Exercícios de Algebra Elementar - Ivan Monteiro

Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro


EXERCCIOS DE LGEBRA ELEMENTAR

Prof. Ivan Monteiro


2012 Bubok Publishing S.L.

1 edio

ISBN:

DL:

Impresso em Portugal / Printed in Portugal

Impresso pela Bubok


Dedicatria

D E D I C O E S T O B R A A O S M E U S A V S M A T E R N O S H I L T O N S I L V A ( I N M E M O R Y ) E M A R I A L O U R D E S D E B A R R O S S I L V A ( I N M E M O R Y ) .

S A U D A D E S E T E R N A S !


FUNDAMENTOS D A TEOR I A DOS CONJUNTOS

1. Um mdico me disse: De 100 crianas que eu examino, 65 tm gripe e 45 tm gripe e outra doena. Quantas dessas 100 crianas examinadas pelo mdico tm outras doenas?

2. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: Quem flamengo? 36 levantaram o brao. A seguir, perguntou: Quem e Internacional? 28 levantaram o brao. Quantos alunos so, ao mesmo tempo, Flamengo e Internacional ?

3. Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames para Escola Tcnica e 12 para o Colgio Naval. S um deles no fez nenhum exame. Quantos fizeram exames s para o Colgio Naval?

4. De um total de 800 pessoas examinadas por um grupo de mdico pesquisadores, 500 tinham sintomas de uma doena A, 200 tinham sintomas de outra doena B e 130 tinham sintomas das duas doenas. Quantas no tinham sintomas nem da doena A nem da B ?

5. Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318 gostavam de uma mercadoria A, 264 de uma mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantas no gostavam da mercadoria A e nem da B ?

6. Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mo esquerda e dois com as duas mos. Quantos escrevem com a mo direita?

7. Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol, 18 de basquete e 12 gostam dos dois . Quantos no gostam nem de futebol e nem de basquete?

8. De 24 carros que estavam no estacionamento, 17 eram Volkswagens e 10 eram de 1977. Quantos carros eram Volkswagens de 1977?

9. Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam tambm futebol de salo, 18 jogam tambm basquete e 11 praticam os trs esportes. Quantos jogam s futebol?

10. Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 100 pessoas, 60 assistem a novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 30 assistem as novelas A e B, 20 as novelas B e C, 30 as novelas A e C e 10 as trs novelas. Quantos no assistem essas novelas?

11. Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4 escrevem em vermelho. Quantas escrevem tanto em azul como em vermelho?

12. O Servio de Orientao Educacional de uma escola verificou, num questionrio apresentado a 800 rapazes, que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos dois. Portanto, o total daqueles que no gostam de futebol nem de cinema :

a) 670 b) 230 c) 100 d) 30e) No pode ser determinado, pois o enunciado absurdo.

(Concurso de Professores 1 Grau RJ-1976)


13. Dos 42 alunos de uma turma. 8 foram reprovados em matemtica. 6 em Portugus e 5 em Cincias. 4 foram reprovados em Portugus e matemtica, 3 em matemtica e Cincias e 2 em Portugus e Cincias. Sabendo que 2 alunos foram reprovados nas trs matrias, diga quantos no foram reprovados em nenhuma dessas matrias.

14. De 18 alunos que esto em recuperao, 6 fazem Portugus e Cincias; 5 fazem Portugus e Matemtica; 9 jazem matemtica e Cincias; 2 fazem essas 3 matrias; ningum faz s Portugus ou s Cincias. Quantos faro recuperao s de Matemtica?

GG AA BB AA RR II TT OO

1) 80 2) 22 3) 7 4) 230 5) 30 6) 26 7) 1 8) 3 9) 61 10) 10 11) 2 12) b 13) 30 14) 2

POL I NM IO S

1. Calcular o valor numrico de :

a) 03,426

0=+==++ xbaaba

x

xe para

(Col. Pedro II 2. Srie Ginasial P. Parcial 1953)

b) 132

3==

+

bab

a e para

( E.P.C. do Ar Concurso 1951)

c) ( ) 22 13 == babab e para

d)212

23033

== bababaab e para

2. Calcular o valor numrico de ( ) 3222

baabba

para 2=a e 1=b (E.N.C.D. 1951)

3. Calcular o valor numrico do polinmio

( )211

3153, 22 ==++= yxxyxyxxyxP e para (E.P.C. do Exrcito 1953)

4. Classificar as expresses: a) 12 2 + xx

b) 13

222

++ xx

5. Classificar a expresso:

4253

23 ++

+

xxx

x (C.N. 1959)

6. O polinmio, em 1232 23 +++ yxxmxyx ; e do 2 grau se m....


7. O polinmio, em 523, 234 +++ xmxxxx completo se m....

8. O polinmio, em 13, 22 +++ mxyyxyx e homogneo se m....

9. Calcular pm e para que o polinmio, em ( ) ( ) 223 21, ypxyxxmyx +++ e seja homogneo completo.

10. Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numrico de :

a) ( )33223223 7432 yxxyyxyxyyxx ++++ para 21 == yx e (Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954)

b) Da soma de cbcba 1213957 + e subtrair o polinmio cba 375 . (Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954)

c) Sendo 22 1453 babaP += 22 69 babaQ +=

22 856 babaR += Calcule ( )RQp ++ (I.E. 1951)

d) Qual a diferena entre: 262352 22 ++ xxxx e ?

e) Qual o monmio que devo somar a 132 23 + xxx para obter um Trinmio do 2 grau ?

11. Efetuar a multiplicao ( ) ( )3952 ++ xxx (C.N. 1952) 12. Efetuar o produto ( ) ( )12 22 + xxx dando a resposta ordenada segundo as

potncias decrescentes de x . 13. Desenvolvendo e ordenando, crescentemente em relao a x , a expresso: ( ) ( ) axxbxxxxa + 2222 312 , o ltimo termo ter como coeficiente........

(E.N.S.K. 1959) 14. Efetuar

a) ( ) 2:2468 23 ++ xxx b)

x

xx

226 23

c) ( ) xxxx mmm :11 + 15. Qual o quociente da diviso de 4726 23 + xxx por 23 2 xx ? 16. Calcule o resto da diviso de: 43 22 + xx por ( )2x . 17. Efetuar a) ( )212 + mx b) 331

31

x

c) ( )25,0x18. Calcular os valores de :

a) ( ) ( )[ ]BACBAB + para 83731715 2235 +=+=+= xxCxxBxxA e ,

b) ( )[ ] 321610565 22 +=+= xxBxxAABBA e para .


c) Calcular ( )[ ] ( ) yyyxxx +++ 161232 para 22 55102 aayaax +== e .

d) Calcule o valor da expresso ( )[ ] 1;1;1 22 ==+=+ aCaaBaABCBaBAa sendo .

e) Calcular o valor numrico para 211 === zyx e e , do polinmio que se deve somar a zyx 365 + para se obter zyx 8411 + .

(Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954) f) Se o valor numrico da expresso 22 25 yx 27 e x e y so iguais e negativos,

qual ser o valor de x e y ?

g) Calcular c para que o valor numrico de ckk + 2 seja igual a 5, para 1=k . h) Calcular o valor de a para que o valor numrico de 12 ++ aa seja o mesmo que o

valor de 2a .

i) A expresso 32323 abab tem para valor numrico 13, para 2=b numrico de a

:

(a) 43

(b) 43

(c) 2039

(d) 2039

(e) nenhum dos resultados anteriores

(I.E. 71/72)


1) a)-2,5 b)0 c)-6 d)-4

2) 127

3) 1279

4) a) Racional fracionria. b) Racional inteira do 3 grau, no homognea, incompleta, reduzida e ordenada. 5) Racional fracionria. 6) 0=m 7) 0m 8) 1=m 9) 21 = pm e 10) a) 52 b) cba 18252 + c) aba +218

d) 1+x e) 32x


x271

11) 2762 23 + xxx 12) 2234 ++ xxxx 13) 22ab 14) a) 1234 23 ++ xxx b) xx 23 c) 21 mmm xxx 15) x2 16) 0 17) a) 24 2 +mx b) c) x 18) a)1 b)1 c)0

d)1 e)-26 f)-3

g)-15 h)-1 i) a

PP rr oo dd uu tt oo ss nn oo tt vv ee ii ss

1. Efetuar:

1. (x + 5) (x + 2)

2. (x - 5) (x - 4) 3. (x + 8) (x - 3) 4. (x + l) (x -1) 5. (2x + 3) (2x -3)

6.

