EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO ENSINO MÉDIO: A MODELAGEM MATEMÁ-

TICA NA COMPREENSÃO DE QUESTÕES RELACIONADAS AO USO DA ÁGUA

Ana Rosa Gregorio1

Susimeire Vivien Rosotti de Andrade2

RESUMO: Este trabalho propõe o uso da Modelagem Matemática (MM) para o estu-

do de fenômenos ambientais relacionados a cidade de Guaraniaçu, no Estado do

Paraná, local de residência dos alunos envolvidos no estudo, como forma de justifi-

car, motivar e promover a aprendizagem significativa de conceitos e raciocínios ma-

temáticos, princípio este, presente no processo de MM. O estudo consiste na adap-

tação de modelos matemáticos já existentes e a matemática é usada na compreen-

são de situações efetivas da vida dos alunos com o intuito de compreender os fenô-

menos, analisa-los e interpreta-los, gerando discussões reflexivas sobre alguns fe-

nômenos que cercam o cotidiano desses alunos. Foram considerados os conheci-

mentos prévios dos alunos e os conteúdos já estudados por eles, partindo sempre

dos conceitos mais gerais para os mais específicos. Alguns dos aspectos observa-

dos no desenvolvimento do trabalho relacionam-se com a mudança na atitude do

professor e dos alunos em ultrapassar a barreira transmissor/receptor de conteúdos,

o ambiente que se forma, o interesse dos envolvidos e as interações dos sujeitos

com o tema de estudo, durante o processo.

Palavras-chaves: Estudo de fenômenos ambientais; Modelagem Matemática; A-

prendizagem Significativa.

ABSTRACT: This paper proposes the use of Mathematical Modeling (MM) for the

study of environmental phenomena related to the city of Guaraniaçu, in the State of

Paraná, place of residence of students involved in the study, as a way to justify, mo-

tivate and encourage learning significant of mathematical concepts and arguments,

1 Professora do Colégio Estadual Desembargador Antonio Franco Ferreira da Costa – Ensino Fun-damental, Médio e Normal, Guaraniaçu/PR. anargreg@hotmail.com 2 Professora da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Centro de Engenharias e Ciências Exa-tas, Foz do Iguaçu/PR. susivivien@hotmail.com

2

this principle in the process of MM. The study is the adaptation of existing mathe-

matical models and mathematics is used in understanding effective life situations of

pupils to understand phenomena, analyzes them and interprets them, generating re-

flexive discussions on some phenomena that surround the daily life of these stu-

dents. It was considered prior knowledge of students and content already studied by

them, starting always more general concepts for more specific. Some of the aspects

observed in the development of work is related to the change of attitude of the

teacher and students to overcome the barrier transmitter/receiver of content, the at-

mosphere that way, the interests of those involved and the people´s interactions with

the theme of the study, during the process.

Key words: Study of environmental phenomena; Mathematical Modeling; Learning

significant.

1 Introdução

Partindo do princípio de que o conhecimento é produzido para atender as ne-

cessidades do indivíduo e para buscar responder as dúvidas com as quais ele se

depara, podemos considerar que o ciclo de aquisição de conhecimentos inicia a par-

tir de alguma realidade, repleta de fatos e fenômenos e cabe ao indivíduo processar

as informações colhidas nesse meio, delimitar e planejar as condições e as estraté-

gias para a ação e reação a fim de promover alterações nessa realidade, conforme

nos diz D’Ambrósio (1986), buscando estabelecer um ciclo ...realidade � reflexão �

ação � realidade... em que reside o ponto mais importante da questão que é a

tentativa de desvendar o comportamento individual, social e cultural. Essas ações

serão ainda, determinadas pelo grau de interesse do indivíduo no conhecer a

realidade e pela forma com que processará as informações por ele colhidas.

Essas informações variam quanto ao grau de complexidade, mas frente aos

objetivos do indivíduo, cabe selecionar algumas e a partir daí, promover as ações

que levaram a compreesão dessa realidade através da reflexão.

Um dos recursos que o indivíduo pode recorrer para efetivar suas ações é a

criação de modelos, sobre os quais se pode aplicar as informações colhidas e o

conhecimento acumulado na análise da realidade, estabelecendo então, a situação-

3

problema, considerada o inicio de todo processo de descrição de uma situação real,

passando da linguagem comum para um problema formulado em linguagem

convencionada. Quando problematizamos uma situação, abrimos as possibilidades

de aprendizagem, uma vez que os conteúdos não são tidos como fins em si mes-

mos, mas como meios essenciais na busca de respostas.

Na tentativa de resgatar a questão da significação como elemento fundamen-

tal no ensino da matemática e o restabelecimento da relação entre a expressão ma-

temática e o objeto (ou fenômeno) do mundo que seria por ela expresso, como al-

ternativa, este estudo propõe a construção da aprendizagem por meio da

Modelagem Matemática, que consiste num processo de envolver a realidade com a

Matemática, mediante a definição de estratégias de ação que objetivam proporcionar

ao estudante uma análise global da realidade em que ele age. Segundo esta

concepção, a Matemática nasce a partir da realidade e a ela retoma.

O estudo proposto é baseado em pesquisas bibliográficas sobre a distribuição

de água e a coleta de esgoto doméstico na cidade de Guaraniaçu; no conhecimento

empírico dos estudantes sobre o assunto; na capacidade de abstração, observação

e descrição das situações vividas e que possam ser matematizadas; e, no uso de

modelos matemáticos, de caráter educativo, já empregados em outras situações

semelhantes.

Tem por objetivos privilegiar a compreensão e o estudo de uma situação ou

fenômeno da realidade; envolver, motivar e estimular os estudantes a serem agen-

tes ativos do próprio aprendizado; e, incentivar os estudantes a se envolverem em

atividades de investigação, onde possam discutir ideias e escrever o que desco-

brem, visando com isto, uma análise mais crítica da realidade e do papel de cada

um na sociedade, compreendendo a condição de agente transformador dessa reali-

dade.

