~rão através da escolha de ~ como uma solução da equação de onda escalar não hol1Jo

"",', ge,-nea com _

o<pV . A + (/1 --

arcomo termo-fonte. Acabamos de ver como encontrar tal solução. Uma escolha de poten.ciais que satisfazem a condição de Lorentz é chamada de sistema de Lorentz. Outras esco~lhas de sistemas (isto é, outras escolhas de 'V'o A) são úteis em outras circunstâncias.

Com o desenvolvimento dos potenciais retardados, o trabalho básico sobre a radia.ção estú completu. Resta aplicar esta matéria à solução de problemas práticos. Este é oA~objetivo dos próximos cinco capítulos. _ "

16·7 RESUMO

Este capítulo contém os fundamentos de toda a teoria eletromagnética clássica. As.equações de Maxwell são as equações diferenciais que determinam Guntamente COm ascondições de contorno para uma situação particular) os campos produzidos pelas fontesde carga e de corrente:

V· B= 0,

aRE+" =0ar '

V· D=p,

àOV x H - a-'- = J.

Os campos E e B são operacíonalmente definidos peja força de Lorentz

F = q(E + v x B),e os campos D e H estão relacionados a eles através das equações constitutivas do meio,D = D(E), H = H(B).

As equações de Maxwell têm as seguintes conseqüências importantes:

1. A carga elétrica é conservada, de acordo com a equação da continuidade

V • J + ~p =0.ae

ouV • S + .-De

onde a densidade de energia do campo é (em um meio linear)

u = 1(E . O + B . H)e o fluxo de energia por unidade de área é o vetor de Poynting

S=ExH.

3. A propagação da onda eletromagnética pode Ocorrer com a velocidade c = I/..;~no vácuo, igual à velocidade da luz.

4. As condições de contorno sobre os campos são determinadas fluma interface entremeios diferentes. As componentes tangenciais de E e H são contínuas e as mais importan-tes.

E e B são deriváveis das funções potenciais:Os campos àA

B = V x A, E = - V rp - ar- .6. Os potenciais satisfarão as equações de onda não homogêneas

02rp IV2rp - (fl ai1 = - -; p,

a2AV2 A - (/1 7ir2 = - /1J,

-, a condição de Lorentz; se aep

V . A = - (/1 -aI. ~ imposta. Estes potenciais detel minarão a geração deondas e~etro~lagn~ti:as por dlstri-'b~ções de carga prescritas e de correntes. Soluções partIculares no vacuo sao

1 ,- p(r', 1') d 'rp( r, t) = 4'~Z;. Tr-= ~;T v,

. /10 f J(r', t') d 'A(r, t) = 4rr .~=--iT v,

1.1' .-,rjt' = t-

c h2 w;-.O~:tu'v ~é o tempo retardado. Daí se chamarem potenciais reta1~~dffs. I~~ ~ ~'

dJ.. mCÃ.{ Wuu..X JV\J'/'''' r - .I 'i1' ~~39BLEMAS O/J JLq, lacas em forma de discos circulares, tem a região entre: ,,' """'J. Um capacltor de placas paralelas, com p rmitividade € O dielétnco é imperfeito, possuindo uma'. duas placas preenclllda por um dlelctnco de pe . , do até uma diferença de poten-

d d d c'tor é C O capacltor e carregaCondutividade g. A capacl a e o capa I '. função do tempo. (b) Encontre a cor-eia! Á e Isolado. (a) Encontre a carga sobre o capacito r como , . ., .rente:e deslocamento no dielétrico. (c) Encontre o campo magneiJco no dleletllco.

~, ,. , .. - entre a densidade da corrente de deslocamen-- ~ O Q de um meIO dleletnco e defInIdo como a raz.ao _ d d monocroma' tica este reduz-se ad - N propaoaçao e on a ,to e a densidade da corrente de con uçao. uma" f . A • • f _ l' 10

6. 109 Rz.

. Q'= / D t lC Q para o qUarlZO e para o enxofre, nas seguintes rcquencIas. -, ,

~we g. e ermu t 'deal S1I-

. . . . d or uma dIstânCIa d, formam um capacl ar 1 .' Duas placas cnculares, de lalO a, separa as p D'f llne (Isto é despreze o efeito do' Ponha que o dielétrico é um Isolante perfeito com ~amPdo um odo por um~ corrente 1constarlte.

campo nas extremidades das placas). O capacitor es;a senl

~dcarre~~ dielétrico (b) Encontre o módu-H to P sobre a superflcle CI1Il rIca . d

(a) Encontre o campo num pon . S P (c) Integre S o n 'sobre a superfície cilíndflc~ o10, a direção e o sentido do vetor de p~yntIng, em. . _ o tempo da energia eletrostaticadielétrico e demonstre que o resultado e Igual a taxa de vanaçao, com ,

;az.enada. te cstacio-. . 'd ção reta A conduz uma corren .16· Um fio metálico reto, de condutlVJdade g e area a s~ ,p t;; na superfície do fio. Integre a

nária I. Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor e oyn ,n

componente normal do vetor de Poynting sobre a superfície do fio para um segmento de comprime "L e compare seu resultado com o calor de jou!e produzido neste segmento. nll) ,

16-5 Suponha que existe, numa certa região, um campo eletrostático e um campo magnetostático. D '.monstre que embora o vetor de Poynting possa ser não nulo, a integral de superfície de S • n 'se an ela-sobre uma superfície fechada arbitrária no interior da região. U

16-6 É dada a equação de onda unidimensiona!

a2 E a2 EiT;i = (}1 at'i"

onde E é o módulo do vetor campo elétrico. Suponha que E tem urna direçãO constante, ou seja, a di-reção y. Introdul,indo a mudança de variáveis,

ç = t + .j~z,1'/= t-hz,

demonstre que a equação de onda assume uma forma que é facilmente integrada. Integre a equação pa-ra obter

onde I':1 e E, são funções arbitrárias.

16-7 É dada a onda eletromagnética

E = iEo cos w(h z - t) + jEo sen w(.j(.p z - r),

onde Eo é uma constante. Encontre o campo magnético B correspondente e o vetor de Poynting.