+

215

215 2323 yxyx

7. (a + 3) (3 - a) 8. (-x -2) (-x + 2) 9. (a + b + 1) (a + b -1) 10. (x + 3y + 2z) (x -3y + 2z) 11. (a + b - c) (a -b + c) 12. (x + 5)(x + 5)

13. (x3 + 3)2

14. (2x3ym + 3x2y)2

15. (ab2 - 1)(ab2 - 1)

16. 2

21 221

xyx

17. (2x -3y)2

18. (a + b) (a2- ab + b2)

19. (x + 1)(x2 - x + 1)

20. (x - y) (x2+ xy + y2)

21. (x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4)

22. (x2 + 2)3

23. (xm + 2y3)3

24. (3a2 - 2b)3

25. (0,5x2y--1 - 2xy2)3


26. O produto de 3

2 2 ba + por 3

2 2 ba + ...... (I.E. -1956)

27. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 verificada para o seguinte valor de b2: (a) 0

(b) ( )222

ca

ca

+

+

(c) ac2

(d) 224 ca

(e) ac2 (I.E. 71/72)

28. Acrescentando expresso 4124 +yx o termo........obtm-se o quadrado de

212 +yx .

(Seleo 3 Srie - Ginsio E. Guanabara -1961) 29. Desenvolver (a8b5 + c3d6)3 (E.N.C.D. -1948) 30. Quanto devemos subtrair de (a -2)3 para obter (a + 3)3? 31. Elevando x ao quadrado obtemos a2 + 2ob + b2. Podemos afirmar que x igual a: a) (a + 2b)2 b) (a + b)2 c) (2a + b)2 d) ( )2ba + e) (a +b) (a -b)

(Concurso Professores 5 a 6 Serie -1976)


1) x2 + 7x + 10

2) x2 -9x + 20

3) x2 + 5x 24

4) x2 1

5) 4x2 9

6) 2125 46 yx

7) 9 - a2

8) x2 -4

9) (a + b)2 1

10) (x + 2z)2 - 9y2

11) a2 - (b - c)2

12) x2 + 10x + 25

13) x6 + 6x3 + 9

14) 4x6y2m + 12x5ym+l + 9x4y2

15) a2b4 - 2ab2 + 1

16) 224 42241

xyyx +

17) 4x2 12xy + 9y2

18) a3 + b3


19) x3 + 1

20) x3 -y3

21) x6 8

22) x6 + 6x4 + 12x2 + 8

23) x3m + 6x2my3 + 12xmy6 + 8y9

24) 27a6 54a4b + 36a2b2 - 8b3

25) 63334536 88623

81 yxxyxxyx +

26) 93

442

24 bbaa ++

27) c

28) x2y

29) a24bl5 + 3a16bl0c3d6 + 3a8b5c6dl2 + c9dl8

30) 15a2 15a -35

31) d

FATORAO

1. Fatorar 12a5b8 - 6a6b7 + 180a8b6 - 9a7b9 (E.N.C.D. -1948) 2. Fatorar 8z(x -y) - 3(x -y) (C.N. -1952) 3. 81x2 - y16 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 4. Transforme a seguinte expresso num produto de fatores do primeiro grau:

yayx 232 2594

(I.E. -1954) 5. Decomponha em trs fatores 16x4 - 1 (C.N. -1954) 6. Escrever todos os fatores do binmio: 256y8 - z8 (E.N.C.D. -1951) 7. Fatorar: y3 - x3 (E.P.C. do Ar -1958) 8. Fatore: 9y2 - 42y + 49 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 9. Decomponha o trinmio x2 - 7x - 30 em um produto de fatores binmios do primeiro

grau. (I.E. -1951) 10. Fatore: x2 - x - 56 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 11. Fatorando-se 3x2 - 6xy + 3y2 obtm-se........... (I.E. -1956) 12. Decompor: (x + y - 1)2 - 5(x + y - 1) - 6 num produto de dois fatores.

(Curso C. Metropolitano -1960) 13. Fatore: mx + 5y + xy + 5m . (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 14. Fatorar ab - ac + b2 - bc (E.N.C.D. -1948) 15. Decomponha num produto de dois fatores binmios e polinmios: 2 - b - 2a + ab

(I.E. -1951) 16. Decomponha em fatores do 1 grau a expresso seguinte: y = x3 + x2 x 1

(C.N. -1958) 17. Decomponha em fatores do primeiro grau a expresso: x xy - 1 + y2

18. (I.E. -1955)


19. Decomponha em fatores do primeiro grau a expresso: a(a - 1) - b(b + 1) (E.N.C.D. -1955)

20. Fatorar x2 2xy + y2 - a2 (C.N. -1951) 21. Decomponha em um produto de fatores do 1 grau a expresso: x2 - y2 + 2yz - z2

(I.E. -1951) 22. Fatorar 4a2 + 9b2 - 25 -12ab (E.N.C.D. 1951) 23. Fatorar os polinmios: a2 + 6a -7 e x4 2x3 + x2 - 8x + 8

(E.P.C. do Exrcito - Janeiro, 1953 3 Ano)


1) 3a5b6 (4b2 - 2ab + 60a3 - 3a2b3) 2) (x - y) (8z - 3) 3) (9x + y8) (9x y8)

4)

+ axyaxyy 5

325

32

5) (4x2 + 1) (2x + 1)(2x -1) 6) (16y4 + z4) (4y2 + z2) (2y + z) (2y - z) 7) (y - x) (y2 + xy + x2) 8) (3y - 7)2 9) (x - 10) (x + 3) 10) (x - 8) (x + 7) 11) 3(x - y)2

12) (x + y - 7) (x + y) 13) (x + 5) (m + y) 14) (b - c) (a + b) 15) (2 - b) (1 - a) 16) (x + 1)2 (x - 1) 17) (1 - y) (x - y - 1) 18) (a + b) (a -b -1) 19) (x - y + a) (x - y - a) 20) (x + y - z) (x - y + z) 21) (2a - 3b + 5) (2a - 3b - 5) 22) (a + 7) (a - 1) e (x - 1) (x3 - x2 - 8)

M N IMO MLT I P LO COMUM (mmc ) E MX IMO D I V I SOR COMUM (mdc ) D E P O L I NM IOS

1. O m.d.c. de 5xy2, 15x3 e 17x5y4 ....................... (C.N. -1956) 2. Calcular o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + 6 e ab - 2a 3. Calcular o m.d.c. entre a + 2; a2 - 4 e ax + 2x 4. Determinar o m.d.c. das expresses: x2 - 1 e x2 + 2x - 3 (C.N. -1953) 5. Fatorar: a3 a2b ab2 + b3; a3 - b3 e a3 - 2a2b + ab2 e, a seguir, dizer qual o m.d.c.

desses polinmios. 6. Calcular o m.d.c. dos polinmios: x2 + 2x + 1 e x3 + 1

(E.P.C. do Exrcito Janeiro, 1953) 7. Achar o m.d.c. entre: (x3 + 2x2 -3x) e (2x3 + 5x2 3x) (C.N. -1959) 8. Determinar o m.d.c. de 4x4 - x2 + 2x -1 e 2x3 - x2 -2x + 1

(E.P.C. do Exrcito -1952 3 Ano) 9. Calcular o m.m.c. entre 8x4y2, 16x5yz3 e 12x6y4z


10. Calcular o m.m.c. entre a2 - b2 e a2 - 2ab + b2. 11. Calcular o m.m.c. entre ax - a; x2 - 2x + 1 e a2x2 - a2. 12. Calcular o m.m.c. dos polinmios: 2x2 - x -1 e 2x3 + 2x2 - 2x - 2

(E.P.C. do Exrcito -1953 3 Ano)


1) x 2) b - 2 3) a + 2 4) x - 1 5) a - b 6) x + 1

7) x(x + 3) 8) (2x - l) (x + 1) 9) 48x6y4z3 10) (a - b)2 (a + b) 11) a2(x + 1)(x -1)2 12) 2(x + 1)2 (x -1) (2x + 1)

