1

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA

CONSTRUÇÕES METÁLICAS E MISTAS

FOLHAS DA UNIDADE CURRICULAR

EXERCÍCIOS

2

Exemplo 2.4 – Verificação ao estado limite último (E.L.U.)

Considere-se uma madre constituída por um perfil IPE em aço S235 que faz parte da

cobertura de um pavilhão (fig. 2.9). O espaçamento entre madres é de 3.0 m, funcionando

estas vigas como simplesmente apoiadas e com vãos de 6.0 m.

Verificar a segurança ao E.L.U. desta madre para a acção da neve considerando em

simultâneo as seguintes acções (valores característicos):

- peso próprio da cobertura, constituída por lajetas em betão armado com espessura de

100 mm: 2.5 kN/m2,

- neve: 3.2 kN/m2 (correspondente a uma altitude de aproximadamente 800 m).

Pré-dimensionamento e definição das acções

O pré-dimensionamento desta viga conduz-nos a um perfil IPE 300, com peso igual a

0.422 kN/m. A secção deste perfil em aço S235 é da classe de resistência 1 em flexão, e a

sua resistência última é dada por: EC3 tab. 5.3.1

As acções actuantes na madre são as seguintes (fig. 2.17):

- peso próprio: gpp = 0.422 kN/m

- peso próprio das lajetas (cobertura): gpl = 3 2.5 =7.5 kN/m

- neve : qs = 3 3.2 = 9.6 kN/m

Fig. 2.17 – Acções a considerar na verificação da segurança em relação ao E.L.U.

kNmNmmfW

MM

yypl

Rdpl 134101341.1

23510628 63

0

.

.

3

Determinação do momento actuante de cálculo

A verificação da segurança em relação ao E.L.U. é feita considerando que o momento

flector a meio vão corresponde à secção mais desfavorável. A combinação das acções

fundamentais para este caso simples é dada por: EC3 2.3.2.2

qsd = G ( gpp+gpl ) + Q qs

no nosso caso:

qsd = 1.35(0.422+7.5) + 1.5(9.6) = 25.1 kN/m

De notar gpp + gpl são acções permanentes.

O momento de cálculo no E.L.U. a meio vão é igual a:

Verificação da segurança em relação ao E.L.U.

A expressão a verificar é a seguinte:

MSd.ELU Mpl.Rd

O perfil IPE 300 é suficiente uma vez que:

MSd.ELU = 113 kNm Mpl.Rd = 134 kNm

O cálculo considerando o perfil IPE 270 mais ligeiro, leva-nos a concluir que esta secção

não é suficiente.

4 – RESISTÊNCIA DAS SECÇÕES

Exemplo 4.1 - Resistência a um esforço normal

Dimensionar uma barra em aço S235 submetida a um esforço normal de tracção NSd = 200 kN

A secção transversal necessária é calculada a partir de: EC3 5.4.3 (1)

NSd N t.Rd

sendo N t.Rd a resistência de cálculo à tracção da secção determinada a partir de:

kNmlq

M Sd

ELUSd 1138

61.25

8

22

.

0

..

M

y

RdplRdt

fANN

4

tem-se pois:

ou seja:

Consultando as tabelas referentes às características das barras fornecidas nos catálogos

pelos fabricantes siderúrgicos, opta-se por uma barra FLA 80 x 12 cuja área é de 960 mm2.

Exemplo 4.2 – Resistência à flexão simples

Calcular o módulo de flexão elástico Wel.y, o módulo de flexão plástico Wpl.y, assim

como o factor de forma k das seguintes secções:

- vergalhão de 120 mm

- barra FLB 300 x 45

- perfil HEA 340

- perfil IPE 550

Nas secções quadradas ou rectangulares estes valores são calculados a partir das

seguintes expressões:

No que respeita aos perfis laminados estes podem ser obtidos directamente a partir da das

tabelas dos fabricantes dos produtos siderúrgicos.

Verifica-se neste exemplo, (tab. 4.7), que o módulo de flexão elástico da secção do IPE é

cerca de oito vezes superior ao do vergalhão, sendo o módulo de flexão plástico de

apenas seis vezes superior. Os valores do factor de forma k mostram também que o

material é melhor aproveitado nos perfis com secção em I (k = 1.10 e 1.14 neste

exemplo), que o das secções quadradas ou rectangulares (k = 1.50).

Tipo de secção 120 x 120 FLB 300 x 45 HEA 340 IPE 550

A [mm2] 14400 13500 13300 13400

Wel.y [mm3] 288 10

3 675 10

3 1680 10

3 2440 10

3

Wpl.y [mm3] 432 10

3 1012 10

3 1850 10

3 2780 10

3

k = Wpl.y/Wel.y 1,50 1,50 1,10 1,14

0M

y

Sd

fAN

y

SdM

f

NA

0

23

936235

102001.1mmA

46

2

.