Visa também, a melhoria na aprendizagem e compreensão de conceitos; de

técnicas; da linguagem matemática; e da comunicação de ideias matemáticas, com

relevância na condição da matemática ser capaz de expressar (e apresentar previ-

sões ou soluções para) situações reais ou realizáveis e na reflexão sobre a matemá-

tica ser ensinada de forma a proporcionar a construção do conhecimento matemáti-

co, estimulando ao raciocínio e ao pensar de forma autônoma.

O estudo aborda e privilegia teorias matemáticas de aplicabilidade imediata e

compatível com o nível de desenvolvimento intelectual dos estudantes e a verifica-

4

ção das asserções foi por meio da discussão sobre a adequação, coerência e a-

brangência dos modelos usados em descrever, simular e prever os fenômenos em

comparação com os dados bibliográficos disponíveis.

2 A aprendizagem significativa e a Modelagem Matemática

O ensino da Matemática, talvez muito mais que outras disciplinas, ainda está

atrelado a um modelo tradicional de abordagem, preocupado mais em apresentar a

matéria e na quantidade de informação transmitida do que propriamente na qualida-

de com que essas informações são processadas. Muitos professores se comportam

como transmissores de informação e de respostas. Não assumem uma postura de

perceptor e não entendem que o ato de ensinar é fruto de nossas percepções.

Cabe a nós professores, além de tirar o estudante da condição de recebedor

para a de perceptor da realidade que os cerca, tentar gerar dúvidas, questionamen-

tos e criar necessidades, instigando-o a perceber e observar a vida no ambiente,

sobre outros ângulos, a avaliar e discutir valores, a planejar e organizar objetivos e a

tomar decisões sempre baseadas no bem comum, o que favorece o pensamento

crítico, desenvolve a autonomia e envolve o aluno com as questões relativas ao seu

meio.

Segundo Smole (2009), falar em aprendizagem significativa é assumir que a-

prender possui um caráter dinâmico que exige ações de ensino direcionadas para

que os alunos aprofundem e ampliem os significados elaborados mediante suas par-

ticipações nas atividades de ensino e aprendizagem e que nessa concepção o ensi-

no é um conjunto de atividades sistemáticas, cuidadosamente planejadas, em torno

das quais, conteúdo e forma, articulam-se inevitavelmente e nas quais o professor e

o aluno compartilham parcelas cada vez maiores de significados com relação aos

conteúdos do currículo escolar, ou seja, o professor guia suas ações para que o alu-

no participe de tarefas e atividades que o façam se aproximar cada vez mais dos

conteúdos que a escola tem para lhe ensinar.

Na aprendizagem significativa os significados vão sendo captados e internali-

zados progressivamente, num processo onde a linguagem usada, a interação entre

professor e aluno e a pré-disposição do aluno em aprender são fundamentais e o

5

conteúdo escolar a ser aprendido tem que ser lógica e psicologicamente significati-

vo.

Ausubel (1982) propõe distinguir duas dimensões diferentes que originarão, a

partir dos diversos valores que possam tomar em cada caso, a classes diferentes de

aprendizagem: a significativa e a memorística. A primeira é a dimensão relativa a

maneira de organizar o processo de aprendizagem e a estrutura em torno da apren-

dizagem por descoberta/aprendizagem receptiva e refere-se a maneira como o alu-

no recebe os conteúdos que deve aprender: quanto mais se aproxima do pólo de

aprendizagem por descoberta, mais esses conteúdos são recebidos de modo não

completamente acabado e o aluno deve defini-los ou “descobri-los” antes de assimi-

lá-los; inversamente, quanto mais se aproxima do pólo da aprendizagem receptiva,

mais os conteúdos a serem aprendidos são dados ao aluno em forma final, já aca-

bada. Ao contrário, a segunda dimensão remete ao tipo de processo que intervém

na aprendizagem e origina um continuum delimitado pela aprendizagem significativa,

por um lado, e pela aprendizagem mecânica ou repetitiva, por outro. Nesse caso, a

distinção estabelece, ou não, por parte do aluno, relações substanciais entre os con-

ceitos que estão presentes na sua estrutura cognitiva e o novo conteúdo que é pre-

ciso aprender. Quanto mais se relaciona o novo conteúdo de maneira substancial e

não-arbitrária com algum aspecto da estrutura cognitiva prévia que lhe for relevante,

mais próximo se está da aprendizagem significativa. Quanto menos se estabelece

esse tipo de relação, mais próxima se está da aprendizagem mecânica ou repetitiva.

Na tentativa de resgatar o significado da aprendizagem matemática e restabe-

lecer a relação entre conceitos e procedimentos matemáticos e o mundo das coisas

e dos fenômenos, a Modelagem Matemática, como estratégia de ensino-

aprendizagem, ganha espaço entre os educadores matemáticos. Compreendendo a

matemática como um "modelo da realidade; isto é um esquema ou modo simplifica-

do de ver a realidade, separando alguns de seus aspectos" (David, 1995, p.63), o

saber matemático e o fazer matemático, estarão sempre associados com "o proces-

so de construção de um modelo abstrato descritivo de algum sistema concreto".

(Gazzetta, 1989, p.26).

Segundo Fidelis e Almeida (2004), uma modelagem matemática eficiente

permite analisar e explicar um problema e tomar decisões sobre o mesmo. Coletar

informações, formular hipóteses e testá-las, obter modelos e validá-los (ou não) para

determinada situação, além de tornar a matemática escolar mais interessante, opor-

6

tuniza ao aluno o processo de reflexão-na-ação. Esta reflexão faz com que o aluno

compreenda a sua ação, reorganize ou aprofunde o seu conhecimento acerca do

problema em estudo e, interagindo os conhecimentos construídos, desenvolve sua

competência profissional futura.

Para conduzir um processo de Modelagem Matemática é fundamental um

professor disposto a buscar mudanças, com atitude de perceptor, e consciente de

que a qualidade do aprendizado do aluno depende muito das percepções dele acer-

ca da realidade estudada e que os grupos de alunos não pensam e nem agem de

forma homogênea. Aulas criativas ajudam a estimular o pensar critico e reflexivo e

envolvem o aluno com própria aprendizagem. O resultado é um comprometimento

maior no processo de construção do saber tanto do professor quanto do aluno.

