INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE - EXERCÍCIOS 1) Considerar o evento "chover amanhã". Como interpretar este evento do ponto de vista probabilístico? A probabilidade é um número entre 0 e 1. Entendemos que, quando o boletim meteorológico indica "uma probabilidade de chuva próxima de zero", isso quer dizer que praticamente não há chance alguma de chover. Entretanto, se houver a indicação de 0,90 de probabilidade de chuva, saberemos que é provável que ocorra chuva. Uma probabilidade de 0,50 mostra que tanto é possível chover como não. 2) Dadas as informações da tabela a seguir, estabeleça os espaços amostrais para cada experimento.

Experimento: Resultados experimentais:

Jogar uma moeda Cara, coroa Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, não-defeituosa Fazer um contato de vendas Comprar, não comprar Lançar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jogar uma partida de futebol Ganhar, perder, empatar Lançar duas moedas. Cara H; Coroa T (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)

Experimento - jogar uma moeda. S = Cara, Coroa Experimento - selecionar uma peça para inspeção. S = Defeituoso, Não defeituoso Experimento - fazer um contato de vendas. S = Comprar, não comprar Experimento - lançar um dado. S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Experimento - jogar uma partida de futebol. S = Ganhar, perder, empatar Experimento – lançar duas moedas. S = (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) 3) Considere um estudo sobre o tempo de espera no setor de raios X de um hospital municipal. Um atendente registrou o número de pacientes à espera de atendimento às 9h em 20 dias consecutivos e obteve os resultados constantes nas colunas 1 e 2 da tabela a seguir. Calcule todas as probabilidades e comente o procedimento de cálculo.

No. de pessoas a espera

No. de dias em que o resultado ocorreu

Probabilidades

0 2 0,10 1 5 0,25 2 6 0,30 3 4 0,20 4 3 0,15

Total: 20 1,00

Esses dados mostram que em dois dos 20 dias, nenhum (0) paciente estava à espera de atendimento; em cinco desses dias, um (1) paciente estava à espera de atendimento e assim por diante. Usando o método de freqüência relativa, atribuiríamos uma probabilidade de 2/20 = 0,10 ao resultado experimental de nenhum paciente estar à espera de atendimento, 5/20 = 0,25 ao resultado experimental de um paciente estar à espera, 6/20 = 0,30 para dois pacientes, 4/20 = 0,20 para três pacientes e 3/20 = 0,15 para quatro pacientes à espera.

2

4) A KP&L está iniciando um projeto idealizado para aumentar a capacidade de geração de energia em uma de suas usinas ao norte do país. O projeto divide-se em duas etapas, ou passos, seqüenciais: etapa 1 (projeto) e etapa 2 (construção). Não obstante cada etapa estar programada e ser controlada o mais cuidadosamente possível, a administração não é capaz de prever o tempo exato necessário para o término de cada fase do projeto. Uma análise de projetos de construção similares revelou que os prazos de término possíveis para a fase de elaboração do projeto seriam 2, 3 ou 4 meses, e que os prazos de término para a fase de construção seriam 6, 7 ou 8 meses. Além disso, em virtude da necessidade crítica de energia elétrica adicional, a administração estabeleceu uma meta de dez meses para a conclusão total do projeto. A Tabela 1 sintetiza os nove resultados experimentais para o problema da KP&L. O diagrama em árvore da Figura 2 mostra como ocorrem os nove resultados (pontos amostrais).

Tabela 1: Resultados experimentais correspondentes ao projeto da KP&L

Prazo de término (meses) Etapa 1

Elaboração Projeto Etapa 2

Construção Notação p/o resultado

experimental Prazo p/conclusão do projeto (meses)

2 6 (2,6) 8 2 7 (2,7) 9 2 8 (2,8) 10 3 6 (3,6) 9 3 7 (3,7) 10 3 8 (3,8) 11 4 6 (4,6) 10 4 7 (4,7) 11 4 8 (4,8) 12

Figura 2: Diagrama em árvore do projeto da KP&L

3

Embora a identificação dos resultados experimentais possa ser útil, precisamos considerar como podemos atribuir valores probabilísticos aos resultados experimentais antes de fazer uma avaliação da probabilidade de que o projeto venha a ser concluído dentro do prazo desejado de dez meses. Com base na experiência e na capacidade de julgamento, a administração concluiu que os resultados experimentais não eram igualmente prováveis. Portanto, o método clássico de atribuição de probabilidades não poderia ser usado. A administração decidiu então realizar um estudo dos prazos de conclusão de projetos similares levados a efeito pela KP&L ao longo dos três últimos anos. Os resultados de um estudo de 40 projetos similares estão resumidos na Tabela 2.

