminais do capacitor na forma polar e a corrente nocapacitor. O circuito visto pela fonte capacitivo ou indutivo? Qual o valor dacorrente total? Determine o fator de potncia de deslocamento do circuito. Qual

a potncia entregue pela fonte e qual a potncia absorvida pelo indutor efornecida pelo capacitor?

Figura 1.

a) Tenso nos terminais do capacitor.

( )2 2

1 1 2

////

CC F F

L C T

R X ZV V V

R jX R X Z

= = + +

[ ]+=+= 500100011 jjXRZ L

[ ]Sjj

Xj

RY

C

223

22

102,0101,0500

1

101

1

11

+=+

=

+=

~

R1

R2VF=500

o

XL

1k 500

1kXC500


25/100

( )

( )( ) ( )

( ) [ ]=

=+

=

+==

400200105

2,01,010

2,01,0

2,01,010

102,01,0

11

2

2

22

2

22

2

jjj

jYZ

ou simplesmente

[ ]==

=

=

=

40003,20043,6322,447

57,2603,1118

9010500

500101

90500101 3

3

3

2

22

j

jjXR

jXRZ

C

C

D

D

DD

=+= T21T ZZZZ

( ) ( )

[ ]

1000 500 200 400 1200 100

1204,16 4,76

TZ j j j= + + = +

= D

Ento

[ ]VVZ

ZV F

T

C

DD

D

D

19,6857,18050

76,416,1204

43,6322,4472 =

=

=

A corrente no capacitor

[ ]mAX

VI

C

C

C

D

D

D

D

81,2114,3790500

19,6857,18

90=

=

=

VF

VC

IC

-68,19o21,81

o

Figura 2. Diagrama fasorial da tenso e corrente no capacitor.


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Usando o circuito equivalente de Thvenin para o clculo da tenso e corrente emC, tem-se que o circuito da Figura 1 ser decomposto em circuito a ser

equivalenciado e a carga.

O circuito a ser equivalenciado e a carga como mostrado na Figura 3.

Figura 3. Circuito a ser equivalenciado e sua carga.

A tenso de Thvenin que a tenso de circuito aberto dada por:

[ ]

2

1 2

1000

50 0 24, 25 14,042000 500

TH F

L

RV V

R R jX

Vj

= + +

= = +

D D

A corrente de curto circuito nos terminais do circuito a ser equivalenciado dadapor:

[ ]1

50 00,045 26,57

1000 500F

cc

L

VI A

R jX j

= = =

+ +

D

D

A impedncia de Thvenin obtida por:

[ ]24,25 14,04

542,25 12,530,045 26,57

THTH

cc

VZ

I

= = =

D

D

D

A impedncia de Thvenin poderia ainda ser obtida considerando a impednciaequivalente do circuito da Figura 3 (a), vista dos terminais abertos, com as fontesindependentes desativadas, substitudas por suas impedncias internas.

1k

~

R1

R2VF=500

o

XL

1k 500

(a)

XC500

Carga

(b)


27/100

Figura 4. Circuito para clculo da impedncia de Thvenin.

( )[ ]

1 2

1 2 542,25 12,53L

TH

L

R jX R

Z R R jX

+

= = + +D

c.q.d.

O circuito de Thvenin constitui-se em uma fonte em srie com uma impedncia.Assim, o circuito de Thvenin alimentar a carga XC, como mostra a Figura 5.

Figura 5.

A tenso sobre C dada por:

[ ]

500 90 24,25 14,04542,25 12,53 500 90

18,57 68,20

CC TH

TH C

jXV V

Z jX

V

=

= +

=

D

D

D D

D

c.q.d.

A corrente em XC obtida por:

[ ]24,25 14,04

37,14 21,8542, 25 12,53 500 90

THC

TH C

VI mA

Z jX

= = =

+

D

D

D D

c.q.d.

~

RTH

VTH

XTH

XC500

Carga

1kR2

500

R1 XL

1k


28/100

b) O circuito visto pela fonte apresenta impedncia [ ]= D76,416,1204TZ , sendo,

portanto de natureza indutiva.

c) A corrente total entregue pela fonte.

[ ]mAZ

VI

T

FT

D

D

D

76,452,4176,416,1204

050=

==

d) O fator de potncia de deslocamento

( ) 997,076,4coscos ===DFPD atrasado ou indutivo.

e) A potncia entregue pela fonte.

( ) ( )[ ]VAj

IVS TFT

173,007,276,408,2

76,41052,41050 3*

+==

==

D

DD

A potncia absorvida pelo indutor.

( ) VArjjIXQ TLL 862,01052,41500232 ===

A potncia fornecida pelo capacitor.

( ) VArjjIXQ CCC 690,01014,37500232 ===

A potncia reativa resultante no circuito

( ) [ ]VArjjQQQ CL 172,0690,0862,0 ===


29/100

2. Determine a tenso sobre cada componente do circuito e desenhe o diagramafasorial de tenso e corrente.

Figura 6.

Impedncias nos ramos( ) ( ) [ ]=== 32,628105010222 6611 LfXL

( ) ( ) [ ]=== 64,12561010010222 6622 LfXL

A tenso nos terminais de cada componente do circuito pode ser obtida por divisorde tenso.

[ ]VVjXR

RV F

L

R

DD

D

29,6225,2305029,6271,709

330

11

11 =

=

+=

[ ]VVjXR

jXV F

L

LXL

DD

D

D

71,2727,4405029,6271,709

9032,628

11

11 =

=

+=

ou simplesmente

( ) [ ]

1 1

50 0 23,25 62,29

50 10,80 20,57 39, 2 20,57 44,27 27,69

XL F RV V V

j j V

= =

= = =

D D

D

A tenso nos componentes do ramo 2:

[ ]222 2

100050 0 31,13 51,49

1605,97 51,49R FL

RV V V

R jX

= = = +

D D

D

330 1k

L2

100HL1

50H

R1 R2

VF=500o

f=2MHz~


30/100

[ ]VVjXR

jXV F

L

LXL

DD

D

D

51,3812,3905049,5197,1605

9064,1256

22

22 =

=

+=

ou

( ) [ ]

2 2

50 0 31,13 51, 49

50 19,38 24,36 30,63 24,36 39,12 38,50

XL F RV V V

j j V

=

=

= = + =

D D

D

A tenso pode tambm ser calculada calculando-se a corrente que flui atravs decada um dos componentes.

11

FVIZ

=

Em que

( ) ( ) ( )

[ ]=

+=

+=+=

D29,6271,709

33032,62832,628330 1221

1121

21111

tg

RX

tgXRjXRZ LLL

Portanto:

[ ]mAZ

VI F

D

D

D

29,6245,7029,6271,709

050

11 =

==

A corrente no ramo 2:

[ ]mAZ

VI F D

D

D

49,5113,3149,5197,1605

050

22 =

==

em que

( ) ( ) ( )

[ ]=

+=

+=+=

D49,5197,1605

100064,125664,12561000 1222

2122

22222

tg

RX

tgXRjXRZ LLL


31/100

Assim, a tenso nos terminais dos componentes dada por:

( ) ( ) [ ]1 1 1

370,45 10 62,29 330 23,25 62,29

RV I R

V

=

= = D D

( ) [ ]1 1 1

370, 45 10 62, 29 628,32 90 44, 27 27,71

L LV I X

V

=

= = D D D

[ ]2 2 2 31,13 51, 49RV I R V = = D

[ ]2 2 2 39,12 38,51L LV I X V = = D

O diagrama fasorial para as tenses e correntes:

Figura 7.

3. Que valor de capacitor de acoplamento necessrio ao circuito abaixo tal que osinal de tenso na entrada do amplificador 2 seja no mnimo 70,7% do sinal detenso da sada do amplificador 1 quando a freqncia de 20 Hz?

Figura 8.

C

100

Amplificador 1 Amplificador 2

VF

I1

VR1

VXL1

VF

I2VR2

VXL2

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

1

1

2

2

50 0

70,45 62,29

31,13 51, 4923, 25 62, 29

44,27 27,71

31,13 51, 49

39,12 38,51

F

R

XL

R

XL

V V

I mA

I mA

V V

V V

V V

V V

=

=

= =

=

=

=

D

D

D

D

D

D

D


32/100

O circuito RC srie defasador adiantado, i.., a tenso de sada sobre oAmplificador 2 adiantada da tenso de entrada dada pelo Amplificador 1.