2

.

bhWe

bhW yplyel

5

Tabela 4.7 – Resistência à flexão simples.

Exemplo 4.3 – Flexão de uma secção monossimétrica

Calcular os momentos elástico e plástico Mel, Mpl e o factor de forma k da secção

monossimétrica representada na figura 4.9. Não considere os coeficientes parciais de

segurança.

Fig. 4.9 – Flexão de uma secção monossimétrica.

Momento resistente elástico

A tabela em baixo reúne os principais valores que permitem a determinação do momento

resistente elástico (Ip: inércia). Na elaboração da tabela o eixo de referência foi

considerado coincidente com as fibras da face exterior do banzo inferior.

Tabela 4.7 – Resistência à flexão simples.

Referência Dimensões

(mm)

A

(mm2)

z

(mm)

Az

(mm3)

Az2

(mm4)

Ip

(mm4)

1

2

3

400 25

800 10

300 20

10000

8000

6000

12.5

425

835

125 103

3400 103

5010 103

1563 103

1445 106

4183 106

521 103

427 106

200 103

Total 24000 8535 103 5630 10

6 428 10

6

A área total da secção At é igual a 24000 mm2. A distância da linha neutra de flexão

elástica ao eixo de referência é dada por:

6

Com a inércia da secção pode-se calcular o módulo de flexão elástico e o momento

resistente elástico da secção:

Iyy = 5630 106 + 428 10

6 – 24000 355.6

2

Iyy = 3022 106 mm

4

Mel = fy Wsup = 235 6180 103 = 1452 10

3 Nmm = 1452 kNm

Momento resistente plástico

A partir da distribuição dos esforços representados na fig. 4.9 pode-se considerar a

seguinte condição de equilíbrio:

F = - F1 - F2 + F3 + F4 = 0, uma vez que F1 + F2 = F3 + F4

Dado que a tensão limite de elasticidade é a mesma em toda a secção, a linha neutra

divide-a em duas partes com áreas iguais a A/2.

Considerando por hipótese que a linha neutra se situa na alma da secção, obtém-se a

seguinte expressão:

logo: zpl = 225 mm

A hipótese considerada admitindo que a linha neutra se situava na alma está pois

correcta, dado que zpl 825 mm. O momento resistente plástico é pois igual a:

Mpl = 235 N/mm2 (300 20 610 + 600 10 300 + 200 10 100 + 400 25 213)

Mpl = 1831 kNm

O factor de forma k = Mpl/Mel é igual a 1.26, o que é bastante elevado comparativamente

com o perfil laminado I (do exemplo 4.2). A explicação deve-se ao facto da tensão na

fibra inferior ser cerca de 73% da tensão da fibra superior, quando se verifica a

plastificação desta secção.

mmA

zAz

i

ii

el 6.3551024

1085353

3

336

supmin 106180356845

103022mm

zh

IWW

el

21200010)25(254002

mmzA

pl

22

eltotpiiiyy zAIzAI

7

Exemplo 4.4 – Flexão de uma secção híbrida

Calcular o momento resistente plástico Mpl da secção híbrida representada na figura 4.10,

considerando que os banzos são constituídos por barras FLB 300 x 20 em aço S355, e a

alma é formada por uma barra FLB 800 x 10 em aço S235.

Fig. 4.10 – Flexão de uma secção híbrida.

Trata-se de um esforço de flexão simples.

Neste caso a alma da viga pertence a uma secção da classe 2 e os banzos do perfil

composto (soldados) à classe 1.

Os cálculos serão realizados sem ter em consideração o coeficiente parcial de segurança.

O momento resistente plástico da secção pode ser calculado a partir de: EC3 tab. 5.3.1

TGC 10 (4.12)

Ou seja:

Mpl = 2 355 (300 20 410) + 235 (400 10 200) = 2120 106 Nmm

Mpl = 2120 kNm

Este exemplo pode também ser resolvido considerando uma secção totalmente

homogénea em aço S355, com uma espessura de alma equivalente deq calculada a partir

de:

TGC 10 (4.13)

Deste modo pode-se calcular o momento resistente a partir da seguinte expressão:

mmdeq 62.610355

235

n

i

iiyipl zAfM1

8

Mpl = 2 355 (300 20 410) + (400 6.62 200) = 2120 106 Nmm TGC 10 (4.12)

Mpl = 2120 kNm

Exemplo 4.5 – Flexão desviada

Considere uma viga simplesmente apoiada com um vão de 3.5 m constituída por um

perfil IPE 200 em aço S235 solicitada por uma carga de cálculo uniformemente

distribuída qsd = 15 kN/m, com uma inclinação em relação ao eixo z de = 18º (ver

fig. 4.14).

