Extremos e o Teste da Derivada Primeira

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Extremos e o Teste da Derivada Primeira

1.Extremos relativos

2.O Teste da Derivada Primeira

3.Extremos Absolutos

4.Aplicações de Extremos

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1. Extremos relativos

Na aula anterior, vimos como utilizar aderivada para determinar os intervalos em que umafunção é crescente ou decrescente. Nesta aula,estudaremos os pontos em que uma função passade crescente a decrescente, ou vice-versa. Em taispontos, a função tem um extremo relativo. Osextremos relativos de uma função incluem osmínimos relativos e os máximos relativos dafunção. Assim é que a função mostrada na figura aseguir tem dois extremos relativos – o ponto àesquerda é um máximo relativo e o ponto à direitaé um mínimo relativo.

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1. Extremos relativos

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1. Extremos relativos

Definição de Extremos Relativos

Seja f uma função definida em c.

1. f(c) é um máximo relativo de f se existe umintervalo (a, b) contendo c, tal que f(x) ≤ f(c)para todo x em (a, b).

2. f(c) é um mínimo relativo de f se existe umintervalo (a, b) contendo c, tal que f(x) ≥ f(c)para todo x em (a, b).

Se f(c) é um extremo relativo de f, dizemos queocorre um extremo relativo em x = c.

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1. Extremos relativos

Para funções contínuas, os extremosrelativos devem ocorrer em pontos críticos dafunção, conforme mostrado na figura abaixo.

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1. Extremos relativos

Ocorrência de Extremos Relativos

Se f tem mínimo relativo ou máximo relativoquando x = c, então c é um ponto crítico de f; istoé, ou

f ‘(c) = 0 ou f ‘(c) não é definida.

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2. O teste da derivada pri-meira

O resultado anterior implica que, napesquisa de extremos relativos de uma funçãocontínua, basta testar os pontos críticos dafunção. Constatado que c é um ponto crítico deuma função f, o Teste da Derivada Primeira paraextremos relativos permite-nos classificar f(c)como um mínimo relativo, um máximo relativo, ounenhum dos dois.

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2. O teste da derivada pri-meira

O Teste da Derivada Primeira para ExtremosRelativos

Seja f contínua no intervalo (a, b), no qual cé o único ponto crítico. Se f é diferenciável nointervalo (exceto possivelmente no próprio c),então f(c) pode ser classificada como um mínimorelativo, um máximo relativo, ou nenhum dos dois,como segue.

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2. O teste da derivada pri-meira

O Teste da Derivada Primeira para ExtremosRelativos

1. No intervalo (a, b), se f ‘(x) é negativa à esquer-da de x = c e positiva à direita de x = c, entãof(c) é um mínimo relativo.

2. No intervalo (a, b), se f ‘(x) é positiva à esquer-da de x = c e negativa à direita de x = c, entãof(c) é um máximo relativo.

3. No intervalo (a, b), se f ‘(x) tem o mesmo sinal àesquerda e à direita de x = c, então f(c) não éextremo relativo de f.

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2. O teste da derivada pri-meira

A figura acima exibe uma interpretaçãográfica do Teste da Derivada Primeira.

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2. O teste da derivada pri-meira

Exemplo 1: Ache todos os extremos relativos dafunção

f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 14.

Comecemos determinando os pontos críticos de f.

' 2

2

2

( ) 6 6 36 Calculando a derivada primeira

6 6 36 0 Igualando a 0 a derivada primeira

6( 6) 0 Pondo em evidência o fator comu

f x x x

x x

x x

= − −− − =

− − = m

6( 3)( 2) 0 Fatorando

2 e 3 Pontos críticos

x x

x x

− + == − =

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2. O teste da derivada pri-meira

Como f ’(x) é definida para todo x, os únicospontos críticos de f são x = -2 e x = 3. Com essesnúmeros, formamos os intervalos de teste (-∞, -2),(-2, 3) e (3, ∞). A tabela abaixo mostra o teste dostrês intervalos.