FRAES A LGBR I CA S

I. Simplificar:

1. 1223

2

2

+

+

xx

xx

2. 2

12

2

+

xx

x

3. xx

xxx

96

3

234

+

4. xyyxxyyx

2

5

5. 5

55+

+++

a

baba

6. y

xyyx+

+++

57535

(E.N.C.D.-1948)

7. Simplificando a frao 5018

9152

x

x obtm-se ........................... (E.N.C.D.-1959)

8. Reduza a frao 4423

2

2

+

+

aa

aa a expresso mais simples e, a seguir, calcule o valor

numrico para 32

=a . (E. Aeronutica -1948)

9. 96

92

2

++

xx

x

10. 322344

babbaaba

+++

11. 222222

22

acbabcbaab

+

++

(E. Aeronutica 1945)


12. 1892

623

2

+

+

xxx

xx

(I.E. 1945)

13. 1

222

23

+

x

xxx

(C.N.-1958)

14. Simplificando a frao 96

1272

2

++

++

aa

aa encontramos:

a)34

+

+

a

a b)

912

c) 1519

d) 67

+

+

a

a e)

34

(Supletivo Rio de Janeiro)

15. Simplifique a frao: 232144

2

2

+

+

xx

xx

a) 221

+

x

x

b) 11

+

x

x c)

212

x

x d)

212

+

x

x e)

24

x

x

(E. Tcnica Rio de Janeiro 1971)

16. ( ) ( )( ) ( )222222

22

baccacbacbabccba

+++

+

(C.N.-1959)

II. Efetuar

17. xx

xx

x

xx

53

9152

2

2

2

2

18. xbxax

bxaxbax

x

+

+++2

2 1:

19. ( ) ( )22

yxyx

yxyx

+

+: (E.N.C.D. 1948)

20. yx

aa

yxa

33231 2

22

2

+

+

: (I.E. 1951)

21. xyx

x

xx

xx

yxyxyx

++

2

3

23

2

32

33

36

22. xxx

xx

x

x

xx

xx

1643

649

96127

23

23

3

2

2

2

++

+

+

+:

23.

421

123

172

3 314

z

yxzx

y (C.P.O.R Seleo Novembro 1950)

24. Efetue e simplifique:

( ) ( )214224

222

44

2 yyxxyx

yx+

+

:


(C.N.-1957) III - Efetuar

25. ( ) ( ) ( )( )( )babababa

babba

++

++

+

4347242

42234

26. ( )( )( )( ) ( )

( )( )12131

1112 2

+

+

+

aa

aa

aa

aa

27. ( ) ( )( )( )212

421 2

2

+

aa

aa

a

aa

28. ( )( )( )

( ) ababba

ababba

232332

+

29. ( )( ) ( )

baaba

babba

ababa

+

+

+

33

32

24

:

30. ( )( )( )

( )( ) 623

:2212

3444

2

23

+

+

+

+

+

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

31. O resultado mais simples da expresso yxxyx

yxyxyx

+

+

2

22

22

:2

e:

a) x b)

xyxyx

+

2

c) ( )yxyxx

+

d) x

1

e) ( )yxx

2

2

(Exames Madureza GB 1971) 32. Efetuar, dando a resposta em sua expresso mais simples:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacc

abcbb

cabaa

+

+

(C.N. 1959) 33. Reduzir a expresso mais simples:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacc

abcbb

cabaa

+

+

333


IIIIIIII ........

1) 12

x

x

2) 21

+

+

x

x

3) 322

x

xx

4) ( ) ( )112 ++ xx 5) 1+b 6) 7+x

7) 106

3+

x


8) 41

9) x

x

+

33

10) ba

11) cbacba

+

++

12) 3

1x

13) 2x 14) a 15) d 16) 1

IIIIIIII IIIIIIII ........

17) 1 18) 1 19) 22 yx

20) yayxax

a

2233

+

+

21) 2+x

22) x

1

23) 63571 yx

24) 221

yx +

25) ba 42

1

26) (11

+

a

a )2

27) 21

+

a

a

28) ba

ab32

29) 21

30) x

1

31) d 32) 0 33) a + b + c

EQUAO DO 1 G R AU

1. Qual o valor de a na equao:203

43

52 aa

= ? (E.P.C. do Ar -1951)

2. Calcule o valor de y na equao: nm

yy =+

(Col. Pedro 11 -3~ Srie Ginasial -P. Parcial -1953)

3. Resolva em relao a a, a seguinte frmula: a

bkaC =

(E.P.C. do Ar -1951) 4. Quantas razes tem a equao . (a2 l )x = a + 1, quando a = -1 ? (C.N. -1957) 5. Quantas razes tem a equao: (m l)x = m2 + 1, quando m = 1? (C.N. -1957) 6. Determine os valores de m para que a equao abaixo tenha soluo 2mx + 7 = 4x

(l.E. -1951) 7. A igualdade (m + 3)x = 3p + 1 uma identidade quando m ................. e p................

(I.E. -1959)


8. Determine a a fim de que a equao (a l )x = b seja determinada. (C.N. -1958)

9. Para que a equao (2m l )x = 3p - x - 2 no tenha soluo devemos ter m ....... e p....... (I.E.-1957)

10. Para que a equao 2x - 3 = ax + 1 seja impossvel, devemos ter a = .................. (E.N.S.K. -1959)

11. Determine os valores de p e q para que a equao (5p -1) x + q - 3 = 0 seja impossvel.

(I. Educao 2 P. Parcial 3 Srie Ginasial -25/11/53) 12. Calcule o valor de k para que se torne impossvel a equao: k2y - k2 =: 2k + 2ky

(E.P.C. do Exrcito -1955) 13. Discutir as solues da equao px + q = O. (C.N. -1952) 14. Discutir a equao (b + a)x = b2. (Exame Aptido - Portugal -1942) 15. Sabendo que a e b so nmeros mpares, resolva e discuta a equao:

2+=a

bbx

bbx

a

ax (Pr-normal)

16. Se a 0 e a -b, a soluo da equao ( )222

2 baba

a

abax+

=

, aps as simplificaes

. ............................................ (E.N.C.D. -1958) 17. A soluo da equao ax - b =.bx - a, (a b) ............................... (I.E. -1956)

Resolver as equaes :

18. 23

11

1=

+

++

+

a

x

a

x (I.E.-1953)

19. 4131

=

+

++

+

m

ym

y (E.N.C.D.-1953)

20. 221 baax

abax

babx

=

+

+ (E.N.C.D.-1955)

21. baax

babx

abxb

baax

+

+

+=

++

+ 22 (I.E.-1955)

22. Dada a equao mx k = km m, podemos afirmar que: a) x = -1, qualquer que sejam m e k; b) ela e impossvel; c) ela e indeterminada; d) x = -1, se m k; e) x = 1, se m k.

(Concurso Professor Municpio do Rio de Janeiro 1976)


1) 3


2) 1+m

mn

3) ck

b

4) Uma infinidade. 5) Nenhuma 6) m 2

7) m = 0, 31

=p .

8) a 1

9) 32

,0 = pm

10) a = 2

11) 3,51

= qp

12) K = 2 13) Determinada: p 0.

Indeterminada: p = q = 0

Impossvel: q p = 0.

14) b -a: determinada; b = a = 0: indeterminada;

b = -a 0: impossvel.

15) Sempre determinada e x = b.

16) baba

+

+ 22

17) 1 18) a + 2 19) 2m - 1 20) a

21) 3b

22) d

S I S T E M A D E E Q U A E S D O 1 G R A U C O M D U A S I N C G N I T A S .

1. O sistema

=+

=

864432

yxyx

e indeterminado. D uma de suas solues.

(C.N. -1951)

2. Calcule a para que o sistema abaixo admita infinitas solues.

=+

=+

11

ayxyax

(Fac. Filosofia Cincias e Letras Santo Andr -1914) 3. Determine o valor de a para que o sistema tenha uma nica soluo.

=+

=+

235830102

yx

yax (C.N. -1911)

4. O sistema

=+

=+

byxyx410

425 impossvel quando b ........................... (I.E. -1959)

5. O valor de k para o qual o sistema

=

=+

35273

yxykx

no tem soluo :

a) 2 b) 5 c) 3 d) 0,8 e) 1,2 (Matemtica Humanas - Univ. MACK -S.P. -1915)

6. Determinar os parmetros a c b de modo que o sistema


=+

=

1534

yxbyax

seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito Janeiro, 1953. 1 Ano)

7. O sistema

=+

=

36223pyx

ymx e indeterminado para m = ............. e p = .......................

