EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1 - (Uel-PR) Considere todos os números inteiros positivos que podem ser escritos permutando-se os algarismos do número 2341. Quantos dos números considerados são menores que 2341?a) 9b) 15c) 27d) 84e) 120

Resolução:O total de números formados será:P4 = 4!P4 = 4.3.2.1 = 24 números

Destes 24, vejamos quantos começam por 1, quantos começam por 2, por 3, e por 4.

Começando por 1:  1      .    3      .   2      .   1      = 6

Começando por 2:  1      .    3      .   2      .   1      = 6

Começando por 3:  1      .   3      .   2      .   1      = 6

Começando por 4:  1      .   3      .   2      .   1      = 6

Para que o número seja menor que 2341, não pode começar por 3 nem por 4, assim já excluímos 12 números.

Restam 12 números dos quais 6 certamente são menores que 2341 pois começam por 1, resta saber os que iniciam com 2, que conseguimos listar todos os formados:214321342314234124132431

Destes 6, 3 são menores que 2341, dessa forma o total dos menores que 2341 será:6 + 3 = 9

Gabarito Letra: A

 

2 - (UFF) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente:a) 48 e 36.b) 48 e 72.c) 72 e 36.d) 24 e 36.e) 72 e 24.

Resolução:Começando por vogal (x anagramas) teremos:

          .           .           .           .           =

Como queremos anagramas começando por vogal, na primeira letra temos 2 possibilidades, que são as duas vogais:

   2      .            .           .            .           =

Na segunda letra, teremos todas as letras disponíveis, menos uma que já ficou na primeira casa, e na terceira o total menos duas, na quarta o total menos 3 e na última sobrará uma possibilidade.

   2      .   4       .   3      .   2       .   1      = 48 anagramas

Terminando e começando por consoante (y anagramas), devemos iniciar pela primeira e pela última letra, onde teremos 3 possibilidades para a primeira e, na última, como já ficou uma das consoantes na primeira, sobram 2 possibilidades para a última letra:

   3      .             .            .             .   2      =

Agora, na terceira letra, serão todas as letra menos as duas que já ficaram na primeira e na última casa, assim teremos 3 possibilidades, depois 2 e 1:

   3      .   3        .   2      .   1    .    2      = 36 anagramas

Gabarito Letra: A

 

3 - (Unifesp 2006)  As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73a palavra nessa lista éa) PROVA.   b) VAPOR.    c) RAPOV. d) ROVAP.   e) RAOPV. 

Resolução:Vamos calcular o total de anagramas que iniciam com cada uma das letras, pois queremos observá-los com relação a ordem alfabética.

Os anagramas iniciados com a letra A serão:

   1      .   4        .   3      .   2    .   1      = 24 anagramas

Iniciados com a letra O:

   1      .   4        .   3      .   2    .   1      = 24 anagramas

Iniciados com a letra P:

   1      .   4        .   3      .   2    .   1      = 24 anagramas

Analisando a soma dos anagramas, temos 72 formados até agora, como queremos o anagrama número 73, paramos por aqui, já que ele é o próximo. Como calculamos letra por letra em ordem alfabética, a próxima letra é a letra R, assim, sabemos que o próximo anagrama, o que buscamos, deverá começar com a letra R, e na ordem alfabética, a segunda letra será A depois O, P e por último V, dessa forma, encontramos o anagrama número 73.

Gabarito Letra: E

 

4 - (Fgv 2008)  O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O éa) 9.400.  b) 9.600.  c) 9.800. 

d) 10.200. e) 10.800. 

Resolução:

O total de anagramas será:

           .             .           .             .           .           .           .            =

Como não queremos anagramas iniciados nem terminados por O, excluimos essas letras, teremos 6 possibilidades na primeira letra e 5 na última, já que uma das 6 ficou na primeira letra:

    6      .             .           .              .            .          .           .    5      =

Agora, restam 6 letras para um total de 6, porém com duas letras O, assim temos uma permutação por elemento repetido:P²6 = 6! / 2! = 6.5.4.3 = 360

O total de anagramas será:6 . 360 . 5 = 10800 anagramas

Gabarito Letra: E

Quando estudamos o princípio fundamental da contagem tínhamos quatro livros (português, matemática,história e geografia) e calculamos o número total de formas que poderíamos empilhá-los em uma carteira escolar. Em outras palavras, fazíamos uma permutação no posicionamento destes livros na pilha sobre a carteira.

Permutação SimplesA cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.Neste caso o agrupamento de livros ( português, matemática, história, geografia ), difere do agrupamento ( matemática, história, português, geografia ), pois embora os elementos de ambos os grupos sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao menos um dos seus elementos.

Fórmula da Permutação SimplesSegundo o princípio fundamental da contagem vimos que o número de agrupamentos possíveis deste exemplo era dado por:4 . 3 . 2 . 1 = 24Na página sobre fatoriais vimos que 4 . 3 . 2 . 1 é igual a 4!, então se chamarmos de Pn a permutação simples de nelementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:

Pn = n!Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula temos:

ExemplosQuantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase. Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar.Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P5. Temos então:P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120Portanto:

O número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual

120.

Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas

podem estar posicionadas nesta fila?Temos que calcular P3, então:P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6Logo:

As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila.

Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra

ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?Como na primeira posição sempre teremos a letra E, o número de possibilidades nesta posição é igual a 1, podemos até dizer que é igual a P1.Para a última posição temos disponíveis as letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no começo, então para a oitava letra temos que calcular P2:P2 = 2! = 2 . 1 = 2Como para as demais posições temos 6 letras disponíveis, calculemos então P6:P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720Multiplicando tudo:1 . 720 . 2 = 1440Então:

A partir da palavra ERVILHAS podemos formar 1440 anagramas que comecem

com a letra E e terminem em vogal.

Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra CURIÓ?Como já vimos, a permutação simples de n elementos distintos é dada por Pn, então como na palavra CURIÓ temos5 letras distintas, o número de anagramas seria igual a P5, ou seja, será igual a 5! que é igual a 120.

Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra ARARA?Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120 possibilidades.Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P3 = 3! = 6, ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-se as permutações entre as três letras A.O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra é P2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de permutações das letras da palavraARARA, sem considerarmos as permutações das letras A entre si, e das letras R também entre elas mesmas.

Permutação com Elementos RepetidosA cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.

Fórmula da Permutação com Elementos RepetidosSe em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:

ExemplosQuantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5

(2, 2):

Portanto:O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra

PARAR é igual 30.

Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde.

Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?

Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10

(4, 3, 2):

Então:Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes.

Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número

333669, quantos desses são ímpares?Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5

(2, 2), pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:

Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P5(3, 2), pois o dígito 9 será

utilizado na última posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:

Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40 números ímpares.Logo:

Dos números formados, 40 deles são ímpares.