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Ensino Médio: Relações e Funções: Exercícios

Explicitando conjuntos

1. Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico.

Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?

a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

2. Com a mesma relação R do exercício anterior, qual das alternativas é a relação inversa R-1?

a. R-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}b. R-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}

c. R-1={(4,a),(2,c),(3,b)}

d. R-1={(1,a),(2,c)}

3. Sejam os conjuntos A={a,b,c,d,e} e B={2,4,6,8,10} e a relação R, mostrada no gráfico.

Quais são as formas explícitas da relação R e da relação inversa R-1?

4. Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y) A×B: y=2x-1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R?

5. Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construir o gráfico cartesiano desta relação.

6. Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder às questões pertinentes a esta relação.

Qual das alternativas abaixo é verdadeira?

a. (2,3) R, (5,1) R, (7,7) Rb. (1,1) R, (3,5) R, (5,1) R

c. (1,1) R, (5,5) R, (3,5) R

d. (2,3) R, (3,5) R, (7,7) R

Dominio, contradominio, imagem, relações direta e inversa

7. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre o conjunto A={1,2,3,5,7}, responda qual das alternativas abaixo representa o contradomínio da relação R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

8. a. CoDom(R)={1,2,3,5,7}9. b. CoDom(R)={1,3,5,7}10. c. CoDom(R)=R11. d. CoDom(R)={3,5,7}

12. Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}. Qual alternativa representa o domínio de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

13. a. Dom(R)=R14. b. Dom(R)={2,5,7}15. c. Dom(R)={1,2,7}16. d. Dom(R)={1,2,3,5,7}

17. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}, qual das alternativas representa a imagem de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

18. a. Im(R)={1,2,3,5,7}19. b. Im(R)={1,3,5,7}20. c. Im(R)={1,3,5}21. d. Im(R)=R

22. Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.

Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).

a. (2,1) pertence à relação R.b. (3,2) pertence à relação R.c. (4,3) pertence à relação R.d. (5,6) pertence à relação R.e. (8,7) pertence à relação R.

23. Usando as informações do exercício anterior, apresente o contradomínio da relação R e a inversa da relação R, denotada por R-1.

Neste trabalho, o conjunto dos números naturais será denotado por N={1,2,3,4,5,6,7,...}.

24. Seja a relação R={(x,y) N×N: 2x+y=8}. Qual dos ítens representa o domínio da relação R?

a. {8} b. N c. {1,2,3} d. {2,4,6}

25. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das respostas abaixo representa o contradomínio de R?

a. {1,3,5,7} b. {0,1,2,3,4,5,6,7} c. {0,2,4,6} d. N

26. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das alternativas abaixo representa a imagem de R?

a. {1,3,5,7} b. {2,4,6} c. Ø d. N

27. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. A relação inversa denotada por R-1 está indicada em qual das alternativas?

28. a. {(6,1),(4,2),(2,3)}29. b. Ø30. c. {(1,6),(2,4),(3,2)}31. d. N

Relações reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas

16. Seja A={1,3,8} e as relações abaixo, definidas sobre A. Quais das alternativas indicam a ocorrência da propriedade reflexiva?

17. a. R1={(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(8,1)}18. b. R2={(1,1),(3,1),(1,8),(3,3),(8,8)}19. c. R3={(3,1),(3,3),(5,8),(1,1),(8,8)}20. d. R4={(8,8),(3,3),(1,8),(3,1),(1,1)}21. e. R5={(8,8),(3,3)}

22. Dadas as relações definidas sobre C={1,3,5}, qual delas alternativas mostra uma relação simétrica?

23. a. R1={(1,3),(5,3),(5,5),(3,5)}24. b. R2={(1,3),(3,1),(5,5),(1,5)}25. c. R3={(3,1),(3,3),(5,5),(5,1)}26. d. R4={(1,1),(3,3),(5,5)}

27. A relação R={(1,3),(3,3),(2,4),(3,1),(2,3),(3,2)} def. sobre A={1,2,3,4,5} é simétrica?

28. Sejam as relações definidas nos conjuntos indicados. Qual delas é uma relação transitiva?

29. a. Ra={(2,6),(6,8),(8,2)},conjunto A={2,6,8}.30. b. Rb={(1,3),(3,4),(1,2)},conjunto B={1,2,3,4}.31. c. Rc={(1,3),(3,5),(1,5)},conjunto C={1,3,5}.32. d. Rd={(1,2),(2,3),(3,2)},conjunto D={1,2,3}.