Verificar a secção ao E.L.U. para resistir aos esforços.

Fig. 4.14 – Viga simplesmente apoiada sujeita a flexão desviada.

Determinação dos esforços

O cálculo dos esforços segundo os dois eixos principais de inércia é igual a:

fazendo a decomposição segundo os eixos y e z tem-se:

My.Sd = MSd cos = 21.9 kNm

Mz.Sd = MSd sen = 7.11 kNm

Determinação das resistências plásticas da secção EC3 5.4.5.1 (1)

2 215 3.523.0

8 8

SdSd

q lM kNm

9

Verificação da secção EC3 5.4.8.1 (11)

De notar que a noção de momento de resistência plástica em flexão desviada não é

considerada pelo EC3.

A verificação da segurança é calculada a partir da seguinte expressão:

No nosso caso tem-se:

A escolha do perfil IPE 200 é suficiente para resistir aos esforços em causa.

Exemplo 4.6 – Resistência ao esforço transverso

Considere uma consola que suporta uma viga de caminho de rolamento de uma ponte

rolante solicitada por uma carga móvel que produz um esforço transverso máximo VSd

= 350 kN. Dimensione o perfil da série HEA em aço S235 para resistir a este esforço.

Não considere os fenómenos de instabilidade.

O valor de cálculo do esforço transverso VSd na secção deve respeitar a seguinte

condição: EC3 5.4.6 (1)

VSd Vpl.Rd

em que:

1.

.

.

.

RdNz

Sdz

RdNy

Sdy

M

M

M

M

kNmNmmfW

MM

yypl

Rdypl 0.47100.471.1

23510220 63

0

.

..

3. 6

. .

0

47.0 10 2359.55 10 9.55

1.1

pl z y

pl z Rd

M

W fM Nmm kNm

196.074.022.055.9

11.7

0.47

9.212

10

A área de corte para resistir ao esforço transverso é igual a:

em que:

Av = A – 2 b tf + (tw + 2r) tf EC3 5.4.6 (2)

Escolhendo um HEA 280 tem-se:

Av = 9730 – 2 280 13 + (8+24 2) =3178 mm2

A secção do perfil é pois suficiente.

0

.

3/

M

yv

Rdpl

fAV

20 2838235

33501.13mm

f

VA

y

SdM

v

11

Exemplo 4.7 – Cálculo da constante de torção uniforme

Calcular as constantes de torção uniforme para as sete secções indicadas na fig. 4.23

cujas áreas são aproximadamente iguais.

Fig. 4.23 – Cálculo da constante de torção uniforme em diferentes tipos de secções.

Secção rectangular EC3 Anexo G

Para este tipo de secção têm-se:

EC3 G.3.2.1 (1)

atendendo a que:

A = 67 200 = 13400 mm2

Secção em T

Para as secções de parede aberta (caso presente) a constante de torção uniforme é

calculada a partir das seguintes expressões:

zzyy

tII

AI

4

40

1

463

107.4412

20067mmI yy

463

1001.512

67200mmI zz

4647

66

4

102.161062.11001.5107.44

13400

40

1mmmmI t

12

EC3 G.3.2.1 (1)

EC3 G.3.2.1 (3)

Para a alma, considerando a altura b até à face inferior do banzo e t < b/5 tem-se:

Para o banzo temos:

A constante de torção uniforme da secção em T é igual a:

It = It.banzo + It.alma = 5.75 106 mm

4

Secção HEA 340 EC3 G.3.2.1 (4)

O valor da constante de torção dos perfis laminados é dado por:

It = 2I1 + I2 + 2 D4

em que:

n

i zziyyi

i

tII

AI

1

4

40

1

3

1

1( / 5)

3

n

t i i i i

i

I b t se t b

463

. 1086.2352003

1mmI almat

46

33

4

. 1089.212/1604012/40160

)40160(

40

1mmI banzot

4

43

112

163.013 b

t

b

ttbI

fff

3

2 )2(3

1wf tthI

2

20725.00865.01355.02204.0042.0

f

w

f

w

ff

w

t

t

t

rt

t

r

t

t

13

Substituindo tem-se:

= 0.201

ou seja:

It = 2 4.34 105 + 8.49 10

4 + 2 0.201 30.8

4 = 1.31 10

6 mm

4

Secção em caixão aberto EC3 G.6.3.2.1 (3)

Dado que todos os elementos da secção apresentam ti < bi/5 a inércia de torção é igual a:

Tabela de cálculo

Elementos bi ti

2 292 8 1.495 105 2.990 10

5

2 542 8 2.741 105 5.482 10

5

Total 8.472 105

A constante de torção uniforme na secção do caixão aberto, é pois igual a:

f

wwf

tr

trtrtD

2

)4/()( 2

45

4

43

1 1034.430012

5.161

300

5.1663.01

3

5.16300mmI

443

2 1049.85.9)5.162330(3

1mmI

2

2 5.16

5.90725.0

5.16

275.90865.0

5.16

271355.0

5.16

5.92204.0042.0

42

8.305.16272

)4/5.927(5.9)275.16(mmD

3

1

1

3

n

t i i

i

I b t

3 4

i ibt mm 3 42 i ibt mm

14

Caixão fechado: EC3 G.3.3.1 (1)

Para este tipo de secção, a constante de torção uniforme é igual a:

Substituindo:

Secção circular aberta EC3 G.3.2.1 (3)

Neste caso tem-se:

logo:

ou seja:

Secção circular fechada (tubo) EC3 G.3.3.3.1

Nesta secção a inércia de torção é igual a:

46455 10282.010824.210472.83

1mmmmI t

i i

im

tt

b

t

dscom

t

ds

AI

24

2158264)8550()8300( mmAm

5.208

8

542

8

2922

t

ds

46482

1048110805.45.208

1582644mmmmI t

3

2

3

132

0

3 trdstI

r

t

mmr 6.1712

5.126.355

46453

10702.01002.73

5.126.1712mmmmI t

15

logo:

It = 2 3.14 171.63 12.5 = 3.97 10

8 mm

4 = 397 10

6 mm

4

Conclusões

Verifica-se que o valor da constante de torção uniforme depende sobretudo da geometria

da secção, e do facto da mesma ser aberta ou fechada, sendo muito maior nas secções

fechadas

Exemplo 4.12 – Resistência de uma secção mista submetida a um esforço normal

Considere o pilar misto com secção quadrada definido na figura 4.51(a). Esta secção é

constituída por um perfil HEA 180 em aço S235 (fy = 235 N/mm2) e por oito varões de

20 mm (As = 2512 mm2) em aço B500 H (fsk = 500 N/mm

2), estando o conjunto

envolvido por betão C30/37 (fck = 30 N/mm2).

Calcular a resistência da secção mista para uma acção de longa duração, bem como a

parcela relativa do esforço normal absorvido por cada material. Comparar os resultados

obtidos se substituir o perfil HEA 180 por um HEB 180 ou por um HEM 160.

Fig. 4.51 – Secção de um pilar misto.

O Eurocódigo 4 não considera a resistência elástica. Far-se-á pois directamente o cálculo

da resistência plástica, utilizando um processo simplificado baseado no dimensionamento

de secções transversais com uma secção constante duplamente simétrica em toda a sua

tr

t

r

r

t

ds

AI m

t

3222

22

)(44

16

altura.

Verificação da espessura de recobrimento do betão (fig. 4.51(b))

Segundo a direcção y : 40 mm cy 0.4 b EC4 4.8.2.5 (2) e 4.8.3.1 (3d)

0.4 b = 0.4 180 = 72 mm

Para y é verificada.

Segundo a direcção z: 40 mm cz 0.3 h

0.3 h = 0.3 171 = 51.3 mm

Como a condição segundo z não é verificada, a altura de betão a tomar no cálculo deverá

ser igual a:

Deste modo a área de betão a considerar é:

Verificação à encurvadura local da secção EC4 4.8.2.4 (2)

A verificação à encurvadura do perfil metálico, não é necessária uma vez que o

recobrimento do betão é suficiente.

Verificação da armadura longitudinal: EC4 4.8.2.5 (3)

e 4.8.3.1 (3e)

Tem-se de respeitar a seguinte condição:

mmbb

c c

y 702

180320

2

mmhh

c c

z 5.742

171320

2

mmhhhc 2741711713.023.02

tot tot cc a s cA A A A em que A b h

28064025124530274320 mmAc

17

0.3% 4%

com:

A verificação é pois satisfeita.

Cálculo da resistência plástica da secção EC4 4.8.3.3 (1)

com Ma = a =1.1

Npl.m.Rd = 968 + 1371 + 1092 = 3431 kN

Verificação da relação respeitante à contribuição do aço EC4 4.8.3.4

Uma vez que 0.2 0.9. A verificação é satisfeita e o processo simplificado pode ser

aplicado. EC4 4.8.3.1 (3b)

A parcela relativa do esforço normal absorvida por cada material é:

%1.380640

2512

c

s

A

A

s

sk

s

c

ckc

Ma

y

aRdmpl

fA

fA

fAN

85.0..

kNNf

ANMa

y

aRdapl 968109681.1

2354530 3

..

kNNf

ANc

ckcRdcpl 1371101371

5.1

3085.08064085.0 3

..

kNNf

ANs

sk

sRdspl 109210109215.1

5002512 3

..

