r'j-\. H

Questão 34 fi

Para determinar a distância que o separa a" o* ffi

edificio, um observador coloca um lápis vertical- ';

mente diante de um de seus olhos e, olhando para fi

ele, nota que os raios visuais que passam pelas ex- fi

tremidades do lápis abrangem, sobre o edificio, 10 ';j

andares. Afastando o lápis 20 cm de sua posição linicial, o observador verifica que os raios mencio- ìnados abrangem apenas 6 andares. Calcule a dis- tl

tância procurada, sabendo que o comprimento do ,l

lápis é 12 crq e a altura de càda andar-é 2,6A m. q

*lÊ

fi

ffi

$!:,

tli;iilïirt1:

íli

fr

i.slt&r"r.,r.i,#,ilillr..ïi;iLilì!;ii,fd1;iii*rii,Ì*ìl'Í!1.:/Í#iïtltí# , ili*/riìii

Questão 33Um menino de 1,50 m de altura observa, num diade sol, as sombras de uma torre de radioemissora e

a sua própria. Não dispondo de fita métrica ou detrena, ele toma um cordão, mede sua sombra e acompara com a da torre, verificando ser esta 10

vezes maior do que a sua. Calcule a altura'da torre.

Resolução:Fazenejcr urita ïiçu;'a, ienros:

ÁX

i- t f,

-l {.ii: }l

'r - ii:l

Respostâ: 'ti, rr

affi

Da ïigui'a, ieniils:

U _ L;j? _. -xt6r' :llÊ -x t5,ll

dn C. - i-t,20 =,

Resposta: fi 'r

- il,lí)

x -. {:ili tr

,i:.

. 1.12' 'lc,b

,. t2t) ';''i'-'l "[r Í ,

39

6

Iffi

üt:

2 (UFMA)

- As retas r e s da figura são paralelas, Assinale

a medida do ângulo x.

a) 50"b) 70.c) 110.

d) 130"

e) n.r.a.

Nafigura, a = 100" e b : 1 10o, euanto medeo ângulo x?

a) 30.b) 50"c) 80'd) 100.

e) 220"

Resolução:

Â+â+ô-1s0" =+

=+ 70" + 6A" + )Aú - x= tr&ú +=' x : 130u

Resolução:

Â+6+ô=.ngo.x.+ 80" + 7C.: iBü"x=3U"

a = 1009

is ï (PUC-SP)

AÀ

.80. 70".

:i: X

:,

,'::

ti1ii)

t::l::

ìl

9s

(PUc_sP)

Na figura, Bõ = ümede: . = AD=DÈ,O ângulo CÂD

Resolução:

fir*ftt é iscsçr:tesr lc,Ílo, ïe,,nr rr *nrii;r.r

a) 16ob) 20"c) 30"d) 40'e) 60o

*J:,'iï:ïrï3TËl8eôc o reto o varor, em

I

{

í

It

.

;

#TH

$i-D+C_180.:: -i. 3í)o * 50c =. 166or = 100o

a) 95"b) too"c)',05.d) tto.e) 120"

94

II

{

ff

Questao n

Utilizando o teorema de pitágoras, temosAABD =+ 6l =

^Í * v,'x'+ yz:36 O

AABC + ltz = x1+ (y + 1o)21196 =12 n yt + 2oy * 1oox-+y-+20y=96 ail)

Fazendc@*e,u"rrr,

l'^- rt + 2oy - ^' - yr= 96 - 3620y = 69y-J

Calcule x e y indicados na figura.

Resolução:

Logo, xs + y2 = 06 * x2 + 9 =p6x2 :27

a:3vG

.)<. 1'r r) ,a,/'a - ',1, _ í 2

.?ua) /'.ab

_

:ij

'-) r)

Z o,a

t."0,

ql

v,, l-ì

bt ' ,;)

\l

Resposta: x:gr,b- 9 y:G

44

Questão 44Calcule os lados do trirsabendo que: ângulo retângulo da figura,

tb+c=nla-c=8

Resolução:Do sÌsten"ia" temo.::

i,r-.) n u " = ir

i0.'._-.= a ir-ì

ilr' ;;t: zt-tt-

.'ìr'

