Ministério da Educação

Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Curitiba

Departamento Acadêmico de Matemática – DAMAT

Probabilidade e Estatística – Prof. Narciso Gonçalves da Silva

Lista de Exercícios – Lista 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade

Distribuição Binomial 1) Sendo X uma VA com distribuição binomial com parâmetros n = 15 e p = 0,4. determine: a) P(X ≥ 14) b) P(8 < X ≤ 10) c) P(X < 2 ou X ≥ 11) d) P(X > 3 e X < 6) 2) Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que têm essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária, responda qual é a probabilidade de: a) Todos serem curados? b) Pelo menos dois não serem curados? c) Ao menos 10 ficarem livres da doença? 3) Um lote com 20 peças são inspecionadas. Este lote é devolvido se pelo menos 4 peças forem defeituosas. Sabendo-se que 99% das peças não tem defeitos, qual é a probabilidade do lote ser devolvido? 4) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, determinar a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas escolhidas aleatoriamente, tenha: a) nenhuma defeituosa b) exatamente 3 defeituosas 5) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de: a) não acertar 4 tiros b) não acertar nenhum tiro Distribuição Multinomial 6) As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 60% verdes, 30% azuis e 10% amarelas. Em 5 lâmpadas escolhidas aleatoriamente com reposição, determine a probabilidade de que 2 sejam verdes, 1 azul e 2 amarelas. 7) O sangue humano são classificados em 4 tipos: A, O, B e AB. Numa certa população, as probabilidades destes tipos de sangue são, respectivamente, 40%, 45%, 10% e 5%. Escolhendo 5 pessoas ao acaso determine a probabilidade de que tenha: a) dois tipo A e um de cada um dos outros b) três do tipo A e dois do tipo O Distribuição de Poisson 8) A média de chamadas telefônicas numa central é de 3 por hora. Determinar a probabilidade de: a) receber 3 chamadas numa hora b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos 9) Na pintura das paredes aparecem 1 defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 metros de largura por 2 metros de altura? 10) Numa estrada há 2 acidentes a cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes b) 300 km ocorram 5 acidentes

11) Sabe-se que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que escolhido aleatoriamente 600 no mínimo 3 se queimem? 12) Uma empresa recebe 720 e-mails no período de 8 horas. Qual a probabilidade de que: a) em 6 minutos receba pelo menos 4 e-mails? b) em 4 minutos não receba nenhum e-mail? 13) Numa caixa tem 50 bolas brancas e 950 bolas pretas. 200 bolas são retiradas com reposição. Qual a probabilidade de pelo menos 3 serem brancas? Distribuição Hipergeométrica 14) Numa urna tem 40 bolas brancas e 60 bolas pretas. Retiram-se 20 bolas. Determine a probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas, considerando as extrações: a) sem reposição b) com reposição 15) Uma fábrica separa de sua linha de produção diária de 350 peças uma amostra de 30 peças para inspeção. O número de peças defeituosas é de 14 por dia. Qual a probabilidade de que a amostra contenha no máximo 3 peças defeituosas? 16) Dos 16 caminhões de entrega de uma empresa, cinco emitem excesso de poluentes. Selecionando aleatoriamente oito dos 16 caminhões, qual a probabilidade dessa amostra incluir três dos caminhões que emitem excesso de poluentes? 17) Uma empresa compra lâmpadas por centenas. Numa centena de lâmpadas em média 12 estão queimadas. A empresa examina sempre amostras com 15 lâmpadas para verificar se não estão queimadas. Qual a probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada? Distribuição Geométrica 18) Qual a probabilidade da primeira face 3 ocorrer na 5ª jogada de um dado equilibrado? 19) A probabilidade de uma moça aceitar o convite de um rapaz para dançar é 15%. Qual a probabilidade da moça aceitar dançar com o rapaz apenas no 7º convite? 20) A probabilidade de um motorista receber multa por estacionar em local proibido é 5%. Qual é a probabilidade deste motorista receber a primeira multa somente na 10ª vez que estacionar em local proibido? 21) A probabilidade de um arqueiro não acertar o alvo com uma flecha é 1/5. O arqueiro vai atirar flechas até acertar o alvo. Qual é a probabilidade dele acertar o alvo na 4ª tentativa? Distribuição de Pascal 22) Uma moeda viciada quando lançada 5 vezes ocorrem 4 coroas. Qual a probabilidade de ocorrer a 3ª cara no oitavo lançamento desta moeda? 23) Qual a probabilidade da moça do exercício 19 aceitar o 5º convite para dançar no 10º pedido do rapaz? 24) Qual é a probabilidade do motorista do exercício 20 receber a 4ª multa na 12ª vez que estacionar em lugar proibido. 25) A probabilidade de que um sinaleiro esteja verde é 20%. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes até encontrar o sinal verde pela 4ª vez?

