8/2/2019 Exercicios Introducao Logaritmos - GABARITO

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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIROSECRETARIA DE ESTADO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

FUNDAO DE APOIO ESCOLA TCNICA - FAETECINSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAO DO RIO DE JANEIRO ISERJ

APOSTILA DE MATEMTICA - NVEL: ENSINO MDIO - PROF: TELMA CASTRO SILVA

CURSO: ___________________ SRIE: 2 TURMA: ______ DATA: ___/___/2012

ALUNO(A):________________________________________ N:_____

LISTA DE EXERCCIOS DE LOGARITMOS - GABARITO

1. Se log327

1= x, calcule o valor de x.

Soluo. Aplicando o conceito de logaritmo, temos: 33

33

13

27

13 xx . Igualando o 1 membro

e o ltimo, temos: .333 3 xx

2. Se log (2x -5) = 0, calcule o valor de x.Soluo. Lembrando que log10 = log e aplicando o conceito de logaritmo, temos:

.3621521052 0 xxxx

3. Se

2log

927

xy

yx

, calcule x + y.

Soluo. Utilizando exponenciais e logaritmos, temos:

2

23)3()3(

2log

927

yxx

yx

y

yx

.

Substituindo o valor de x, vem: yyyx

yy

yx

23)3()3()3()3(

223

2

232

. Resolvendo para

y,

.9

10

9

64

3

2

9

4

9

4

3

2

).0(3

20)23(023

2

2

yxx

yyyyyy

4. Calcule o valor numrico real da expresso81log2

27)3(

3

33

.

Soluo. Se x = log381, ento 3x = 81= 34. Logo, x = 4. Reescrevendo a expresso, temos:

46

24

6

)3(27

42

)3()27(

81log2

27)3( 33

3

33

.

5. Se x + y = 20 e x - y = 5 calcule log(x2 - y2).

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Soluo. Na fatorao, (x2 y2) = (x + y).(x y). Aplicando a propriedade do produto de logaritmos,

temos:222

10log100log]5.20log[)]).(log[()log( yxyxyx . Pela propriedade da

potncia, vem: 21.210log210log)log(222 yx

6. O nmero real x, tal que logx2

1

4

9 :

Soluo. Aplicando o conceito de logaritmo, vem: 21

4

9

2

1

4

9log xx . Elevando ambos os termos

ao quadrado, temos: .16

81

16

81

4

9 2.2

12

2

12

xxx

7. Se k = log5(6 + 35 ), calcule 5k + 5-k.

Soluo. Pelo conceito de logaritmo, se k = log5(6 + 35 ) ento, 3565 k . Da mesma forma

temos:356

1)356(5)356(log)356(log 1155

kk Logo,

12356

)356(12

356

135351236

356

1)356(

356

1)356(55

2

kk

8. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule log 60.

Soluo. Decompondo 60 em fatores primos, temos: 60 = 22

x 3 x 5. Aplicando as propriedades do

logaritmo, e expressando 2log10log2

10log5log calculamos:

.13log2log2log10log3log2log2)5.3.2log(60log2 Substituindo os valores iniciais,

encontramos: .77,1147,030,013log2log60log

9. Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual ser o valor de log 28?

Soluo. Decompondo 28 em fatores primos, temos: 28= 22 x 7. Aplicando as propriedades do

logaritmo e substituindo os valores iniciais, encontramos:

.447,1845,0)301,0(27log2log27log2log)7.2log(28log 22

10. Se log2 b - log2 a = 5, calcule o quocientea

b.

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Soluo. Aplicando a propriedade do quociente, vem: 5logloglog 222 a

bab . Logo, pela

definio, temos: .3225log5

2 a

b

a

b

11. Dado o sistema

813

3logloglog

)(2 yx

yxcalcule x + y.

Soluo. Utilizando propriedades, temos:

4)(2

)(2

33

3loglog

813

3logloglog

yx

yxy

xyx

. Igualando os

logaritmandos da 1 equao e os expoentes da 2, vem:

1444)3(24)(2

33

yyyyyx

yxy

x

. Logo x = 3(1) =3. Ento, x + y = 4.

12. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, ento5

26log .

Soluo. Aplicando as propriedades do logaritmo, e escrevendo expressando

2log10log

2

10log5log , 3log2log)3.2log(6log e 2log

2

12log2log 2

1

temos:

)2log10(log2log2

13log2log

2

10log2log6log5log26log

5

26log 2

1

.

Substituindo os valores iniciais, encontramos:

.22,0147,030,030,01)30,0)(5,0(47,030,05

26log

13. Dado log 4 = 0,602, calcule o valor de log 32 5.

Soluo. A informao sugere que escrevamos 32 = 4 x 8 = 4 x 4 x 2. Aplicando as propriedades,

temos:

.525,7)505,1(5)301,0602,0602,0(5)2log4log4[log5)2.4.4log(532log 5

14. Se log 2 = x e log 3 = y, calcule log 375.

Soluo. Decompondo 375 em fatores primos, temos: 375= 3 x 53. Aplicando as propriedades do

logaritmo, e expressando 2log10log2

10log5log calculamos:

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).2log10(log33log2

10log33log5log33log)5.3log(375log

3 Substituindo os valores

iniciais, encontramos: .33)1(3375log xyxy

15. Calcule a expresso 81log3

1 + log 0,001 + log3 10 .

Soluo. Calculando cada termo separadamente, temos:

i) .4433333

18181log 414

3

1

xxx x

xx

ii) .310)10(101000

110001,0001,0log 3 xx

xxx

iii) .311010101010log3

1

33 xx

xx

Substituindo, temos: 81log3

1 + log 0,001 + log3 10 = .

3

20

3

1912

3

134

16. Calcule a expresso log3

2+ log

4

3+ log

5

4- log

55

14.

Soluo. Expressando cada termo de acordo com as propriedades, temos:

i) .3log2log3

2log

ii) .2log23log2log3log4log3log4

3log 2

iii) .12log32log10log2log22

10log2log5log4log

5

4log 2

iv)11log7log12log211log2log10log7log2log

11log210log7log2log)11.5log()7.2log(55log14log

5514log

Substituindo na soma dos trs primeiros termos, temos:

log3

2+ log

4

3+ log

5

4= 12log212log32log23log3log2log

Resolvendo a subtrao, vem:

.7

11log

11

7log

11

7log)11log7(log11log7log

11log7log12log212log2)11log7log12log2(12log2

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Fonte:http://www.professorwaltertadeu.mat.br

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