Da eeuaÇào lít . . ysnl;

â r  - ^-a-(/:zcêb-25_a M

Da equaçao .jl i, vern:

â--c=3:..--:.:_o I

Sui:stiïuindo ,V u ,y em aJ = b2 _ .2 +-*^^.a'- b: - c, .- a-,_ {2s _ a)2.+*,_"of'""'""

"rl- ?* - soa + ut i'u'-- j6a -i 64a _66a+6gg=0' A =. 4G56 _ 2756= I 6ü0

a = -?qi iq.. ' a = 51? iriào sailsraz)2 {a=1r

Se a = 18

Respostas a - ta,

=: b-25_a eb=25-i3b=j2

r:=a-gc=13-8

b=12 e c:5

Questão 43

Utilizando o teorema de pítágoras, temos:AAtsD + al=x!+y,

'x'+y<=36 OAABC .+ lq2 = xl + (y + 1o)2

,,nU = j, + yz +. 2Oy + 1OOx'+y.+20y=96 OFazendoO*e,u"rn,

l'^n ,'+ 2oy - r, - y, = 96 - G620y = 6sY=3

Logo, x2 + y? = 36 * xa + 9 = 36xz=22><=s,ã-

a6

46 l

tú

i.J

t"

')

i .::')

e v=2Resposta: x = 3.,,5

44

I :..:;ì.;illï,tiÌ,l.i,,r;il lÌ

QuestãoQCalcule os lados do trirsabendo que: ângulo retângulo da figura,

Ib+c=17la-c=8

Resolução: "1.

Do sistema. terros;

ii., n r "

*- rr

9. :---r--= u--tlll ;a+b:a5

Da eqr:açãr: iiï') , vem:

a+b=.pS "+ S=.25_a

.a

Da equaçáo ll ., u"*,q (i=:Õ-n-â_e ,r,\

SL-rbstítuÌnrlo {úi e lll em a? = b2 + c?, ter.nos:a2- b2 f c2 .+ âz =. eS_ a)z+ (a _ B)2

ar ='ô25 - soa + "t

i'"t.- 16a -i- 64a _66a+6g9=0' A=4GS6^22b6=1600

. a=-?qj4q..'a=51ÌijÌãosarisfaz)p \a==i3Sea=lB=:b-25_a

eb=2s_tBb: 12

Resposta:a-13, b= ll e c:Q

- :'"

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(9

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."--s-.Õc - l3 -.8

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frtflfl,t:,

fl.tr#

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uestão 39,.';.-.. ,t:,:..-:oi

/

fursciNã n'eìrúï#*o, as circunferências u" í ouu, ììr*:tiïrmrÍ*i":"1ïï:üï?ï;j.ïf; i*::,:ffi :í::T**,,ffi :ff

",fr :ï;ff ;i:::j:l"X e D. catcule, em cm, u *;id;;; i ;"#;ïï ï1"H.

fi Resolução:sl

g

ffüï

Ël

i!1i.l

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fi;1,ïi

fl

flli

,üflH

,w

$.IACE - -rDtsË .-- -9 .- xo ':s-.-i-ôx-?25-9x

i5x - tt5x = tC Ctn

A[: = 15 crn e EB = tO ümAACE è AFBD são retângulos; lctgo;

x: : gi + CE2 trE. nj _ ri..ILU

ut : 225 * g1 -_ jqL 100_ _ 36 _ gp.

ED-6çry.,ÕD=CÉ+ËD-20crrr

Resposta: ao cmResposta: p;'rn

:i!':: j':iìíi*trtlìiiiì,:l;;:]rà,

\-,*_--.?

.Qa Íigura, ier.lroi;:

^a r ^.Lrv1 r1r\ - -,,,: | ,4 :-.ia .)

\.)"iS*x x

5x:54 +llx:n :54

x=?7in

[\l.)

,};

it

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frtl

"trlll:iïlíii'ssjìiL;tÌrìì,ìnüiitÍ,iïS*,t{#lt{iÈjiflni:l;:;;úT;,*rr,"i'r*sdïâü}ffi*{&iúBr.b?Sï*itli*i.