Tabela 2 – Resultados do estudo relativo ao prazo de término de 40 projetos da KP&L

Prazo de término (meses) No. de projetos anteriores que

Etapa 1 Elaboração do Projeto

Etapa 2 Construção da obra

Ponto amostral tiveram estes prazos de termino

2 6 (2,6) 6 2 7 (2,7) 6 2 8 (2,8) 2 3 6 (3,6) 4 3 7 (3,7) 8 3 8 (3,8) 2 4 6 (4,6) 2 4 7 (4,7) 4 4 8 (4,8) 6

Total = 40

Depois de rever os resultados do estudo, a administração decidiu empregar o método de freqüência relativa de atribuição de probabilidades. A administração poderia ter produzido estimativas de probabilidade subjetivas, mas achou que o projeto atual era muito similar aos 40 projetos anteriores. Desse modo, o método de freqüência relativa foi considerado o melhor. Determine a probabilidade de o projeto total ser executado de acordo com a meta estabelecida pela empresa: dez meses ou menos. Solução: Ao usar os dados da Tabela 2 para calcular as probabilidades, observamos que o resultado (2,6) – ou seja, a etapa 1 concluída em dois meses e a etapa 2 concluída em seis meses – ocorria seis vezes nos 40 projetos. Podemos usar o método de freqüência relativa para atribuir uma probabilidade de 6/40 = 0,15 a esse resultado. De forma similar, o resultado (2,7) também ocorreu em seis dos 40 projetos. Produzindo uma probabilidade de 6/40 = 0,15. Prosseguindo dessa maneira, obtemos as atribuições de probabilidade para os pontos amostrais do projeto da KP&L mostrados na Tabela 3. Note que P(2,6) representa a probabilidade do ponto amostral (2,6), P(2,7) representa a probabilidade do ponto amostral (2,7) e assim por diante. Consultando a Tabela 3, notamos que seis pontos amostrais – (2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7) e (4,6) – apresentam um prazo de término do projeto de dez meses ou menos. Se considerarmos que C denota a eventualidade de o projeto ser concluído em dez meses ou menos, escrevemos:

C = (2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)

4

Tabela 4.3 – Probabilidades para o projeto da KP&L com base na freqüência relativa

Ponto amostral Prazo de término do projeto Probabilidades

(2,6) 8 meses P(2,6) = 6/40 = 0,15 (2,7) 9 P(2,7) = 6/40 = 0,15 (2,8) 10 P(2,8) = 2/40 = 0,05 (3,6) 9 P(3,6) = 4/40 = 0,10 (3,7) 10 P(3,7) = 8/40 = 0,20 (3,8) 11 P(3,8) = 2/40 = 0,05 (4,6) 10 P(4,6) = 2/40 = 0,05 (4,7) 11 P(4,7) = 4/40 = 0,10 (4,8) 12 P(4,8) = 6/40 = 0,15

Total = 1,00

Considera-se que o evento C ocorra se, desses seis pontos amostrais, qualquer um aparecer como resultado experimental. Dentre outros eventos que poderiam interessar à gerência da KP&L incluem-se os seguintes:

L = a eventualidade de o projeto ser concluído em menos de dez meses M = a eventualidade de o projeto ser concluído em mais de dez meses

Usando a informação da Tabela 3, notamos que esses eventos consistem nos seguintes pontos amostrais:

L = (2,6)(2,7),(3,6) M = (3,8),(4,7),(4,8)

Uma série de eventos adicionais pode ser definida para o projeto da KP&L, mas, em cada caso, o evento deve ser identificado como um conjunto de pontos amostrais do experimento. Dadas as probabilidades dos pontos amostrais apresentados na Tabela 3, podemos usar o conceito de probabilidade de um evento para calcular a probabilidade de qualquer evento que a gerência da KP&L possa querer considerar. Usando essa definição, calculamos a probabilidade de um evento em particular somando as probabilidades dos pontos amostrais (resultados experimentais) que compõem o evento. Agora podemos calcular a probabilidade de que o projeto demandará dez meses ou menos para ser concluído. Uma vez que esse evento é dado por C = (2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6), a probabilidade do evento C, denotada por P(C), será dada por

P(C) = P(2,6) + P(2,7) + P(2,8) + P(3,6) + P(3,7) + P(4,6)

Referindo-se às probabilidades dos pontos amostrais da Tabela 3; temos, portanto,

P(C) = 0,15 + 0,15 + 0,05 + 0,10 + 0,20 + 0,05 = 0,70

Similarmente, desde que a eventualidade de o projeto ser concluído em menos de dez meses seja dada por L = (2,6), (2,7), (3,6), a probabilidade desse evento é dada por

P(L) = P(2,6) + P(2,7) + P(3,6) = 0,15 + 0,15 + 0,10 = 0,40

Finalmente, para a eventualidade de o projeto ser concluído em mais de dez meses, temos M =

5

(3,8), (4,7), (4,8) e, assim,

P(M) = P(3,8) + P(4,7) + P(4,8) = 0,05 + 0,10 + 0,15 = 0,30

Usando esses resultados probabilísticos, agora podemos dizer à gerência da KP&L que há uma probabilidade de 0,70 de o projeto ser concluído em dez meses ou menos, uma probabilidade 0,40 de o projeto ser concluído em menos de dez meses e uma probabilidade de 0,30 de o projeto ser concluído em mais de dez meses. Esse procedimento para o cálculo de probabilidades pode ser repetido para qualquer evento que interesse à gerência da KP&L. 5) Atribuição subjetiva de probabilidades. Considere o caso em que Toni e Judith fizeram uma oferta para comprar uma casa. São dois os resultados possíveis:

El = sua oferta é aceita E2 = sua oferta é rejeitada

Judith acredita que a probabilidade de sua oferta ser aceita é 0,8; assim, Judith estabeleceria que P(E1) = 0,8 e P(E2) = 0,2. Toni, entretanto, acredita que a probabilidade de sua oferta ser aceita é 0,6; portanto, Toni estabeleceria que P(E1) = 0,6 e P(E2) = 0,4. Note que a estimativa de probabilidade de Toni reflete um pessimismo maior quanto à possibilidade de que sua oferta seja aceita. Tanto Toni como Judith atribuíram probabilidades que satisfazem os dois requisitos básicos. O fato de suas estimativas de probabilidade serem diferentes enfatiza a natureza pessoal do método subjetivo. 6) Um agente de compras afirma que a probabilidade de o fornecedor enviar uma remessa isenta de peças defeituosas é P(B) = 0,90. Usando o complemento calcule a probabilidade de a remessa não conter peças defeituosas. P(D) = 1 – 0,90 = 0,10. 7) Lei da adição de eventos. Considere o caso de uma pequena planta de montagem com 50 empregados. Espera-se que cada funcionário conclua suas obrigações no prazo e que as desempenhe de tal maneira que o produto montado seja aprovado na inspeção final. Ocasionalmente, algum funcionário deixa de cumprir os padrões de desempenho, concluindo o trabalho tardiamente ou montando produtos com defeito. Ao final de um período de avaliação do desempenho, o gerente de produção descobriu que cinco dos 50 funcionários concluíam o trabalho atrasados e seis dos 50 montavam um produto com defeito e dois dos 50 funcionários tanto concluíam o trabalho tardiamente como montando produtos com defeitos. Depois de revisar os dados de desempenho, o gerente de produção decidiu atribuir avaliações de desempenho a qualquer empregado cujo trabalho fosse concluído atrasado ou apresentando defeitos. Qual é a probabilidade de o gerente de produção atribuir uma avaliação ruim a um funcionário? Admitamos que

L = a eventualidade de o trabalho ser concluído atrasado D = a eventualidade de o produto montado apresentar defeito

A informação sobre a freqüência relativa nos leva às seguintes probabilidades:

P(L) = 5/50 = 0,10

6

P(D) = 6/50 = 0,12

P(L ∩ D) = 2/50 = 0,04 Observe que a questão probabilística se refere à união de dois eventos. Especificamente,

queremos conhecer: P(L ∪ D) = P(L) + P(D) – P(L ∩ D)

Conhecendo os valores das três probabilidades expressas no segundo membro dessa equação,

podemos escrever: P(L ∪ D) = 0,10 + 0,12 – 0,04 = 0,18 Esse cálculo nos informa que há 0,18 de probabilidade de que um funcionário escolhido aleatoria-mente receba uma classificação de desempenho ruim. 8) Como outro exemplo da lei da adição, considere um estudo realizado recentemente pelo gerente de pessoal de uma grande empresa de software de computador. O estudo mostrou que 30% dos funcionários que saíram da firma no intervalo de dois anos o fizeram porque estavam insatisfeitos com seus salários, 20% saíram porque estavam insatisfeitos com suas atribuições de trabalho e 12% dos ex-funcionários indicaram insatisfação tanto com o salário como com suas atribuições de trabalho. Qual é a probabilidade de um funcionário que sair dentro de dois anos vir a fazê-lo em virtude da insatisfação com o salário, insatisfação com a atribuição de trabalho, ou ambos? Admitamos que

S = a eventualidade de o empregado sair em razão do salário W = a eventualidade de o empregado sair em decorrência da atribuição de trabalho

Temos P(S) = 0,30, P(W) = 0,20 e P(S ∩ W) = 0,12. Usando a equação 6, tem-se

P(S ∪ W) = P(S) + P(W) – P(S ∩ W) = 0,30 + 0,20 – 0,12 = 0,38 Descobrimos que há uma probabilidade de 0,38 de que um funcionário saia da empresa por motivos de salário ou de atribuição funcional. 9) Como ilustração da aplicação da probabilidade condicional, considere a situação do status de promoção de oficiais masculinos e femininos de um grande departamento de polícia metropolitana no leste do Estados Unidos. A força policial consiste em 1.200 oficiais, sendo 960 homens e 240 mulheres. Nos últimos dois anos, 324 oficiais da força policial receberam promoções. A estrutura específica de promoções para oficiais masculinos e femininos é apresentada na Tabela 4.

Tabela 4 – Status de promoção dos oficiais de polícia nos dois últimos anos

Homens Mulheres Total

Promovidos 288 36 324 Não promovidos 672 204 876

Total 960 240 1.200

Depois de rever o registro de promoções, uma comissão de oficiais femininas fez uma acusação formal de discriminação baseando-se no fato de que 288 oficiais masculinos receberam promoções e somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A administração da polícia argüiu que o número relativamente baixo de promoções para as oficiais femininas se deveu não à

7

discriminação, mas ao fato de relativamente poucas mulheres serem integrantes da força policial. Mostrar como a probabilidade condicional poderia ser utilizada para analisar a acusação de discriminação. Admitindo-se que

H = evento de um oficial ser homem M = evento de um oficial ser mulher

A = evento de um oficial ser promovido Ac = evento de um oficial não ser promovido

