1DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

MATEMATICA DISCRETA 2014/2015IG

FICHA 1 - LOGICA

1. Indique, justificando, o valor logico de cada uma das seguintes proposicoes:(a) Dado um numero inteiro, existe outro numero inteiro maior.(b) Nao existe um numero natural maior que todos os outros.(c) As proposicoes p (q r) e (p q) (p r) sao equivalentes.(d) 3 e 7 sao numeros primos(e) 4 e primo ou 4 : 12 = 4 + 12(f) 3 = 2 + 1 4 < 17(g) um quadrado e um rectangulo e um rectangulo e um quadrado(h) No universo dos numeros reais, um numero e positivo ou e negativo(i) Todos os numeros naturais divisveis por 2 e por 3 sao divisveis por 6.(j) Todo o numero inteiro e soma dos quadrados de dois numeros inteiros.(k) Todo o numero par e soma de dois numeros mpares.

2. Considere as proposicoes:

p: esta a nevarq: faz solr: ha nuvens no ceu

(a) traduza para linguagem formal:i. esta a nevar e nao ha nuvens no ceu

ii. se faz sol nao ha nuvens no ceu(b) traduza para linguagem comum:

i. (p q) rii. (p r) p

23. Escreva a tabela de verdade de cada uma das proposicoes que se seguem e determine se cada umadelas e uma tautologia, uma contradicao ou nenhuma das duas.

(a) (a b) (b c)(b) a (a b)(c) (a b) (b a)

(d) a ( (a b))(e) (a ( b c)) (b (a c))(f) ((q p) (p q)) p

4. Mostre que sao equivalentes:

(a) a b e a b (b) (a b)) e a b

5. Simplifique cada uma das seguintes proposicoes e verifique se sao tautologias:

(a) ( p q)(b) ( p q)(c) (p q)

(d) (p q) ( q p)(e) ((q p) (p q)) p(f) (p q) ((p r) (q r))

6. Escreva, quando possvel, a conclusao de cada um dos silogismos:

(a)a ba

?

(b)a b a?

(c)a ba

?

(d)a b a?

7. Traduza cada uma das proposicoes seguintes para linguagem corrente e determine o seu valorlogico:

(a) x R : x 7(b) n N, n > 1

n

(c) x R : x > 1x

(d) n Nm N : m < n(e) x R, |x| = x

(f) n N, |n| = n(g) x R : |x| = x(h) n Nm N : m+ 1 = n(i) n Nm N : n+ 1 = m(j) n N : m N : 2n = m

8. Negue cada uma das proposicoes do exerccio anterior e escreva um contra-exemplo para cadauma das falsas (quando tal fizer sentido).

39. Considere a tautologia p (q (p q)). Verifique que, se substituir o primeiro p por q, deixade ter uma tautologia.

10. Considere o dialogo seguinte:Rita: Eu sou professora! Ines: A Rita nao e professora. Sergio: Eu nao sou professor.So um dos elementos deste dialogo fala verdade e so um deles e professor.Quem diz a verdade? Quem e professor?

11. No fim do ultimo ano lectivo, a Sandra afirmou: Se arranjar trabalho, nao continuo a estudar.Meses depois, verifica-se que a afirmacao da Sandra nao se concretizou. O que aconteceu?

12. Escreva uma frase equivalente a Saber programar em C e uma condicao necessaria para aprendera programar em C ++ usando as palavras se e entao.

13. Seja A = {a, b, {c}, {b, c}}. Quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras?(a) a A(b) {a} A(c) {{a}, {a, b}} A(d) {a} A(e) c A(f) {c} A

(g) {c} A(h) {{c}} A(i) A(j) A(k) {b} A

14. Determine em extensao cada um dos seguintes conjuntos:(a) A = {2x2 + 1 : x {0, 1, 2}}(b) B = {2n : n N}

(c) C = {2 + (1)n : n N0}(d) D = {n N0 : n2 + 5n+ 6 0}

15. Diga quais dos conjuntos seguintes sao finitos e quais sao infinitos:(a) o conjunto das letras do alfabeto(b) o conjunto dos numeros pares(c) o conjunto dos numeros irracionais(d) o conjunto dos animais existentes na Terra(e) o conjunto das circunferencias de centro na origem(f) o conjunto das razes da equacao x100 + x99 + x98 + x97 + ...+ x2 + x+ 1 = 0

16. Simbolize convenientemente cada uma das afirmacoes:

(a) A e B tem um elemento comum(b) nenhum elemento de A e elemento de B(c) A tem um unico elemento(d) A e B sao conjuntos disjuntos(e) A tem exactamente dois elementos distintos