Nessa concepção, além do professor ser um mediador entre o saber comum

e o saber matemático, precisa ter bom conhecimento de modelagem matemática,

pois estará passível de situações inusitadas e imprevistas, cabendo a ele visualizar

caminhos que possam levar a solução dos problemas surgidos. Deve ainda, realizar

estudos sobre essa metodologia, elaborar alguns modelos, conhecer a proposta de

ensino, saber sistematizar os conceitos que serão usados na resolução dos modelos

e ter bom conhecimento do conteúdo programático previsto para aqueles alunos. As

aplicações sugeridas precisam ser interessantes, instigantes, sem artificialismos ou

exageros e o mais próximo possível da realidade vivida pelos alunos, lembrando

sempre que nem toda a Matemática pode ser ensinada por meio da Modelagem Ma-

temática.

3 A proposição do tema

Para iniciar os alunos da 3ª Série do Ensino Médio, do turno da manhã, do

Colégio Estadual Desembargador Antonio Franco Ferreira da Costa nas atividades

envolvendo modelagem matemática, foi promovida uma discussão informal com os

alunos a fim de pesquisar ou sentir entre eles a capacidade que tinham de indagar

sobre o que lhes era apresentado em classe e o envolvimento deles com o que era

ensinado, especificamente nas aulas de Matemática, se usualmente utilizavam a

intuição e a reflexão na busca de soluções, mesmo que de maneira informal, para os

problemas que lhes eram apresentados.

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Feito isso, fizemos uma ampla discussão sobre o conhecimento, o conceito e

a ideia que eles tinham sobre o que vem a ser modelo. Várias foram as respostas.

Mas algumas das falas dos alunos merecem destaque: “Modelos são aquelas pes-

soas que desfilam roupas”; “Exemplo de modelo pode ser aquelas roupas fotografa-

das para revistas de moda?”; “A maquete de uma casa”; “A pessoa que você admira

e quem você busca imitar”; “Modelo pode ser o tipo de um carro, pois diferencia um

do outro”; “O exercício que o professor faz no quadro e diz para a gente fazer os

demais, seguindo o modelo, pois nos livros de matemática tem a expressão ‘siga o

modelo’”.

Enfim, deram a ideia de que temos modelos de conduta, de comportamento,

de moda, de exposição pública de uma pessoa que passa a ser imitada e as fórmu-

las matemáticas encontradas nos livros. Foi o momento em que os alunos mostra-

ram muito mais do conhecimento de mundo do que da matemática propriamente

dita.

Somente quando sugerido, com a intenção de provocar e de certa forma,

conduzir o pensamento, a ver um modelo sobre outros aspectos é que uns poucos

alunos começaram a relacionar a ideia de que modelo pudesse estar também rela-

cionado a forma, ou a representação do real, ou algo em tamanho menor que dá a

dimensão de algo maior.

Na discussão, chegamos a conclusão de que a matemática para muitos, se

ressume a seguir fórmulas. Discutimos então, a origem e o porquê do surgimento

das fórmulas.

Buscamos, a seguir, entender o que vem a ser um problema e depois, um

problema matemático. Levamos a discussão para situações do dia a dia e como es-

sas situações poderiam ser estudadas através de modelos simples e discretos, ten-

tando entender os fenômenos a partir da matemática e de conceitos que eles já do-

minam.

O diálogo inicial foi muito proveitoso e a medida que ocorriam as aulas os a-

lunos relacionavam os aspectos inerentes aos modelos como os modelos que eram

apresentados. Foram escolhidos os seguintes modelos matemáticos como exemplos

para introdução desse conceito:

a) modelo do crescimento da população, proposto por Ferreira e Wodewotzki (2007,

p. 115-132), expresso matematicamente por Pn = P0 (1 + i)n em que P0 é a popula-

ção inicial, Pn é a população no ano n e i é a taxa centesimal de crescimento anual.

8

b) modelo para cálculo de área da Figura 1, proposto por Bean (2001, p. 53-54) em

um trabalho com alunos, que formularam hipóteses e fizeram aproximações simplifi-

cadoras para estimar a área da figura.

Figura 1: Área a ser calculada

c) modelo para estudo da eliminação de álcool pelo organismo humano, proposto

por Chaves e Bisognin3 (2008) a um grupo de alunos da 1ª Série do Ensino Médio.

O modelo E(t) = 247 (0,92)t permite calcular o resíduo de etanol no organismo E(t)

num tempo t qualquer e o modelo matemático C(t) = 4200 (0,92)t representa o resí-

duo de cerveja no organismo, com o passar das horas.

Tais modelos foram construídos passo a passo e com eles foram realizadas

simulações mudando algum aspecto nos modelos para que os alunos percebessem

o que aconteceria com os resultados, que na sequência eram analisados.

Ao final da apresentação de cada modelo matemático, coletivamente eram lis-

tados os conteúdos e conceitos matemáticos que tinham sido empregados para rea-

lizar o estudo. Procuramos evitar o uso de modelos fictícios, desvinculados de fatos

que acontecem na vida deles.

Depois dos primeiros contatos com a modelagem e o uso de modelos mate-

máticos, propus aos alunos, o estudo matemático de aspectos ambientais da nossa

cidade de Guaraniaçu, Estado do Paraná, especialmente no que se refere ao uso

racional da água tratada e potável e a geração do esgoto proporcional a população.

Para iniciar o estudo matemático proposto, envolvendo o processo de mode-

lagem matemática, solicitamos a Companhia de Saneamento do Paraná – SANE-

PAR, Unidade Regional de Cascavel, dados sobre a distribuição de água e coleta de

esgoto referentes a cidade de Guaraniaçu, que disponibilizou informações através

do Ofício nº. 112/2009, de 27/04/2009. Visitamos a Estação de Tratamento de Água,

3 http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/cientificos/cc11.pdf

9

localizada no centro da cidade de Guaraniaçu e entrevistamos os responsáveis pela

área industrial da estação que nos forneceu informações complementares como: a

capacidade da estação, a vazão de água coletada na estação, como se procede ao

tratamento, a perca de água durante o processo de tratamento, a capacidade dos

tanques de tratamento, a capacidade dos reservatórios de água, o tempo de traba-

lho da estação e como se procede a distribuição pelo centro da cidade e bairros.