Com base nos valores de dados da Tabela 4 sintetizar a informação disponível com os seguintes valores probabilísticos:

Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser um homem

e ser promovido = P(H ∩ A) = 288/1.200 = 0,24

Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser um homem

e não ser promovido = P(H ∩ Ac) = 672/1.200 = 0,56

Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser uma mulher

e ser promovida = P(M ∩ A) = 36/1.200 = 0,03

Probabilidade de um oficial escolhido aleatoriamente ser uma mulher

e não ser promovida = P(H ∩ Ac) = 204/1.200 = 0,17 Uma vez que cada um desses valores dá a probabilidade da interseção de dois eventos, as probabilidades são chamadas probabilidades associadas (estas aparecem no corpo da tabela). A Tabela 5, que apresenta um resumo das informações probabilísticas referentes à situação das promoções dos oficiais do departamento de polícia, é denominada tabela de probabilidade associada. Os valores indicados nas margens da tabela de probabilidade associada fornecem as probabilidades de cada evento separadamente. Ou seja, P(H) = 0,80, P(M) = 0,20, P(A) = 0,27 e P(Ac) = 0,73. Essas probabilidades se denominam probabilidades marginais em virtude de sua localização nas margens da tabela de probabilidade associada. Notamos que as probabilidades associadas são encontradas somando-se as probabilidades que se encontram na linha ou coluna correspondentes da tabela de probabilidade associada. Por

exemplo, a probabilidade marginal de alguém ser promovido é P(A) = P(H ∩ A) + P(M ∩ A) = 0,24 + 0,03 = 0,27. Das probabilidades marginais, vemos que 80% da força policial são homens, 20% da força são mulheres, 27% de todos os oficiais receberam promoções e 73% não foram promovidos.

Tabela 5 – Probabilidades associadas das promoções dos oficiais

Homens (H) Mulheres (M) Total

Promovidos (A) 0,24 0,03 0,27 Não promovidos (Ac) 0,56 0,17 0,73

Total 0,80 0,20 1,00

8

Vamos iniciar agora a análise da probabilidade condicional calculando a probabilidade de um oficial ser promovido dado que o oficial seja um homem. Na notação de probabilidade condicional, tentamos determinar P(A | H). Para calcular P(A | H), primeiramente precisamos entender que essa notação significa simplesmente que estamos considerando a probabilidade do evento A (promoção), visto que sabemos da existência da condição designada como evento H (o oficial ser um homem). Assim, P(A | H) nos diz que agora estamos interessados somente no status de promoção dos 960 oficiais do sexo masculino. Uma vez que 288 dos 960 oficiais do sexo masculino receberam promoções, a probabilidade de haver uma promoção dado que o oficial seja um homem é 288/960 = 0,30. Em outras palavras, dado que um oficial seja um homem, ele teve 30% de chance de receber uma promoção no decorrer dos últimos dois anos. Esse procedimento foi fácil de aplicar porque os valores apresentados na Tabela 4 mostram o número de oficiais de cada categoria. Queremos demonstrar agora como se pode calcular diretamente probabilidades condicionais como P(A | H), a partir das probabilidades de eventos, em vez dos dados de freqüência da Tabela 4. Consulte a tabela de probabilidade associada (Tabela 5). Observe, em especial, que 0,24 é a

probabilidade associada de A e H; ou seja, P(A ∩ H) = 0,24. Note também que 0,80 é a probabilidade marginal de um oficial aleatoriamente selecionado ser um homem; ou seja, P(H) = 0,80. Desse modo, a probabilidade condicional P(A | H) pode ser calculada pela expressão:

( ) 0,24( | ) 0,30

( ) 0,80

P A HP A H

P H

∩= = =

Retomemos à questão da discriminação contra oficiais do sexo feminino. A probabilidade marginal apresentada na linha 1 da Tabela 5 nos mostra que a probabilidade de promoção de um oficial é P(A) = 0,27 (independentemente de o oficial ser homem ou mulher). Entretanto, a questão crucial no caso da discriminação envolve as duas probabilidades condicionais P(A | H) e P(A | M). Ou seja, qual é a probabilidade de promoção dado que o oficial seja um homem, e qual é a probabilidade de promoção dado que o oficial seja uma mulher? Se essas duas probabilidades forem iguais, não há base para o argumento de discriminação porque as chances de promoção são as mesmas para oficiais do sexo masculino e do sexo feminino. No entanto, a diferença nas duas probabilidades condicionais sustentará a posição de que os oficiais masculinos e femininos são tratados diferentemente nas decisões de promoção. Já determinamos que P(A | H) = 0,30. Vamos usar agora os valores de probabilidade da Tabela 5 e a relação básica da probabilidade condicional para calcular a probabilidade de um oficial ser promovido, dado que o oficial seja uma mulher; ou seja, P(A | M).

( ) 0,03( | ) 0,15

( ) 0,20

P A MP A M

P M

∩= = =

Que conclusão você tira? A probabilidade de haver uma promoção, dado que o oficial seja homem é de 0,30, duas vezes a probabilidade de 0,15 de promoção, dado que o oficial seja uma mulher. Não obstante o uso da probabilidade condicional não provar por si mesmo que exista discriminação nesse caso, os valores da probabilidade condicional sustentam o argumento apresentado pelas oficiais.