"16-8 Partindo de uma expressão para a força por unidade de volume sobre uma região do espaço livreque contém cargas e correntes:

e usando as equações de Maxwell e a identidade vetoria! da Eq. (14-24), demonstre quea 1

Fv = -{o ai (E x B) + {oE V . E - 2" {o V (E2) + {o(E' V)E

1 1 (2)' 1 ( )+~BV·B--·-V B +~ B·VB~o 2}10 }10

(A quantidade €o E XB é chamada, às vezes, de densidade de momentum do campo eletromagnético.)'

16-9 f dada uma onda plana caracterizada por um Ex, By propagando-se no sentido positivo de z,_ • . 21!

E = .Eo sm 'x (z - cr).

Demonstre que é possível tomar o potencial escalar «J = ° e encontre um potencial vetoria! A possível,que satisfaça a condição de Lorentz.

16-10 Demonstre que no espaço livre com p = O, J = 0, as equações de Maxwell são obtidas correta-mente a partir de uma só função vetoria! A que satisfaz .

I a2AV . A = O, V2A - .- __ o = O.c2 8t2

O sistema no qual V • A'= ° é chamado de sisrema de Cal/10mb.

16-11 Demonstre que um sistema conveniente pode ser encolhido cm um m"io condutor linear de for-ma que A e «J satisfaçam, cada um, a equação de onda amortecida, Eq. (16-29). Suponha que p == O,

16·12 f: dado um meio no qual p = 0, J = 0, J.l = IJo ' mas onde a polarização P é uma função dada 'daposição e do tempo: P = P(x, y, Z, t). Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretarnen-

. d u'nica função vetoria! Z (vetor de Hertz.), onde Z satisfaz. a equaçãoa partlf e uma1 ('2Z P

V2Z - "2 - 2C cr (o

I 1 az.E = \~x , x Z - (o p, B = ~2 V x -'[}'r .

~L... . a! -o J-O €=€ porém onde a magnetizaçãoM(x,y,z,r)éuma<' 13 E dado um meIo no qu P - , -, o' ~ . • .L.".. 16- d D t e que as equaço-es de Max\\'ell são obtidas, corretamente, a partu de uma umca:';;-'função da a. emons r .' _ 'K: f nção vetoria! Y, onde Y satlsfaz a equaçao

.. ·v. u I,~. V2y __- ~i-r [2

('yB = V x V x Y, E = - V x ir

D t ~ as equações de MaxweIl para um meio isotrópico, homogêneo, não condutor, li·16-14 emons re quvrede cargas, podem ser satisfeitas, tomando-se

1. E =' parte real de V x V x (Fa),

("

B = parte real de (Jl ar V x (Fa),

aE = parte real de - aí V x (Fa),

/riai magnético é suspensa por um fio comprido no campo não-unifor- SEÇÃO 32.10 Corrente de Deslocamentome (d = 2 cm) entre os pólos de um potente eletroímã. O pólo P1 épontiagudo e o pólo P2 é arredondado como indicado. Qualquer defle- 29E. Prove que a co;re?te de deslocamento em um.c~acitor de placasxão do fio da direção vertical pode ser vista pelo público par meio de p~alelas de capacltanCla C pode ser escnta como ld - C(dV/dl), ondeum sistema de projeção óptica (não mostrado). (a) Primeiramente, uma Ve a dIferença de potencIal entre as placas. .amostra de bismuto (altamente diamagnético) é usada. Quando o ~f' A que taxa a diferença de potencial entre as placas de um capaCitoreletroímã é ligado, observa-se que a amostra sofre uma ligeira deflexão de placas paralelas com uma capacitância de 2,0 j.LF tem que ser varia-(cerca de 1 mm) emdireção a um dos pólos. Quais a direção e o sentido da para produzir uma corrente de deslocamento de 1,5 A?desta deflexão? (b) Em seguida, uma amostra de alumínio (paramagné- . _'. .tico, condutor) é usada. Quando o eletroímã é ligado, observa-se que a E. Para a sItuaçao do Problema ResolvIdo 3,2.3,-mostre que a dens~amostra sofre uma forte deflexão (cerca de 1 cm) em direção a um pólo (jade de corrente da corrente de deslocamento e Jd - eo(dE/dl) para r -por cerca de um segundo e depois é defletida moderadamente (algUns R,.milímetros) em direção ao outro pólo. Explique e indique os sentidos ~. Um capacitar de placas paralelas com placas circulares de raio igualdestas deflexões. (Dica: A amostra de alumínio é um condutor, para a aO,IO m está sendo descarregado. Um laço circular de raioigual aO,20 mqual a lei de Lenz· se aplica.) (c) O que aconteceria se uma amostra é concêntrico com o capacitor e está à meia distância entre as placas. Aferromagnética fosse utilizada? corrente de deslocamento através do laço é de 2,0 A. A que taxa o cam-

• Xp~létrico entre as placas está variando?

~~P. Quando um capacitor de placas paralela~ com placas circularesde 20 cm de diâmetro está sendo carregado, a densidade de corrente dacorrente de deslocamento na região entre as placas é uniforme e temuma: intensidade de 20 A/m2. (a) Calcule a intensidade B do campomagnético a uma distância rc= 50 mm do eixo de simetria desta região.(b) Calcule dE/dI nesta região .

•~. A intensidade do campo elétrico entre as duas placas circularesparalelas ná Fig. 32.26 é E = (4,0 X 105) - (6,0 X 104t), com E emvolts por metro e Iem segundos. Em I = O, o campo está dirigido paracima como mostrado. A área da placa é igllal a 4,0 X 10-2 m2• Para I 2:O, (a) qual a intensidade e o sentido da corrente de deslocamento entreas placas e (b) o sentido do campo magnético induzido, horário ou anti-horário, ao redor das placas?