Você decide qual distribuição utilizar 26) Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 bolas pretas. a) Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 brancas? b) Qual a probabilidade de que a 6ª bola retirada com reposição seja a 1ª branca? c) Qual a probabilidade de que a 15ª bola extraída com reposição seja a 6ª branca? d) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo 2 brancas? 27) A probabilidade de um jogador errar um pênalti é 2%. Qual a probabilidade do jogador: a) fazer o gol na 3ª cobrança do pênalti? b) executar 7 cobranças e fazer 4 gols? 28) O número de mortes por afogamento em fins de semana em cidades do litoral é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que numa cidade de 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 mortes por afogamento? 29) Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com peças boas formando um lote de 12 peças no total. Escolhendo aleatoriamente 4 dessas peças, determine a probabilidade de encontrar: a) pelo menos 2 peças defeituosas b) no máximo 1 peça defeituosa c) no mínimo 1 boa 30) Num certo processo de fabricação os artigos que apresentam algum defeito tornam-se inadequados para venda. Sabe-se que em média 1 a cada 1000 desses artigos apresentam defeitos. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 8000 artigos contenha menos de 7 com defeito? Respostas: 1) a) 0+; b) 0,0857; c) 0,0145; d) 0,3127 2) a) P(X = 15) = 3,5%; b) P(X ≤ 13) = 83,3%; c) P(X ≥ 10) = 93,9% 3) 0,004% 4) a)P(X = 0) = 0,59%; b) P(X = 3) = 13,96%; 5) a) 32,92% b) 8,78% 6) 3,24% 7) a) 2,16%; b) 12,96% 8) a) 22,41%; b) 65,8% 9) 19,52% 10) a) 87,53%; b) 16,06% 11) 57,49% 12) a) 97,88%; b) 0,25% 13) Aproximação da Binomial pela Poisson com λ = n.p = 200.50/1000 = 10: P(X ≥ 3) = 99,72% 14) a) Hipergeométrica: P(X ≥ 2) = 99,98%; b) Binomial: P(X ≥ 2) = 99,95%; 15) P(X ≤ 3) = 97,60% 16) 0,359 17) 87,47% 18) 8,04% 19) 5,66% 20) 3,15% 21) 0,64% 22) 5,5% 23) 0,42% 24) 0,07% 25) 3,52% 26) a) Hipergeométrica: P(X = 3) = 29,33%; b) Geométrica: P(X = 6) = 6,55%; c) Pascal: P(X = 15) = 17,20%; d) Binomial: P(X ≤ 2) = 4,42% 27) a) Geométrica: 0,04%; b) Binomial: 0,03% 28) Poisson: 82,65% 29) Hipergeométrica: N= 12, k= 3, n= 4 a) P(X ≥ 2) = 0,236; b) P(X ≤ 1) = 0,764; c) P(X ≤ 3) = 1 30) Aproximação da Binomial pela Poisson com λ = n.p = 8000/1000 = 8; P(X < 7) = 31,34% Exercícios extraídos dos livros: MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed. São Paulo: EDUSP, 2008. MORETTIN, L. G. Estatística Básica. v. 1, 7 ed. São Paulo: MAKRON Books, 1999. FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A. Curso de Estatística. 6 ed. São Paulo: Atlas, 1996. FREUND, J. E.; SIMON, G. Estatística Aplicada. 9 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.