As demais informações foram pesquisadas pelos alunos em publicações ofi-

ciais de órgãos governamentais, disponíveis na Internet, nos sites do Instituto Brasi-

leiro de Geografia e Estatística – IBGE; da SANEPAR; do Instituto Paranaense de

Desenvolvimento Econômico e Social – IPARDES; da Superintendência de Desen-

volvimento de Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental do Paraná – SUDERH-

SA; e pesquisas bibliográficas complementares em outras fontes.

4 A definição da situação-problema

De posse dos dados sobre a população da cidade, sobre o abastecimento

com água potável, a coleta de esgoto e de outros aspectos decorrentes do cresci-

mento da população, realizamos uma reunião em sala de aula a fim de organizar o

material pesquisado por cada grupo de alunos e definir quais situações e aspectos

mereciam melhor investigação e entendimento.

Naquele momento, foi importante a participação da professora na determina-

ção das questões de estudo porque, coube a ela, a orientação aos alunos sobre as

possibilidades e limitações que teriam de ser superadas na busca por uma solução.

Foram escolhidas para análise e estudo, por serem consideradas relevantes,

as seguintes questões:

a) na atual situação de crescimento populacional, a cidade de Guaraniaçu terá pro-

blemas de abastecimento de água no futuro, permanecendo o Rio Baú, da Bacia do

Rio Fivela, como local de captação?

b) a Estação de Tratamento de Esgoto (ETE) da cidade de Guaraniaçu terá capaci-

dade suficiente para atender a toda a população urbana no futuro?

c) numa determinada população, o que de fato acontece: ser maior o consumo per

capita de água tratada ou o esgoto gerado?

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4.1 Crescimento estimado da população de Guaraniaçu

Para a construção do modelo que estimará, no futuro, a população da cidade

de Guaraniaçu, optamos por discutir sobre dois parâmetros como tendência para

estudo do crescimento populacional: o método aritmético e o método geométrico.

Para escolher qual método mais se ajustaria ao estudo da população de Guarania-

çu, utilizamos dados oficiais do IBGE (Tabela 1) e construímos o gráfico 1.

Tabela 1: População de Guaraniaçu

Ano Nº. Habitantes 1960 21.422 1970 28.719 1980 34.465 1990 26.012 2000 17.201 2009 16.1614

Fonte: IBGE – Censo Demográfico e Contagem da População

Gráfico 1: População de Guaraniaçu

1960

1970

1990

1980

20002009

15000

20000

25000

30000

35000

ANOS

Na análise visual do gráfico, optamos por considerar apenas os dados após

1980, tendo em vista que a partir daquele ano, houve decrescimento populacional.

Como a forma ideal para obtenção de um modelo matemático que estime a popula-

ção futura baseia-se no método do ajuste de curvas por mínimos quadrados, cuja

4 IBGE – Contagem Populacional de 2009. http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/estimativa2009/POP2009_DOU.pdf

11

base matemática esta fora do alcance do Ensino Médio, na análise visual do gráfico

construído, após 1980, superficialmente ele foi considerado mais assemelhado ao

gráfico de uma curva exponencial do que de uma reta. Assim, entre o método arit-

mético, relacionado ao gráfico de uma reta, e o método geométrico, relacionado a

uma curva logarítmica, escolhemos o método geométrico para estimar a população

para os próximos anos, especialmente até o ano 2030.

a) Método aritmético

P = P2 + Ka (T– T2)

onde

Ka = ( P2 – P1 ) / ( T2 – T1 );

P1 = População do penúltimo censo;

P2 = População do último censo;

T1 = ano do penúltimo censo;

T2 = ano do último censo;

T = ano da projeção;

P = População estimada para o ano de projeção

Método para ser utilizado para uma estimativa do crescimento populacional

em no máximo 5 anos de projeção pois considera que a população da cidade apre-

senta sempre a mesma constante de crescimento populacional, fato este não com-

provado pelos dados oficiais.

b) Método geométrico

ln P = ln P2 + Kg ( T – T2 ) onde

Kg = (ln P2 – ln P1) / (T2 – T1);

P1 = População do penúltimo censo;

P2 = População do último censo;

T1 = ano do penúltimo censo;

T2 = ano do último censo;

T = ano da projeção;

P = População estimada para o ano de projeção

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O método geométrico foi considerado mais adequado para o estudo do cres-

cimento populacional da cidade de Guaraniaçu. Pressupõe um crescimento ilimitado

e também se recomenda o uso para curtos intervalos de tempo.

Para o estudo que se busca efetivar, é interessante calcular não necessaria-

mente a população total de Guaraniaçu, que decresce a cada ano como também, a

população efetivamente atendida pela Sanepar, isto é, a população urbana do muni-

cípio, tendo em vista que é esta a parcela da população com saneamento básico e

distribuição de água tratada. A população urbana apresenta taxa de crescimento

populacional positiva, diferente da taxa de crescimento populacional total, que é ne-

gativa.

a) Cálculo estimado para a população total de Guaraniaçu

P1 = 17201 habitantes (População total – Censo Demográfico 2000)

P2 = 16161 habitantes (Contagem populacional 2009 – IBGE)

T1 = 2000

T2 = 2009

T = 2010

ln P = ln P2 + Kg ( T – T2 )

ln P = ln 16161 + (- 0,00693) (2010 – 2009) Kg = - 0,00693

P = 16049 habitantes estimados em 2010

b) Cálculo estimado para a população urbana de Guaraniaçu, atendida pela Sanepar

P1 = 8456 habitantes (População atendida, segundo a Sanepar)5

P2 = 10282 habitantes (População atendida, segundo a Sanepar)