E2C

2RV

XR

RV

+=

Nota-se pela expresso de |VR| que para freqncias altas a tenso de sada sofrepouca atenuao, se trata, portanto de um filtro passa alta.

Como 707,0=E

R

V

V, tem-se que:

( )( )

( ) 222

2

100

100707,0

CX+=

32 101050005,0 =+CX

[ ]= 100CX (positiva)

Cf2

1

XC = FXfC C 77,795100202

1

2

1

===

A freqncia de 20 Hz do circuito denominada de freqncia de corte.

4. Para o filtro RC mostrado na Figura 1, calcular:

Figura 9. Filtro RC.

a) A constante de tempo para o filtro.b) A freqncia de corte do filtro.c) Qual seria o resultado se a entrada fosse de 5V CC? Qual a tenso atravs do

resistor?


33/100

d) Qual seria o resultado se fosse 5V CA em uma freqncia muito alta? Nestecaso, qual a tenso atravs do resistor?

A constante de tempo para o filtro dada por:

( ) ( ) [ ]3 6 310 10 0,01 10 0,1 10RC s = = =

A freqncia de corte de um filtro RC obtida para a condio em que:

RCfC

=2

1

RC2

1fC

=

1

c

= Portanto,

[ ]31 1

1591,55

2 2 0,1 10

cf Hz

= = =

Se a tenso da fonte fosse contnua e igual a 5V, a reatncia capacitiva seriainfinita e a tenso de sada seria igual entrada, i.., 5V. A tenso no resistor serianula uma vez que a corrente zero.

Se a tenso da fonte fosse alternada de 5V a uma freqncia muito alta, a reatnciacapacitiva seria pequena e a tenso de sada seria dada por:

( )[ ]

2 2

3

23 2

10 105 5

10 10 0

R F

c

RV V

R X

V

= +

= = +


34/100

4. Em que valor deve ser ajustado o reostato do circuito abaixo de modo que acorrente total seja de 10 mA? Qual o ngulo da corrente?

Figura 10.

=== 10001010 10 3I

VZ F

2C

22 XRZ +=

( ) ( )=

=

=

589

10027,010102

12

163

CfXC

( ) ( ) [ ]=== 13,8085891000 2222 CXZR

O ngulo da corrente e dado por

( )

1

3 61 1 2 10 10 0,027 10 36,11808,13

CXtgR

tg

=

= =

D

ou

[ ]310 0

10 10 36,11808,13 589, 46

FVI AZ j

= = =

D

D

R

C

0,027F~

10mA

VF=100o V

f=10kHz


35/100

5. Calcular a tenso de sada do circuito da Figura 11 usando equivalncia deimpedncias Y.

Figura 11.

A reatncia capacitiva do circuito Xc entre os terminais a-n dada por:

[ ]121

3183,012 100 500 10c

X k

= =

As impedncias vistas dos terminais a, b, c so calculadas por:

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZ

cn

ancncnbnbnanab

++=

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZan

ancncnbnbnanbc

++=

Z

Z.ZZ.ZZ.ZZbn

ancncnbnbnanca

++=

( )

( )

3 6 2

3 2

3 2

3183 10 1000 3183 101000 2200 2,2 10

2200 3183 10 7002,6

an bn

bn cn

cn an

Z Z j j

Z Z

Z Z j j

= =

= =

= =

3 6 2

6 2

2, 2 10 10.185,63 10

3183,01 10

an bn bn cn cn anZ Z Z Z Z Z j

j

+ + =

=

a b

c

n


36/100

[ ]

an bn bn cn cn an

cn

6

3

. . .Z Z Z Z Z Z

Z3183,01 101446,82

2,2 10

abZ

jj k

+ +=

= =

[ ]

an bn bn cn cn an

an

6

3

. . .Z Z Z Z Z Z

Z

3183,01 101000

3183 10

bcZ

jj k

+ +=

= =

[ ]

an bn bn cn cn an

bn

6

3

. . .Z Z Z Z Z Z

Z

3183,01 103183,01

1 10

caZ

jj k

+ +=

= =

A impedncia Zbc est em paralelo resistncia R3, que resulta em:

( ) ( )[ ]

3 6

33 3 63

1 10 1 10 901 10 901 10 1 10

bc

bc

R ZZ kR Z j

= = = +

D

D A tenso sobre Z que a mesma sobre R3 obtida aplicando-se divisor de tenso,em que:

[ ]3

3

1 105 0 2,84 55,35

1 10 1446,82

Z F

ab

ZV V

Z Z

Vj

=

+

= =

D D


37/100

6. Um motor absorve da rede eltrica uma potncia de 5kW em 220V / 60Hz comFPD=0,6 indutivo. Determine o capacitor para aumentar o fator de potncia de

deslocamento para 0,9 indutivo.

[ ]35 10

8,340,6D

PFP S kVA

S

= = =

A potncia reativa absorvida da rede pelo motor:

( ) [ ]2 2 2 2 68,34 5 10 6,67Q S P kVAr = = =

Se o fator de potncia de deslocamento deve ser aumentado para 0,9, considerandoque o trabalho realizado pela carga o mesmo, i., a potncia til consumida pelacarga de 5kW, tem-se que:

( )1cos 0,9 25,84 = D

( )25,84 0,48Q

tgP

= =D

Como P=5kW, a potncia reativa Q fornecida pela rede ao motor de:

[ ]30,48 5 10 2,42Q kVAr = =

Desta forma a potncia reativa fornecida pelo capacitor ao motor:

[ ]6,67 2,42 4,25CQ Q Q kVAr = = =

Considerando que o banco de capacitores ligado em paralelo ao motor que opera

em 220 V, tem-se que a capacitncia do banco de capacitores dada por:

( )[ ]

22

3

22011,39

4, 25 10c c

VX

Q= = =

[ ]1 1

2342 60 11,39c

C FX

= = =

S0,6

S0,9

QC


38/100

7. Uma carga indutiva dissipa 1kW com corrente 10A / 60Hz com =60o.

a) Determine o capacitor para corrigir o fator de potncia de deslocamento para0,85 atrasado;b) Calcule a corrente total fornecida pela fonte aps a correo;c) Determine a potncia aparente total aps a correo.

O ngulo representa o defasamento entre tenso e corrente da carga, sendo ongulo do tringulo de potncia. Assim, a potncia reativa absorvida pela cargaindutiva antes da correo do fator de potncia de deslocamento igual a:

( ) ( ) [ ]360 1 10 1,73Q tg P tg kVAr = = =D

Como o fator de potncia dever ser corrigido para 0,85, a nova potncia reativaabsorvida da rede pela carga de:

( )1cos 0,85 31,79 = = D

( ) ( ) [ ]331,79 1 10 619,78Q tg P tg VAr = = =D

A compensao de reativo fornecida pelos capacitores de:

[ ]1730,0 619,78 1,11cQ Q Q kVAr = = =

A potncia aparente para a condio anterior correo do FPD dada por:

[ ]1,1

10002,0

0,5D

PS kVA

FP= = =

A magnitude da tenso que alimenta a carga indutiva pode ser obtida por:

[ ]2000

20010

SV V

I= = =

Assim, a capacitncia do banco pode ser calculada por:

( )[ ]22

111073,61

377 200cQC F

V

= = =


39/100

A potncia aparente aps a correo do FPD dada por:

[ ]2,2

10001176,47

0,85D

PS VA

FP= = =

A corrente entregue pela fonte carga aps a correo do FPD dada por:

[ ]221176,47

5,88200

SI A

V= = =

Qual a corrente suprida pelo capacitor?Considerando a tenso da fonte de alimentao como referncia angular, tem-se:

[ ]200 0V V= D

O fasor corrente da carga indutiva igual a:

[ ]1 10 60I A= D

E o fasor corrente aps a correo do fator de potncia de deslocamento igual a:

[ ]2 5,88 31,79I A= D

Assim a corrente no ramo do capacitor dada por:

( ) ( ) [ ]2 1

2 1 5,88 31,79 10 60 5,56

c

c

I I I

I I I j A

= +

= = =D D

Note que o sinal da corrente no capacitor positivo. Note ainda que no seriacorreto simplesmente operar com os valores eficazes das correntes para obtenoda corrente no ramo do capacitor. Note ainda que considerando a correnteencontrada para Ic, a potncia no ramo capacitivo resulta em:

( ) ( ) [ ]200 0 5,56 90 1,11cQ V I kVAr = = =D D

I2 Ic

I1


40/100

8. Em uma instalao fabril tem-se uma subestao de 1500kW com FPD=0,8 ind.Deseja-se adicionar uma carga de 250kW com FPD=0,85 ind. Qual a potncia

reativa do capacitor que deve ser adicionada para que a subestao no sejasobrecarregada?