33. Dado o conjunto A={1,3,8} e as relações sobre A listadas abaixo, indique qual alternativa mostra uma relação anti-simétrica. Justifique porque as outras relações não são anti-simétricas.

34. a. R1={(1,3),(3,1),(8,1)}35. b. R2={(1,8),(8,8),(1,3),(8,1)}36. c. R3={(3,3),(1,8),(8,8),(8,1)}37. d. R4={(8,8),(1,3),(8,1),(1,1)}

Definição de função

21. Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

22. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

23. Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.

24. Dada a função f:R R definida por:

determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).

25. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x)=x²-4x+7?

26. a. {67,3,4,7}27. b. {0,-3,2,10}28. c. {7,28,3,67}29. d. {10,2,-3,0}

30. Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:

Zeros de funções

27. Por definição, zero de uma função é o ponto do domínio de f onde a função se anula. Dadas as quatro funções:

f(x)=3x-8,   g(x)=2x+6,   h(x)=x-1  e  i(x)=15x-30

qual dos conjuntos contém os zeros de todas as funções.

a. {-8,2,-1,-30}b. {8/3,-3,1,2}c. {-8/3,2,-1,-2}d. {2,8/3,3,30}

28. Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha o valor da constante a.

29. Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obter os valores de a e b.

30. Obter a função f(x)=ax+b tal que f(-3)=9 e f(5)=-7. Obtenha f(1) e o zero desta função.

31. Para a função real definida por f(x)=x²+2x-3, obtenha: f-

1(5), f-1(0), f-1(-3) e f-1(x+3)

32. Para a função real f(x)=2x+4, qual é o conjunto f-1(8)?

33. Dada a função real f(x)=-x²+6x+3, determinar o conjunto f-

1(8)?

34. Dada a função real f3(x)=x³, qual é o conjunto f-1(8)?

35. Uma sequência real é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Seja a sequência real definida por:

cujo gráfico é dado por

Obter os valores de f(2), f(3), f(5), f-1(8) e f-1(3/2)

36. Qual dos gráficos representa uma função sobrejetora?

37. Qual dos gráficos representa uma função injetora?

38. Seja a função f definida sobre o conjunto A={x,y,z} com imagem em B={1,2,3}. Qual das alternativas contém os pares ordenados (x,y) de elementos em A×B que representam uma função bijetora (injetora e sobrejetora).

39. a. {(x,3),(y,1),(z,2)}40. b. {(x,1),(y,2),(x,3),(z,1)}41. c. {(y,2),(x,2),(z,3)}42. d. {(x,1),(y,3),(z,2),(z,1)}

43. Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

44. Quais das funções são sobrejetoras?

45. a. f(x)=-x+346. b. f(x)=347. c. f(x)=x³-148. d. f(x)=-x²-1

Funções Compostas

41. Se f(x)=3x-5, g(x)=x²+2x-3 e (gof)(x)=g(f(x)), obter (fog)(2), (gof)(-3), (gof)(x) e (fog)(x).

42. Sejam as funções reais definidas por g(x)= 3x-2 e

Obter (gof)(1), (fog)(3), (fof)(2) e (gog)(-4).

43. Dadas as funções f:A B e g:B C pelo diagrama

obter a função composta gof:A C.

44. Sobre o conjunto A={a,b,c,d}, definimos as funções

f={(a,d),(b,c),(c,b),(d,a)}g={(a,b),(b,c),(c,d),(d,d)}

Determinar as compostas gof e fog.

45. Definidas as funções f, g e h, pelo diagrama:

determinar fog, goh, hof, gog nos pontos 1, 2 e 3.