25P. O momento dedipolo magnético da Terra é igual a 8,0 X 1022 JfT.(a) Se a origem deste magnetismo fosse uma esfera de ferro magnetiza-da no centro da Terra, qual seria o seu raio? (b) Que fração do volumeda Terra ocuparia uma esfera como esta? Suponha um alinhamentocompleto dos dipolos. A massa, específica no núcleo mais interno daTerra é de 14 g/cm3 O momento de dipolo magnético de um átomo deferro é igual a 2,1 x,IO-23 JfT. (Obs.: Pensa~se, de fato, que o núcleomais interno da Terra esteja tanto na forma líquida quanto na sólida eseja parcialmente de ferro, mas a hipótese de um ímã permanente ser afonte do magnetismo da Terra já foi descartada por várias considera-ções. Uma delas é que a temperatura está certamente acima do ponto deCurie.)

26E. O Problema Resolvido 32.3 descreve o processo de carregamentode um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio iguala 5:5,0mm. Em quais dois raios r do eixo central do capacitor a intensi-dade do campo magnético induzido é igual a 50% do seu valor máxi-mo?

27E. O campo magnético induzido a 6,0 mm do eixo central de umcapacitar de placas paralelas circulares e entre as placas é de 2,0 X10-7 T. As placas têm raio igual a 3,0 mm. A que taxa dE/dI está vari-ando o campo elétrico entre as placas?

28P. Suponha que um capacitor de placas paralelas possui placas cir-culares com raio ~ = 30 mm e uma separação entre as placas de 5,0 mm.Suponha também que uma diferença de potencial senoidal com um valormáximo de 150 V e uma freqüência de 60 Hz seja aplicada entre as pla-cas; ou seja,

(a) Determine Bmáx(R), o valor máximo do campo magnético induzidoque ocorre em r = R. (b) Faça o gráfico de Bm"x(r) para O< r < 10 cm.

35P. Um campo elétrico uniforme despenca para zero a partir de umaintensidade de 6,0 X 105 N/C em um intervalo de tempo de 15 j.Ls, damaneira mostrada na Fig. 32.27. Calcule a intensidade da corrente dedeslocamento, que atravessa uma área de 1,6 m2 perpendicular ao cam-po, durante cada um dos intervalos de tempo a, b e c mostrados no grá-fico. (Ignore o comportamento nos extremos dos intervalos.)

~ __ a _~ EU:-T r- H - ~-. -, -~. c~,=,_- :_-~

'§: 6o.g 4 _._.

ir-~-~;i-~;'! i :u O 2 4 6 8 10 12

Tempo (fJS)

Fig. 32.27 Problema 35,

~~j"'{"' Um capacitar de placas paralelas com placas circulares está sen-do carregado. Considere um laço circular centrado no eixo central en-tre as placas. O raio do laço é igual ~ 0,20 m; o raio das placas é de O,10me a corrente de deslocamento que atravessa o laço é de 2,0 A. Qual ataxa com que o can1po elétrico entre as placas está variando?

~ Um capacitor de placas paralelas tem placas quadradas de 1,0 mde lado, como mostrado na Fig. 32.28. Uma corrente c!.e2,0 A carrega ocapacgor, produzindo um campo elétrico uniforme E entre as placas,com E perpendicular às placas. (a) Qual a corrente de deslocamento idque atravessa a região entre as placas? (b) Quanto vale dEldt nesta re-gião? (c) Qual a corrente de deslocamento que atravessa a trajetória tra-cejada quadrada entre as placas? (d) Qual o vàlor de f B' ds ao redordesta trajetória tracejada quadrada?

fi~' Um capacitor com placas circulares paralelas de raio R está des-carregando por meio de uma corrente de 12 A. Considere um laço deraio RI3 que está centrado sobre o eixo central entre as placas. (a) Quala corrente de deslocamento envolvida pelo laço? O campo magnético

O,SOmr

11,Om

~

induzido máximo possui intensidade igual a 12,0 mT. (b) A que distân-cia radial do eixo central da placa a intensidade do campo magnéticoinduzido é igual a 3,00 mT?

-s. r: ~. o rícx!o de o:i.:Jia, -O" (0) Qu a r:-e .::é::- de 0- i a-~-o? I -} Q 'anto empo depois da energia magnérica atingir um "alor::láUmo ela voltará a ter um valar máximo'

34,0 V

~~

I H'H ;j:5P. A freqüência de oscilação de um certo circuito LC é igual a 200lliz. :-\0 instante t = O, a placa A do capacitor possui carga positiva

áxima. Em que instantes t > O (a) a placa terá novamente carga posi-··va máxima, (b) a outra placa do capacitar terá carga positiva máxima

(c) o indutor terá campo magnético máximo?

14P. São fornecidos um indutor de 10 mH e dois capacitores, um-de5,0 fLF e outro de 2,0 fLF. Liste as freqüênciàs de oscilação que podemser geradas ligando-se estes elementos de várias maneiras.

6E. Um objeto de 0,50 kg oscila em MHS (movimento harmônico sim-ples) ligado a uma mola que, quando esticada de 2,0 mm da sua posi-ção de equilíbrio, exerce uma força restauradora de 8,0 N. (a) Qual afreqüência angular da oscilação? (b) Qual o período de oscilação? (c)Qiül1a capacitância de um circuito LC com o mesmo período se forescolhida uma indutância L de 5,0 H?

15P. Um capacitor variável com uma faixa de 10 a 365 pF é usado comuma bobina para formar um Circuito LC de freqüência variável para sin-tonizar o sinal de entrada para um rádio. (a) Que razão entre as freqüên-cias máxima e mínima pode ser obtida com um capacitar corno este?

7P. A energia em um circuito LC 0~ci1atório contendo um indutor de (b) Para que este circuito obtenha freqüências na faixa de 0,54 MHz até1,25 H é igual a 5,70 fLJ. A carga máxima no capacitar é de 175 fLC. 1,60 MHz, a razão calculada em (a) é grande demais. AcrescentandoDetermine (a) a massa, (b) a constante de mola, (c) o deslocamento um capacitor em paralelo com o capacitor variável, esta faixa de fre·r máximo e (d) a velocidade máxima para um sistema mecânico com o qüência pode ser ajustada. Qual deveria ser a capacitância deste novo

t mesmo período. . capacitar, e que indutância deveria ser usada para se obter a faixa def. freqüências desejada?