(I.E. -1957)

8. Para quais valores de a e b o sistema

=+

=

10432byx

ayx ser indeterminado?

(C.N. -1951)

9. Calcular o valor de m para que o sistema

=+

=+

9261372

yxymx

seja impossvel. (C.N. -1955)

10. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja impossvel: ( )

=+

+=+

1264423

ypxmyx

(I.E.-1955) 11. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja indeterminado:

( )

+=

=+

129416

pyxymx

(E.N.C.D.)

12. Se 51x + 49y = 35 e 49x + 51y = 65, ento 2x :

a) -14 b) -7 c) 7 d) 14 e) 35 (Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1916)

13. Determinar k. para que o sistema

=+

=+

219144

ykxkyx

seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito - Janeiro, 1953 e Seleo l Cientfico -C. Militar -1954)

14. Determine m de modo que o sistema abaixo no admita soluo.

( )( ) ( )

+=+

=+

yxxymyyxm

2321215

(I.E. -1953)

15. Determinar o valor de k para que o sistema seja indeterminado:

=

=

1123

kxykyx

(C.N. -1952)

16. Determinar k e p para que o sistema ( )

+=+

=

3424356

kyxkpkykx

seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito -1955)

17. Determinar m, para que o sistema ( )

=+

=

mymxmymx

72972356

tenha uma infinidade

de solues. 18. Determinar k, no sistema abaixo, de modo que as equaes sejam incompatveis

( )

+=

+=+

1412278105138

kyxkyxk

(E.Naval-1944)


19. Determinar k no sistema ( )

+=+

+=

225322

kykxkykx

de modo que :

1) as equaes sejam incompatveis; 2) o sistema seja indeterminado.

20. Qual o valor a atribuir ao parmetro m para que os sistemas

=+

=+

2312

mymxmymx

e

=

=

ayax

sejam equivalentes? (C.N. -1954)

21. Dado o sistema

=+

=

113216

yxkykx

determinar k para que os valores de x e y sejam iguais. (C.N. -1959)

22. Para que o sistema ( )

( )

=++

=+

1322

yxkkykkx

seja indeterminado, devemos ter k igual a:

a) 4 b) 4 c) 1 d) 1 e) n.r.a. (Marinha Mercante -1972)


1) 2 e 0 2) a = -1 3) a 4 4) b 8 5) e 6) a = 12, b = -20 7) m = -I, p = -1 8) a = 5, b = -6 9) m = 1

10) p = -6, 87

m

11) 31

=m , p = 5

12) a

13) k = 6 14) m = -1,5 15) No h valor de k 16) k = 3 e p = 20

17) m = 3

18) 169

=k

19) k = 6 e k = -1; no h valores

20) a

1

21) 661

=k

22) d

IIIIIIII nnnnnnnn eeeeeeee qqqqqqqq uuuuuuuu aaaaaaaa eeeeeeee ssssssss dddddddd oooooooo 11111111 gggggggg rrrrrrrr aaaaaaaa uuuuuuuu

1. Indique os valores de x que satisfazem a. inequao 2x - 3 > 3 (x - 2)

(E.P.C. do Ar - Admisso -1951)


2. D o maior nmero inteiro que satisfaa a inequao: 2 -3x > 7 (I.E. -1954)

3. O menor valor inteiro de x, para o qual a inequao 19x - 40 > 14x -16 satisfeita . (E.N.C.D.-1959)

4. O maior valor inteiro de x que satisfaz a inequao xx >4

13 e............................

(E.N.C.D. -"1958)

5. Dar o menor nmero inteiro que satisfaz a inequao: 9

26

24

+ 0 e 3 -x < 0, obtm.se, como soluo.

(I.E.-1959) 7. O menor, nmero inteiro que satisfaz simultaneamente as inequaes -2x < 6 e

2x < 4 e ..................................... (I.E. -1958) 8. O menor nmero inteiro que satisfaz simultaneamente as inequaes : 3x > 9 - 5x < -46 e .................. (I.E.-1957) 9. Determine os valores de x que verifiquem o sistema:

04

672

43

151

yyyy

(I.E.-1954)

10. Quais os valores inteiros de y que verificam, simultaneamente, as desigualdades:

xx

xx

212

73

64

32

>+

>

(E.N.C.D. -1951)

11. Quais os valores de y para que o sistema abaixo se verifique?

04

672

43

151

yyyy

(E.N.C.D. -1951)

12. Calcule os nmeros inteiros que satisfaam, simultaneamente, as desigualdades

xx

xx

212

73

64

32

>+

>

(I.E. -1951)

13. Determine os valores inteiros que verificam o sistema

xx e:

a) - 1 b) - 2 c) 0 d) 1 e) 2 (Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1976)

16. O conjunto de solues inteiras do sistema

35

132

13

3

xx

xx

e:

a) {-3, -2, -1, 1, 2} b) {-2, -1, 0, 1}

c) {-3, -2, -1, 0, 1, 2} d) {-2, -1, 0,...}

e) {-2, -1, 1}

17. O conjunto soluo a inequao 1174

>

x

x e:

a) {x Rx > 2} b) {x Rx < 1 ou x > 2} c) {x R1 < x < 2}

d) {x Rx < 1 e x >2} e)


1) x < 3 2) -2 3) 5 4) 0 5) -19 6) x > 3 7) 2 8) 10 9) Entre 4 e 6

10) 2, 3 e 4 11) y > 5 12) 4 13) 2,3 e 4 14) 2 15) a 16) b 17) b

EE QQ UU AA EE SS DD OO 22 GG RR AA UU

I. Calcule o valor de x nas equaes: a) 15x2 = 0

b) l4x2 + 7x = 0

c) 39

22=

+x (E.P.C. do Exrcito 1953)


d) 4x2 + 17x + 4 = 0 (Maratona Intelectual -1953)

e) 0422 =+ xx

f) a4m2x2 - a6m4 = 0

g) x2 - 8ax + 15a2 = 0

h) ( ) ( ) xbaxba 2122

222

=

+

+ (Escola Naval)

i) k2x2 - 2pkx + p2 - q2 = 0 (E.P.C. do Exrcito -1955)

j) 23

21

11

=

+ xx

k) 6x-2 -17x-l + 12 = 0 (Escola de Aeronutica)

l) x

x

=

434

3

m) ( ) ( )123

13

2 =

xxxx

x (E.P.C. do Exrcito -1953)

n) 2=

++

+

bxbx

ax

ax (E.P.C. do Exrcito -1953)

II. Faa o que se pede ou responda ao que se pergunta: 1. Determine o valor da maior raiz da equao 3x2 + 4x - 2 = 0

(E.P.C. do AI -1951) 2. Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equao 2x2 + 3x -2 = 0 3. Calcular m na equao mx2 - 3x + m - 1 = 0 de modo que a unidade seja sua raiz.

4. Sabendo que 53

raiz da equao 5mx2 - 5x - 1 = 0, calcule o valor de m.

5. Sem efetuar o produto dos primeiros membros das equaes: (x -2) (x + 2) = 0 e (2x + 1) (3x - 5) = 0 , calcule as razes.

6. Sem resolver a equao 9x2 - 6ax + a2 - 4,= 0, diga se 3

2a uma de suas razes.

7. Determinar m e p de modo que sejam nulas as razes da equao: m(x2 - x + 1 + m) + px = x + 2 (E.P.C. do Exrcito -1953) 8. Que valores pode assumir o parmetro k para que a equao abaixo tenha uma das

razes nulas? 0436 22 =+ kkxx (E.P.C.doExrcito-1953) 9. Determinar k de sorte que a equao (x - k)2 + 3 (x - 2k) = 0 tenha uma raiz igual a

zero. (Col. Militar - Seleo 1 Cientfico -1954)


10. Qual o valor de m para que a equao (m -1 )x2 + 3mx 2m = 0 tenha uma s raiz no nula?.

11. Determinar os valores de m para que a equao abaixo tenha razes iguais: x

2 - (m - l)x + m - 2 = 0 (E.P.C. do Exrcito- Julho, ,1953)

12. Determinar m para que a equao x2 - m(x -1) = 2 - x tenha uma raiz dupla. 13. Determinar k de modo que as razes da equao 5x2 + 9x + k = 0, sejam reais e

desiguais. (E.P.C. do Exercito -1953) 14. Achar m para que a equao (2m + l)x2 + 4mx + 2(m -1) = 0 tenha duas razes

distintas. 15. Qual a condio para que as razes da equao mx2 + nx + p = 0 sejam imaginrias?