9

10) Para ilustrarmos o uso da lei da multiplicação, considere o departamento de circulação de um jornal, sabendo-se que 84% das famílias de determinado bairro assinam a edição diária do jornal. Se admitirmos que D denota o evento de uma família assinar a edição diária, P(D) = 0,84. Além disso, sabe-se que a probabilidade de uma família que já tem uma assinatura da edição diária também assinar a edição de domingo (evento S) é 0,75; ou seja, P(S | D) = 0,75. Qual é a probabilidade de uma família assinar tanto a edição diária como a edição de domingo do

jornal? Usando a lei da multiplicação, calculamos a P(S ∩ D) desejada como:

P(S ∩ D) = P(D)P(S | D) = 0,84 (0,75) = 0,63 Sabemos agora que 63% das famílias assinam tanto a edição diária quanto a edição dominical. 11) Como uma aplicação da lei da multiplicação para eventos independentes, considere a situação de um gerente de posto de gasolina que sabe, por experiência, que 80% dos clientes usam cartões de crédito ao comprar gasolina. Qual é a probabilidade de os dois próximos clientes que compram gasolina usarem, cada um, um cartão de crédito? Se admitirmos que

A = o evento de o primeiro cliente usar um cartão de crédito B = o evento de o segundo cliente usar um cartão de crédito

então o evento que nos interessa é A ∩ B. Sem contarmos com nenhuma outra informação, podemos racionalmente supor que A e B são eventos independentes. Desse modo,

P(A ∩ B) = P(A) P(B) = (0,80)(0,80) = 0,64 12) Como uma aplicação do teorema de BAYES, considere uma firma de manufatura que recebe remessas de peças e dois diferentes fornecedores. Seja A1 o evento de uma peça ser proveniente do fornecedor 1 e A2 o evento da peça vir do fornecedor 2. Atualmente 65% das peças compradas pela empresa são do fornecedor 1 e os restantes 35% são do fornecedor 2. Portanto, se uma peça for escolhida aleatoriamente, as probabilidades iniciais seriam P(A1) = 0,65 e P(A2) = 0,35. Os dados históricos sugerem que as avaliações da qualidade dos dois fornecedores são aquelas mostradas na Tabela 6.

Tabela 6: Níveis históricos da qualidade de dois fornecedores

% de peças boas % de peças ruins

Fornecedor 1 98 2 Fornecedor 2 95 5

Denotando por B o evento de a peça ser boa e por R o evento de a peça ser ruim, da Tabela 6 retiramos os seguintes valores das probabilidades condicionais:

P(B | A1) = 0,98 P(B | A2) = 0,95 P(R | A1) = 0,02 P(R | A2) = 0,05

O processo de cálculo das probabilidades associadas pode ser esquematizado por um diagrama em árvore de probabilidades, conforme a Figura 8.

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Figura 8: Árvore de probabilidades – dois fornecedores

Supor agora que as peças recebidas dos dois fornecedores são usadas no processo manufatureiro da firma e que uma máquina se quebre ao tentar processar uma peça ruim. Dada a informação de que a peça é ruim, qual é a probabilidade de ela ter vindo do fornecedor 1 e qual é a probabilidade de ela ter vindo do fornecedor 2? Denotando por R o evento de a peça ser ruim, queremos determinar a probabilidade P(A1 | R) e P(A2 | R). Da expressão geral do Teorema de BAYES, podemos escrever:

1 11

1 1 2 2

( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | )

P A P R AP A R

P A P R A P A P R A=

+

2 22

1 1 2 2

( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | )

P A P R AP A R

P A P R A P A P R A=

+

Utilizando as equações acima encontramos as probabilidades procuradas:

1( | ) 0, 4262P A R = e 2( | ) 0,5738P A R = .

Observe que inicialmente tínhamos a probabilidade de 0,65 de uma peça escolhida aleatoriamente ser do fornecedor 1; dada a informação de que a peça é ruim, a probabilidade de que ela seja do fornecedor 1 cai para 0,4262. De fato, se a peça for ruim, ela tem uma chance maior de ter vindo do fornecedor 2, ou seja: 0,5738. A Teoria da Confiabilidade estuda sistemas e seus componentes, como, por exemplo, sistemas mecânicos ou eletrônicos (um automóvel ou um computador) e sistemas biológicos (como o corpo humano). O objetivo da teoria é estudar as relações entre o funcionamento dos componentes e do sistema que ocorre de forma independente. P(E) é a probabilidade do sistema funcionar e pi (i = 1, 2, 3) é a probabilidade de o componente funcionar. Os exercícios 13, 14 e 15 têm a ver com a Teoria da Confiabilidade.

11

13) A Figura 13.1 ilustra um sistema composto de dois componentes, ligados em série. Neste tipo de esquema o sistema funciona se os componentes 1 e 2 funcionam simultaneamente. Se um dos componentes não funciona, o sistema também não funciona. Determinar a confiabilidade do sistema.

Figura 13.1- Ligação em série

Denotando por E = o sistema funciona Ai = o componete i funciona, i = 1, 2 Então a probabilidade de o sistema funcionar é determinada pela seguinte relação probabilística:

P(E) = P(A1 ∩ A2) uma vez que os eventos “funcionamento do sistema” e “funcionamento dos componentes” são independentes.