28.03431

968

..

Rdmpl

a

y

a

N

fA

18

Comparação da resistência das diferentes secções mistas

Os resultados obtidos para o perfil HEA 180 estão indicados no quadro 4.52 que reúne

também os valores correspondentes aos perfis HEB 180 e HEM 160.

Perfis HEA 180 HEB 180 HEM 160

Aa (mm2)

As (mm2)

Ac (mm2)

4530

2512

95 360

80640

6530

2512

93 360

83120

9710

2512

90 180

73830

Npl.m.Rd (kN)

Parcela absorvida pelo:

aço

armadura

betão

3431

28%

32%

40%

3900

36%

28%

36%

4422

47%

25%

28%

Tabela 4.52 – Comparação da resistência das diferentes secções mista

Exemplo 4.13 – Características e cálculo elástico de uma secção mista flectida

Considere a secção da viga definida na fig. 4.55 composta por um perfil IPE 300 em aço

S235 (fy = 235 N/mm2) e por uma laje em betão C30/37 (fck = 30 N/mm

2), cuja largura

efectiva beff é igual a 2000 mm. Esta viga funciona como contínua nos apoios. A

armadura longitudinal sobre o apoio é constituída por dez varões 10 mm (As = 785 mm2

no total) em aço B 500 H (fsk = 500 N/mm2), que se encontram localizados a uma

distância zs = 420 mm em relação à fibra inferior do perfil metálico.

)( 2mmAc

. . 00

. .

96828 ( )

3431

pl a Rd

pl m Rd

Naço do perfil

N

)(323431

10920

0

..

..armaduras

N

N

Rdmpl

Rdspl

)(403431

13710

0

..

..betão

N

N

Rdmpl

Rdcpl

19

Calcular as características elásticas destas secções a meio vão e sobre o apoio, bem como

a posição da linha neutra e a inércia da secção. Verifique em seguida esta secção, quando

solicitada por um momento flector de cálculo igual a 220 kNm a meio vão e de 150 kNm

sobre o apoio

Fig. 4.55 – Secção mista no vão e no apoio (cálculo elástico).

Coeficiente de homogeneização

O coeficiente de homogeneização aço-betão é igual a:

EC4 3.1.4.2

Para um efeito de curta duração, temos:

com Ecm = 32 kN/mm2 para um betão C 30/37, tem-se: EC4 Tab. 3.2

Secção a meio vão (momento positivo)

Cálculo da posição da linha neutra elástica:

A posição da linha neutra elástica é calculada a partir do equilíbrio dos momentos

estáticos em relação ao eixo situado na fibra inferior do banzo do perfil. O betão

traccionado é considerado fissurado assim como a armadura em compressão não são

considerados.

Por hipótese admite-se que a linha neutra está situada na espessura da laje de betão.

c

a

E

En

cmc EE

6.632

210n

20

Os momentos estáticos são iguais a:

Sa = Aa za

A igualdade dos momentos estáticos conduz a:

ou seja:

A partir da expressão anterior obtém-se:

A raiz desta equação é igual a:

Substituindo tem-se:

Ou seja neste caso a posição da linha neutra elástica em relação à fibra inferior é:

Zm = h - = 450 – 87.0 = 363 mm

Verifica-se que zm = 363 mm ha + e = 300 + 40 = 340 mm, concluindo-se efectivamente

que se situa na espessura da laje de betão, o que está em conformidade com a hipótese

inicialmente considerada. O perfil laminado está totalmente em tracção, não havendo

2 ( ) 02

eff

a a a

bx A x A z h

n

2

1 1effa

a

eff a

bn Ax z h

b n A

mmx 0.8745015053806.6

2000211

2000

53806.6

2

xhzbzAS effccc

n

SSS c

am

2)(

xh

n

xbzAxh

n

xbA

eff

aa

eff

a

xhn

xbAzAS

eff

ammm

21

portanto que atender a qualquer fenómeno de instabilidade.

Cálculo das características da secção mista:

A inércia da secção mista em relação à linha neutra elástica é igual a:

ou seja:

No nosso caso tem-se:

Verificação das tensões:

Cálculo da tensão no perfil (fibra inferior):

A verificação é satisfeita uma vez que:

Cálculo da tensão no betão (fibra superior):

2

2

2)(

x

n

A

n

IzzAII cc

amaam

23

2

212)(

x

n

xb

n

xbzzAII

effeff

amaam

n

xbzzAII

eff

amaam3

)(

3

2

463

26 103946.63

872000)150363(5380106.83 mmIm

2

6

6

/20336310394

10220mmNz

I

Mm

m

Sd

a

22 /2141.1

235/203 mmN

fmmN

a

y

a

2

6

6

/4.78710394

10220

6.6

11mmNz

I

M

n m

Sd

c

22

A verificação é também satisfeita dado que:

A secção mista a meio vão satisfaz pois as condições de verificação.