~ SEÇÃO33.4 Oscilações Le, Quantitativamente ~. Em um circuito LC oscilatório, 75% da energia total estão arma-~.;~ ~sciladores LC faram usados e~.circuito~ligados a alto-f~lan- zenado~ no campo m:gné:ico do indutor .em um determinado instante.:~ para cnaJ; alguns dos sons da muslca eletromca. Que mdutancla (a) Em .ermos ?da caroa maxlma no capacltor, ~ual a carga no capacltor~ tem que ser usada com um capacitor de 6,7 fLF para produzir urna nesse l~stante .. (b) Em termos d~ corren;e maXlma no mdutor, qual ar freqüência de 10 kHz, que é próxima do meio da faixa audível de \:COr:~k que passa por ele nesse mstante.~ freqüências? . '-~. Em um circuito LC osci1atório, L = 25,0 mH e C = 7,80 fLF. No" .' 9E E "t LC '1 t> . L-50 mH C - 4 O F '. inst~te t = O, a corrente é de 9,20 mA, a carga no capacitor é de 3,80 fLC .. m um Clrcm o OSCIa ono com - e - , fL ,a /' > d d () Q al . 1 . '?. >. . . >' Q > eo capacltor esta sen o carrega o. a. u a energia tota no crrcmto.

t corrente e lfUclalmente maXlma. uanto tempo se passara antes que o (b) Q 1 ' . . ? ( ) Q al ,. ? (d), . . 1 dI"? ua a carga maxlma no capacltor. c u a corrente maXlma.:J I capacitar esteja comp etamente carrega o pe a pnmelra vez. S . f d d Q ( +,J.,) 1 ' A-' e a carga no capacitar ar a a por q. = COSwt 'f' , qua sera o an-

, DE. em ircuito de malha simples é fOfl1)adopor indutores (L" Lz, ... ), guio de fase 4>?(e) Suponha os mesmos dados, só que agora considereapacirore (C

"Cl, ...) e resistOl;es (R" Rl, ...) ligados em série como que o capacitor esteja descarregando em t = O. Quanto. vale então 4>?

mostrado. por. exemplo, na Fig. 33.22a. Mostre que independentemen- 18P U . d > l' d t" d 't'..A . . . .. m m uror esta loa o aos ermlllalS e um capacI or cUJateda sequencla destes elementos de Clrcmto na malha, o comportamen- . A .~. " . _ .d .. o' dA' d" t LC' 1 t d F' capacltancla pode ser alterada girando-se um botao. Queremos fazer com

t~ este crrculto e I entlCO ao o crrcm o Slmp es mos ra o na 19. que a freqüência de oscilação deste circuito LC varie linearmente com~." 3J.22b. (DIca: ConSidere a regra das malhas e veja o Problema 43 no A 1 d t - " b t- . d d 2 X 105 t' 4 X 105 H .• C 31 ~ o angu o e ro açao uO o ao,1O o e a e z ao se grrar~ ap. .) o botão de 180°. Se L = 1,0 mH, faça um gráfico da capacitância C;. necessária em função do ângulo de rotação do botão ..

, . ~'~AA_Q U~I ~.EmumcircuitoLCoscilat6rio,L=3,00mHeC=2,70fLF.No[ r v v II v v - v v v-~ • instante t = Oa carga no capacitor é nula e a corrente é de 2,00 A. (a); LI C1 L2 RI C2 R2 L C . R Qual a éârgaÍnáxima que aparecer1ri'(réapacitor? (b) Em termos dor pe.íodo Tde oscilação, quan~ranscorrerá após t "" O até que se,. alcance a taxa máxim'Lde armazenamento de energia no capacitor? (c) o" (a) (b) Qual é esta taxa máxima com que se transfere energia para o capacitar?

f Fig. 33.22 Exercício 10. 20P. Um circuito em série contendo urna indutância Lje um.a~' capacitância C1 oscila a uma freqüência angu-Iar úJ. Um segund"o circui"-~••••••/~ . to em série, contendo uma indutância L2 e urna capacitância Ci, oscila~l'f.'Um circuito LC oscilatório formado por um capacitar de 1,0 nF na mesma freqüência angular. Em termos de w, qual a freqüência anguol e uma bobina de 3,0 mH tem uma tensão máxima de 3,0 V. (a) Qual a lar de oscilação de um circuito em série contendo todos estes quatro[ carga máxima no capacitor? (b) Qual a corrente máxima que perco~e elementos? Despreze as resistências. (Dica: Use ~rmulas para a;., o CirCUito?(c) Qual a energia máXima armazenada no campo magnetl-. capacitância equivalente e a indutância equivalentê; veja a Seção 26.4~.' co da bobina? e o Problema 43 no Capo 31.)

~ ~. Em um circuito LC oscilatório no qual C = 4,00 fLF, a diferenç~~. Em um circuito LC oscilatório com C = 64,0 fLF, a corrente em~ de potencial máxima entre os terminais do capacitar durante as oscila- ?u'n~o do tempo é dada por i = (1,60) sen(2500t + 0,680), onde testá

:J( ções é de 1,50 V e a corrente máxima que atravessa o indutor é igual a em segundos, iem amperes e a constante de fase emradianos. (a) Quanto50,0 mA. (a) Qual a indutância L? (b) Qual a freqüência das oscila- tempo depois de t = O a corrente atingirá o seu valor máximo? (b) Qualções? (c) Quanto tempo é necessário para que a carga no capacitar cres- a indutância L e (c) qual a energia total?ça de zero até o seu valor máximo? A . . A . . . . A'. .