(E.P.C. do Ar -1951) 16. Achar m para que a equao 4x2 - 4x + 2m - 1 = 0 no possua razes reais. 17. Dada a equao 3x2 - 7x + 1 = 0, determinar x' + x" e x' . x"; sem resolver a

equao. (E.P.C. do Ar -1952) 18. Sem resolver as equaes abaixo, determinar a soma e o produto das razes: a) 2x2 + 6x-1 = 0 b) 0212234 2 =+ xx

c) x2 ax x + a = 0 d) (m - 2)x2 + (m + 2)x m2 + 4 = 0

19. Determine os valores de k para os quais a equao: (9k -12)x2 - (2k + 7)x + k + 5 = 0 1) tem razes simtricas; 2) tem uma s raiz nula.

(E.P.C. do Exrcito 1955) 20. Calcule a soma dos quadrados das razes da equao x2 - 2x + 6 = O

(I. Educao -2~ P. Parcial -1953) 21. Sem resolver a equao 3x2 - 2x - 5 = 0, calcule a soma dos inversos de suas razes. 22. Calcular h na equao (h + 3)x2 - 2(h + l)x + h -10 = 0 de modo que a soma dos

inversos da razes seja 31

. (E. Aeronutica -1942)

23. Dada a equao x2 - 5x + q = 0, achar q de modo que: a) uma das razes seja 3; b) a soma dos inversos das razes seja

45

.

(Col. Militar - Admisso -1945) 24. Determinar k na equao x2 + kx + 36 = 0, de modo que entre as razes x' e x" exista

a relao:125

"

1'

1=+

xx (E.P.C. do Ar -1957)

25. Sem resolver as equaes abaixo diga qual o sinal de suas razes: a) 2x2 - 8x + 5 = 0 b) 3x2 + 5x + 1 = 0 c) 5x2 - 2x + 8 = 0

d) m2x2 - 2x + 1 = 0 e) x2 + m2x + 1 = 0.

26. Sem resolver a equao 5x2 + 22x -15 = 0 diga:


a) se as razes tm o mesmo sinal; por qu? b) qual o sinal da maior raiz; por qu?

(E.P.C. do Ex. -1952) 27. Reconhea os sinais da seguinte equao: ax2 + a3x + a2 + b2 = 0.

(E.P.C. do Exrcito -1955) 28. Calcular m na equao mx2 - 3x + 1 = 0 de modo que suas razes sejam positivas. 29. Calcular o menor valor inteiro de m para o qual as razes da equao mx2 + 3x -1 = 0

so positivas. 30. Calcular o valor inteiro de m para o qual a equao 2x2 + 3x + m = 0 tem razes

reais, desiguais e negativas. 31. Calcular m de modo que a equao. (m - 2)x2 + 2x -1 = 0 tenha razes de sinais

contrrios sendo a maior, em valor absoluto, negativa. 32. Determine os sinais de xl e x2 (x1< x2), razes da equao em x: x

2 + bx + c = 0 onde b > 0 e c < 0 (C.N. -1958)

33. Formar as equaes cujas razes so a) 2 e -5. b) -0,5 e 0,4 (Col. Pedro 11 - Art. 91) c) k d) 3232 + e . (Col. Pedro 11 -P. Parcial -1953) 34. Compor a equao do 2 grau cujas razes so os valores absolutos de x e y no Sistema

=

=+

13322

xyyx

35. Estabelecer a equao do 2 grau cujo produto de suas razes e 1 e a maior e 32 +

36. Qual o valor de k que torna equivalentes, no campo real, as equaes: (x2 + 1) (x - k) = 0 e -7x + 2 = -3x ? (C.N. -1957) 37. Calcule a menor raiz da equao px2 + px + 2 = 0 sabendo que, se subtrairmos uma

unidade do valor de p obteremos uma nova equao do 2 grau, cujas razes so iguais. (E.N.C.D. -1958)

38. Determinar c na equao x2 -10x + c = 0, de modo que uma raiz seja o qudruplo, da outra.

39. Determinar c na equao, de modo que suas razes sejam consecutivas: x

2 -7x + c = 0.

40. Determinar b na equao 2x2 + bx + 1 = 0 de modo que uma de suas razes seja a metade da outra.

41. Calcular o menor de m na equao mx2 - (3m l )x + m = 0 de modo que a razo entre suas razes seja 1/4.

42. Calcular m de modo que as razes da equao abaixo existam e sejam inversas. 2x2 + 5x + 2m - 3 = 0.


43. Os nmeros a e b so razes da equao em x: 10x2 + 3x + 10ab = 0; calcule a e b sabendo-se que o quntuplo do inverso de a igual ao simtrico do dobro do inverso de b. (C.N. 1 Concurso - 1958)

44. Dada a equao 2x2 3x + 4 = 0, cujas razes so x' e x", forme outra equao cujas razes so

"

1'

1xx

e .

45. Dada a equao x2 14x + 25 = 0, formar outra equao cujas razes sejam, respectivamente, a mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao dada.

46. Dada a equao x2 - 6x + 25 = 0 determinar a equao do 2 grau cujas razes so as mdias aritmtica e geomtrica das razes da equao dada.

(C.N. 1 Concurso - 1959). 47. Dada a equao x2 - 2px + q2 = 0, forme outra equao do 2 grau cujas razes

sejam, respectivamente; a mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao dada. (E.P.C. do Exercito -1955)

48. Determine c na equao 4x2 - 12x + c = 0 de modo que a diferena das razes seja nove. (C. Naval -1956)

49. Completar: a) A equao incompleta do 2 grau que tem uma raiz nula da forma.................... = 0. b) Quando a soma das razes da equao do 2 grau for nula, a equao do tipo.....= 0 c) Supondo a > 0 e sendo x' e x" as razes de ax2 + bx + x = 0 quando x x" < 0

teremos a

c

................ 0. (E.P.C. do Exrcito -1953)

50. A diferena das razes da equao 4x2 - 15x + p = 0 49

. O valor de p :

(a) 9 (b) 3 (c) 9

(d) 4

15 (e)

154

(I.E. -1972) 51. Resolva equao: abcx2 - (a2b2 + c2)x + abc = 0

(a) abc

c

ab e

(b) ( ) ( )acbcba ++ e

(c) cba

ca

b e

(d) abcabc e

(e) bca

abe

e

(E. Tcnica -1971) 52. Determinar k na equao x2 - 4x + k = 0 sendo R e S as suas razes e sendo: SS RR SR RS = 256. (C.N.-1971)

53. Qua1 a resposta que voc aceitaria de seus alunos para a expresso ba11

+ , sendo a e

b as razes da equao x2 - 4x + 12 = 0 ?


(a) 3 (b) 3

(c) 31

(d) 31

(e) Impossvel calcular

(Concurso Professores Estado RJ - 1976) 54. Na equao x2- 4x + k = 0 onde a e b so suas razes e aa bb ab ba = 16, o valor

de k2 : (a)1 (b)9 (c)4 (d)16 (e)25

(Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1976)


IIIIIIII ........

a) 0 e 0 b) 0 e

21

c) 5 d) 4 e

41

e) 222 e f) am g) 5a e 3a h)

baba

baba

+

+ e

i) k

qp

j) 3 e 34

k) 32

43

e

l) 3 e 1 m) x = 3 (1 raiz estranha, pois anula o

m.m.c.). n) 0 e

2ba +

IIIIIIII IIIIIIII ........

1) 3

102 +

2) 2 3) 2

4) 9

10

5) 2, -2 e 35

,

21

6) Sim 7) m = -2, p = -1 ou m = 1, p = 2 8) 4 ou 1 9) 0 ou 6 10) No h valor de m 11) 3 12) 3

13) 2081

mm e

15) mpn 42 < 16) m > 1

17) 31

37

e

18) a) 3 e 21

19) -3,5 e -5 20) -8 21) -0,4

22) 5

16

23) 6 e 4


24) -15 25) a) Positivas; b) negativas; c) no tem razes reais; d) positivas; e) negativas.