Assim tem-se: P(E) = P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2) = p1p2 → A probabilidade de o sistema funcionar - P(E) – define a confiabilidade do sistema. 14) A Figura 14.1 ilustra um sistema composto de dois componentes, ligados em paralelo. Se os componentes estiverem ligados em paralelo, então o sistema funciona se pelo menos um dos dois componentes funciona.

Figura 14.1: Ligação em paralelo

Denotando por E = o sistema funciona Ai = o componete i funciona, i = 1, 2 Então a probabilidade de o sistema funcionar é determinada pela seguinte relação probabilística:

P(E) = P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) Assim tem-se que P(E) = p1 + p2 – p1p2, que mede a confiabilidade do sistema. 15) A Figura 15.1 ilustra um sistema com três componentes, ligados conforme o esquema da figura, funcionando independentemente com confiabilidades p1, p2 e p3. Determine a confiabilidade do sistema.

Figura 15.1: Ligação mista

A solução do problema requer o desenvolvimento de duas etapas: na primeira etapa, considerar apenas o circuito formado pelos componentes 2 e 3; numa segunda etapa considerar um circuito em série envolvendo o resultado da etapa anterior com o componente 1. Denotando por E = o sistema funciona Ai = o componete i funciona, i = 1, 2, 3

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Etapa 1: circuito envolvendo os componentes 2 e 3, ligados em paralelo. Então a probabilidade deste sistema funcionar é determinada pela seguinte relação probabilística:

P(E1) = P(A2 ∪ A3) = P(A2) + P(A3) – P(A2 ∩ A3) P(E1) = p2 + p3 – p2p3

Etapa 2: circuito envolvendo os componentes 1 e o resultante da etapa 1, ligados, agora em série:

P(E2) = P(A1 ∩ E1) P(E2) = P(A1)P(A2) = p1.(p2 + p3 –p2p3)

P(E2) = p1p2 + p1p3 – p1p2p3

A confiabilidade do sistema proposto é dada pela P(E) = P(E2) = p1p2 +p1p3 –p1p2p3 16) O quadro a seguir representa uma possível divisão dos alunos matriculados em dado Instituto de Matemática, num dado ano.

SEXO

Homens (H) Mulheres (F) TOTAIS

CURSO

Matemática pura ................. (M) 70 40 110

Matemática aplicada ............ (A) 15 15 30

Estatística ............................. (E) 10 20 30

Computação ......................... (C) 20 10 30

TOTAIS 115 85 200

Escolhendo-se ao acaso um aluno do Instituto, determinar: a) P(E) = 30/200 b) P(H) = 115/200 c) P(A) = 30/200

d) P(A ∩ H) = 15/200

e) P(A ∪ H) = P(A) + P(H) – P(A ∩ H) = 30/200 + 115/200 – 15/200 = 130/200 f) P(C) = 30/200 g) P(M) = 110/200

h) P(A ∪ C) = P(A) + P(C) = 60/200, pois os eventos A e C são mutuamente exclusivos (ver no quadro que não há interseção entre ambos os eventos). Suponha, agora, que estejamos somente interessados em saber se um estudante escolhido ao acaso está matriculado como aluno de Matemática Pura, Aplicada, Estatística ou computação, não interessando saber se é homem ou mulher. Qual a probabilidade disto acontecer?

Fazendo M ∪ K = S (espaço amostral), então M ∩ K = φ (vazio) e P(M ∩ K) = 0.

O evento K = A ∪ E ∪ C tem probabilidade de: P(K) = P(A) + P(E) + P(C) = 30/200 + 30/200 + 30/200 = 90/200.

P(M ∪ K) = 110/200 + 90/200 = 1 = P(S) 17) A probabilidade de que o aluno A resolva um problema é 2/3 e a probabilidade de que um aluno B resolva é 3/4. Se ambos tentarem independentemente resolver o problema, qual a probabilidade de o problema ser resolvido.

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Denotando por: A = aluno A resolve a questão B = aluno B resolve a questão R = problema é resolvido

P(A ∩ B) = P(A).P(B) → pois A e B são eventos independentes

Assim, P(R) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 2/3 + 3/4 – (2/3 . 3/4) = 11/12 18) A tabela a seguir apresenta a distribuição dos tipos de sangue da população em geral.

A B AB O Rh+ 0,34 0,09 0,04 0,38 Rh- 0,06 0,02 0,01 0,06

a) Qual a probabilidade de uma pessoa ter sangue do tipo O? P(O) = 0,44 b) Qual a probabilidade de uma pessoa ser Rh-? P(Rh-) = 0,15 c) Qual a probabilidade de uma pessoa ser Rh- sendo do grupo sanguíneo do tipo O?

P(Rh- | O) = P(Rh- ∩ O) / P(O) = 0,06 / 0,44 = 0,136 d) Qual a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo B sendo Rh+? P(B | Rh+) = 0,09 / 0,85 = 0,106 e) Qual a probabilidade de, em um casal, ambos os cônjuges serem Rh-? Denotar: H=Homem; M=Mulher

P(HRh- ∩ MRh-) = 0,15 . 0,15 = 0,0225 Eventos independentes. f) Qual a probabilidade de, em um casal, ambos os cônjuges terem o tipo sanguíneo AB?