46. Dadas as funções reais f(x)=3x-1 e g(x)=x(x+2), obter gof, fog, gog e fof.

Operações com funções

47. Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa mostra a função f+g?

a. {(1,7),(2,5),(6,7),(4,6)}b. {(2,7),(4,5),(6,7),(8,6)}c. {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}d. {(1,7),(2,5),(6,7),(8,6)}

48. Por definição (f-g)(x)=f(x)-g(x). Realizar a diferença entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f-g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Sejam as funções reais:

f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa representa a função f-g?

a. {(0,-3),(0,1),(0,1),(0,4)}b. {(1,3),(2,-1),(3,-1),(4,-4)}c. {(1,3),(2,1),(3,-1),(4,4)}d. {(1,-3),(2,1),(3,1),(4,4)}

49. Por definição (f.g)(x)=f(x).g(x). Realizar o produto das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f.g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa representa a função f.g?

a. {(1,7),(4,6),(9,12),(16,5)}b. {(1,10),(2,6),(3,12),(4,5)}c. {(1,10),(4,3),(9,12),(16,5)}d. {(1,10),(4,3),(3,12),(4,5)}

50. Por definição (f/g)(x)=f(x)/g(x). Realizar a divisão entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f/g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

f={(1,5),(2,3),(3,9),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa representa a função f/g?

a. {(1,1),(1,3/2),(1,3),(1,5)}b. {(1,1),(2,3/2),(3,12),(4,5)}c. {(1,1),(4,3/2),(9,12),(16,5)}d. {(1,1),(2,3/2),(3,3),(4,5)}

51. Determinar f+g, f-g, f.g e f/g, para as funções reais:

f={(1,4),(2,5),(3,12),(4,2)}g={(1,4),(2,2),(3,3),(4,6)}

Gráficos de funções

52. Observe os gráficos e relacione os mesmos com as respectivas funções:

a. f(x)=x³-4b. g(x)=5

c. h(x)=2x+3d. t(x)=x²-2

53. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

a) f(x)=x³ b) g(x)=x² c) h(x)=3x-15 d) f(x)=-2x

54. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

a) f(x)=-x²+4x-4 b) g(x)=3/x c) h(x)=2

55. Analisar as funções apresentadas e identificar os seus respectivos domínios. Aqui estamos usando R[z] para a raiz quadrada de z>0.

a. f(x)=4/(x-5)

b. g(x)=R[x+3]

c. h(x)=14x-12

d. f(x)=3x+5x1/3-4

e. g(x)=8x-3x²-16

56. Determinar a imagem para cada função:

a) f(x)=x+1 b) g(x)=3 c) h(x)=x²+2

57. Determinar as imagens para as funções: f(x)=sen(x) e g={(-2,-2),(-1,2),(0,4),(1,1),(2,3),(3,3)}.

58. Qual é a imagem da função f(x)=(x-1)(x-5) definida sobre o conjunto D={1,2,3,4,5} que é o domínio de f.

59. Construir um esboço gráfico para cada função:

a. f(x)=|x-2| b. f(x)=|x|+3 c. f(x)=|x+2|-2

60. Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)-g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?

a. -8 b. 65 c. 0 d. 13

61. O vértice de uma função quadrática (do segundo grau) da forma f(x)=ax²+bx+c pode ser obtido por:

onde =b²-4ac é o discriminante da função f. Para cada uma das funções abaixo, obtenha o vértice da parábola.

a. f(x)=x²-10x+21b. g(x)=x²-2xc. h(x)=x²-1d. m(x)=x²+14x+49

62. Os zeros de uma função quadrática f(x)=x²+bx+c são p=-7 e q=-1. Obter o vértice da parábola que representa o gráfico desta função.

63. Os zeros da função quadrática f(x)=ax²+bx+c, são p=2 e q=1 e seu vértice está em (3/2,-1/4). Qual é a respectiva função?

Construída por Daiane A.Miliossi Morais, Ulysses Sodré e Sônia F.L.Toffoli

Atualizada em 09/jul/2010.Atualizada em 24/mar/2005.