T1 = 2000

T2 = 2008

T = 2010

ln P = ln P2 + Kg ( T – T2 )

ln P = ln 10282 + (- 0,02444) (2010 – 2008) Kg = 0,02444

P = 10797 habitantes estimados em 2010

5 Dado fornecido pela Sanepar, Unidade Regional de Cascavel, através do Oficio nº. 112/2009, de 27/04/2009.

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Utilizando calculadora científica ou alguma planilha eletrônica de cálculo, co-

mo programa Windows Excel e, usando procedimento análogo ao descrito nos itens

a e b, foram estimadas também as populações para os anos 2015, 2020, 2025 e

2030, obtendo os seguintes dados estimados:

Tabela 2: População Estimada de Guaraniaçu

População Estimada (habitantes) Ano Total Abastecida pela Sanepar

2010 16.049 10.797 2015 15.501 12.200 2020 14.972 13.785 2025 14.461 15.576 2030 13.967 17.600

Algo interessante ocorreu na estimativa da população. Conforme é possível

observar na Tabela 2, a estimativa da população urbana atendida pela Sanepar, a

partir do ano de 2025 acaba maior que a população total do município, o que nos

leva a questionar os valores obtidos e considerar inviável o método geométrico para

estimar a população urbana.

Frente a isto, o ideal é tentar recorrer a outros modelos para efetuar tal estu-

do. Podemos utilizar o modelo Pn = Po(1 + i)n descrito por Ferreira e Wodewotzki

(2007, p. 115-132), onde Po é a população inicial, Pn é a população no ano n e i é a

taxa centesimal de crescimento anual.

Utilizando a taxa de 0,46% para o crescimento geométrico da população ur-

bana de Guaraniaçu, conforme Censo Demográfico de 2000, é possível construir a

Tabela 3.

Tabela 3: População urbana estimada de Guaraniaçu, utilizando a taxa de cresci-

mento populacional

Ano População urbana (habitantes) 2000 8.126 2010 8.508 2015 8.705 2020 8.907 2025 9.114 2030 9.325

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Em discussão com os alunos e analisando a sistemática do IBGE de ajustar

as taxas de crescimento geométrico em média, a cada dois anos, baseado em da-

dos fornecidos pelas secretarias municipais de saúde e sabendo que a taxa de cres-

cimento populacional de (- 2,47%) para o município de Guaraniaçu, estabelecida

pelo Censo Demográfico 2000, não é a mesma em 2009, em decorrência dos dados

divulgados em agosto/2009, pela Contagem da População, que ajustou estimativa-

mente a taxa pelo cálculo taxa de crescimento = (taxa de natalidade + taxa de imi-

gração) – (taxa de mortalidade + taxa de emigração), optou-se por utilizar para o

cálculo da vazão do Rio Baú, os dados obtidos na Tabela 3, considerada pelo grupo

de estudantes, como uma estimativa razoável para a população urbana de Guarani-

açu, para os próximos anos.

4.2 Cálculo da vazão do rio

A água para abastecimento da cidade de Guaraniaçu, é coletada do manan-

cial de águas da Bacia do Rio Fivela, localizada na Região Oeste do Paraná, especi-

ficamente dos rios Fivela e Baú. O rio Baú é um afluente do rio Fivela, que é afluente

do rio Piquiri, de maior volume de água na região e no Município, mas longe da ci-

dade, o que inviabiliza a coleta de água a partir dele.

No passado, a captação de água para abastecimento era feita no rio Fivela,

que tem maior volume de água. Como se trata de um rio cujas nascentes estão pró-

ximas do perímetro urbano, apresenta índices significativos de poluição, especial-

mente por dejetos de suinocultura e esgoto urbano clandestino, canalizados na rede

de coleta de água fluvial, que desemboca nas águas do rio.

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Foto 1: Leito do rio Fivela, próximo da cidade, no bairro Bertuol

Por este motivo, e nos dias de tempo bom, atualmente, a captação de água é

feita no rio Baú, que tem água mais limpa, mesmo tendo vazão menor. Quando bai-

xa demais o volume de águas do rio Baú, o complemento é feito utilizando águas do

rio Fivela, apenas quando não esta chovendo. Quando chove, a água desses rios

apresenta turbidez6 muito elevada, e a captação é suspensa na superfície, passando

a ser utilizada a água de dois poços artesianos, perfurados no mesmo manancial de

águas.

Como sempre foi uma necessidade entender o movimento das águas no pla-

neta e compreender o comportamento físico de um corpo d’água em movimento ou

em repouso, o homem desenvolveu técnicas e equipamentos que permitem, por e-

xemplo, registrar a velocidade, a pressão, a temperatura e a vazão de um corpo

d’água.

No estudo realizado com os alunos, uma das situações-problema a ser resol-

vida, era analisar se na atual situação de crescimento populacional, a cidade de

Guaraniaçu terá problemas de abastecimento de água no futuro, permanecendo os

rios Fivela e Baú como local de captação. Para tanto, se faz necessário calcular a

vazão do rio para quantificar o consumo e avaliar a disponibilidade dos recursos hí-

dricos em comparação com o comportamento da população nos próximos anos.

6 Turbidez de uma amostra de água é o grau de atenuação de intensidade que um feixe de luz sofre ao atravessá-la, devido a presença de sólidos em suspensão.

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O cálculo da vazão para uma seção transversal a um corpo d´água ou a canal

fluvial, permite, além de quantificar o consumo e avaliar a disponibilidade dos recur-

sos hídricos, planificar a respectiva gestão da bacia hidrográfica e avaliar a concen-

tração de dejetos e esgotos.

A vazão é conceituada como sendo o volume de água que passa por uma de-

terminada seção, de um rio ou canal, num determinado intervalo de tempo, a qual é

determinada pelas variáveis de profundidade, largura e velocidade do fluxo de água,

e normalmente é expressa em m³/s. A vazão aumenta da montante (região mais alta

do rio) para a jusante (áreas rio abaixo) até sua foz.

A medição da vazão pode ser feita através de aparelhos como o molinete e o

ADCP – Accustic Doppler Current Profile, usados em estudos hidrológicos científicos

ou pode ser usado um método simples, de medição indireta, em que é exigido um

embasamento teórico para se estimar a vazão. Determina-se a largura do canal, em

diferentes profundidades ao longo da seção transversal e estima a velocidade do

fluxo.