Intervalo (-∞, -2) (-2, 3) (3, ∞)

Valor de teste x = -3 x = 0 x = 4

Sinal de f ‘(x) f ‘(-3) = 36 > 0 f ‘(0) = -36 < 0 f ‘(4) = 36 > 0

Conclusão Crescente Decrescente Crescente

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2. O teste da derivada pri-meira

Com auxílio do Teste da Derivada Primeira,podemos concluir que o ponto crítico -2 dá ummáximo relativo [f ‘(x) muda de sinal, de positivopara negativo], e o ponto crítico 3 dá um mínimorelativo [f ‘(x) muda de sinal, de negativo parapositivo], como é mostrado na figura a seguir.

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2. O teste da derivada pri-meira

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2. O teste da derivada pri-meira

A figura anterior mostra o gráfico de f.Para achar as coordenadas y dos extremosrelativos, substituímos, na função, os valores dascoordenadas x. Assim é que o máximo relativo éf(-2) = 58 e o mínimo relativo é f(3) = -67.

No Exemplo 1, ambos os pontos críticosoriginaram extremos relativos. No próximoexemplo, apenas um dos dois pontos críticos daráum extremo relativo.

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2. O teste da derivada pri-meira

Exemplo 2: Ache todos os extremos relativos dafunção

f(x) = x4 – x3.

Pela derivada da função,

f ‘(x) = 4x3 – 3x2 = x2(4x – 3),

vemos que a função tem apenas dois pontoscríticos: x = 0 e x = ¾. Estes números definem osintervalos de teste (-∞, 0), (0, ¾) e (¾, ∞), que sãotestados na tabela a seguir.

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2. O teste da derivada pri-meira

Intervalo (-∞, 0) (0, ¾) (¾, ∞)

Valor de teste x = -1 x = ½ x = 1

Sinal de f ‘(x) f ‘(-1) = -7 < 0 f ‘(½) = -¼ < 0 f ‘(1) = 1 > 0

Conclusão Decrescente Decrescente Crescente

Pelo Teste da Derivada Primeira, vê-se que ftem mínimo relativo quando x = ¾, conforme afigura a seguir. O ponto crítico x = 0 não dáextremo relativo.

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2. O teste da derivada pri-meira

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2. O teste da derivada pri-meira

Exemplo 3: Ache todos os extremos relativos dafunção

f(x) = 2x – 3x2/3.

Pela derivada da função,

pode-se ver que f ‘(1) = 0 e que f ‘ não é definidapara x = 0. Assim, a função tem dois pontoscríticos, x = 1 e x = 0. Estes números definem osintervalos de teste (-∞, 0), (0, 1) e (1, ∞).

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'1 13 3

2 2( 1)( ) 2 ,

xf x

x x

−= − =

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2. O teste da derivada pri-meira

Testando estes intervalos, concluímos que ftem máximo relativo em (0, 0) e mínimo relativo em(1, -1), conforme mostra a figura a seguir.

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3. Extremos absolutos

As expressões mínimo relativo e máximorelativo descrevem o comportamento local de umafunção. Para indicar o comportamento global dafunção em todo um intervalo, podemos aplicar asexpressões máximo absoluto e mínimo absoluto.

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3. Extremos absolutos

Definição de Extremos Absolutos

Seja f definida em um intervalo I que contém c.

1. f(c) é mínimo absoluto de f em I se f(c) ≤ f(x)para todo x em I.

2. f(c) é máximo absoluto de f em I se f(c) ≥ f(x)para todo x em I.

O mínimo absoluto e o máximo absoluto deuma função em um intervalo são às vezes chamadossimplesmente o mínimo e o máximo de f em I.