22P. Tres mdutores ldentlcos L e dOIScapacItares ldenncos C são liga-dos em um circuito de duas malhas, como mostrado na Figo 3'3.24. (a)Suponha que as correntes sejam as mostradas na Fig. 33.24a, Qual acorrente no indutor do meio? Escreva as equações das rrüilhas e mostreque elas são satisfeitas se a corrente estiver oscilando com urna freqüên-

,. 13P. No circuito mostrado na Fig. 33.23, a chave é mantida na posi-ção a durante um tempo longo. Ela é então virada para a posição b. (a)Calcule a freqüência da corrente oscilatória resultante. (b) Qual a am-plitude das oscilações da corrente? .

cia angular w = lJjiC. (b) Suponha agora que as correntes sejam asmostradas na Fig. 33.24b. Qual a corrente no indutor do meio? Escrevaas equações das'malhas e mostre que elas são satisfeitas se a correnteestiver oscilando com uma freqüência angular w = lJ)3LC. Como ocircuito pode oscilar em duas freqüências diferentes, não podemos de-terminar um circuito LC de malha simples equivalente que o substitua.

t i(t)

"'llrTCL

i(b)

t i(t)

23P*. Na Fig. 33.25, o capacitor 1 com C1 = 900 p.F está inicialmentecarregado a 100 V e o capacitor 2 com C2 = 100 {LF está descarregado. Oindutor possui uma indutãncia de 10,0 H. Descreva em detalhes como sepode carregar o capacitor 2 a 300 V manipulando-se as chaves 51 e 52'

24E. Considere um circuito LC amortecido. (a) Mostre que o termo deamortecimento e-Rd2L (que envolve L mas não C) pode ser reescrito deuma forma mais simétrica (envolvendo L e C) como e-"õRe[CiLitIT• Nes-ta expressão, T é o período de oscilação (desprezando resistências). (b)

. ~'Usando (a), mostre que a unidade SI para oJ L/C é o ohm. (c) Usando(a), mostre que a condição para que a perda percehtual de energia porciclo seja pequena é R ~ .~ L/C. ' . @

~. Que resistência R deveria estar ligada em série com uma indutãnciaL = 220 mH e uma capacitância 'C = 12;0 p.F para que a carga máximano capacitor decaia~9,0% do seu valor inicial em 50,0 ciclos? (Su-ponha que w' = w.) h}:~r;~ t

~. Um circuito de m~;ha ~imples é formado por um resistor de 7,20D, um indutor de 12,0 H e um capacitor de 3,20 p.F. Inicialmente ocapacitor tem uma carga de 6,20 p.C e a corrente é lll;l1a.Calcule a carga

~apacitor após N ciclos completos para N = 5, 10 e 100.

/.~. Em um circuito RLC em série osci:latório, determine o tempo neces-sário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscila-ção caia para a metade do seu valor inieial. Suponha q = Q em t = O.----,28P ..No instante t = O não há nenhuma carga no capacitor de umcircuito RLC em série, mas há uma corrente I através do indutor. (a)Determine a constante de fase q; na Eq. 33.25 para o circuito. (b) Es-

creva uma expressão para a carga q no capacitar em fun,ão cio :,,=-po t e em termos da amplitude da corrente e da freq"ênc'3 u.g~~.::w' das oscilações.

29P*. Em um circuito RLC em série oscilatório, mostre que a fra).oda energia perdida por ciclo de oscilação, b,UlU, é dada com uma boaaproximação por 27iR/wL. A grandeza wL/R é freqüentememe cha-mada de Q do circuito (de qualidade). Um circuito com um alto ºpossui baixa resistência e uma pequena fração de perda de energia(=27i/Q) por ciclo.

SEÇÃO 33.8 Três Circuitos Simples

30E. Um capacitor de 1,50 p.F está ligado como mostrado na Fig.33.9a a um gerador de CA com ~m = 30,0 V. Qual a amplitude dacorrente alternada resultante se a freqüência da fem for (a) 1,00 kHze (b) 8,00 kHz?

31 E. Um indutor de 50,0 mH está ligado como na Fig. 33.lOa a umgerador de CA com ~m = 30;0 V. Qual a amplitude da corrente alterna-da resultante se a freqüência da fem for (~) 1,00 kHz e (b) 8,00 kHz?

32E. Um resistor de 50 ü está ligado como na Fig. 33.8a a um geradorde CA com ~m = 30,0 V. Qual a amplitude da corrente alternada resul-tante se a freqüência da fem for (a) 1,00 k:Hz e (b) 8,00 kHz?

33E. (a) A que freqüência um indutor de 6,0 mH e um capacitar de 10p.F teriam a mesma reatância? (b) Qual seria a reatância? (c) Mostreque esta freqüência seria a freqüência natural de mil circuito oscilatóriocom os mesmos L e C.

34P. Um gerador de CA tem uma fem~ = ~m sen wi, com ~m = 25,0Ve wd = 377 rad/s. Ele está ligado a um illçlutor de 12,7 H. (a) Qual ovalor máximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corren-te é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem do gerador é de -12,5V e está aumentando em módulo? .

35P. Um gerador de CA tem uma fem ~ = ~m sen(wi - 7i/4), onde~m = 30,0 V e Wd = 350 rad/s. A corrente produzida em um circuitoligado a este gerador é i(t) = I sen(wi - 37i/4), onde 1= 620 mA. (a)Em que instante t após t = O a fem do gerador alcança pela primeiravez um máximo? (b) Em que instante t após t = O a corrente alcançapél,! primeira vez um máximo? (c) O circuito contém um único elementoalém do gerador. Este elemento é um capacitor, um indutor ou uma re- .sistência? Justifique a sua resposta. (d) Qual o valor da capacitância, daindutância ou da resistência, conforme for o caso?

36P. O gerador de CA do Problema 34 está ligado a um capacitar de4,15 p.F. (a) Qual o valor máximo da corrente? (b) Qual a fem dogera-dor quando a corrente é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem dogerador é igual a -12,5 V e está_~\lglet!!an~ em módulo? .

37E. (a) Determine Z, q; e Ipara a situação do Problema Resolvido 33.7com o capacitor removido do circuito e todos os demaisparâmetrospermanecendo inalterados. (b) Desenhe em escala um diagrama fasoriaÍcomo o da Fig. 33.11d para esta nova situação.,

38E. (a) Deterrrline Z, cf; e I para a situação do Problema Resolvido 33~com o indutor removido do circuito e todos os demais parâmetros per:manecendo inalterados. (b) Desenhe em escala um diagrama fasorialcomo o da Fig. 33.11d para esta nova situação.

39E. (a) Determine Z, q; e Ipara a situação do Problema Resolvido 33.7,t com C = 70,0 p.F, com os demais parâmetros permanecendo inaltera-

dos. (b) Desenhe um diagrama fasorial como o da Fig. 33.11d para esta/nová situação e compare os dois diagramas atentamente.