Foto 2: Leito do rio Baú, visto da ponte de madeira, local do canal de medição

A coleta dos dados, in loco, face a segurança dos alunos envolvidos no proje-

to de modelagem matemática, foi realizado por um grupo de amigos voluntários, a-

pós decisão em classe de quais medições eram necessárias. Para realizar as medi-

ções, escolhemos um local (canal) no rio Baú, que fica próximo da captação de água

pela Sanepar e a poucos quilômetros da cidade, onde o leito do rio se apresenta de

17

forma mais homogênea e retilínea (poucas variações no eixo transversal). Com o

auxílio de uma corda, foi medida a largura deste canal, sendo registrado 3 (três) me-

tros de uma margem a outra.

Na sequência, procedeu-se a medida da profundidade média do canal. Para

isso, usamos uma ripa de madeira de 2 (dois) metros de comprimento. Em cinco

medições, uma na margem direita (0,42 m), outra na esquerda (0,45 m) e três no

meio do canal (0,88 m, 1,0 m e 0,92 m), obtemos 3,67 m como soma das profundi-

dades registradas. Dividindo este valor pelo número de medições obtemos a profun-

didade média da seção transversal do canal, isto é, h = 0,734 m.

A figura 2 ilustra essa situação.

Figura 2: Perfil do canal de medição

Feito isto, é necessário estimar a velocidade média do canal.

Por estar ao nosso alcance e este não ser um estudo científico, foi escolhido

o método manual para medir a velocidade da corrente do canal, que normalmente é

maior na parte central do rio do que em suas margens. Consistiu na disposição de

uma bola de isopor na superfície da água, que com a correnteza, percorreu uma dis-

tância pré-determinada (L1) de 2 metros. Soltamos a bola na água cerca de meio

metro antes do início dos percursos determinados, para adquirir aceleração suficien-

te e percorrer as distâncias com velocidade aproximadamente constante. Foi crono-

metrado o tempo de 15 segundos para a bola de isopor realizar o percurso L1. Na

sequência, determinamos outra distância (L2), também de 2 metros, largando a bola

de isopor de outro ponto do canal. Com procedimento semelhante, anotamos o tem-

po de 17 segundos. Fazendo uma última medição, em outra distância (L3) de 2 me-

tros, soltando a bola de isopor de outro ponto na superfície da água, registramos o

tempo de 16 segundos. Somando L1(m), L2(m) e L3(m) e dividindo pela soma dos

tempos cronometrados (segundos) para cada distância, obtemos a velocidade média

do canal ou corrente, isto é:

V = (2 + 2 + 2) / (15 + 17 + 16) = 0,125 m/s

18

Como existe variação da velocidade da corrente em diferentes pontos da se-

ção transversal, o ideal seria obter medidas em diversos pontos tanto na superfície

da seção transversal como em diversos níveis em cada seção vertical, fazendo a

tirada de tempo pelo menos 30 vezes, para diminuir o erro de estimativa. Por se tra-

tar de um estudo didático, 3 (três) medições foram suficientes para o cálculo da ve-

locidade média da corrente, no canal estabelecido.

Os símbolos normalmente usados para registro dos dados são:

Q = vazão (m³/s)

A = (w.h) = área da seção do rio (m²)

V = velocidade do fluxo de água (m/s)

h = profundidade média da seção transversal do canal (m)

w = largura do canal

Com as medições efetuadas pode-se estimar a vazão do rio Baú no canal es-

colhido, usando a seguinte expressão matemática para o cálculo da vazão:

Q = (w.h).V ou Q = A.V onde

Q = (3 x 0,734) x 0,125

Q = 0,27525 m³/s ou 275,25 litros por segundo

O valor da vazão encontrada é em relação a velocidade superficial, pois é a

na superfície da água que se movimenta a bola de isopor. Como a vazão no centro

(no interior do corpo d’ água) é maior que na superfície, se recomenda multiplicar a

vazão encontrada por 1,2 para que o valor da vazão seja mais próximo do real.

Assim, 275,25 multiplicado por 1,2 resulta numa vazão de 330,3 litros por se-

gundo (L/s).

A metodologia descrita acima é imprecisa, mas na falta de equipamentos e

dependendo da utilização, o método manual para determinação de vazão instantâ-

nea de um rio é uma solução bastante prática e de baixo custo. É considerada ótima

para determinação da vazão de córregos urbanos de pequena dimensão.

Considerando a vazão do rio Baú de 330,3 L/s, os dados da Tabela 3, relati-

vos a população urbana que consumirá água em 2030, e também a informação da

Sanepar, de que, em 2008, 10277 habitantes consumiram aproximadamente 23964

m³/mês de água tratada, ou seja, 798,8 m³/dia ou ainda, que essa população con-

sumiu 9,24 litros de água por segundo (L/s), podemos concluir que no ano de 2030,

uma população estimada de 9325 habitantes consumirá aproximadamente 724,83

m³/dia, ou seja, 8,39 L/s de água tratada. Comparando a disponibilidade e demanda

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de água com o (de)crescimento populacional na cidade de Guaraniaçu, constata-se

que teremos água em abundância e que o rio Baú poderá fornecer água suficiente

para abastecer a cidade de Guaraniaçu, visto que tem uma vazão média de 330,3

L/s e que a capacidade da estação de tratamento, é para uma vazão máxima de até

24 L/s de água captada. Considerando haver uma perda de 25% entre a quantidade

de água captada e o tratamento, isto ainda resulta numa vazão máxima de 18 L/s na

estação de tratamento, para os 8,39 L/s necessários para o abastecimento da popu-

lação estimada para 2030.

Assim, a primeira questão da situação-problema, proposta inicialmente como

estudo, fica resolvida. Não considerando outros fatores que possam afetar o volume

das águas do rio, podemos dizer que o rio Baú tem vazão suficiente para abastecer

a população urbana de Guaraniaçu no futuro.