P(HAB ∩ MAB) = 0,05 . 0,05 = 0,0025 19) Como aplicação do Teorema de BAYES suponha que um banco local fez uma revisão de sua política de cartões de crédito com a intenção de cancelar alguns contratos de cartões. No passado, aproximadamente 5% dos detentores de cartão de crédito se tornaram inadimplentes, deixando o banco incapaz de cobrar o saldo devedor. Portanto, a gerência estabeleceu uma probabilidade a priori de 0,05 de que qualquer portador de cartão de crédito em particular se tornará inadimplente. O banco também descobriu que a probabilidade de os clientes que não são inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal é 0,20. Naturalmente, a probabilidade de os inadimplentes deixarem de efetuar um pagamento mensal é 1. a) Dado que o cliente tenha deixado de efetuar um ou mais pagamentos mensais, calcule a probabilidade a posteriori de que o cliente se torne inadimplente. b) O banco gostaria de cancelar o cartão de crédito se a probabilidade de um cliente tornar-se inadimplente for maior que 0,20. O banco deveria cancelar o cartão se o cliente deixar de efetuar um pagamento mensal? Por quê? Denotando por: M = pagamento não efetuado D1 = cliente inadimplente D2 = cliente não inadimplente P(D1) = 0,05 P(D2) = 0,95 P(M | D2) = 0,20 P(M | D1) = 1 Então: a) a probabilidade de o cliente se tornar inadimplente, dado que deixou de efetuar um pagamento é

1 11

1 1 2 2

( ). ( | )( | )

( ). ( | ) ( ). ( | )

P D P M DP D M

P D P M D P D P M D=

+ = 0,05 /0,24 = 0,21

b) Sim, uma vez que a probabilidade de um cliente tornar-se inadimplente ao deixar de efetuar um

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pagamento é de 0,21 (21%), que é maior que o limite estabelecido pela política do banco.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 20) Uma série de experimentos e as variáveis aleatórias correspondentes são listados abaixo. Em cada caso, identifique os valores que a variável aleatória pode assumir e estabeleça se a variável é do tipo discreta ou do tipo contínua.

Experimento Variável aleatória – x Valores Tipo

Fazer um exame c/20 questões Número de questões respondidas corretamente

X = 0, 1, 2, 3, ..., 20 Discreta

Observar carros que chegam a um posto de pedágio durante uma hora

Número de carros que chegam ao posto de pedágio

X = 0, 1, 2, 3, ... Discreta

Fazer a auditoria de 50 declarações de imposto

Número de declarações que contém erros

X = 0, 1, 2, ..., 50 Discreta

Observar o trabalho de um empregado

Número de horas não produtivas em um dia de trabalho de oito horas

0 ≤ x ≤ 8 Contínua

Pesar um carregamento de produtos

Número de quilogramas X ≥ 0 Contínua

21) Três estudantes têm entrevistas programadas com o objetivo de obter estágio de verão. Em cada caso, a entrevista resultará na oferta de uma vaga ou em uma recusa. Os resultados experimentais são definidos em termos dos resultados das três entrevistas. a) Liste os resultados experimentais? b) Defina uma variável aleatória que represente o número de ofertas feitas. A variável é discreta ou contínua? c) Mostre o valor da variável aleatória correspondente a cada um dos resultados experimentais. Sugestão: S = sim, o estágio é oferecido. N = não, o estágio não é oferecido.

a) Ω = SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN b) Seja x = no. de ofertas feitas; x é uma variável aleatória discreta c) Valores da variável aleatória:

Resultado SSS SSN SNS SNN NSS NSN NNS NNN

Valor de x

3 2 2 1 2 1 1 0

22) Contou-se o número de salas de cirurgias em uso em um Hospital, durante 20 dias: em 3 dos dias somente uma sala de cirurgia foi utilizada; em 5 dos dias duas salas foram utilizadas; em 8 dos dias três foram usadas e em 4 dias todas as quatro salas de cirurgia do hospital foram usadas. a) Use a abordagem da freqüência relativa para construir a distribuição de probabilidade correspondente ao número de salas de cirurgia em uso em qualquer dia do período. b) Desenhe um gráfico da distribuição de probabilidade. c) Mostre que a distribuição de probabilidade encontrada satisfaz as condições necessárias a uma distribuição de probabilidade discreta válida.

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a) distribuição de probabilidade

x (no. de salas) f(x)

1 3/20 = 0,15 2 5/20 = 0,25 3 8/20 = 0,40 4 4/20 = 0,20

Total 1,00

b) Gráfico da distribuição de probabilidade

c) As condições necessárias para um função probabilidade discreta válida são:

f(x) ≥ 0 , p/x = 1, 2, 3, 4 Σf(x) = 1; o que se verifica. 23) Um serviço voluntário de ambulâncias atende 0 a 5 chamadas de serviço em determinado dia. A distribuição de probabilidade correspondente ao número de chamadas de serviço é apresentada a seguir:

No. De chamadas de serviço

Probabilidade No. De chamadas de serviço

Probabilidade

0 0,10 3 0,20 1 0,15 4 0,15 2 0,30 5 0,10

a) A distribuição de probabilidade é válida? Sim.

b) Qual é o número esperado de chamadas de serviço? E(x) = µ = 2,45

c) Qual é a variância no número de chamadas de serviço? Var(x) = σ2 = 2,075 E o desvio padrão?