Secção sobre o apoio (momento negativo)

Cálculo da posição da linha neutra elástica:

O betão traccionado considerado fissurado é desprezado. Admite-se por hipótese que a

linha neutra se situa no perfil.

Sa = Aa za

Ss = As zs

Sm = Am zm = (Aa + As) zm

A igualdade dos momentos estáticos conduz a:

Sm = Sa + Ss

em que:

Verifica-se que zm = 184 mm ha = 300 mm, o que nos permite concluir que a linha

neutra se encontra efectivamente no perfil, o que está de acordo com a hipótese admitida.

Cálculo das características da secção mista:

O quadro em baixo contém todos os elementos necessários, à determinação da inércia da

secção sobre o apoio.

A inércia da secção mista é igual a:

Im = Ia + Aa(za – zm)2 + Is + As(zs-zm)

2

Im = 83.6 106 +6.2 10

6 + 43.7 10

6 = 134 10

6 mm

4

Quadro de cálculo

22 /175.1

3085.085.0/4.7 mmN

fmmN

c

ck

c

mmAA

zAzAz

sa

ssaa

m 1847855380

4207851505380

23

Elemento Ai

(mm2)

zi

(mm) zi - zm

(mm)

Ai(zi - zm)2

(mm4)

Ii

(mm4)

Perfil

Armaduras

5380

785

150

420

34

236 6.2 10

6

43.7 106

82.6 106

desprezável

Verificação das tensões:

Calculo da tensão nas armaduras (tracção):

A verificação da tensão é satisfeita uma vez que:

Cálculo da tensão no aço (fibra inferior)

A verificação é igualmente satisfeita uma vez que:

A secção mista sobre o apoio satisfaz pois todas as condições.

Exemplo 4.14 – Características e cálculo plástico de uma secção mista flectida:

Considere a secção da viga representada na fig. 4.62 composta por um perfil IPE 300 em

aço S235 (fy = 235 N/mm2) e por uma laje em betão C30/37 (fck = 30 N/mm

2) cuja largura

efectiva beff é igual a 2000 mm. Esta viga funciona como contínua nos apoios. A

armadura longitudinal sobre o apoio é constituída por 10 varões 10 mm (As = 785 mm2)

em aço B 500 H (fsk = 500 N/mm2) que se encontram localizados a uma distância zs = 420

mm da fibra inferior do perfil metálico.

Calcule as características plásticas da secção mista nas secções a meio vão e no apoio

bem como a posição da linha neutra e o módulo plástico da secção. Verifique em seguida

a resistência da secção, considerando que está solicitada por um momento flector de

cálculo igual a 310 kNm a meio vão e de 190 kNm sobre o apoio

2

6

6

/264)184420(10134

10150)( mmNzz

I

Mms

m

Sd

s

22 /43515.1

500/264 mmN

fmmN

s

sk

s

2

6

6

/20618410134

10150mmNz

I

Mm

m

Sd

a

22 /2141.1

235/206 mmN

fmmN

a

y

a

24

Fig. 4.62a – Secção mista no vão e sobre o apoio (cálculo plástico).

Condições gerais consideradas para o cálculo da secção mista

Supõe-se que:

- Existe uma ligação completa entre a laje de betão e o perfil metálico,

- Não existe interacção entre a flexão e o esforço transverso,

- Despreza-se o betão traccionado que se considera fissurado,

- Na determinação da resistência, não se incluí também a contribuição da armadura

longitudinal comprimida na laje de betão.

Verifique que a secção do perfil laminado é uma secção da classe 1 em relação à flexão.

Secção a meio vão (momento positivo)

Determinação da posição da linha neutra:

Por hipótese supõe-se que a linha plástica neutra se situa na espessura da laje de betão. A

posição da linha plástica zm em relação às fibras inferiores do perfil laminado é calculada

a partir da equação de equilíbrio de forças:

Fa = Fc

Da condição de equilíbrio das forças obtém-se:

a

y

aRdapla

fANF

..

. . 0.85 ckc pl c Rd c c eff

c

fF N A em que A b x

25

logo:

zm = h – x = 450 – 33.8 = 416 mm

Verifica-se que zm = 416 mm ha + e = 300 + 40 = 340 mm, concluindo-se efectivamente

que a linha neutra plástica se situa na espessura da laje de betão, o que está de acordo

com a hipótese inicialmente considerada. O perfil laminado está totalmente traccionado.