Porém, convém ressaltar que alguns fatores podem alterar esta previsão, co-

mo mudar o número de municípios e a população abastecida pelos rios que compõe

a bacia do rio Piquiri, aumentar a quantidade de esgotos lançados sem tratamento

nos leitos dos rios desta bacia e a estiagem, que tende a ser maior nos próximos

anos, especialmente pela péssima conservação das nascentes dos rios da região.

4.3 Cálculo da vazão do esgoto através da estimativa populacional

A próxima questão a ser analisada, das propostas na situação-problema é em

relação a capacidade da Estação de Tratamento de Esgoto (ETE) da cidade de Gua-

raniaçu em atender a população urbana no futuro. Para tanto, é necessário realizar o

cálculo estimado da vazão de esgoto na cidade.

A medição de vazão do esgoto de uma cidade pode ser feita de diversas for-

mas, mas para um estudo simplificado, pode-se usar uma forma manual para medir

a vazão, com apenas um balde de volume aferido e um cronômetro pode-se deter-

minar a vazão de uma pequena comunidade ou então utilizar processos mais elabo-

rados.

Sabe-se que a vazão (Q) é definida como sendo a relação entre o volume (V)

e o tempo (T) ou a razão entre o volume do recipiente pelo tempo em que o mesmo

foi preenchido, resultando na expressão matemática Q = V/T.

20

Para melhor precisão deve ser feito o maior número de amostras durante um

dia. O ideal é medir a vazão 24 vezes por dia durante 1 mês.

Mas o cálculo da vazão média do esgoto pode ser feito, segundo a demons-

tração feita por Marçal Junior (2009), no Curso de Tratamento de Esgoto7, pela esti-

mativa da população, utilizando a expressão matemática:

Q = p . q . cr / 1000 ( m³/d ) (I)

Q = p . q . cr / 86400 ( l / s ) (II)

onde

P = população estimada;

q = Consumo per capita de água;

cr = Coeficiente de retorno de esgoto;

Q = Vazão do esgoto.

Com os dados atuais fornecidos pela Sanepar, podemos determinar aproxi-

madamente o coeficiente de retorno de esgoto (cr) para Guaraniaçu. Segundo dados

fornecidos, em 2008, a Sanepar coletou e tratou 402 m³/dia de esgoto gerados por

uma população de 5585 habitantes (parcela da população de Guaraniaçu atendida

com tratamento e coleta de esgoto) e que o consumo per capita de água nesta po-

pulação, foi, em média de 2,33 m³/mês ou 0,077726963 m³/dia.

Assim, podemos estimar o cr, utilizando a expressão (I)

Q = p . q . cr / 1000 ( m³/d )

402 = 5585 x 0,077726963 x cr /1000

cr = 926,0430499

Conhecendo estimativamente o cr e a população urbana para 2030, conforme

Tabela 3, podemos estimar a vazão do esgoto, conforme segue:

Q = p . q . cr / 1000 ( m³/d )

Q = 9325 x 0,077726963 x 926,0430499 / 1000

Q = 671199,6419 /1000

Q ≈ 671,2 m³/dia

Sabendo que a capacidade de produção da Estação de Tratamento de Esgo-

to (ETE) é de 1200 m³/dia, conforme informação da Sanepar, podemos concluir que

a ETE da cidade de Guaraniaçu tem capacidade suficiente para, em 2030, estar efe-

tuando o tratamento do esgoto de toda a população urbana, sem maiores proble-

7 Disponível em www.comitepcj.sp.gov.br.

21

mas, tendo em vista que o volume de esgoto estimado para a população em 2030

será de 671,2 m³/dia, muito abaixo da capacidade total da ETE.

Para efeitos de planejamento, as ETE´s são projetadas para a vazão máxima

registrada na população, não apenas para atender ao crescimento daquela popula-

ção mas também em função de alguns hábitos da população como o fato da maioria

usar água próximo das 12 horas e das 18 horas, causando um pico de vazão e tam-

bém por ocorrem variações de consumo conforme as mudança do clima nas diver-

sas estações do ano.

A última questão levantada pelos alunos, se é maior o consumo per capita de

água tratada ou o esgoto gerado, surgiu porque nos dados fornecidos pela Sanepar,

em relação a distribuição de água e o esgoto coletado, aparece uma situação que

suscitou dúvidas.

Nos dados fornecidos, de 1999 a 2007, o esgoto per capita coletado foi sem-

pre maior que a quantidade per capita de água tratada consumida, mas em 2008,

isto se inverteu. Em discussão e análise várias hipóteses foram levantadas pelos

alunos para entender a situação. Na concepção deles, entendiam que o esgoto ge-

rado não poderia ser maior que a água distribuída por diversas razões, dentre elas,

o fato de que a água tratada também era usada para outras finalidades que não ge-

ravam esgoto doméstico e não escoavam pela rede de coleta de esgotos, como a

água usada para lavar calçadas, carros, molhar hortas e jardins.

Para compreender e tentar responder aos questionamentos convém esclare-

cer que os esgotos oriundos de uma cidade e que contribuem a estação de trata-

mento de esgotos (ETE) são basicamente originados de três fontes distintas:

- esgotos domésticos (incluindo residências, instituições e comércio)

- águas de infiltração

- despejos industriais (diversas origens e tipos de indústrias)

No Brasil adota-se predominantemente o sistema separador de esgotamento

sanitário, o que separa as águas pluviais em linhas de drenagem independentes e

que não contribuem a ETE.

Para a caracterização, tanto quantitativa, dos esgotos afluentes a ETE, é ne-

cessária a análise em separado de cada um destes três itens. Mas em se tratando

de Guaraniaçu, cabe analisar especialmente a vazão doméstica que engloba usual-

mente os esgotos oriundos dos domicílios, bem como de atividades comerciais e

institucionais, pois não temos indústrias instaladas na cidade.

22

A vazão doméstica normalmente é calculada com base na vazão de água da

respectiva localidade, usualmente em função da população de projeto e de um valor

atribuído para o consumo médio diário de água de um indivíduo, denominado Quota

Per capita (QPC). Vale ressaltar que é necessário também quantificar a vazão má-

xima e mínima para projetar uma ETE.