40P. Na Fig. 33.26,. um gerador com freqüência de oscilação ajustá-vel está ligado a uma resistência variável R, a um capacitor com C =5,50 p.F e a um indutor com indutância L. A amplitude da corrente,.produzida no circuito pelo gerador está na metade do seu nível máxF .mo quando a freqüência do gerador é igual a 1,30 ou a 1,50 kHz. (ar'

os períodos aparentes de revolução de uma das luas de JÚpiter. Operíodo verdadeiro de revolução é de 42,5 horas. (a) Levando-seem conta a velocidade finita da luz, que alteração se' pode esperarno valor aparente deste período, quando a Terra se deslocar em suaórbita do ponto x para o ponto y, vistos na Fig. 38-18? (b) Queobservações seriám necessárias para permitircnos calcular a velo-cidade escalar da luz') Desprezar o movimento de Júpiter em suaórbita. A Fig.· 38-18 não está desenhada em escala.

8E.,Qual é o comprimento de onda da onda eletromagnéticaemi-'tina pelo sistema oscilador-antena da Fig. 38-3 se L= 0,253 j.LHe

C = 25,0 pF?

~

' '. .'\ . Qual o valor da indutância que ligada a um,capacitor de 17pF.

'constitui um oscilador capaz de gerar ondas eletromagnéticas de550 nm (ou seja, dentro da faixa visível)? Comente sua resposta.

~' A Fig. 38-19 mostra um osciladorLC ligado por uma linha de1r{fnsmissão a uma antena do tipo dipolo magnético. Compare coma Fig. 38-3 que mostra um dispositivo semelhailte mas com umaantena do tipo dipoIo elétrico. (a) Qual é a base para os nomesdesses dois tipos de anténa? (b) Desenhe figuras correspondentesàs Figs. 38-4 e 38-5 para descrever a onda eletromagnética quepassa pelo observador no ponto P da Fig. 38-19.

Ondaprogres~'a\

~\' \

[k)~)).Pd~~~~~~o 7j; ) Imagnético . F 7/ /

/

Seção 38-4 A Onda Eletromagnética Progressiva - EstudoQuantitativo .

i~..Numa onda eletromagnética pla~a, a amplitude do campoléT~co vale 3,20 X 10-4 V/m. Deterrmnar a ampl1tude do campomagnético.

12E. Os compôrientes do campo elétrico associado comuma certaonda eletromagnética pianasão dados por: E, = 0, Ey = O e E, =2,0 COS [TI X 1015 (t ~xJc)], onde c = 3,0 X 108 m/s e todas asgrandezas estão em unidades SI. A onda está se propagando nosentido positivo do eixo x. Escrever as expressões dos componen-tes do campo magnético da onqa.

",

,>oq..J.. Partindo das Eqs. 38-15 e 38-21, mostre que E (x, t) riB (x, t),'~omponentes elétrico e magnético de uma onda eletro!Dagnéti-ca plana progressiva, devem satisfazer as "equações de onda".

a2B a2B-- = c2_-at2 àx2

14P.~a1Mostre que as Eqs. 38-1 e 38~2 satisfazem as equações deonda apresentadas no Problema 13. (b) Mostre que quaIsquer ex-pressões da forma '

onde/(Io: ± wt) denota uma função arbitrária, também satisfazemàquelas equações de onda.

Seção 38-5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting

'j- ., :'Mostre,determinando a direção e o sentido do vet,o; d~Poyu-

Ihg S, que as direções e os sentidos dos campos elétrico e·magné-tico em todos pontos das Figs. 38-4 até 38~8 são consistentes, emqualquer tempo, com a direção e o sentido de propagação assumi-dos em cada figura.

16E. Um Iaser de neqdímio-vidro operando normalmente podeproduzir 100 TW de potência em pulsos de 1,0 ns para um compri-mento de onda de 0,26 fLm.Que quantidade' de energia está conti-da num único pulso? '

~:. O nosso vizinho :estelar mais próximo, a:-Centauro, encontra- .se ~Ílma distância de 4,3 anos-h,Iz. Foi sugerido que programas deTV do nosso planeta alcançaram' esta estrela, podendo ter sido vistos

~ pelos lüpotéticos habitantes d~ um hipotético planeta em órbita des-, sa estrela. Supor que uma esração de TV na Terra tenha uma potên-

cia de 1,0 MW. Qual é a intensidade de seu sinal em a-Centauro?

18E. Uma onda eletromagnética está se propagando nO sentidonegativo do eixo y. Numa certa posição e num determinado instan-te, o campo elétrico está orientado no sentido positivo do eixo z'etem um módulo de 100 V/mo Quais são.o módulo, a direção e osentido do campo magnético naquela posição e naquele instante?

.~. O raio médio da Terra é de 6,37 X 106m e a distllRcia médiaTerr~-Sol é de 1,50 X 108 lem. Que fração da radiação emitida peloSol é interceptada pelo disco da Terra?

20E. A radiaçã.o emitida por um laser não é exatamente um feixeparalelo; sem dúvida, o feixe se espalha sob a forma de umconecoril seção transversal circull\I. O ângulo (J do cone (veja a Fig. 38-20) é cham.ado de ângulo completo da div.ergência do feixe. Umlaser a argônio, irradiando em 514,5 nm,é apontado para a Luadurante Uma experiência de alcance. Se o ângti}~completo da di-vergência do feixe é de 0,880 j.Lrad,que área da superfíCie da Luaé iluminada pelo laser?

• ~. A intensidade da radiação solar direta não absorvida pela at-~fera num dia especial de verão é de 100 W/m2. A que distânciavocê teria que ficar de um aquecedor elétrico de 1,0 kW para sentira mesma intensidade? Suponha que o aquecedor irradie uniforme-mente em todas as direções. '

~. Most~e que, numa onda eletromagnética plana progressiva a'intensidade média, isto é; a taxa média de energia transportada porunidade de área, é dada por

- 'E;" cB;,S =-_.=-.

2f.LOc 2JLo ,

~ ~' Qual é a intensidade média de uma onda eletromagnéticaplana progressiva, se Bm, o valor máximo do seu componente mag-

''«',-

nético, vale 1,0 X 10-"T (= 1,0 gauss)? (Sugesrão: veja o Exercí-cio 22.)