O deslocamento angular entre a tenso e corrente supridas pela SE de 1500kW de:

( )1cos 0,8 36,87 = = D

A potncia reativa ento dada por:

( ) ( ) [ ]3

36,87 1500 10 1125Q tg P tg kVAr = = =

D

A potncia aparente complexa da SE de:

[ ] [ ]1 1500 1125 1875 36,78S j kVA kVA= + = D

A potncia complexa da carga adicional de:

( )

[ ]

31

2

250 10cos 0,85 31,79

0,85294,12 31,79 245 154,94

D

PS

FPj kVA

= =

= = +

D

D

A potncia total antes da correo de:

( ) ( )

[ ]

1500 1125 245 154,94

1745 1279, 94 2164,1 36, 26

TS j j

j kVA

= + + +

= + = D

Considerando que a SE suprir a potencia til total de 1745kW, para que no haja

sobrecarga na SE ser necessria que a potncia reativa indutiva na SE seja igual a:

( ) ( ) [ ]2 22 2

1 1875 1745 686TQ S P kVAr = = =

Portanto, faz se necessrio compensar com banco de capacitores o equivalente a:

[ ]1279, 94 686 594c TQ Q Q kVAr = = =


41/100

Captulo 05Exerccios


42/100

Prof Ruth P. S. Leo Email: [email protected]



LISTA DE EXERCCIOS

1. Determine a freqncia de ressonncia em rad/s e em Hz para os seguintescasos de circuito srie ou tanque ideal:a) L= 300 H e C= 0,005 F

b) L= 250 H e C= 400 pF

[ ] [ ]0 6 61 1

816,5 129,95300 10 0,005 10

krad s kHzLC

= = =

[ ] [ ]0 6 121 1

3162,28 503,29250 10 400 10

krad s kHzLC

= = =

2. Qual o valor do indutor necessrio para obter a ressonncia em 1500 kHz comuma capacitncia de 250 pF?

( )[ ]20 22 3 12

0

1 1 145

2 1500 10 250 10L H

LC C

= = = =

3. Qual o capacitor que dever ser colocado em srie com um indutor de 500 mHpara haver ressonncia em 50 Hz?

( )

[ ]0 22 30

1 1 120,26

2 50 500 10C F

LLC

= = = =

4. Um circuito srie formado por R=125, L=800 mH e C=220pF. Qual o valorda impedncia (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torn-loressonante a 10 kHz?

[ ]3 32 10 10 800 10 50,27LX j L j j k = = =

[ ]3 121 1

72,342 10 10 220 10C

X j j j kC

= = =


43/100


Para os valores de L e C, o circuito RLC srie no est em ressonncia nafreqncia de 10 kHz. Para que o circuito seja ressonante a 10 kHz pode-se

adicionar, em srie, um valor de reatncia indutiva complementar para igualar-se reatncia capacitiva do circuito.

[ ] [ ]3

3

22, 07 1022,07 0,35

2 10 10L

L

XX j k L H

= = = =

A indutncia total do circuito ento igual a: [ ]0,35 0,8 1,15TL H= + = .

Neste caso

[ ]3, 2 10 10 1,15 72,26L T TX j L j k = = =

Uma outra possibilidade associar em paralelo um outro capacitor ao jexistente com o fim de aumentar a capacitncia total e diminuir a reatnciacapacitiva total para j50,27 k.

[ ]

[ ]

1 2

3 3

,

2 2

1 1316,60

2 10 10 50,27 10

316,60 220 96, 6

T

T

C T

T

C C C

C pFX

C C C pF

= +

= = =

= = =

Para que o circuito seja ressonante a 10 kHz pode-se adicionar, em paralelo, umcapacitor de 96,9 pF em paralelo ao capacitor de 220 pF de modo que areatncia capacitiva total seja igual reatncia indutiva do circuito.

5. Determine a freqncia ressonante srie do circuito da Fig. 1 e a impedncia docircuito para freqncias igual, abaixo e acima de 0.

VF

R

10L

100m

1

2

C

0.01u

0 0 Fig. 1 Circuito RLC Srie.


44/100


A freqncia ressonante em um circuito RLC srie dada por:

( ) ( ) s/rad78,316221001.010100 1LC1 630 =

==

ou

Hz92,50322

f 00 ==

Em 0 a impedncia do circuito de apenas: Z=R=10.

Em um circuito RLC srie a magnitude e o ngulo de fase da impedncia do

circuito so dados por:

=

+=

R

CLtg

C

LRZ

)/1(

1

1

2

2

O comportamento do circuito para valores de freqncia menores e maiores que a

freqncia ressonante mostrado nas Figs 2 e 3.

Fig.2 Variao de |VC|, |VL|, |VR| com a freqncia para Q pequeno.


45/100


Fig.3 Variao de |VC|, |VL|, |VR| com a freqncia para Q grande.

Nota-se que para < 0 |VC| > |VL|, o que denota impedncia do circuito comcomponente imaginria capacitiva dominante (corrente comum).

Por outro lado, para > 0 |VC| < |VL|, o que denota impedncia comcomponente imaginria dominantemente indutiva.

Para freqncias abaixo de 0, considerando:

0 2000 5032, 92 2000, 0 3032, 92f f Hz= = =

implica em impedncia predominantemente capacitiva e igual a:

( ) ==+=

+=

+=

D83,8995,334194,3341j1058,524764,1905j10

1001,092,30322

11010092,30322j10

fC2

1fL2jRZ

63

Para freqncias acima de 0, considerando:

0 2000 5032, 92 2000 7032, 92f f Hz= + = + =

Implica em impedncia predominantemente indutiva e igual a:


46/100


( )

36

12

2

110 2 7032,92 100 102 7032,92 0,01 10

10 4418,91 2263,0 10 2155,91 2155,93 89,73

Z R j f Lf C

j

j j

= +

= +

= + = + = D

6. Quais as freqncias de corte e a banda de passagem do circuito ressonante daFig.1?

As freqncias de corte para um circuito RLC ressonante podem ser expressascomo:

2

1

2

2

1

2 2

1

2 2

R R

L L LC

R R

L L LC

= + +

= + +

Assim:

3

1050

2 2 100 10

R

L= =

63 6

1 11000 10

100 10 0,01 10LC = =

( )

[ ]

( ) [ ]

2 61

2 92

50 50 1000 10

50 31622,82 31572,82

50 50 1 10 31672,82

rad s

rad s

= + +

= + =

= + + =

A banda de passagem:

[ ]2 1 31672,82 31572,82 100 rad s = = =

A banda de passagem tambm obtida por:

[ ]310

100100 10

Rrad s

L

= = =


47/100


7. Calcule |I|, |VR|, |VL| e |VC| na ressonncia para o circuito da Fig. 4.

R

2.2k

XL

1k

1 2

XC

1k

0 0

VF50V

Fig. 4 Circuito RLC Srie.

Na ressonncia, |I| mximo e a tenso da fonte est aplicada sobre R:

( )0 350

22,72,2 10

FV

I mAR

= = =

Pela Lei de Ohm, tem-se que:

( )( ) V50102,2.107,22IRV 33R === Ou

[ ]50R FV V V= =

Na ressonncia, as tenses sobre o indutor e o capacitor so iguais em magnitude eopostas em fase.

L CV V=

( ) ( ) [ ]3 30 90 22,7 10 1,0 10 90 22,7 90L LV I X V = = = D D D D

( ) ( ) [ ]3 30 90 22,7 10 1,0 10 90 22,7 90C C CV IX I X V = = = = D D D D

Note que na ressonncia |VL| e |VC| so menores que |VR|, assemelhando-se aogrfico da Fig. 1.

8. Para o circuito da Fig. 4, determine o fator de qualidade Q do circuito.

Note que |VL|=|VC| menor que |VF|, denotando um circuito de baixa seletividade.