Questão J.í(Fuvest-SP) Na fieura_ o lado de cada quadrado damalha quadriculaãa mede I *ia"ã"ï"ï""rpri_mento. Calcule ur,,ão ffi

aestão 3Num ecfipGããl do Sol, o disco lunar cobre Exa_tamente o disco solar, o que comprova que o àngu_lo sob o, qual vemos o sãt e

" ,iirr*'rïïïq*r

vemos a Lua. Considerando qu. "ì"ìo ãu iuu e1738 km e que a distância aá i*

"" sïï ã+oo

ResoIução:

Da figura, ternos:

(ÃD)' : 22 t. q: .. AD ,- 2 s1Ãtìt'? = 33 ' ô2 . . Ats .l i,

3.ï.:ï1,:l:r B.TC é s,rararierosrai;r.;, p,,ir., sp I paraleloe coÍtg!-uente a CF. Assim, ur_ {; ;:irrarit:lcr .. üC.Segúe-se que os ir-iângr_rÌos Ai-rË * AËC naro se*tellranïes.Portanto:

vezes a da Terra à Lua, calcule o ,"ro J"ïïr.Resolução:

[)ei iigg]-terì.ìos:

LrïÂD * aïBC .+ --g= ..lúq 8, J ,)17s8 ct _ ^_<

R ,= 6e6 OGB knr 0l

. Resposta:6969S8 km

_oÌ_a0 2,i );: -

:=- :=

-:_

- :: _!rJU AB 3,5 S

40

BC

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ìl i: 'i:ri'il

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'/á r;NÍJ66"sj,".,,i;"_i+:_.q_tndiát::li1r

0ü;;i, t ü " ïïaür

ns'":,èÁ:{*Mffi*ffiÌ{ìnï

Calcule o ângulo  -1:"g" T figura, sabendo que,1*:r-"Tr..r 99. ângoto, de vérficesB e Cformamum Íingulo de l l0o.

(

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uüd{Í@*Éà&;^tr"4ui1'1ì.ç,

ü^;d;"';l: :

Dado o triânguto indicado na figura, calcule o ângu_Io que a alfura relativa a

serriz interna ao a"goro ïado õÃ forma com a bis-

i{ ì'ìd

iï$

]ïì1í

I

Resolução:

,< /,

Da figura, ien.ios:IEìCLì -ì' .\ + !, j. i ií). = t;-*r.,

A

ResoIução:

B,\,'\/\

!/ D. \' ,r/."a, n ' &\ ;zo"

P'--**--l-- *-*-.,ìLìà irgtrr;i, iernos:

ADi-iC .+ r r-UlÌ,. I iìi.1, = i6g1 ,

-x -' .1 ËC. . 1:lti,,i = ltL

Resposta: 60.

iÏIfirt

r '.,illilãtlïUjrÌlJrìffllijàijãlüÍïf,ííii p_Iffi.*ìl*8frS.ãitti"Ì.ãèiG#::è--H*ffi'

': Questão 171, Em um pentágono convexo, os ângulos internosi formam uma P.A..;: a) Determine um desses ângulos.ii b; Mostre que todos os ângulos são maiores do,i que 36o.lii

Resolução:,, a) A soma dos ângulos internos é igual a:

,, si -. (n - t) .l8cu =+ s, : (5 - 2) ..180"t,. Sr :540'

I Uu os ânquios jnternos formani uma pA., temos:i: x--2r+x* r I x+x +.r+r-i-2r--.540oi 5x - 5,1.0'

Í, ;1 . 11-19"

b) O ânr:1uk-r ,;ue rnede I iìS" é o ternro médio cla p.A.

SirçronrJo clue exista um àngi;lo rnedinclo Bô., cjeveráexistir, enr cr:rrr:s0ondèncra, um ângr-tio meclìndo lBO.ou rTrEris, o cìue e absr-lrdo, pois o pentágono é convexo.

, Portanto, tocios os ângulos sãc maiores clo que 36o.

Resposta: a) 1CB.; tr) vide resoiuçào

Resolução: \Prolongando um dos lados do ângulo, tenros

No AABC + 2Oo + l00o + x: 180.x=60"

Resposta: 60.