Cálculo do momento resistente

em que:

logo:

dado que:

tem-se:

no nosso caso:

c

ck

eff

a

y

a

fxb

fA

85.0

mmf

b

fA

x

c

ck

eff

a

y

a

8.33

5.1

3085.02000

1.1

2355380

85.0

2..

xzzFM amaRdmpl

Nf

ANFa

y

aRdapla

3

.. 1011491.1

2355380

3 6

. .

33.81149 10 416 150 325 10 325

2pl m RdM Nmm kNm

a

y

mplRdmpl

fWM

...

336

..

. 101521

1.1

235

10325mm

f

MW

a

y

Rdmpl

mpl

26

MSd M pl.m.Rd

310 kNm 325 kNm

A verificação é pois satisfeita.

Secção sobre o apoio (momento negativo)

Cálculo da posição da linha neutra plástica:

Por hipótese considera-se que a linha neutra plástica se encontra na alma do perfil

laminado o que para estes casos se verifica na maior parte das vezes. O equilíbrio das

forças na secção é igual a:

Fs + Fat = Fac

em que:

Considerando que Aat = Aa – Aac, tem-se:

logo:

Desprezando a contribuição das zonas limitadas pelos raios de concordância do perfil

metálico, tem-se:

Aa = 2 b tf + (ha – 2 tf) tw = 2 150 10.7 + (300 – 2 10.7) 7.1

s

sk

sRdspls

fANF

..

tracçãoemaçodeáreaAqueemf

AF ata

yatat :

:y

ac ac ac

a

fF A em que A área de aço em compressão

a

y

ac

a

y

aca

s

sk

s

fA

fAA

fA

)(

a

y

a

y

a

s

sks

ac f

fA

fA

A

2

27

Aa = 5188 mm2

e:

Aac = b tf + tw (zm – tf)

logo:

Verifica-se que zm = 263 mm ha – tf = 300 – 10.7 = 289.3 mm, concluindo-se

efectivamente que a linha neutra se situa na alma do perfil, que está de acordo com a

hipótese inicialmente considerada.

Cálculo do momento resistente:

A determinação das distâncias à linha neutra plástica dos centros de gravidade das

secções de aço comprimida e traccionada, podem ser calculadas a partir das dimensões

indicadas na fig. 4.62b, e com o auxílio dos quadros de cálculo seguintes. Obtém-se

então:

23393

1.1

2352

1.1

2355188

15.1

500785

mmAac

mmt

ttbAz

w

fwac

m 2631.7

7.10)1.7150(3393)(

mmzac 1893393

10640 3

mmzat 7.291795

104.53 3

28

Fig. - 4.62b

Quadro de cálculo (parte comprimida)

Elemento Ai (mm2) di (mm) Aidi(mm

3)

Banzo comprimido

Alma comprimida

150 10.7 =1605

(263-10.7) 7.1=1788

414 103

226 103

Aac = 3393 640 103

Quadro de cálculo (parte traccionada)

Elemento Ai (mm2) di (mm) Aidi (mm

3)

Banzo traccionado

Alma traccionada

150 10.7 =1605

(300-263-10.7)7.1=190

50.9 103

2.5 103

Aat = 1795 53.4 103

É assim possível calcular as forças que actuam nas diferentes partes da secção:

O momento resistente é igual a:

7.312

7.10263300

2.132

7.10263300

2582

7.10263

1262

7.10263

Nf

ANFS

sk

SRdspls

3

.. 1034115.1

500785

Nf

AFa

y

atat

3103831.1

2351795

Nf

AFa

y

acac

3107251.1

2353393

29

Mpl.m.Rd = Fs (zs – zm) + Fat zat + Fac zac

como:

Pode-se pois calcular o módulo plástico da secção mista sobre o apoio:

no nosso caso tem-se:

MSd Mpl.m.Rd

190 kNm 202 kNm

A verificação é pois satisfeita.

189107257.2910383)263420(10341 333

.. RdmplM

kNmNmmM Rdmpl 20210202 6

..

a

y

mplRdmpl

fWM

...

336

..

. 10946

1.1

235

10202mm

f

MW

a

y

Rdmpl

mpl

30

Exemplo 6.6 – Pilar misto comprimido

Considere o pilar misto biarticulado com um comprimento de 4000 mm, indicado na fig.