σ = 1,43

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 24) Um vendedor de seguros visita dez famílias selecionadas aleatoriamente. O resultado associado a cada visita é classificado como um sucesso se a família comprar uma apólice de seguro, e como um fracasso se a família não comprar. Por experiência, o vendedor sabe que a probabilidade de uma família selecionada aleatoriamente comprar uma apólice de seguro é igual a 0,10. Verifique as propriedades de um experimento binomial para esta situação. Observamos que: a) O experimento consiste em dez ensaios idênticos (n = 10); cada ensaio envolve contatar uma família. b) Dois resultados são possíveis em cada ensaio: a família compra uma apólice de seguro (sucesso) ou a família não compra uma apólice (fracasso). c) Considera-se que a probabilidades de uma compra e de uma não-compra são as mesmas para cada ensaio (contato de venda), com p = 0,10 e (1 – p) = 0,90. d) Os n = 10 ensaios são independentes porque as famílias são selecionadas aleatoriamente. Como as 4 propriedades são satisfeitas, esse exemplo é um experimento binomial; a variável de interesse x = no. de vendas obtidas ao contatar as 10 famílias. Nesse caso, x pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

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25) Uma loja de roupas recém inaugurada quer estudar as decisões de compras de clientes que chegam à loja. A primeira providência foi contratar um gerente de vendas experiente. Com base na sua experiência, o gerente da loja estima que a probabilidade de qualquer dos clientes comprar é de 0,30. Qual a probabilidade de dois dos próximos três clientes realizarem uma compra? Fica a cargo do leitor a comprovação das quatro propriedades do experimento binomial. Seja: n = 3 (número de ensaios); p = 0,30; (1 – p) = 0,70; x = 2 (sucessos – 2 clientes entre os três efetuarem uma compra) O número de resultados experimentais que resultam em exatamente x = 2 sucessos pode ser calculado pela fórmula das combinações:

C = =

=

!

!! = 3

Utilizando o digrama em árvore fica fácil de ver os três resultados de interesse. Tente fazer! Aplicando a função probabilidade binomial, calcula-se a probabilidade solicitada:

f(x=2) = .(0,30)2.(0,70)1 = 0,189

Assim, a probabilidade de exatamente dois clientes efetuarem uma compra é de 0,189. Observe que, se utilizarmos a Tabela da Distribuição Binomial com os argumentos: n=3, x=2 e p=0,30, encontra-se o mesmo resultado. Outras probabilidades: f(x=0) = 0,343; f(x=1) = 0,441; f(x=3) = 0,027. A somatória das probabilidades f(x=0), f(x=1), f(x=2) e f(x=3) deve ser igual a 1. 26) Quarenta por cento das pessoas que viajam a negócios portam um telefone celular ou laptop. Em relação a uma amostra de 15 pessoas que viajam a negócios, faça os seguintes cálculos: a) calcule a probabilidade de três dos viajantes portarem um telefone celular ou um laptop. b) calcule a probabilidade de 12 viajantes não portarem telefone celular ou laptop. c) calcule a probabilidade de pelo menos 3 dos viajantes portarem um telefone celular ou laptop. Fazendo o uso da tabela de distribuição binomial: a) n = 15; x = 3; p = 0,40. P(x=3) = 0,0634 b) n = 15; x = 12; (1 – p) = 0,60. Vemos que para (1 – p) = 0,60 não existem valores tabelados. Então lançamos mão da seguinte informação: “a probabilidade de n – x fracassos é igual a probabilidade de x sucessos”. Logo, a probabilidade de x = 12 pessoas não portarem celular ou laptop é a mesma que a probabilidade de x = 3 pessoas portarem celular ou laptop; assim, a probabilidade procurada é P(x=12) = 0,0634. c) n = 15; (x ≥ 3); P(x ≥ 3) = p(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+...+P(x=15) = = 0,0634+0,1268+0,1859+0,2066+0,1771+0,1181+0,0612+0,0245+0,0074+0,0016+0,0003+0+0 = P(x≥3) = 0,9729 27) Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para um país precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é se um sistema de detecção é capaz de

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identificar um ataque e disparar um alarme. Considere que determinado sistema de detecção tenha uma probabilidade de 0,90 de detectar um ataque de mísseis. Use a distribuição de probabilidade binomial para responder as seguintes questões: a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um ataque? b) Se dois sistemas de detecção estão instalados na mesma área e operam independentemente, qual é a probabilidade de pelo menos um dos sistemas detectar o ataque? c) Se três sistemas estão instalados, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detecte o ataque? d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas de detecção? Explique. Dados: p = 0,90 a) n=1; x=1 P(x=1) = 0,90 b) n=2; x≥1 P(x≥1) = P(x=1)+P(x=2) = 0,18 + 0,81 = 0,99 c) n=3; x≥1 P(x≥1) = P(x=1)+P(x=2)+P(x=3) = 0,027 + 0,243 + 0,729 = 0,999 d) sim. É só observar os valores das probabilidades de sucesso.