EXERCCIOS DE REVISO LGEBRA LINEAR

1) Determine x e y reais, de modo que se tenha: (x + y) + 7i = 1 + (x y)i 2) Determine k real de modo que: Z = (k 3i).(1 + ki) seja: a) um imaginrio puro; b) um nmero real.

3) Determine x R de modo que o nmero xixiZ

212

seja imaginrio puro.

4) Calcule as potncias:

a) 273).35( iiZ b) 114743

12

iiiiZ

5) Escreva o nmero na forma trigonomtrica: iZ 232

6) Construa a matriz A = (aij)3x3 tal que

jisejise

aji

ij ,0,)1( .

7) Dadas as matrizes

826240

A ,

0612963

B e

211010

C , calcule o resultado da

seguinte operao: 2A B + 3C.

8) Sejam

4121

A e

yxB

12 duas matrizes. Se B a inversa de A, calcule o valor de x + y.

9) Resolva os seguintes determinantes:

a)

1232012105431321

A b)

4102180195032102

A

10) Escalone, classifique e resolva os seguintes sistemas:

a)

22212

zyxzyxzyx

b)

02223212

tzyxtyxzyx

c)

104354453223

zyxzyxzyx

11) Determinar o valor de k para que o vetor u = (1, -2, k) seja combinao linear dos vetores v1 = (3, 0, -2) e v2 = (2, -1, 5). 12) Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinao linear de u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (2, -1, 1).

13) Verifique se os vetores so Linearmente Dependente (LD) ou Linearmente Independentes (LI). a) {(1, -5), (-2, 10)} b) {(0, -6, 1), (0, 4, -2), (-8, -4, 3)} c) {(6, 2, -8), (3, 1, -2)} 14) Determine se cada par de vetor ortogonal: a) u = (8, -5) v = (-2, -3) b) u = (12, 3, -5) v = (2, -3, 3) 15) Cada conjunto dado uma base do espao vetorial V correspondente. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de V. A seguir determine a base ortonormal correspondente. b) }5,3,0,1{ C V = R2 c) }1,2,1,0,1,1,1,1,1{ C V = R3 16) Verifique se cada aplicao abaixo caracteriza uma transformao linear: a) 22: RRT yxyxT ,1, b) 23: RRT yxzzyxT ,,, 17) Dada a transformao linear 22: RRT , onde yxyxyxT 48,2, , determine o seu ncleo e a sua imagem. 18) Determine a Transformao Linear tal que 2,11,1 T e 1,40,1 T e v1 e v2 formam uma base. 19) Considere a base 21 , vvS de R2 onde 1,21 v e 3,12 v e seja 32: RRT a transformao linear tal que 0,2,11 vT , 5,3,02 vT . 20) Usando a transformao encontrada no exerccio 19, determine T(2, -3). 21) Em cada caso abaixo encontre os autovalores e os autovetores correspondentes. a) 22: RRT yxyxyxT 23,23, b) 33: RRT zyxzyxzyxzyxT 23,2,32,,

Respostas: 1) x = 4 e y = -3 2) a) k = 0 b) k = 3 3) x = 1 4) a) Z = 3 + 5i b) Z = -i 2

5) Z = 4(cos 330 + i.sen 330) 6)

011101

110A 7)

22731313

8) x + y = 0 9) a) det A = 28 b) det A = 0 10) a) SPD S = {(-11, -6, -3)}

10) b) SPI - S = {(-12 13z, -11 11z, z, 5 + 5z)} 10 c) SI

11) v = -v1 + 2v2, onde k = 12 12) v = -6u1 + 3u2 +2u3 13) a) LD b) LI c) LI

14) a) u e v no so ortogonais b) u e v so ortogonais

15) a) w1 =(1, 0), w2 = (0, -5) e u1 = (1, 0), u2 = (0, -1)

15) b) w1 = (1, 1, 1) , w2 = (-1, 1, 0), w3 = (1/6, 1/6, -1/3) e u1 =

31,

31,

31

, u2 =

0,

21,

21

e u3 =

62,

61,

61

16) a) T no linear b) T linear

17) N(T) = {(x, 2x)} e Im(T) = {(a, b) R2/b = -4a)

18) T(v) = (-4x + 5y, x 3y) 19) T(v) =

7105,

749,

73 yxyxyx

20) T(2, -3) =

720,

76,

79 21) a) 34 21 1,21 yv e 1,3/12 yv

21) b) 10 321 e 1,1,11 zv 1,1,22 v se y = z = 1