Na ressonncia tem-se que:


48/100


( )

( )

0 0 0

0

0 0

F LL F F

F

C F

V XV I L L V Q V

R R

I VV Q V

C CR

= = = =

= = =

Ento

454,050

7,22

V

VQ

F

L ===

O fator de qualidade Q de um circuito RLC srie pode tambm ser calculado por:

454,0101102,2

1XX

R

1

C

L

R

1Q 6

3CL=

===

Qual o valor de L e de C para o circuito da Fig.4?

9. Determine as correntes em cada ramo e a corrente total do circuito da Fig. 5.Est o circuito operando em uma freqncia menor, igual, ou maior que afreqncia de ressonncia?

VF5/0oR

2.2

XC

5

XL10

1

2

0 0 0 0 Fig. 5 Circuito RLC Paralelo

A corrente em cada ramo:

A027,22,2 05RVIF

RD

D

===

A901905

05

90X

VI

C

FC

D

D

D

D

=

=

=

A905,09010

05

90X

VI

L

FL

D

D

D

D

=

=

=


49/100


A corrente total:

A4,1232,25,0j27,2905,0901027,2IIII LCR

DDDD =+=++=++=

O circuito apresenta caractersticas capacitivas (corrente total adiantada da tenso),portanto opera com freqncia acima da ressonante.

Na ressonncia, BL=BC.

Fig. 6 Curva da impedncia em circuito paralelo.

Como

[ ]SjX

BL

L 1,09010

1

90

1=

=

=

DD

e

[ ]SjX

BC

C 2,0905

1

90

1=

=

=

DD

so diferentes, o circuito no opera em ressonncia. No entanto, XL>XC, o queindica uma freqncia de operao acima da freqncia ressonante (>0).

Com base na expresso:

CL

CL

XX

XjXZ

=

note que para freqncias baixas, XL pequena e domina no valor resultante de Z,o circuito portanto tem caractersticas indutivas. Ao contrrio, para freqncias

XL < XC XC < XL

Indutivo Capacitivo


50/100


altas, XC pequena e domina no valor resultante de Z e o circuito tem, portanto,caractersticas capacitivas.

10.Considere o circuito abaixo:

Figura 7. Circuito RLC ressonante.

Qual a freqncia ressonante? Qual a largura de banda? Qual o fator dequalidade Q? E quais as freqncias de corte?

[ ]0 6 31 1

14.586,50,1 10 47 10

rad sLC

= = =

A largura de banda de passagem em um circuito RLC paralelo dada por:

G

C =

Como a condutncia do circuito dada por: 1G R=

Tem-se que a largura da banda de passagem de:

[ ]4 71 1

100010 10

Grad s

C RC = = = =

O fator de qualidade:

0 14586,5 14,61000

Q

= = =

O fator de qualidade para um circuito RLC paralelo tambm obtido por:

63

3

1 0,1 1010 10 14,59

47 10

C CQ R

G L L

= = = =


51/100


As freqncias de corte podem ser obtidas em funo de (0, ) ou em funo de(0, Q).

20

2

1 22

+

+= 20

2

2 22

+

+=

Considerando que:

[ ]

( ) [ ]2 22 3

0

1000500

2 2

14.586, 5 212.765, 98 10

rad s

rad s

= =

= =

Assim,

( )

[ ]

222 3

1 0 500 500 212.765,98 102 2

500 14.595,07 14.095,07 rad s

= + + = + +

= + =

[ ]2

22 0 500 14.595,07 15.095,072 2

rad s

= + + = + =

As freqncias de corte tambm podem ser calculas a partir da freqncia

central 0 e Q.2

1 0

2

2 0

1 11

2 2

1 11

2 2

Q Q

Q Q

= +

= + +

Tem-se que:1 1

0,03432 2 14,59Q

= =


52/100


( ) [ ]

( ) [ ]

22

1 0

22

2 0

1 11 14.586,5 0,0343 1 0,0343 14.094,76

2 2

1 11 14.586,5 0,0343 1 0,0343 15.095,39

2 2

rad sQ Q

rad sQ Q

= + = + =

= + + = + + =

As freqncias de corte tambm podem ser calculas a partir da expressoanloga ou dual s freqncias de corte para um circuito RLC srie.

2

1

1

2 2

G G

C C LC

= + +

3 6

1 1500

2 2 10 10 0,1 10RC = =

3 6

1 1212.765.957,45

47 10 0,1 10LC = =

( )

[ ]

( )

[ ]

2

1

2

2

500 500 212.765.957, 45

500 14595,07 14.095,07

500 500 212.765.957,45

15095,07

rad s

rad s

= + +

= + =

= + +

=

11.Para o circuito srie paralelo da Fig. 8 calcule o circuito tanque equivalente.

R

4.7k C

0.02u

L5m

1

2

0 0 0 0

VF15.9kHz

Rw

25

Fig.8 Circuito RLC Paralelo.

Converso do ramo srie em ramo paralelo:


53/100


L5m

1

2

0

Rw

25

Rp Lp

1

2

0

( ) ( ) pP22

w22

w

w

pPw

PS

L

1

jR

1

LR

L

jLR

R

L

1j

R

1

LjR

1

YY

=++

=+

=

( )22

w

P

w

R LR

R

+=

( )22

2

w

p

R LL

L

+=

A resistncia total do circuito tanque:

PT

P

R RR

R R

=

+

12.Qual a freqncia ressonante 0 e o fator de qualidade Q do circuito tanque noideal da Fig.8?

Na ressonncia BL=BC

( )C

LR

L

w

=+ 22

2

2

0

L

C

R C L

R C L

LC

=

Como RC=0, tem-se que:


54/100


( ) ( )

( ) ( ) [ ]

2 62

3

0 3 6

25 0,02 1011

5 10

99.874,925 10 0,02 10

LR C

L

rad sLC

= = =

A freqncia ressonante pode ser obtida para o circuito tanque ideal equivalente,i..,

0

1

pL C

=

A indutncia Lp do circuito tanque equivalente ideal na ressonncia dada por:

( ) ( ) ( )

( )[ ]

222 3 320

22 3 30

25 99,87 10 5 100,005

99,87 10 5 10

w

p

R LL H

L

+ += = =

Assim

[ ]0 3 61 1

1005 10 0,02 10p

k rad sL C

= = =

O fator de qualidade de um circuito paralelo dado por:

0Q

=

em que a banda passante para o circuito tanque equivalente:

1

T

G

C R C = =

Assim Q dado por:

1

1P

T

pT

L C CQ R

LR C

= =

Na ressonncia RT dado pelo paralelismo entre Rp e R, em que Rp depende dafreqncia considerada.


55/100


( ) ( ) ( )[ ]

222 3 320

25 100 10 5 1010025

25w

P

w

R LR

R

+ +

= = =

[ ]310025 4,7 10

3199,8310025 4700

PT

P

R RR

R R

= = =

+ +

A indutncia Lp do circuito tanque equivalente ideal na ressonncia dada por:

( ) ( ) ( )

( )[ ]

222 3 320

22 3 30

25 100 10 5 100,50

100 10 5 10

w

p

R LL H

L

+ += = =

Assim Q na ressonncia pode ser obtido:

60, 02 103199,83 0,64

0,5T p

CQ R

L

= = =

Assim, a freqncia ressonante obtida a partir de Q:

( )( )

srad

Q

Q

LC

58,154131541358,0100000

1156,0

156,0

1002,0105

1

1

1

2

2

63

2

2

0

==

+=

+=

13.O circuito a-b da Figura 9 deve deixar passar uma corrente de 45 kHz comimpedncia mnima e bloquear uma corrente de 15 kHz to eficazmente quanto

possvel. R0=20, R1=40 , e C2=0,05 F so constantes. A resistncia docapacitor desprezvel. L1 susceptvel de ser variado por toda a faixa

necessria e suposto que a resistncia do ramo 1 40 quando L1 fixado novalor desejado. Certo valor de C0 ou de L0 (de suposta resistnciadesprezivelmente pequena) deve ser colocado em srie com R0 para se obter oefeito seletivo estabelecido anteriormente.