26) a) No, porque o produto 0 2 32) x1 > 0 e x2 < 0

33) a) x2 + 3x -10 = 0 ; b)10x2 + x - 2 = 0; c) x2 k2 = 0; d) x2 - 4x + 1 = 0 34) 6x2 - 9x + 2 = 0 35) x2 - 4x + 1 = 0

36) 21

37) 32

38) 16 39) 12 40) 3

41) 112

42) 2,5

43) 51

21

== ba e

44) 02034 2 =+ xx 45) x2 12x + 35 = 0 46) x2 8x + 15 = 0 47) x2 (p + q)x + pq = 0 48) 72

49) ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0; 0> a

c

50) a 51) a 52) 4 53) c 54) c

EQUAO B I Q UADRADA

1. Resolver: 5x4 = 0 2. Resolver: 4x4 - 1 = 0 3. As razes da equao 3x4 - 6x2 = 0 so ....................... (I.E. e C.D. - 1957) 4. As razes da equao x4 - 5x2 + 4 = 0 so..................... (I.E. -1956) 5. Resolver: 4x4 - 9x2 + 2 = 0 6. Resolver: 214 512 - 3 = 0 (F. Eng. S.P. -1975) 7. Resolver: c4x4 + c2(a2 - b2)x2 a2b2 = 0 (E.P.C. do Ar -1957)


8. Resolva a equao:9

1011

22

=

+

+

x

x

x

x (C.N. -1958)

9. Resolver: 5x-4 2x-2 - 3 = 0 10. A soma das razes da equao 3x4 + x2 + 5 = 0 igual a ................... (I.E..- 1959) 11. Uma das razes da equao x4 - bx2 + 36 = 0 3. Calcular as outras, sendo b

constante. (C.N. -1959) 12. Calcule a mdia aritmtica das razes da equao: x4 5x2 + 4 = 0 (C.N. -1957)

Compor as equaes de razes:

13. 32 e

14. a

a212 e

15. 2m e m

16. 5353 + e

17. Qual a equao biquadrada que possui uma raiz nula e uma. raiz igual a 2 ? 18. A equao biquadrada, de coeficientes inteiros e primos entre si, que apresenta as

razes -3 e +2 ..................................... (E.N.C.D. -1958) 19. Resolva a equao: x4 - 8x2 + 9 = 0, transformando as razes em radicais simples. Sem resolver as equaes abaixo, dizer a natureza de suas razes: 20. 2x4 - 3x2 + 5 = 0 21. x4 2x2 -15 = 0 22. 9x4 - 6x2 + 1 = 0 23. 4x4 + 4x2 + 1 = 0 24. Calcular m para que a equao tenha duas razes nulas: x4 - 3x2 + m -1 = 0 25. A equao mx4 + (p + 1 )x2 + m2 + m = 0 tem todas as suas razes nulas se ............ 26. A equao x4 2x2 + m -3 = 0 tem duas razes nulas e duas reais e simtricas se........ 27. Para que a equao 2x4 + 3x2 + m + 1 = 0 tenha duas razes nulas e duas imaginrias.

temos......................

28. Para que a equao x4 + ax2 + 4 = 0 tenha razes deveremos ter................. (E.N.S.K. - 1959)


1) Todas nulas

2) 22

3) 0, 0, 2- e 2 4) 4 e 1

5) 221 e

6) 3

7) c

b


8) 21

9) 1 10) 0 11) -3 e 2 12) 0 13) x4 - 7x2 + 12 = 0 14) 4a2x4 - (8a3 + l)x2 + 2a = 0 15) x4 - 5m2x2 + 4m4 = 0 16) x4 - 6x2 + 4 = 0 17) x4 4x2 = 0 18) x4 - 13x2 + 36 = 0

19) ( ) ( )21272127 + e 20) No tem razes reais 21) Duas reais simtricas 22) Duas a duas reais e simtricas 23) No tem razes reais 24) m = 1 25) m = p = -1 26) m = 3 27) m = -1 28) a -4

EQUAO IRRAC I ONA L

Resolver: 1. xx =12 2

2. 1133 =x

3. xx =+ 531

4. 2=xx

5. xx 217 =++

6. xx =+ 11 2 (I.E.-1956)

7. 132 += xx (I.E.-1959)

8. 08274 =++ xx

9. 257 +=+ xx

10. 11026 =+++ xx (C.N.-1959)

11. 7323 +=++ xxx

12. 1211 +=++ xxx (C.N.-1959)

13. 532 =++ xx

14. 2222 =+ x

15. 363421 = x

16. 33

2= x

x (I.E. e E.N.C.D.-1957)


17. ( ) 55 2121 =++ xx 18. 21 =+

xx

19. 64 = xx

20. 3036 =+ xx


1) 1

2) 32

3) 2 ou 3 4) 4 5) 2 6) 1 7) 2

8) 21

9) 2 10) 5 11) 6

12) 25

13) 3 14) 3 15) 5 16) 9 17) 4 18) 1 19) 81 20) 15.625

S I S T EMAS D E EQUAES ( PARTE 2 )

1. Calcule os valores reais x e y, que so solues dos seguintes sistemas redutveis ao 2 grau.

1.

=+

=

3116

22

22

xyyx

yx

2.

=

=

31022

xyyx

3.

=

=+

8341729

22

22

yx

yx


4.

=

=

1611

211

22 yx

yx

5.

=

=

+

yx

yxyx

48725

22

22

(E.Militar-1937)

6. ( )

=++

=++

314822

xyyxyxyx

(E.Militar-1940)

7.

=+

=+

4

72

yx

yx

8.

=+

=+

33

2

22

yx

yx


1) 5 e 3; -5 e 3

2) 2 e 11 e 3

====

yxyx

3) 2 e 1 == yx

4) 31

e 51

5) 8 e 6; -8 e -6 6) 3 e 7; 7 e 3 7) x = 3, y = 1

8) 0 e 3 ;1 e 2

PROBLEMAS

11 PP AA RR TT EE

1. Qual o nmero, cujos 52

mais os 73

, mais 54 igual ao prprio nmero, mais 72? (E.N.C.D. -1948)

2. Que horas so, se o que ainda resta para terminar o dia e 32

do que j passou?

3. As idades de Joo e Pedro somam 45 anos e h 5 anos a idade de Joo era quatro vezes a de Pedro. Que idades tm agora Joo e Pedro? (E.P.C. do Ex. -1953)

4. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de quantos anos a idade de Roberto ser o triplo da de Paulo? (C.N. -1951)


5. Dois indivduos tm: o primeiro 45 anos e o segundo 15. Depois de quantos anos a idade do 2 ser um quarto da idade do 1 ? (E.P .C. do Ex. -1954)

6. A soma das idades de A e B 35. Daqui a 5 anos a idade de A ser o dobro da de B. Calcular as idades de A e B. (C.N. -1955)

7. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando aconteceu ou acontecer que a idade de um seja o triplo da do outro?

8. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade 72

da minha e h 5 anos era 61

. Qual a idade do pai e qual a do filho? (E.P.C. do Ex. -1953) 9. Resolva o problema: H 18 anos, a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em

9 anos a idade da primeira passou a ser 45

da segunda. Que idade tm as duas atualmente? (E.P.C. do Ex. -1952)

10. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale R$ 15,00. Colocando a sela no primeiro cavalo, vale este o dobro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo?

