7/31/2019 ExerciciosSylow_2012

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Exerccios - Teoremas de Sylow - Algebra Avancada - 2012

1. Suponha |G| = pm, onde > 0, m > 1, p e um primo e mdc(p, m) = 1. Se G e simples,entao |G| divide np!.

2. Suponha |G| = pm, onde > 0, p e um primo e mdc(p, m) = 1. Se [P : P S] p,para todo P, S Sylp(G) com P = S, entao np 1 (mod p

).

3. Seja G um grupo finito cuja ordem e divisvel por um primo p. Considerando P Sylp(G) e NG, mostre que:(a) P N Sylp(N); (b) PN/N Sylp(G/N).

4. Seja G um grupo finito. Se H G e P Sylp(H) entao mostre que G = HNG(P).

5. Sejam p e q primos tais que p > q. Mostre que(a) Se G e um grupo de ordem pq e p 1 (mod p) entao G Zpq.(b) Se G um grupo de ordem p2q2 e |G| = 36 entao G possui um p-subgrupo de Sylow

normal.

6. Sejam p e q primos. Mostre que se G e um grupo de ordem p2q entao G nao e simples.

7. Seja p um primo, p > 3, tal que p 1 nao e um multiplo de 3. Considere G um grupotal que |G| = 9p. Prove que G e abeliano.

8. Mostre que em cada caso G nao e um grupo simples.(a) |G| = 36. (b) |G| = 300. (c) |G| = 90.(d) |G| = 1.000.000 = 2656. (e) |G| = 8.000 = 2653.(f) |G| = 2.376 = 233311. (g) |G| = pqr, onde p, q e r sao primos.

9. Mostre que todo grupo de ordem 1990 tem um subgrupo normal abeliano de ordem995.

10. Se |G| = 364 entao mostre que G possui um subgrupo normal de ordem 13.

11. Seja G um grupo tal que |G| = 231. Mostre que G contem um unico 11-subgrupo deSylow e que este subgrupo esta contido no centro de G.

12. Seja G um grupo de ordem 2n3, n 2. Mostre que G contem um subgrupo normal

de ordem 2n ou 2n1.

13. Considere G o subgrupo de GL2(C) gerado pelas matrizes

0 ii 0

e

00 2

,

onde = e2i

3 . Determine todos os p-subgrupos de Sylow de G.

14. Determine o numero de 2-subgrupos de Sylow em A5 .

15. Mostre que S4 e um grupo de ordem p3q com p = 2 e q = 3 que nao tem um 2-subgrupo

de Sylow normal nem um 3-subgrupo de Sylow normal.