56/100


Figura 9 Circuito RLC misto.

a) Determinar L1 que colocar o circuito em paralelo b-c em ressonnciaparalela em 15 kHz.

b) Calcular a impedncia equivalente de b a c em 45 kHz com L1 ajustado paraseu valor ressonante em 15 kHz. b-c predominantemente capacitivo ou

predominantemente indutivo em 45 kHz?c) Qual o tipo de reatncia (indutiva ou capacitiva) que deve ser disposta em

srie com R0 para levar o ramo a-b a ressonncia em srie? Calcular o valorde L0 ou C0 que necessrio para colocar o circuito ab em ressonncia emsrie em 45 kHz.

d) Supondo-se que o ramo a-b foi colocado em ressonncia em srie em 45kHz, qual a impedncia real de a-b em 45 kHz? Em 15 kHz?

e) Delinear o processo acima para o efeito sintonizador inverso, i.., para ocircuito a-b deixar passar 15 kHz e bloquear 45 kHz.

Soluo:a) A condio de ressonncia paralela para o ramo b-c dada por:

122 2 2

1 1

L CB B

LC

R L

=

=+

Desenvolvendo a equao para L1, tem-se:

02121212

2 =+ RCLLC

22

21

22

2

1 2

411

C

RCL

=

[ ]sradf 78,94247101522 3 ===

( ) ( ) ( )( )

264,888

926,01

264,888

142,011

1005,078,942472

401005,078,9424741162

2262

1

=

=

=

L

L1


57/100


[ ]

[ ]mHL

mHL

083,0264,888

074,0

168,2

264,888

926,1

2

1

==

==

A indutncia igual a 2,168 mH ser selecionada uma vez que produzir uma menorcondutncia na condio de ressonncia (i.., maior impedncia) contribuindo deforma eficaz para um menor valor da corrente bloqueada em 15 kHz.

b) A impedncia equivalente de b a c em 45 kHz com L1 ajustado para seu valorressonante em 15 kHz.

( ) ( )( )211

211,

CL

CLbceq

XXjR

jXjXRZ

++

=

( ) [ ]( ) [ ]==

===

74,701005,0104521

99,61210168,21045263

2

3311

C

L

X

LX

Ento:

( ) ( )

( )[ ]=

=

+

+= D

D

D

51,8992,79

78,8572,543

73,314,43455

74,7099,61240

74,7099,61240,

j

jjZ

bceq

A impedncia equivalente Zeq,bc predominantemente capacitiva.

c) Para levar o ramo a-b a ressonncia srie deve-se inserir uma reatncia indutivaem srie com R0.

O valor de L0 que leve o ramo a-b ressonncia a 45 kHz dado por:

( )( )

[ ]mHsen

LZL bceq 283,034,282743

93,79

10452

51,8993,79

0Im 30,045 ====

D

d) A impedncia do ramo a-b a 45 kHz?

[ ]

,45 0 , 20 79,92 89,51

20 0,68 79,92 82,55 75,49

ab eq bcZ R Z

j

= + = +

= + =

D

D

A impedncia do ramo a-b a 15 kHz?


58/100


A resistncia do ramo a-b a 15 kHz dada por:

( ) ( )

[ ]

,15 0 15 015

22 3 3

3 3

1

40 2 15 10 2,168 1020 2 15 10 0,283 10

40

20 26, 67 1083, 76 1104, 08 1,38

abZ R j L

G

j

j

= + +

+ = + +

= + + = D


59/100

Captulo 06Exerccios


60/100

Prof. Ruth P.S. Leo Email: [email protected] HP:www.dee.ufc.br/~rleao



LISTA DE EXERCCIOS

1. Calcular a corrente no ramo bc para o circuito da Figura 1.1ohm

4 ohms

1

2

3 omhs

0

Zg1=1+j3 ohms

100+j0 v olts

2 ohms

2 ohms 8 ohms

Zg2=1+j5 ohms

43,3+j25 v olts

Figura 1

O circuito apresenta duas fontes, e pelo teorema da superposio a sua soluopode ser obtida investigando-se a contribuio de cada uma delas,

independentemente, para a resposta do circuito.

Inicialmente admite-se que a fonte g2 desativada, Eg2=0, sendo substituda porsua impedncia interna.

1ohm

4 ohms

1

2

3 omhs

0

Zg1=1+j3 ohms

100+j0 v olts

2 ohms

2 ohms 8 ohms

5 ohms

1

2

1 ohm

Figura 1.a.

( ) ( ) ( )( )

=+=++

+=

++

+= D17,772,3462,069,3

4233

4233

2

2j

jj

jj

ZZZ

ZZZZ

cdgce

cdgce

cf

b

a

c

d

e

f

b

a

c

d

e

f

Ibc


61/100


( ) ( ) ( ) =+=++++=++= D64,471,5462,069,5462,069,331311 jjjjZZZZ cfbcgbf

AjjjIbc

D65,449,17417,143,17462,069,50100 ==

++=

Admite-se agora que Eg1=0, substituda por sua impedncia interna.

1ohm

4 ohms

1

2

3 omhs

0

2 ohms

2 ohms 8 ohms

3 ohms

1

2

1 ohm

Zg2=1+j5 ohms

43,3+j25 v olts

Figura 1.b.

( ) ( ) ( ) ( )=+=

++

+++=

++

+= D43,1858,15,05,1

422

423131j

j

jjj

ZZZ

ZZZZ

cdbcab

cdbcab

ca

A impedncia vista pela fonte Zg2:

==++++=++= D05,2915,55,25,45,05,182512 jjjjZZZZ cacegea

A corrente no ramo ec:

Ajj

j

Z

EI

ea

g

ec

D06,5972,934,855,25,4

253,432=+=

+==

Aplicando divisor de corrente para determinar a contribuio de Eg2 no ramo bc:

( )( )

( ) Ajjj

jI

ZZZ

ZI ec

cdgcb

cd

bc

D52,7768,75,766,134,8544

42

1

=+=++

+=

++=

A corrente no ramo bc ento:

AjjjIII bcbcbcD49,2912,18917,877,155,766,1417,143,17 ====

b

a

c

d

e

f

Ibc


62/100


2. Calcule a corrente que circular na carga ZL=300o quando conectada aosterminais ab do circuito mostrado na Figura 2. Considere que a impedncia da

fonte desprezvel.

0

100+j0 v olts

j10 ohms

1 2

j10 ohms

1 2

-j20 omhs

Figura 2

Se uma impedncia Z for conectada entre dois pontos quaisquer de uma redeenergizada, a corrente resultante I, atravs desta impedncia, a diferena de

potencial V entre estes dois pontos, antes da conexo (ou VTH), dividida pela somada impedncia conectada Z e da impedncia Z0, onde Z0 (ou ZTH) a impednciado resto da rede quando vista dos terminais atravs dos quais conectada aimpedncia Z.

Para o clculo da tenso Vab (antes da conexo de ZL), tem-se que:

+===

cdec

F

cdcdcdcdabZZ

VZIZVV

( )V

jjjVV THab

D

D

02002010

010020 =

==

Na determinao da impedncia equivalente vista dos terminais ab, todas as fontesde f.e.m. devem ser supostas nulas e substitudas por suas impedncias internas.

( ) ( )=

+=

+

+= 30

2010

201010 j

jj

jjj

ZZ

ZZZZ

cecd

cecd

acTH

a

b

c

d

e


63/100


0

VTH=200+j0 v olts

ZTH=j30 ohms

1 2

ZL=30 ohms

Figura 2.a.

De acordo com o teorema de Thvenin, a corrente na carga:

AjZZ

VI

LTH

TH

L

D

D

4572,43030

0200=

+

=

+=

Note que a tenso Vab com a carga difere da condio sem a carga:

Vab= 141,6-45V VTH = 2000oV

3. dado o circuito mostrado na Figura 3. Determinar a potncia entregue a umacarga com impedncia Zab=3+j3 que suposta como conectada nos terminaisab.

2 ohms

0

Zg1=1+j1 ohms

44,71+j22,38 v olts

1 ohm

Zg2=2+j1 ohms

100+j0 v olts-j5 omhs

j3 ohms1 2

j3 ohms1 2

Figura 3

A potncia entregue impedncia Zab calculada por:

*ZabZabZab IVS =

Usando o teorema de Thvenin, ser calculada a tenso Vab antes da conexo deZab. Para tanto, ser aplicado o teorema da superposio a fim de conhecer a

a b

a

b


64/100


corrente que circula na resistncia de 1 como contribuio de cada uma dasfontes.