(Maratona Intelectual -1953) 11. Duas vasilhas contm, em conjunto, 36 litros de gua. Se transferssemos, para a que

tem menos gua, 52

da gua contida na outra, ficariam ambas com a mesma

quantidade de gua. Quantos litros contm cada vasilha? (E.N.S.K; -1959) 12. Tenho R$ 53,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 1,00. Sabendo que o total de notas

21, calcular o nmero de notas de cada valor. 13. Tm-se galinha e carneiros, ao todo 21 cabeas e 50 ps. Quantos animais h de

cada espcie? (Col. Pedro II - Artigo 91 -1949) 14. Resolver o seguinte problema: Num depsito, h viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo

40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas h de cada espcie, no depsito? (A soluo deve ser algbrica.) (E.P.C. do Exrcito - Julho, 1953, 1 Ano)

15. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, ench-lo-ia em 7 horas. Em quantos minutos a outra, sozinha, encheria o tanque? (C.N. -1952)

16. Uma torneira enche um tanque em 12 e outra em 18 horas. Em quantas horas e minutos as duas juntas enchero o tanque?


1) -105 2) 14h 24min 3) 33 e 12 4) H 3 anos 5) H 5 anos 6) 25 a 10 7) H 5 anos 8) 35 e 10 anos

9) 24 e 21 10) R$ 60,00 e R$ 105,00 11) 30 e 60 12) 8 e 13 13) 17 e 4 14) 25 e 15 15) 560 16) 7h 12min


22 PP AA RR TT EE

1. Determine dois nmeros cuja soma seja (-2) e o produto seja (-15). Soluo algbrica. (E.P.C. do Exrcito -1952)

2. Dois nmeros inteiros esto entre si na razo 75

e a diferena entre seus quadrados

excede de 5 centenas o qudruplo do menor. Calcular os nmeros. (E.P .C. do Exrcito -1953)

3. Qual o maior de dois nmeros cuja soma 2 e cujo produto 43 ?

(C.N. -1951) 4. A soma de dois nmeros 100 e o produto, 1.875. Determinar estes nmeros.

(E.N.C.D. -1948) 5. A soma de dois nmeros 14 e a soma dos seus quadrados, 100. Quais so os

nmeros ? (E.P.C. do Exrcito - Julho, 1953)

6. Qual o menor dos dois nmeros cuja soma 2 e o produto 95

?

7. A diferena de dois nmeros uma dezena. Qual o menor dos dois nmeros, se ele excede a raiz quadrada do maior de 2 unidades.

8. A soma dos quadrados de dois nmeros inteiros e positivos 41. Achar esses nmeros, sabendo-se que so consecutivos.

9. A diferena dos quadrados de dois nmeros inteiros 32. O triplo do menor excede o dobro do maior de 3 unidades. Achar os nmeros.

10. A soma dos quadrados de dois nmeros inteiros 41. Trs vezes um deles igual ao dobro do outro mais duas unidades. Achar os nmeros. (E.N.C.D. - 1950)

11. A soma de dois nmeros 7 e o primeiro mais a raiz quadrada do segundo 5. Achar os nmeros.

12. A soma de dois nmeros 13; o primeiro mais a raiz quadrada do 2 7. Calcular esses nmeros. (C.N. 1953)

13. O produto dos dois algarismos de um nmero 12. Trocando a posio dos algarismos, obteremos um outro nmero que excede o primitivo de 36 unidades. Qual o nmero?

14. Determinar um nmero de dois algarismos, tal que, dividindo-o pela soma dos algarismos. igual ao quociente 4; e que o produto destes algarismos mais 52 igual ao nmero, escrito em ordem inversa. (C.P.O.R. - Seleo -1950)


1) -5 e 3 2) 25 e 35 3) 1,5 4) 75 e 25 5) 6 e 8 6) 1/3

7) 6 8) 4 e 5 9) 7 e 9 10) 5 e 4 11) 3 e 4 12) 4 e 9


13) 26 14) 48

33 PP AA RR TT EE I. Resolva: 1. A soma de dois nmeros 48. Um deles o dobro do outro. Calcule o menor. 2. Joo e Pedro tm juntos 44 anos, Joo tem o triplo da idade de Pedro. Calcule suas

idades. 3. Comprei um terno e uma camisa por R$ 800,00. O terno custou o triplo do preo da

camisa. Qual o preo do terno? 4. A soma de dois nmeros 72 e o quociente exato da diviso desses nmeros 5.

Quais so esses nmeros ? 5. Eu sou. 26 anos mais velho do que minha filha. Qual a minha idade se o triplo da

de minha filha? 6. Um pai tem 30 anos e seu filho 6. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o dobro

da do filho? 7. Eu tenho 37 anos e minha melhor aluna 15 anos. H quantos anos eu tive o triplo de

sua idade? 8. Um pai tem 37 anos e o filho 7. Quando aconteceu ou acontecer da idade do pai ser

o triplo da do filho? 9. Um pai tem 50 anos e os seus trs filhos 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a

quantos anos os filhos, juntos, tero a mesma idade do pai? Sugesto: bom lembrar que, cada ano, a diferena entra a idade do pai e dos filhos, juntos, diminui de 2 anos.


1) 16 2) 33 e 11 3) R$ 600,00 4) 12 e 60 5) 39

6) 18 7) 4 8) Daqui a 8 anos 9) 14


DESAF I O S

1. Determine o polinmio P(x), do 2 grau, tal que P(-1) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 3. 2. Determine a equao do 2 grau cuja menor raiz 32 e o produto das duas

razes 1. 3. Dados dois conjuntos A e B tais que

( ) ( ) ( ) ( ) ,.. e 5. ,10. bnnnn == pode-se afirmar que a soma dos valores possveis paras ( ).n : a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

(Col. Naval 1998)

4. A soluo da equao x

xx4

11 =+ :

a) Uma dzima peridica. b) Um n. natural, quadrado perfeito. c) Um n. racional cujo inverso tem 4 divisores positivos. d) Um n. irracional e) Inexistente

(Col. Naval 1996)

5. O quociente entre a maior e menor raiz da equao 9 8

9 174

xx

x+ = :

(Col. Naval 1994)

6. A soma e o produto das razes da equao ( ) ( ) 0665565 222 =+++ xxxx so, respectivamente:

(Col. Naval 1996)

7. ( )0 ,01122

++

+

baabbaba

igual a:

a) abab

+

+ 22

b) ( )ababab+

+ 22

c) ab

ab +

d) ba11

+

e) NRA

8. Calcule ( )( ) ( )( ) ( )( )bcacc

abcbb

cabaa

+

+

9. Demonstre identidade de Plato. ( ) ( ) ( )2222222 2abbaba +=+ 10. A mdia aritmtica de 50 nmero 38. Se dois dos nmeros, 45 e 55. So

suprimidos, a mdia aritmtica passa a ser: a) 35,5 b) 37

c) 37,2 d) 37,5


e) 37,52

11. Sendo qp

uma frao irredutvel, que nmero se deve subtrair de seus termos para

se obter p inverso dessa frao? 12. Se na frmula yxxy e ,2= descrevem de 25%, .

a) Decresce 50% b) Decresce 75%

c) Decresce 6437

do seu valor

d) Decresce 6427

do seu valor

e) N R A 13. As razes de 062 =+ xx

a) So positivas b) Tm produto igual a 6 c) Tm soma 0 d) Tm soma 1 e) N R A 14. Calcule a soma dos cubos das razes da equao 0262 = xx . 15. Calcule m de modo que uma das razes de x2 + mx + 27 = 0, seja o quadrado da

outra. 16. Dada a equao 2x2 + x + 1 = 0 de razes x1 e x2 , calcule o valor da expresso

22

221

1

11 xx

x

x

++

+.

17. Determinando-se os pares (x,y) de nmeros reais que satisfaam s condies

=

+

+=

xyyx

xxy

12

22

2

tem-se:

a) Dois pares b) Nenhum par c) Trs pares d) Uma infinidade de pares e) Um nico par

18. Verifique se existem nmeros inteiros positivos x tais que 028345

2

2

+

xx

xx.

19. Cada sistema disposto na primeira coluna possui uma correspondente representao grfica, constante da segunda coluna.


Y

X

Y

X

=

=+21

0xy

xyS ( )

=

=

12

2

2xy

xyS ( )

=

=

42

2

3xy

xyS ( )

=

=+

12

4 yxyx

S ( )

=+

=+

2222

5 yxyx

S ( )

Assinale a seqncia resultante da correta associao das duas colunas. a) S4 S5 S2 S3 S1 b) S1 S2 S4 S5 S3 c) S5 S1 S4 S3 S2 d) S5 S2 - S3 S4 S1


e) S5 S4 S2 S3 S1 20. Sabendo que os nmeros inteiros q e r so tais que 622 =+ rqrq , podemos

afirmar que q e r so as razes da equao. a) 2x2 + 4x 6 = 0 b) x2 x 12 = 0 c) 3x2 9x + 4 = 0 d) x2 + 6x + 1 = 0 e) 2x2 12x + 6 = 0

21. Sobre o conjunto verdade da equao 22222

yxyx

yxyx

+=

+ no universo dos nmeros

podemos afirmar que. a) infinito b) vazio c) unitrio d) Contm nmeros negativos e) Contm dzimas peridicas.