6.19(a). A sua secção transversal é constituída por um perfil HEA 180 em aço S235

( 2/235 mmNf y ) e 8 varões de 20 mm (As = 2512 mm2) em aço B 500 H

( 2/460 mmNf sk ), estando a secção toda protegida com betão C 30/37

( 2/5.19 mmNfck )

Calcular a resistência última de encurvadura deste pilar misto, em que as resistências

elásticas e plásticas da secção foram já calculadas no exemplo 4.12.

Fig. 6.19 – Pilar misto comprimido.

É necessário analisar o exemplo 4.12, onde está feito o cálculo referente à determinação

das características da secção transversal:

Características da secção mista ver - Exemplo 4.12

24530 mmAa (área do perfil HEA 180) 22512 mmAs (área total de armadura)

=80640 mm2 (área da secção de betão «de cálculo» tendo em conta a espessura

do recobrimento) 46101.25 mmIay

461025.9 mmIaz

Se se desprezar a inércia das armaduras, tem-se (fig. 6.19 (b)):

cA

31

em que:

logo:

Rigidez elástica

Aço:

Ea = 210000 N/mm2

(Ea Ia)y = 210 103 25.1 10

6 = 5271 10

9 Nmm

2

(Ea Ia)z = 210 103 9.25 10

6 = 1943 10

9 Nmm

2

Armaduras:

Es = 210000 N/mm2

(Es Is)y = (Es Is)z = 210 103 27.1 10

6 = 5691 10

9 Nmm

2

Betão:

Ecm = 32000 N/mm2 EC4 tab. 3.2

EC4 4.8.3.5 (1)

2222

402

320

4

2032

2432

z

c

szsy chd

II

satotc IIII

4633

. 1054912

274320

12mm

hbI

ccytot

4633

. 1074812

320274

12mm

bhI cc

ztot

46666 10497101.27101.2510549 mmI cy

46666 10712101.271025.910748 mmI cz

296

296

2

10168771071223704)(

10117811049723704)(

/2370435.1

32000

NmmIE

NmmIE

mmNE

E

zccd

yccd

c

cm

cd

6 427.1 10syI mm

32

Secção transversal mista:

EC4 4.8.3.5 (1)

no nosso caso:

(EI)ey = 5271 109 + 0.8 11781 10

9 + 5691 10

9 = 20387 10

9 Nmm

2

(EI)ez = 1943 109 + 0.8 16877 10

9 + 5691 10

9 = 21136 10

9 Nmm

2

Resistência da secção mista

Atendendo ao exemplo 4.12, a resistência plástica da secção mista é igual a:

N pl.m.Rd = 3431 kN ver - Exemplo 4.12

Para a determinação das esbeltezas reduzidas , considera-se conforme o EC4 quer os

coeficientes parciais de segurança Ma, c e s são iguais à unidade no cálculo da

resistência. Tem-se pois: EC4 4.8.3.7 (2)

EC4 4.8.3.3 (1)

N pl.m.R = 4530 235 + 80640 0.85 30 + 2512 500 = 4377 103

N

N pl.m.R = 4377 kN

Cargas criticas e esbeltezas reduzidas

EC4 4.8.3.7 (1)

EC4 4.8.3.7 (2)

Segundo o eixo y (eixo mais resistente do perfil) tem-se:

ssccdaae IEIEIEEI 8.0)(

sksckcyaRmpl fAfAfAN 85.0..

2

2 )(

l

IEN e

cr

cr

Rmpl

N

N ..

kNNN ycr 1257610125764000

1020387 3

2

92

.

33

Segundo o eixo z (eixo menos resistente do perfil) tem-se:

Resistência à encurvadura

A resistência à encurvadura Nb.m.Rd do pilar misto é dada pela expressão:

Nb.m.Rd = min Npl.m.Rd em que min = min (y ; z) EC4 4.8.3.8 (1)

Segundo o eixo y (mais resistente do perfil) tem-se:

= 0.34 (curva b de encurvadura) EC4 4.8.3.8 (2)

EC3 5.5.1.2 (1)

segundo o eixo z (menos resistente) tem-se:

= 0.49 (curva c de encurvadura) EC4 4.8.3.8 (2)

logo:

590.012576

4377y

kNNN zcr 1303810130384000

1021136 3

2

92

.

579.013038

4377z

2 20.5 1 ( 0.2) 0.5 1 0.34 (0.590 0.2) 0.590 0.740y yy

843.0)590.0740.0(740.0

1

)(

15.0225.022

yyy

y

2 20.5 1 ( 0.2) 0.5 1 0.49 (0.579 0.2) 0.57 0.760z zz

34

min = min (0.843 ; 0.799) = 0.799

A resistência à encurvadura do pilar misto é igual a:

Nb.m.Rd = 0.799 3431 = 2741 kN

799.0)579.0760.0(760.0

1

)(

15.0225.022

zzz

z