Considerando Eg2 desativada, sendo substituda por sua impedncia interna, tem-seque a impedncia do circuito vista por Eg1 dada por:

2 ohms

0

Zg1=1+j1 ohms

44,71+j22,38 v olts

1 ohm

-j5 omhs

j3 ohms1 2

j3 ohms1 2

j1 ohm

1

2

2 ohms

Figura 3.a.

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

=+=

++=

+++=

+++

+++++++=

D

D

13,861,105,15,10

44,1891,74313

54343

51231

512313211

j

jj

jjj

jjj

jjjjjZ

A corrente do circuito:

Aj

jI D

D

D

46,1871,413,861,10

59,2650

5,15,10

38,2271,44=

=

+

+=

A corrente atravs da resistncia nos terminais ab:

( )A

jjjI DD

D

11,5348,746,1871,451231

905=

+++

=

Considerando Eg1 desativada, sendo substituda por sua impedncia interna, tem-se:

a bI


65/100


2 ohms

0

1 ohm

-j5 omhs

j3 ohms1 2

j3 ohms1 2

Zg2=2+j1 ohms

100+j0 v olts

j1 ohm

1

2

1 ohm

Figura 3.b.

A impedncia do circuito vista pela fonte Eg2:

( ) ( )

( )

( ) ( )

==

++=++

=

+++++++

+++

=

D

D

D

D

43,1891,75,25,7

433,5591,74343,1816,3

87,3625

123151132

51132

j

jj

jjjjj

jjj

Z

A corrente atravs da resistncia nos terminais ab:

Aj

ID

D

43,1864,125,25,7

0100=

=

A corrente no resistor ab:

AAIIIRabDDDD 06,5348,1293,12648,1243,1864,1211,5348,7 ====

A tenso Vab ou tenso de Thvenin:

VIRVV RababTHabD93,12648,12 ===

A impedncia de Thvenin vista dos terminais ab ser obtida desativando Eg1 e Eg2,substitudas por suas impedncias internas.

a bI


66/100


2 ohms

0

1 ohm

-j5 omhs

j3 ohms1 2

j3 ohms1 2

j1 ohm

1

2

1 ohm

j1 ohm

1

2

2 ohms

Figura 3.c.

( ) ( )( )

( ) ==++=

++++++

+++=

DD 04,2196,65,25,6423,5591,7

31253211

53211

jj

jjjjj

jjjZ

( ) ( )==

+

=

+

= D

D

6,288,010488,015,25,6

104,2196,6 2j

jRZ

RZZ

ab

ab

TH

A corrente na impedncia Zab:

( )A

jjZZ

VI

abTH

THZab

D

D

24,16861,23310488,0

42,15474,122

=++

=

+=

A potncia fornecida a Zab ento:

( ) ( ) ( ) VAjjIZS ZababZabD459,2844,2044,2061,233 2

2=+=+==

4. Uma mquina geradora tem uma impedncia de 0,5+j1 e est conectada auma carga por uma linha de 0,25+j2 . Em que carga ser realizada a mximatransferncia de potncia? Se a tenso gerada for de 20V, qual ser a potnciarecebida pela carga quando ajustada para a mxima transferncia de potncia?Determinar a perda na linha e a perda na mquina geradora.

0,25 ohms

0

Zg=0,5+j1 ohms

V

? ohm

j2 ohms1 2

? ohms

1

2

Figura 4.

a b


67/100


Para a mxima transferncia de potncia carga, a impedncia da carga deve ser

igual ao conjugado da impedncia do sistema. Assim,

( )= 375,0 jZL

Para o clculo da potncia entregue carga, tem-se que a corrente no circuito daFigura 4 calculada por:

AZZZ

VI

Llinhag

D

D

034,135,1

020=

=

++=

Assim,

( ) ( ) VAjjIZS LLD96,7566,55118,53583,13334,13375,0 2

2====

A perda na linha:

( ) WIRP linhalinha 49,4434,1325,022===

A perda no gerador:

( ) WIRP gg 98,8834,135,022===

Note que a potncia til da carga igual s perdas no sistema (mquina e linha). Acorrente nesta condio de operao limitada apenas pela resistncia, sendo,

portanto mxima, o que implica em condutores de maiores bitolas. Para a mximatransferncia de potncia a carga deve ter componente reativa dual a do sistema.Em geral, as cargas apresentam reatncia indutiva. Alm disso, na condio de

mxima transferncia de potncia o sistema torna-se instvel.

5. Resolver a questo anterior se a impedncia receptora for restringida resistncia pura.

AjZZZ

VI

Llinhag

D

D

43,6397,535,1

020=

+

=

++=

A potncia entregue carga:


68/100


( ) ( ) VAIZS LLD073,2697,575,0 2

2===

A perda na linha:

( ) WIRP linhalinha 91,897,525,022===

A perda no gerador:

( ) WIRP gg 82,1797,55,022===


69/100

Captulo 07Exerccios


70/100

Ruth P.S. Leo Email:[email protected]

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR - UFC

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA - DEECURSO DE CIRCUITOS ELTRICOS IIPROFa: RUTH LEO

LISTA DE EXERCCIOS

1. Um sistema abc trifsico, equilibrado, a trs condutores de 110 Vrms, alimenta umacarga em tringulo, constituda por trs impedncias iguais de 545 . Determinar ascorrentes de linha Ia, Ib, e Ic e traar o diagrama de fasores.

Considerando um conjunto de tenses trifsicas equilibradas que alimentam a carga:

VV

VV

VV

ca

bc

ab

120110

120110

0110

+=

=

=

As correntes de fase Iab, Ibc, e Ica:

A

Z

VI

AZ

VI

AZ

VI

ca

caca

bc

bcbc

ab

abab

7522

455

120110

16522455

120110

4522455

0110

=

==

=

==

=

==

As correntes de linha Ia, Ib e Ic:

AIII

AIII

AIII

bccac

abbcb

caaba

45105,38165227522

165105,38452216522

75105,3875224522

===

===

===

Como as correntes de fase so equilibradas, as correntes de linha podem ser obtidas a

partir de:

Ibc

c

a

b

110V

110V

110V

Ic5 45

Ib

Ia

+ -

5 45 5 45

+

+ -

-Iab Ica


71/100


( )( )( ) AII

AII

AII

cac

bcb

aba

45105,383075223303

165105,3830165223303

75105,383045223303

===

===

===

Ainda, uma vez obtida Ia, a corrente de linha nas outras fases podem ser obtidas

simplesmente por:

( )( ) AII

AII

ac

ab

45105,3812075105,38120

165105,38195105,3812075105,38120

===

====

Note ainda que a soma das correntes de fase nula, o que retrata uma condio de

equilbrio:

07522165224522 =++=++ cabcab

III

A soma das correntes de linha ser sempre nula, independente do equilbrio ou no das

correntes de fase. Em caso de desequilbrio das correntes de fase, tem-se uma condio

de desequilbrio nas correntes de linha cuja soma fasorial nula.

O diagrama fasorial:

Note que as correntes de linha tm magnitude 3 vezes maior que a magnitude dacorrente de fase e esto atrasadas de 30 de suas respectivas correntes de fase. Tal

condio ocorre em sistemas equilibrados.

2. Um sistema trifsico, equilibrado, com trs fios e 400 Vrms, alimenta duas cargasbalanceadas em Y. Uma carga um motor de induo que pode ser representado por

uma impedncia de 10+j5 por fase. A outra uma carga equivalente 15 por fase.Existe diferena de potencial entre n e n? Prove.

Determinar a potncia mdia:

(a)Fornecida carga resistiva de 15 .(b)Fornecida ao motor de induo.(c)Fornecida por uma fase da fonte.(d)Qual o fator de potncia do motor e do sistema?