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3. Extremos absolutos

Procure gravar a distinção entre extremosrelativos e extremos absolutos. Por exemplo, nafigura a seguir, a função tem um mínimo relativoque é também mínimo absoluto no intervalo [a, b].Contudo, o máximo relativo de f não é máximoabsoluto em [a, b]. O próximo teorema afirma que,se uma função contínua tem como domínio umintervalo fechado, então ela deve ter tanto ummínimo absoluto como um máximo absoluto nointervalo. Pela figura, note que eles podem ocorrerem uma extremidade do intervalo.

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3. Extremos absolutos

Teorema dos Valores Extremos

Se f é contínua em [a, b], então f atinge umvalor mínimo como um valor máximo em [a, b].

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3. Extremos absolutos

Embora uma função contínua tenha apenasum valor mínimo e um valor máximo em um intervalofechado, qualquer um desses valores pode ocorrerpara mais de um valor de x. Assim, no intervalo[-3, 3], a função

f(x) = 9 – x2

toma o valor mínimo zero quando x = -3 e quandox = 3, conforme a figura a seguir.

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3. Extremos absolutos

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3. Extremos absolutos

Ao procurar valores extremos de umafunção em um intervalo fechado, tenha em menteque é preciso considerar os valores da função nãosó nas extremidades como também nos pontoscríticos da função. Valem as seguintes diretrizespara achar extremos em um intervalo fechado.

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3. Extremos absolutos

Diretrizes para Achar Extremos em umIntervalo Fechado

Para achar os extremos de uma funçãocontínua f em um intervalo fechado [a, b], siga asetapas a seguir.

1. Calcule f em cada um de seus pontos críticos em(a, b).

2. Calcule f em cada extremidade, a e b.

3. O menor desses dois valores é o mínimo, e omaior deles é o máximo.

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3. Extremos absolutos

Exemplo 4: Ache os valores máximo e mínimo de

f(x) = x2 – 6x + 2

no intervalo [0, 5].

Comecemos determinando os pontos críticosda função.

' ( ) 2 6 Calcular a derivada de f

2 6 0 Igualar a derivada a zero

2 6 Somar 6 a ambos os membros

3 Resolver em relação a x

f x x

x

x

x

= −− =

==

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3. Extremos absolutos

Por aí vemos que o único ponto crítico de f éx = 3. Como este número está no intervalo emquestão, devemos testar os valores de f(x) nestenúmero e nas extremidades do intervalo, conformemostra a tabela abaixo.

Valor de x Extremo: x = 0 Ponto crítico: x = 3 Extremo: x = 5

f(x) f(0) = 2 f(3) = -7 f(5) = -3

Conclusão Máximo Mínimo

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3. Extremos absolutos

Pela tabela, vemos que o mínimo de f nointervalo [0, 5] é f(3) = -7. Além disso, o máximode f no intervalo [0, 5] é f(0) = 2. Estes resultadossão confirmados pelo gráfico de f na figura aseguir.

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4. Aplicações de extremos

A determinação dos valores máximo emínimo de uma função é uma das aplicações maiscomuns do cálculo.

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4. Aplicações de extremos

Exemplo 5: Em aulas anteriores, estudamos o casode uma lanchonete cuja função lucro parahambúrgueres é

Ache o nível de produção que gera lucro máximo.

2

2,44 5.000, 0 50.000.20.000

xP x x= − − ≤ ≤

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4. Aplicações de extremos

Comecemos igualando a zero o lucro marginale resolvendo em relação a x.

' 2,44 Achar o lucro marginal10.000

2,44 0 Igualar o lucro marginal a 010.000

2,44 Subtrair 2,44 10.000

xP

x

x

= −

− =

− = − de ambos os membros

24.400 unidades Ponto críticox =

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4. Aplicações de extremos

Pela figura abaixo, vê-se que o ponto críticox = 24.400 corresponde ao nível de produção quegera lucro máximo.

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4. Aplicações de extremos

Para achar esse lucro máximo, façamosx = 24.400 na função lucro.

2

2

2,44 5.00020.000

(24.400) 2,44(24.400) 5.000

20.000 $ 24.768

xP x= − −

= − −

=