24E. Numa onda plana de rádio o valor máximo do componentecampo elétrico é de 5,00 Vim. Calcular (a) o valor máximo docomponente do ca,mpo magnético e (b) a intensidade média daonda. (Sugestão: veja o Exercício 22.)

~ Você c~inha 150 m em direção a uma lâmpada de rua e nota~ a intensidade passa a ser meia vez maior do que a intensidade

na sua posição iniciaL A que distância da lâmpada você se encon-trava inicialmente? (Suponha que a lâmpada irradie uniformementeem todas as direções.)

26P. Demonstrar que, em qualquer ponto de uJÚa onda eletromag-nética tal como aquela da Fig. 38-6, os valores médios no tempoda densidade de energia armazenada no campo elétrico e da densi-dade de energia armazenada no campo magnético são iguais.

27P. A luz solar atinge a alta atmosfera terrestre com uma intensi- 'dade de 1,40 kW/m2 Determinar Em eEm para a luz solar, supondoque ela seja uma onda plana.

28P. O valor máximo do campo elétrico a uma distância de 10 mde uma fonte luminosa puntiforme é 2,0 Vim. Quais são (a) o valormáximo do campo magnético e (b) a intensidade média da luz'naquele ponto? (c) Qual é a potência da fonte?

~. Um cubo tem suas arestas (comprimento a) paralelas aos ei-icos x, y e z de um sistemade coordenadas retangulares. Um campoelétrico uniforme E é paralelo ao eixo y e um campo magnéticouniformé'-B é paralelo ao eixo x. Calcular (a) a taxa na qual, deacordo com o conceito do vetar de Poynting, a energia poderiaatravessar cada face do cubo e (b) a taxa líquida na qual a energiaarmazenada no cubo poderia variar.

cia do feixe igual a 0,l7 rnrad (veja o Exercício 20). (a) Qual é aintensidade do feixe a 40 m do laser? (b) Qual é a potência de umafonte puntiforme que fornece a mesma intensidade para a mesmadistância?

32P. Um avião VOando a uma distância de 10 km de umradiotransmissor recebe um sinal de intensidade igual a 10 fJ-WIm2• Calcule (a) a amplitude do campo elétrico no avião devido aeste sinal; (b) a amplitude do campo magnético no 'avião e (c) apotência total do transmissor, supondo que ele irradie Uniforme-mente em todas as direções.

I~ Durante um teste, um sistema de vigilância com radar daI OTAN, operando a 12 GHz com potência de 180 kW, tenta detec-

tar, a·uma distância de 90 lan, um avião "inimigo" que se aproxi-ma. Suponha que o feixe de radar é emitido uniformemente atra-vés de m hemisfério. (.a)Qual é a intensidade do feixe no local doavião? O avião reflete as ondas de radar como se a área de sua-çao trans·versal fosse somente de 0,22 m2. (b) Qual é a potência

do feixe refletido pelo avião? Suponha que o feixe é refletido uni-formemente através de um hemisfério. Retomando ao local do ra-dar, quais são (c) a intensidade, (d) o valor máximo do campo elé-trico~ e (e) o valor eficaz do campo magnético, do feixe refletidopelo radar?

Seção 38-6 Pressão de Radiação ,

~. Um feixe de luz de intensidade igual a 10 ~m2~ncideortogonalmente sobre um cartão negro de área A = 2,0 cm2, queabsorve toda a radiação. Que pressão é exerci da sobre o cartãopela radiação?

. ~. Lasers de alta potência são usados para comprimir plasmas/ gasosos por pressão de radiação. A refletividade do plasma é igual, à unidade se a densidade de elétroosf;;;'T,astante alta. Um laser

gerando pulsos de radiação com um pico de potência igual a 1,5 X103 MW é focalizado sobre 1,0 mm2 de um plasma com densidadeelevada. Determine a pressão exercida sobre o plasma.-----

30P. Frank D. Drake, um pesquisador ativo no programa SETI(SearclLf2r Extra-Terrestrial Intelligence), afirma que o granderadiotelescópio em Arecibo, Porto Rico, "pode detectar um sinalestabelecido por toda a superfície da Terra com uma potência de

36E. A intensidade média da radiação solar que incide orto-somente um picowatt". Veja a Fig. 38-21. (a) Que potência é real-mente recebida pela antena Arecibo para tal sinal? O diâmetro da gonalmente sobre uma superfície que se encontra 10go acima daantena é de 304,8 m. (b) Qual seria a potência de uma fonte locali- atmosfera superi?r ~a Terra é de 1,4 k~/m2. (a) Que pressão ézada no centro de nossa galáxia capaz de fornecer tal sinal? O centro exerClda pel~ radlaçao sobre esta su~erficie, supos~ um abso.r:e-da galáxia se encontra a uma distância de 2,2 X 1()4 anos-luz. Supo- dor ~erfelto. (b) Compare ess~pre~sao c~m a pressao atmosfencaüha que a fonte irradie uniformemente'em todas as direções. ao mvel do mar, que e de 1,0 10 N/m . ,

31P. Um laser de hélio-~eon, irradiando em 632,8 nm, possui um~'" :~) A~nten~idade da radi~ção solar que atinge a a~mosfera supe-potência de saída de 3,0 mW e um ânaulo completo de diveraên- nor da lerra e de 1,4 kW/m . (~) Supondo que a Terra se comporte

, b b como um diSCOchato perpendicular aos ralOS solares e que toda aenergia incidente seja absorvida, calcule a força sobre a Terra de- ,vida à pressão de radiação. (b) Compare essa força com a forçadevida à atração gravitacional do SoL

38E. Qual é a pressão de radiação a 1,5 m de distância de umalâmpada elétrica de 500 W? Suponha que a superfície sobre a quala pressão é exercida'esteja voltada para a lâmpada e que seja umabsorvedor perfeito; suponha também que a lâmpada irradie uni-formemente em todas as direções.