Iab

Ibc

Ica

-45-120

-30

Ia

Ib

-30

Ic

-30

Vab

Vca

V c


72/100


Para demonstrar o potencial de n e n ser inicialmente calculado o equivalente de cadacarga. Como as cargas so equilibradas, tem-se que:

( )

===

=+=+==

451533

57,2654,33153051033

,,,

,,,

RYReq

MYMeq

ZZ

jjZZ

As tenses de linha de alimentao so:

[ ]

[ ]

[ ]

400 0

400 120

400 120

ab

bc

ca

V V

V V

V V

=

=

= +

RZM

n

a

b

c

n

R

R

Ia

Ib

Ic

Ia,M Ia,R

Z,eq,R

ZM

ZM

Z,eq,M

Z,eq,M Z,eq,M Z,eq,R Z,eq,R

Ib,RIb,M

Ic,R

n

b

c

+

a

n

R

R

R

ZM

ZMZM400 V

400 V

400 V

++++

+


73/100


As correntes de fase em cada uma das cargas so calculadas como:

( )( ) AII

AII

AZ

VI

MeqabMeqca

MeqabMeqbc

Meq

abMeqab

43,9393,11120157,2693,11120

57,14693,11120157,2693,11120

57,2693,1157,2654,33

0400

,,,,,,

,,,,,,

,,

,,,

=+=+====

=

==

( )( ) AII

AII

AZ

VI

ReqabReqca

ReqabReqbc

Req

abReqab

12089,81201067,26120

12089,81201089,8120

089,8045

0400

,,,,,,

,,,,,,

,,

,,,

+=+=+=

===

=

==

As correntes de linha que alimentam cada uma das cargas, motor e resistncia, so:

( )( ) AII

AII

AIII

MaMc

MaMb

MeqcaMeqabMa

43,6366,20120157,5666,20120

57,17666,20120157,5666,20120

57,5666,2043,9393,1157,2693,11

,,

,,

,,,,,,,

=+=+=

===

===

( ) ( )

( ) ( ) AIIAII

AIII

RaRc

RaRb

ReqcaReqabRa

904,151201304,15120

1504,151201304,15120

304,1512089,8089,8

,,

,,

,,,,,,,

+=+=+=

===

=+==

Note que as correntes que alimentam cada uma das cargas so simtricas ou equilibradas,

i.., mesma magnitude e defasadas de 120 eltricos.

Com as correntes de linha podem-se calcular as tenses de fase nas cargas motora e

resistiva conectadas em Y.

( ) ( ) ( ) ( )

V

jIZV aMMan

3099,230

57,5666,2057,2618,1157,5666,20510

=

=+==

( ) ( ) [ ]10 5 20.66 176,57 230,99 150bn M bM V Z I j V = = + =

ou simplesmente

( ) ( )VVV

VVV

ancn

anbn

9099,230120

15099,230120130230120

+=+=

===

Na resistncia, as tenses de fase:


74/100


( ) ( )

VVV

VVV

VIZV

ancn

anbn

aRRan

90231120

150231120

30231304,15015

+=+=

==

===

Pode ser visto que Van=Van, Vbn=Vbn, e Vcn=Vcn, denotando que n e n esto no mesmopotencial. Embora os neutros das cargas no estejam ligados entre si, como as cargas so

equilibradas e alimentadas por tenses equilibradas no haver deslocamento no neutro das

cargas.

A potncia mdia entregue carga resistiva:

( ) kWIRIVIVP aRRaRanRReqababR 672,104,151533cos3cos322

,,,,3 =====

A potncia mdia fornecida ao motor de induo:

( ) [ ]

2

3 , , , , ,

2

3 cos 3 cos 3

3 10 20,66 12,805

M ab ab eq M M an a M M M a MP V I V I R I

kW

= = =

= =

A potncia mdia fornecida por uma fase da fonte:

( ) ( ) kWPPP RM 826,73

477,23805,12672,10

3

1

3

1,3,31 ==+=+=

Para determinar o fator de potncia do motor tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 , , ,

400 0 11,93 26,57 231 30 20,66 56,57 4772,46 26,57

ab ab eq M an a M S V I V I

VA

= =

= = =

( )894,0

46,4772

57,26cos46,4772

1

1 ===

S

PFPD

O fator de potncia de deslocamento do sistema:

VASSS RM 26,1569,8111034,355757,2646,4772,1,11 =+=+=

( ) 965,026,15cos == FPD

3. Trs impedncias de carga de 1560 so conectadas em delta e alimentadas porlinhas cada uma das quais tendo 1 de resistncia e 1 de reatncia indutiva. Se astenses de linha no lado de entrada das impedncias da linha forem trifsicas,

equilibradas e iguais a 115 V, determinar:

(a)A tenso atravs das impedncias de carga.(b)Perda de potncia nas linhas de suprimento e a potncia dissipada pela carga.


75/100


A impedncia equivalente Y da carga:

=

==

6053

6015

3

1, ZZ Yeq

A impedncia total equivalente por fase:

, , argtotal eq linha Yeq c aZ Z Z= +

( ) ( )+==++=+= 33,5j5,371,5638,66051j1ZZZ n'a'aaeq,total

As tenses de linha de alimentao:

[ ]

[ ]

[ ]

115 0

115 120

115 120

ab

bc

ca

V V

V V

V V

=

=

= +

A corrente de linha que alimenta a carga:

A

Z

V

Z

VI

eqtotal

ab

eqtotal

ana

71,8641,1071,5638,6

3040,66

71,5638,6

303

0115

303

,,

=

=

=

==

( ) ( ) AIIAII

ac

ab

29,3341,10120171,8641,1012029,15341,10120171,8641,10120

=+=+====

1560

-

+

+

+

1+j1

a

b

c

1+j1

1+j1

115 V

115 V

115 V

1560 1560

ab

c

n

Zeq,Y Zeq,Y

Ib

Ia

Ic

+

+

+

-

-

-

-

-

Zeq,Y


76/100


A tenso de fase na carga equivalente Y:

( ) ( )( ) ( ) V29,9305,52120171,2605,52120VVV71,14605,52120171,2605,52120VV

V71,2605,5271,8641,10605IZV

nanc

nanb

aY,eqna

=+=+====

===

A tenso de fase na carga :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) VVV

VVV

VVV

baac

bacb

naba

29,12315,90120129,315,90120

71,11615,90120129,315,90120

29,315,9030171,2605,523303

=+=+=

===

==+=

A prova pode ser obtida a partir de:

( )

( )( )( )( ) Vj

j

IIZVV

ZIVZIV

balinhaabba

linhabbalinhaaab

3,318,9071,115,25011571,5603,18110115

29,15341,1071,8641,10110115

==+=

+=

=

+=

A perda na linha:

( ) WIRP alinhalinha 104,32541,1013322

===

A potncia dissipada pela carga:

( ) WIZIRP aYeqaacac 76,81241,102

153cos33

22

,

2

argarg ====

4. A figura abaixo mostra uma carga indutiva trifsica equilibrada ligada em estrela, semacesso ao terminal neutro, e alimentada por uma fonte trifsica equilibrada com a

seqncia de fase abc. Supondo que se disponha de dois wattmetros, pede-se que:

(a)Esboce o diagrama esquemtico de ligao dos wattmetros para que se obtenhamas potncias trifsicas, ativa e reativa, da carga.

(b) Deduza as expresses das potncias trifsicas ativa e reativa a partir das leituras deP1 e P2 obtidas dos wattmetros.


77/100


Dados/Informaes Tcnicas:

_ Pi a leitura da potncia obtida pelo wattmetro i._ Z a impedncia de carga por fase (Z=|Z|ej);


78/100


(b) Se medidores de volt-ampre reativos substiturem W1 e W2, determinar suasrespectivas leituras.

(c) Determinar o fator de potncia de deslocamento resultante da carga composta.(d) Quanto de compensao reativa seria necessrio para levar o fator de potncia do

sistema para 0,92 atrasado?