17. Traduza cada uma das afirmacoes seguintes para linguagem formal e determine o seu valor logico:

4(a) Todo o numero mpar e primo(b) Todo o numero primo e mpar

(c) O quadrado de um numero real e positivo

18. Considere o universo U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B ={2, 3, 5, 6, 7} e C = {2, 4, 6, 8}, defina em extensao os conjuntos:

(a) A B(b) C B(c) A\B(d) B A(e) A (B C)

(f) (A B) (A C)(g) B\(A C)(h) A (i) B (j) U

19. Prove que, se A e B forem dois conjuntos quaisquer contidos num universo U , entao:

(a) A\B A(b) A B = A\B = A(c) A A = U

(d) A A = (e) A B A(f) A\B = A B

20. Sejam A = {a, b}, B = {j, k, l}. Determine:

(a) AA(b) AB(c) B A

(d) B B

(e) (AB) (B A)

21. Verifique se as afirmacoes seguintes sao verdadeiras ou falsas. Demonstre as afirmacoes verdadei-ras e apresente um contra-exemplo para cada uma das falsas.

(a) A B C A B A C(b) C A C B C A B(c) A B = A C B = C(d) A C B C A B C

(e) A B B C A C(f) A * B B C A * C(g) Se AB = AC, entao B = C

22. De exemplos de conjuntos A e B tais que se tenha simultaneamente A B e A B.23. Diga que condicoes devem verificar os conjuntos A e B para que sejam verdadeiras as condicoes:

(a) A B = A B (b) A B = A

24. Num universo de 200 estudantes, 50 estudam Matematica, 140 estudam Economia e 24 estudamambas as disciplinas. Dos 200 estudantes, 60 sao mulheres, das quais 20 estudam Matematica, 45estudam Economia e 16 delas estudam ambas as disciplinas.Determine, para o universo dos estudantes considerados, quantos homens e que nao estudam Ma-tematica nem Economia.

525. Diga, justificando, se cada uma das afirmacoes seguintes e verdadeira ou falsa.(a) A relacao de perpendicularidade entre rectas do(b) A relacao binaria R definida em N por x R y sse x+ y = 1 e uma equivalencia.

26. Considere os conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2} e C = {4, 5, 6}.(a) Determine em extensao os conjuntos AB,B A e A C.(b) De exemplos de relacoes de A para B e de B para A com quatro elementos.(c) De um exemplo de uma relacao simetrica em C com tres elementos.

27. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine cada uma das relacoes R indicadas a seguir e as propriedades(reflexividade, simetria, antisimetria, transitividade) de cada uma:

(a) < em A(b) em A

28. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. De um exemplo e uma relacao em A que seja:(a) reflexiva e simetrica mas nao transitiva(b) reflexiva e transitiva mas nao simetrica(c) simetrica e transitiva mas nao reflexiva

29. De entre os conjuntos que se seguem, determine os que sao equivalencias no universo {1, 2, 3, 4}.Para cada equivalencia, determine as respectivas classes:

(a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (3, 1)}(b) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}(c) {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}

30. Determine as propriedades (reflexividade, simetria, antisimetria, transitividade) de cada um dosseguintes subconjuntos de N N :

(a) {(m,n) : mn e par }(b) {(m,n) : m+ n 40}(c) {(m,n) : m n}(d) {(m,n) : m|n}(e) {(m,n) : m+ n = 10}

31. (a) Determine as propriedades (reflexividade, simetria, antisimetria, transitividade) de cada umadas seguintes relacoes, definidas no conjunto das pessoas:

i. e pai deii. e amigo de

iii. e tio de

6iv. e irmao de(b) Para cada uma das equivalencias da alnea anterior, determine a classe de equivalencia de um

elemento generico do conjunto das pessoas.32. Considere a relacao de paralelismo no conjunto L das rectas do plano euclideano. Prove que e

uma relacao de equivalencia. e anti-simetrica? Determine a particao de L induzida por .33. Mostre que R = {(x, y) : x, y Z, x y Z} e uma equivalencia em Z. Determine a classe de

equivalencia de 0.

34. Mostre que a relacao definida em Z por xRy 5|x y e uma equivalencia e determine :

(a) [0]R(b) [1]R

(c) [2]R(d) [5]R

35. Prove que a relacao definida em Z por

a b 3|a b

e uma equivalencia. Determine [0].

36. Considere a relacao definida em Z por

xRy x y e par.

(a) Prove que R e uma equivalencia.(b) De exemplo de tres elementos que pertencam a` classe de equivalencia de 0.

37. Considere a relacao definida em Z por a, b Z, a b se e so se a b e um numero inteironao negativo par.

(a) Verifique, justificando, que define uma relacao de ordem parcial em Z.(b) e uma relacao de ordem total? Justifique.