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Ití.:, f}.*r

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.t:-"

Qaestão 9Sabendo que nC // DE, calcule.r em cada caso:a)a

Resolução:

. .. ( n ! t,ì'. J : lt,

rl:.)t'. .. .., j .il

, :r: - i-l;,; ,: r1ii

:"ì.'

:

l'., ,rt;r: :,' ,ti-ì i-r lì

-t'. , . ì,-,:;ii. ; I.

Resposta: ;1 :r,,. .Ruryostr6;,,,, :. :.: ,

ÀÈ1 = 2,6crn, BÇ-' * B,Scm. L,u. = ...,, -.,

eú1,

a

i;l

n -i i,,l.r;'rt rEi!.

, Questão I$ S!i:1ry-SP) A figr.rra mostra um segmento. 4D dividido em'rrês partes: E : 2 cm,

, .Bj : 3 cm e coãs cm. o segmento AD r4ede' Ì3 cm e as retas ÈB e Cõ, são paralelas u frd,.

ti Detetmtne os comprimentos dos segmentos 87,ï Be e õn.í1

"_iif i-','rril

,.,1::r:. iafl :Íriaìrrl..r l

jji'I. r: :,

l!l:lilllt;riL.ïL$,frãhi?ftHd.r.i,tI$-üSfiüW6fi{Ë*l:1}üPÍ,trt

Qaestão 4Na figura, sabendo que r ll s, calcule o valor doânguloy.

Resolução:

Como os ângulos (2x - 10") e (x + 20') são corresponcien-tes, temos:

2x_10"_x{.20.:r x=S0.

Logo, x + 20" - 30o -1_ 20o + 50,,

Sey e (x -t 20') sào suplementares, vem:y + x + 20'= 180" +. y'i 50o : 1B0o

y: 180"

.-'iiC.$, tv*I3oo

iâÊiii

Qaestão 5Na figura, sabendo quemedida do ângulo.r.

ê êAB // DE, determine a

Resolução:

Completando a figura, tenìosi

Cálculo de y:

Y + 95'= 180o =r y = 85"

Cálculo de x:

Como x e y são ângulcs aiÌernos internos, vern:

x=y + x=85'

Resposta: x =, 85,,

2s

! u-,i'.r,tlì:tïri,r:tir'*:,!tt;itigütt fít:È;ügÌ;lì&ã!ffit*iãgõããiime.W*ie]Íi:ââwtu

;, Questã,o 25, Calcule os ângulos de um triângulo, sabendo que, eles são proporcionais aos números l, 3 e 5.

:t Resolução:

rd$ffiPltüffirË*s*ÉrÍÌ'ffifr#íï *r!gü frü;*ïüi*ns$, Jirri#.,,.r.jiï i.:lj:Ì!.r:.r,iirlìÌì riì

Qaestão 26 i

,; quadrado de lado unitário e ABE uin triânguloeqüilátero.,i-D--c

ll;

Il

- 1...:-: \',

-lda'' - :i;t

:-;::a'j' l a,-ì ì

:ì

i.ij rsL:. ,li-

!-: .,

: ie*, :.-:ì***,l

Rôffia::; ' :rn

',lillit

Ì (FGV-SP) Na figura a seguir, ABCD indica um

ILL

'I

i Prove que:a) a: l5o

b) tgcr:2-^,8Resolução::r) i+ir':i-::: tl:liiii;l - :,lr:

':,'! -:,1,j; iìl-l' - fli-)

:-:''tt',-i .rl::l -,1r:. .- i,[.]

ilri,4rl-ill - 'iti,r,i,ji.l =

,..:... -; ' 't:'i'.,

l

:1

'i

It

..È,tuB,lr) Sejanr M, Àt os pontç$ rnedio$, respectivanrente, dos

lados CD e AB do quadrado.

Temos MN /r Ãb; togo. MN = 1

NJË e alturá. do iriânguit: ec1üilai;ro de i,ìdc 1;

,togo, NE * .rf

Assinr, is c = :Yl+ =- ,Mt.)

Resposta: \'r.re , isí.:. '.r' .

i."-iÌ

n,r'jj.11

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; l'.r)i: t-r'li':lri,r;errlL, l,

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