Estando os wattmetros conectados com a fase c como referncia para a bobina de

potencial, tem-se que a leitura de cada wattmetro pode ser obtida a partir das expresses:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

30cos30coscos

30cos30coscos

2

1

+===

===

bbcbbc

V

Ibbc

aacaac

V

Iaac

IVIVIVW

IVIVIVW

bc

b

ac

a

As tenses de linha equilibradas aplicadas s cargas so:

VV

VV

VV

ca

bc

ab

150200

90200

30200

+=

=

+=

Como sobre a bobina de potencial do wattmetro W1 est aplicada a tenso com polaridade

Vac, tem-se que:

VVV caac

30200180 ==

As correntes de linha so calculadas como:

( ) ( )FPDV

FPDP

FPDV

SI

IVS

LL

L

LL

1

3

13

3

cos3

cos3

3

==

=

A corrente de linha da carga 1 de 3kW:

Va

Vb

Ia

30

Vbc

Ib

-30

-

Vac

VcVca

-


79/100


( )

( )

A

FPDV

FPDP

IL

a

6032,17

5,0cos5,02003

3000

cos3

1

1

3

1,

=

=

=

A

II ab

18032,17

1201,1,

=

=

A

II ac

6032,17

1201,1,

=

+=

Corrente de linha da carga 2 de 4kVA:

( )

( )

A

FPDV

SI

L

a

87,3655,11

8,0cos2003

104

cos3

13

13

2,

=

=

=

A

II ab

13,8355,11

12022,

==

A

II ac

87,15655,11

12022,

=

+=

As correntes de linha suprida pela fonte s duas cargas:

( )

( ) ( )( ) ( )AjII

AjII

AjIII

ac

ab

aaa

53,1996,173,9563,1912027,2463,19120

46,1194,1527,14463,1912027,2463,19120

07,89,1727,2463,1987,3655,116032,172,1,

+==+=+=====

==+=+=

O ngulo de defasamento entre a tenso de fase e a corrente de fase:

A potncia registrada por cada wattmetro:

Vab=200+30 V

Va=115,470 V

Ia=19,63-24,27 A


80/100


( )( )

( )

( )W

IVW

W

IVW

bbc

aac

65,292.23027,24cos63,19200

30cos

38,906.33027,24cos63,19200

30cos

2

1

=+=

+=

==

=

onde o ngulo representa o ngulo de impedncia da carga vista pela fonte.

A potncia total trifsica:

WWW 03,619965,292.238,906.321 =+=+

Se ao invs de wattmetros tivssemos varmetros, as potncias reativas registradas em

cada varmetro seriam obtidas a partir de:

( ) ( )1 30 3 30cbc

V

ac a ac a cn cIQ V I sen V I sen V I sen = = =

( ) ( )2 30 3 30bcb

V

bc b bc b an aIQ V I sen V I sen V I sen = = + = +

A leitura em Q1 e Q2 seria:

( )

( ) [ ]1 30

200 19,63 24,27 30 391,97 var

ac aQ V I sen

sen

=

= =

( )( ) [ ]2

30

200 19,63 24,27 30 3187,04 var

bc b

Q V I sen

sen

= +

= + =

A potncia reativa da instalao:

[ ]1 2 391,975 3187,04 2795,065 varQ Q+ = + =

A potncia reativa pode ainda ser calculada a partir da leitura dos wattmetros:

( )( )

[ ]

1 23

3 3906,38 2292,65

2795,06 var

Q W W=

=

=

O fator de potncia de deslocamento do sistema:


81/100


( )( ) ( )

912,0

27,24cos451,0cos03,6199

065,2795cos

cos

11

21

211

=

==

=

++

=

tgtg

PP

QQtgFPD

Como a potncia reativa do conjunto de cargas positiva, significa dizer que a potncia

reativa indutiva e, por conseguinte, o FPD indutivo ou atrasado.

O FPD pode ser calculado simplesmente pela defasagem entre tenso de fase e corrente de

fase como mostra o diagrama fasorial.

( )( ) 912,027,24cos27,240coscosFPD aa

V

I====

Potncia reativa de compensao:

Para um FPD=0,912 IND foi visto que a potncia reativa da instalao de 2795,06 var.

Para que o FPD aumente para 0,92 IND, tem-se que a potncia reativa necessria ser de:

( )

=

=

+

=

11

2

22

2

22

FPDPP

FPD

PQ

QP

PFPD

( )( )

[ ]2

0,92 2

12292,65 1 976,66 var

0,92Q

= =

A potncia de compensao igual a:

[ ]0,92 0,912 976, 66 2795, 06 1818, 4 var Q Q Q = = = (capacitivo).

6. Se ao circuito da questo 5, sem compensao, for acrescentada uma carga monofsicade 4 kW, com fator de potncia unitrio entre os terminais b e c, determine o fator de

potncia resultante de todo o circuito e a potncia de compensao em caso de violao

do fator de potncia regulamentado (0,92).

Vab=200+30 V

Va=115,470 V

Ia=19,63-24,27 A

QS0,912

S0,92


82/100


A corrente que alimenta a carga monofsica:

[ ]

*

bc

4000 0I 20 90

200 90

bc bc bcS V I

A

=

= =

As correntes de linha do circuito so:

( )[ ]

( )[ ]

,1 ,2

,1 ,2

,1 ,2

17,32 60 11,55 36,87 19,63 24, 27 17,9 8,07

17,32 180 11,55 83,13 20 90

35,27 116,86 15,94 31,47

17,32 60 11,55 156,87 20 90

39,56 92,

a a a

b b b bc

c c c bc

I I I

j A

I I I I

j A

I I I I

= += + = =

= + +

= + +

= =

= + = +

=

( )[ ]84 1,96 39,54j A= +

A potncia do circuito antes da adio da carga de 4kW foi calculada como:

[ ]3 6199, 03 2795, 065 6800, 03 24, 27S j VA = + =

A potncia complexa total do circuito:

VAS 33,1510,105750400027,2403,68003 =+=

A potncia til do circuito:

( ) WP 03,199.10400003,6199400027,24cos03,68003 =+=+=

Se o mtodo dos dois wattmetros for usado para o clculo da potncia til trifsica,

tomando-se a fase c como referncia, e considerando-se que as tenses de linha mantm-se

equilibradas, i..,

VV

VV

VV

ca

bc

ab

150200

90200

30200

+=

=

+=

e

Duas

Cargas

3Equili-

bradas

a

b

c


83/100


VVV caac 30200180 ==

com correntesIa eIb dadas por:

[ ]

[ ]

19,63 24,27

35, 27 116,86

a

b

I A

I A

=

=

As expresses para as potncias medidas pelos wattmetros, tomando-se a fase c como

referncia:

( )

( ) WIVW

W

IVW

bcc

b

ac

a

V

Ibbc

V

Iaac

97,292.686,26cos27,35200

cos

38,906.373,5cos63,19200

cos

2

1

===

==

=

A potncia trifsica:

WWWP 35,199.1097,292.638,906.3213 =+=+=

O fator de potncia de deslocamento:

96,01,575.1003,199.10

3

3 ===

SPFPD indutivo.

O FPD poderia ser calculado a partir da potncia til e reativa. Os volt-ampre reativos so

calculados por:

( ) [ ]

1

200 19,63 5,73 391,97 var

ac

a

V

ac a IQ V I sen

sen

=

= =

( ) [ ]1

200 35,27 26,86 3.187,08 var

bc

b

V

bc b I

Q V I sen

sen

=

= =

A potncia reativa trifsica:

[ ]3 1 2 391,97 3.187,08 2.795,11 varQ Q Q = + = + =

Para sistemas desequilibrados, a potncia reativa no pode ser obtida a partir da leitura dos

wattmetros:


84/100


( )

( )VAr

WWQ

7,133.4

97,292.638,39063

3 213

=

=

=

O FPD ento:

( )( ) ( )

atrasado96,0

33,15cos274,0cos35,199.10

11,795.2cos

cos

11

3

31

=

==

=

=

tgtg

P

QtgFPD

No h necessidade de compensao.

7. Uma carga trifsica, alimentada pela rede (380 V, 60 Hz) consome uma potncia ativade 10 kW. Utilizando o mtodo dos dois wattmetros (que so iguais e ligados s fases

1 e 2 respectivamente) procurou-se medir o fator de potncia de deslocamento a partir

das suas indicaes chegando-se ao valor de 0,7 (indutivo). Qual a indicao de cada

um dos wattmetros?

Sabe-se que em um sistema trifsico equilibrado:

( )

3 1 2

3 1 2

3

3

3

P W W

Q W WQ

tgP

= +

= =

Ento:

( ) ( )10,7 cos 0,7 45,57FPD ind = = =

( )

[ ]

3

3

3

45,57 1,0210 10

10,2 var

Qtg

Q k

= =

=

Tem-se o sistema de equaes dado por:

( )

3 3

1 2 1 2

3 3

2

10 10 10 10

10,2 10 3 10 10 2

W W W W

W

= + =

=

[ ]

[ ]

33

2

1

10 10 0,21 5 10 0,88 4,42

2 3

10 4,42 5,58

W kW

W kW

= = =

= =

8

Exercícios - Circuitos II - Ruth

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