Exercícios resolvidos de Matemática II

Exercícios de Matemática IICelso do Rosário Brasil Gonçalves

Exercícios resolvidos de Matemática II

01. A e B fundaram uma sociedade. Três meses depois admitiram C, um outro sócio. Sete meses depois da entrada do terceiro sócio aceitaram também o sócio D. Sabendo que todos eles entraram com capitais iguais, calcule a parte de C e D no lucro de R$ 227.835,00, verificado dois anos depois da fundação da sociedade.

Solução:

O mesmo capital = x Tempo = 2 anos = 24 meses Lucro = A+B+C+D = 227.835,00

A = 24x B = 24x C = 21x D = 14x 227.835

A24 x

= B24 x

= C21x

= D14 x

=k A+B+C+D24 x+24 x+21x+14 x

=k 227.83583x

= k

2745x

=k C21x

=2745x

C = 57.645,00

D14 x

=2745x

D = 38.430,00

02. Sejam a, b e c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (-a,0), B = (0,b) e C = (c,0), é igual a b, então o valor de b é:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

1


Solução:

A área do triângulo é dada por:

S = Módulo doDeterminante

2

-a 0 c -a

= b 0 b 0 0

bc -ab bc+ab2

=b b(a+c) = 2b

(I)

Como os números “a”, “b” e “c” estão em P.A., podemos escrever:

b = a+c2 a+c = 2b (II)

Substituindo (II) em (I), temos o seguinte resultado:

b (2b) = 2b 2b² - 2b = 0 b(2b -2) = 0 b = 1

03. Um relógio está funcionando, mas perde o ponteiro dos minutos (fica apenas com o ponteiro das horas, conforme a figura abaixo). Com base na figura, que horas são? (Dado: Ângulo AB = 154°).

2


A

B

Solução: Note que em cada hora o ponteiro das horas descreve

um ângulo de 30°, assim podemos estabelecer a seguinte relação:

1 hora 30° x=15430 x = 5 horas e 8

minutos

x 154°

04. Uma caixa d’água tem 2 torneiras. A primeira, sozinha enche a caixa e “x” horas. A segunda, sozinha, demora 3 horas a mais que a primeira. Juntas, elas enchem a caixa em 2 horas. Em quantas horas, cada torneira, sozinha, enche a caixa?

Solução:

3


Primeira torneira: 1x

Em 1 hora teremos o seguinte: Segunda torneira: 1x+3

Juntas: 12

1x +

1x+3

=12

2x+6+2x2x (x+3)

=x (x+3)2x (x+3) 4x + 6 = x² +

3x

x² - x - 6 = 0 (Resolvendo essa equação, temos para x os valores: -2 e 3. É claro que devemos descartar o valor negativo, pois estamos calculando o tempo, e ele não pode ser negativo, logo x = 3). Assim:

A primeira torneira demora 3 horas para encher a caixa e,a segunda demora 6 horas.05. Considere os pacientes de Aids classificados em 3 grupos de risco: hemofílicos, homossexuais e toxicômanos. Numa certa cidade com 75 pacientes, verificou-se que:- 41 são homossexuais;- 9 são homossexuais e hemofílicos e não são toxicômanos;- 7 são homossexuais e toxicômanos e não são hemofílicos;- 2 são hemofílicos e toxicômanos, e não são homossexuais;- 6 pacientes pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos;- o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são apenas homossexuais;- o número de pacientes que pertencem simultaneamente aos 3 grupos de risco é metade do

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número de pacientes que não pertence a nenhum dos grupos de risco.Quantos pacientes pertencem simultaneamente aos 3 grupos de risco?

(Ufa!!! Quanta informação, hein? Mas tudo bem, vamos por parte!).

Solução:

Para facilitar o nosso raciocínio, vamos sintetizar as informações acima através do Diagrama de Venn:

5


Hemofílico Homossexuais

Toxicômanos x

Total (U) = 75Número dos que não pertencem a nenhum grupo de risco = xNúmero dos que pertencem aos três grupos = x/2O número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são apenas homossexuais = aHomossexuais = 9+7+x/2+a = 41x/2+a = 41-16x/2+a = 25a = 25 – x/2

a = 50−x2 (I)

Total = a+9+x/2+2+a+7+6+x = 752a+24+x/2+x =75

2a+x/2+x =51 (Substituindo o valor de “a” encontrado acima, teremos o seguinte):

6

9

x/2

a a

2 7

6


2( 50−x2 )+ x2+x = 51 50-x + x2 + x = 51 x

2=51−50

x2=1 x = 2.

Como o número de pa cientes que

pertencem aos três grupos é igual a x2 , então a

resposta é 1.

07. A área de um retângulo é 96 m². Diminuindo-se a base de 5 m e aumentando-se a altura de 2 m, a área diminui de 26 m². Quais são as dimensões do retângulo?

Solução:

Área (A) = 96 m²A = base(b) x altura(h) bxh = 96 b = 96/h (I)

(b-5)(h+2) = 96-26 bh+2b-5h-10 = 70

96+2( 96h )−5h=805h²-16h-192 = 0 (resolvendo essa equação encontramos o valor positivo para h, que é a altura do retângulo, igual a 12m). Substituindo esse valor em (I), encontramos o valor

da base: b=9612 b = 8m.

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7

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