De modo geral, a produção de esgotos corresponde aproximadamente ao

consumo de água. No entanto, a fração de esgotos que adentra a rede de coleta

pode variar, devido ao fato de que parte da água consumida pode ser incorporada a

rede pluvial, por exemplo, a água usada para regar jardins e lavar carros e calçadas.

Outros fatores de influência em um sistema separador absoluto são: a ocorrência de

ligações clandestinas e indevidas dos esgotos a rede pluvial e a infiltração.

Segundo Medeiros (2009), a fração da água fornecida que adentra a rede de

coleta na forma de esgoto é denominada coeficiente de retorno (R) e calculada co-

mo sendo a razão da vazão de esgotos pela vazão de água, cujos valores variam de

60% a 100%, sendo usualmente adotado como de 80% ou R= 0,8.

Assim, no entendimento de todos acerca do assunto e na lógica que se apre-

senta, a ETE de Guaraniaçu recebe parcela considerável de águas fluviais e de es-

gotos clandestinos, não cadastrados na Sanepar, uma vez que a quantidade média

per capita de esgoto coletado e tratado é superior ao consumo per capita de água

tratada, exceção feita apenas ao ano de 2008. As razões para este dado ter se alte-

rado em 2008 podem ser muitas, dentre elas, o fato da Sanepar ter intensificado o

combate aos esgotos clandestinos bem como canalizado as águas fluviais para ou-

tro local, podendo a água fluvial retornar ao solo sem a adição de produtos químicos

normalmente utilizados nos tratamento dos esgotos.

5 Considerações Finais

Muitos foram os aspectos que determinaram a decisão de ensinar Matemática

através da Modelagem Matemática, mesmo sendo também aprendiz e não tendo,

possivelmente, a experiência que este tipo de estratégia de ensino requer. Muitas

também foram as dúvidas, mas, concluído o trabalho, penso que a decisão foi acer-

tada, especialmente por alguns aspectos que merecem destaque, como:

23

- aliar o tema escolhido com a realidade dos alunos e aproveitar as experiências ex-

traclasse deles com a experiência do professor.

- recuperar o gosto do aluno em estudar Matemática, uma vez que a maioria estava

desestimulada com a disciplina.

- perceber a mudança de atitude nos alunos, que se mostraram mais ativos e parti-

cipativos, melhorando o convívio e a organização entre eles na classe, em virtude

das questões surgidas e das possíveis soluções serem discutidas coletivamente.

Isso evidência a importância da “atitude” e da reação do professor ao sentir o mo-

mento e auxiliar no direcionamento dos trabalhos.

- as pesquisas e as interações surgidas durante o processo de estudo levaram os

envolvidos com o trabalho a conhecer o objeto em estudo, permitindo que refletis-

sem sobre as questões sociais envolvidas e a um posicionamento crítico e dinâmico

para com a realidade que se apresentava. Isso contribuiu para a aprendizagem sig-

nificativa de conceitos matemáticos. Os alunos deixaram de ser aprendizes dos

conteúdos, passando a usá-los na compreensão do mundo.

- no desenvolvimento do trabalho foi possível estudar conteúdos matemáticos par-

tindo dos conceitos mais gerais para os mais específicos, além de relacionar uns

com outros. Como exemplo: no cálculo da vazão do rio, o aluno utiliza conversão de

medidas, as grandezas físicas, a comparação entre as superfícies, o cálculo do vo-

lume e da velocidade, além do entendimento do que vem a ser vazão, jusante e tur-

bidez da água.

- durante a coleta dos dados históricos, geográficos e físicos, pode-se estudar o re-

levo da região, a qualidade da água fornecida e a qualidade de vida em virtude dis-

so.

Entende-se que a aprendizagem não foi superficial nem memorística porque o

aluno foi estimulado a aprender por múltiplos caminhos, a ir além do cumprimento de

tarefas e da memorização de definições. Teve de planejar e definir estratégias para

desenvolvimento dos trabalhos e depois, tomar decisões racionais e coerentes acer-

ca da verificação das hipóteses e dos resultados encontrados. Isso contribui para a

autonomia dos alunos e fortalece a responsabilidade para com as decisões toma-

das. A partir do momento que o aluno se apropria da atividade desenvolvida e se

integra ao processo de aprendizagem, compreendendo o processo de avaliação, o

conhecimento vai ser retido por mais tempo, será facilitada a capacidade de apren-

24

der outros conceitos além de reaprender, de outra forma, os conceitos que antes

estavam esquecidos.

Integrado no processo de aprendizagem, o aluno tem maiores possibilidades

de entender o significado do que estuda e estabelecer interação entre o que esta

aprendendo, com o que aprendeu em outras ocasiões e também com as experiên-

cias pessoais, sociais e afetivas que acumula.

A aprendizagem se aprofunda e se estabiliza em termos de significados,

quanto mais o aluno desenvolver a capacidade de avaliar o que esta realizando e de

insistir no assunto até a compreensão da situação que se apresenta. Ocorre a for-

mação progressiva de conceitos matemáticos com o aprofundamento em detalhes e

a compreensão da especificidade de cada conceito, mesmo que a ordem dos conte-

údos estudados não seja exatamente a ordem usualmente proposta pelos livros di-

dáticos.

Enfim, para que a aprendizagem significativa se concretize através do ensino

da matemática pela Modelagem Matemática é importante também que o professor,

na qualidade de mediador e coordenador de um processo, forneça as instruções ne-

cessárias para o desenvolvimento do estudo, incentive a troca de percepções entre

os alunos, estimule a ampliação e troca de ideias e opiniões, especialmente nas ta-

refas realizadas em grupos, e questione as decisões que são apresentadas em rela-

ção as hipóteses que se pretende verificar. A aula deve constituir-se em um fórum

de comunicação aberto para a exposição, modificação e integração de ideias, con-

cepções e representações da realidade, onde seja possível construir e compartilhar

conhecimento, a partir da interação entre as pessoas, os objetos e as situações, dis-

pondo de tempo para refletir não apenas sobre os procedimentos e ações desenvol-

vidas como também sobre a aprendizagem dos conceitos e a superação dos pro-

blemas surgidos no processo.

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6 Referências Bibliográficas

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