\ ~uma onda eletromagnética plana, com comprimento de onda, .. J\ ae 3,0 m, se propaga nQ Y<lgIQ no sentido positivo do eixo.:>com seu Iti!- '\ vetor elétrico E, de,amplitude igual a 300 Vim,paralelo ao eixo y. (a) . ~

/ Qual é a freqüência f da onda? (b) Quais são a direção e a amplitude\ do campo magnético associadó coma onda? (c) Se E = Em sen (la-\ wt), quaissão os valores deke w? (d) Qual é o.valor médio no tempoi do fluxo de energia em W/m2 associado com esta onda? (e) Se aI onda incidir sobre uma placa perfeitaIylente absorvedora, de área igual '

j a 2,0 m2, com que taxa será transferido momento linear à placa eI qual será a pressão de radiação exe~cida sobre aplacà?I

40P. Um laser de hélio-néon, do tipo freqüentemente encontrado~ nos laboratórios de física, tem uma potência de 5,00 mW para um

comprimento de onda de 633 nm. Seu feixe é focalizado por umalente num ponto minúsculo cujo diâmetro efetivo pode ser consi-derado igual a 2,00 comprimentos de onda. Calcule (a) a intensi-dade do feixe focalizado, (b).a pressão de radiação exerci da sobreuma esfera minúscula perfeitamente absorvente cujo diâmetro éigual ao do pOhto focal, (c) a força exerci da sobre esta esfera e (d)a aceleração comunicada a ela. Suponha que a massa específica daesfera seja de 5,00 X 103 kg/m3

.~ Na Fig. 38-22, um feixe de laser com potência igual a 4,60 W)~metro de 2,60 mm está apontado para uma face circular (de

/ diâmetro d < 2,60 mm) de um cilindro..]2erfeitamente refletor, quese encontra "suspenso no ar" por ação da pressão de raCliaçao exer-cida pelo feixe. A massa específica do cilindro.é~ 1,20 gLf;!!l3.Qual é a altura H do cilindro? --- .

--S:;:>)

42P. Uma radiação de intensidade I incide ortogonalmente sobreum objeto que absorve uma fração f da radiação e reflete o restan-te. Qual é a pressão de radiação sobre o objeto?

43P. Prove que, no caso de uma onda plana incidindo ortogo-nalmentesobre uma superfície plana, a pressão de radiação sobre a superfícieé igual à densidade de energia do feixe fora da superfície. Esta rela-ção é válida qualquer que seja a fração refletida da energia incidente.

44P. Prove que a pressão média exerci da por uma saraivada deprojéteis, em incidência ortoganal, sobre uma superfície plana, éigual ao dobro da densidade de energia cinética dos projéteis forada superfície. Suponha que os projéteis sejam completamente ab-sorvidos pela superfície. Compare tal comportamento com o daluz no Problema 43.

/ .--'::t;, ~ Uma pequena astronave cuja massa, incluindo os tripulantes,

é de 1,5 X 103 kg, desloca-se no espaço'cósmico onde não existenenhum campo gravitacional. Se o astronauta acender um feixe delaser de 10kW, que velocidade poderá atingir, após um dia, devi-do à quantidade de movimento transportada pelo feixe?

46P. Tem sido proposto que uma astronave pode mover-se no sis-tema solar por pressão de radiação, empregando-se uma grandevela feita de uma chapa metálica. Que tamanho deve ter esta velase o módulo da força de radiação deve ser igual ao da força deatração gravitacional do Sol? Suponha que a massa total (astrona-ve + vela) seja 1.500 kg, que a vela seja perfeitamente refletora eque esteja orientada ortogonalmente aos raios solares. Consulte oApêndice C para obter os dados necessários. (Com uma vela mai-or a nave se afastaria continuamente do So1.)

47P. Uma partícula no sistema solar está sob a influência combi-nada da atração gravitacional de radiação devida aos raios solares.Suponha que a partícula seja uma esfera de massa específica 1,0 X103 kg/m3 e que toda luz incidente seja absorvida. (a) Mostrar que,se o raio da pm1ícula for menor que um -certo raio crítico r, a partí-cula será soprada para fora do sistema solar. (b) Calcule r.

48E. As equações do campo magnético de uma onda eletromagné-tica no vácuo são Bx = B sen (ky + wt), By = B, = O. (a) Quais sãoa direção e o sentido de propagação? (b) Escreva as equações docampo elétrico da onda. (c) Esta onda é polarizada? Se for, em quedireção?

49E. Um feixe de luz não-polarizada de intensidade 10 mW/m2

incide perpendicularmente sobre uma placa polarizadora. (a) De-termine o valor máximo do campo elétrico do feixe transmitido.(b) Qual é a pressão de radiação exercida sobre a placa polarizadora?

SOE. Um feixe de luz não-polarizada incide sobre duas placas po-larizadoras superpostas. Qual deverá ser o ângulo entre as dire-ções de polarização das placas a fim de que a intensidade do feixetransmitido seja um terço da intensidade do feixe incidente?

51E. Três placas polarizadoras estão superpostas. A primeira e aterceira estão cruzadas; a direção de polarização da placa do meiofaz 4SOcom as direções de polarização das outras duas. Que fra-ção da intensidade de um feixe inicialmente não-polarizado é trans-mitida por este sistema de placas?

52E. Na Fig. 38-23, um feixe de luz não-polarizada incide sobretrês placas polarizadoras cujas direções de polarização fazem ân-gulos de 8, = 82 = 83 = 500 com a direção do eixo y. Que percen-tagem da intensidade inicial é transmitida pelo sistema?

53P. Na Fig. 38-23, um feixe de luz não-polarizada incide sobre trêsplacas pola.;zadoras cujas direções de polarização fazem ângulos de8, = 400

, 82 = 500 e 83 = 400 com a direção do eixo y. Que percen-tagem da intensidade inicial é transmitida pelo sistema?

54P. Um feixe de luz não-polarizada incide sobre uma pilha dequatro placas polarizadoras, orientadas de modo que o ângulo en-tre as direções de polarização de placas adjacentes é de 300

• Quefração da intensidade incidente é transmitida pelo sistema?

55P. Um feixe de luz polarizada incide sobre duas placas polariza-doras. A direção de polarização da primeira placa faz um ângulo. 8com a direção de vibração da luz enquanto a direção de polariza-ção de segunda placa é perpendicular a esta mesma direção de