LGEBRA

Ex1. Prove que : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zyxzyx=

=+++

111111

Ex2 : Simplifique

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacccbabbcabaa ++111

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacccbabbcabaa ++ 222111

Ex3: Mostre que: ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2222 xbcacbxax

cabcbaxcxb

cabacxbx

a =

+

+

Ex4: Mostre que: ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 1=

+

+

bcacbxax

abcbaxcx

cabacxbx

Ex5: Mostre que se a + b + c = 0

Ento : 9=

+

+

+

+

ac

bcb

a

bac

bac

a

cbb

ba


Ex6: Simplifique a seguinte expresso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacabc

abcbacb

cababca

++

+++

+++

222

Ex7: Calcule

..............111

11

11

1

++

++

=S


PROVAS

MINISTRIO DA DEFESA . EXRCITO BRASILEIRO DEP - DFA - EsS A Concurso de Admisso aos CFS/2000 EXAME INTELECTUAL

APROVO:

Diretor de Ensino da Essa

IIIIIIII NNNNNNNN SSSSSSSS TTTTTTTT RRRRRRRR UUUUUUUU EEEEEEEE SSSSSSSS Inicialmente, confira os campos de identificao do candidato na Folha Respostas e

na Folha de Redao, seguindo a orientao do aplicador da prova. A soluo das Provas s ser vlida na Folha de Respostas e na Folha de Redao. No sero fornecidas Folha de Respostas reserva e Folha de Redao reserva por

erro do candidato. Folhas reservas s sero fornecidas nos casos de falha de impresso. Ao terminar, verifique o preenchimento e entregue a Folha de Respostas, Folha de

Redao e a Prova ao aplicador. A Prova e o gabarito estaro disposio dos interessados em data, hora e local

informados pela Comisso de Aplicao. S ser permitida a sada do local da prova aps transcorridas 02 h 40 min (duas horas e quarenta minutos) do tempo total destinado realizao das provas (aps s 11:40 hs). Tempo de durao das Provas (Mltipla Escolha + Redao): 04 horas

11111111 PPPPPPPP RRRRRRRR OOOOOOOO VVVVVVVV AAAAAAAA -------- MMMMMMMM AAAAAAAA TTTTTTTT EEEEEEEE MMMMMMMM TTTTTTTT IIIIIIII CCCCCCCC AAAAAAAA 1. Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a

dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo ser armado, trabalhando-se 10 horas por dia?

(A) 7 dias; (B) 6 dias; (C) 5 dias; (D) 4 dias; (E) 3 dias. 2. Seja ABCOE... um polgono regular convexo onde as mediatrizes dos lados AB e

CD formam um ngulo de 30. Sendo assim, temos que o nmero de diagonais desse polgono igual a: A)

(A) 252; (B) 251; (C) 250; (D) 249; (E) 248. 3. A expresso algbrica x2 - y2 z2 + 2yz + x + y z, admite como fator: (A) x + y + z + 1; (B) x y z + 1; (C) x + y z + 1; (D) x y + z + 1; (E) x + y + z + 1. 4. Dos 800 sargentos formados pela EsSA a cada ano, 5% pedem para sair do Exrcito

ao completarem 5 anos de servio. Ento, a quantidade de sargentos formados pela EsSA aps 12 anos e que ainda esto em atividade :

(A) 96OO; (B) 9460; (C) 9280; (D) 9120; (E) 8800;


5. Considere os pontos colineares A, B, O e C na ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC 2BC = 6cm, ento a distncia, em cm, entre os pontos O e C igual a:

(A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8; (E) 9. 6. Duas pessoas, fazendo seus exerccios dirios, partem de um mesmo ponto e

contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e d uma volta completa na pista em 12 minutos, enquanto a outra leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas voltaro a se encontrar no ponto de partida?

(A) 40 minutos; (B) 50 minutos; (C) 60 minutos; (D) 70 minutos; (E) 90 minutos. 7. A potncia (2,12121212...)990 tem quantos divisores naturais ? (A) 12; (B) 13; (C) 120; (D) 121; (E) 991. 8. Numa circunferncia, uma corda de 60 cm tem uma flecha de 10cm. O dimetro da

circunferncia mede: (A) 50 cm; (B) 100 cm; (C) 120 cm; (D) 180 cm; (E) 200 cm. 9. A soma dos inversos das razes da equao x2 - 36x + 180 = 0 :

(A) 51

;

(B) 61

;

(C) 301

;

(D) 361

;

(E) 152

;

10. Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10

dias perceberam que s haviam realizado 52

da obra. Se o grupo for reforado com

mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levaro para concluir a obra?

(A) 2; (B) 4; (C) 7; (D) 9; (E) 10.


22 PP rr oo vv aa dd ee MM aa tt eemm tt ii cc aa

211

//

==

CDAB

CAAB

CBAB

e

1. valor da expresso ( ) ( )( ) ( )9950

49100

1111

+

xx

xx para x = 101/99 :

(A) -1 (B) 100 (C) 1 (D) -100 (E) 101

2. Observando a figura2 (Fig.2) acima, conclu-se que o valor do ngulo a :

(A) 70 (B) 800 (C) 75 (D) 85 (E) 650

3. O nmero natural N = (105 + 3.104 + 7.103 + 440 + n) divisvel por 13, n um nmero natural menor que 10, e q o quociente da diviso de N por 13. Logo, o valor de q + n :

(A) 13052 (B) 10582 (C) 10739 (D) 10126 (E) 10026

4. O suplemento do ngulo 45 17' 27" foi dividido em trs partes iguais. A medida de cada parte :

(A) 2254'41"

(B) 4454'11"

(C) 1134'51"

(D) 3442'33"

(E) 5444'33" "

5. Um tringulo tem lados que medem 6, 9 e c. O nmero mximo de elementos do conjunto que podem ocupar o lugar de c :

(A) 5 (B) 6 (C) 9 (D) 3 (E) 7

6. Numa determinada escola, onde 40% dos alunos so do sexo masculino, foi feita uma pesquisa sobre conhecimentos na rea de informtica, com o seguinte resultado:

a) 18% dos alunos no tm conhecimento na rea de informtica.

b) 30% dos alunos do sexo masculino no tm conhecimento na rea de informtica.


Pode-se concluir, portanto, que a razo entre ,a quantidade de alunas desta escola que no tem e as que tem conhecimento, na rea de informtica : (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 1/5 (D) 1/10 (E) 1/9

7. Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicao ao longo de trs rodovias distintas, que medem 450 km, 330 km e 300 km, Para facilitar sua localizao, decidiu-se instalar as torres mantendo, entre elas, sempre a mesma distncia nas trs rodovias. Foi utilizada a maior distncia possvel, e elas foram instaladas a partir do quilmetro zero de cada rodovia. O nmero de torres instaladas nas rodovias foi:

(A) 35 (B) 37 (C) 39 (D) 36 (E) 38

8. Na figura 1(Fig.1), a medida do segmento AB 12cm, e a do segmento CD e 8cm. Logo, a medida do segmento EF :

(A) 24/5 cm

(B) 30/5 cm

(C) 20/5 cm

(D) 29/5 cm

(E) 25/5 cm

9. Numa lanchonete, o refrigerante vendido em copos descartveis de 300 ml por R$ 1,35 e de 500 ml por R$ 1,80. Ao se comparar o preo do refrigerante no copo de 500 ml em relao ao de 300 ml, conclui-se que :

(A) 20% maior

(B) 30% maior

(C) Igual

(D) 20% menor

(E) 30% menor

10. Exrcito Brasileiro foi chamado para auxiliar no combate Dengue. O sargento Nilton recebeu um grupo de soldados, e a misso de distribui-los nos bairros de uma cidade. Observou, ento, que se enviasse 12 soldados para cada bairro, sobrariam 4 soldados, e que se enviasse 16 soldados para cada bairro, 3 bairros no receberiam soldado algum. O nmero de soldados recebidos pelo sargento Nilton :

(A) 160 (B) 176 (C) 128 (D) 144 (E) 192

Exercícios de Algebra Elementar - Ivan Monteiro

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