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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática

EEssttrruuttuurraass AAllggéébbrriiccaass

© Prof. M.Sc. Guilherme Luís Roëhe Vaccaro e-mail: [email protected]

Prof. M.Sc. Eliane Allgayer Canto

Versão deste material: 1.3.5

Porto Alegre, agosto de 2001.

Este material é de apoio para a disciplina de Estruturas Algébricas, oferecida ao curso de Informática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, não tendo a pretensão de esgotar os assuntos aqui abordados, mas sim de enfocar os aspectos importantes para o uso em Informática.

O relato de quaisquer erros ou outras sugestões e criticas construtivas será sempre bem-vindo.

Não alterar este material!

mailto:[email protected]

Estruturas Algébricas i

SSuummáárriioo

1 Introdução e Conceitos Básicos __________________________________________________ 1

1.1 Comentários Iniciais ________________________________________________________ 1

1.2 Conjunto, Elemento & Relação de Pertença _____________________________________ 1

1.2.1 Exemplos_____________________________________________________________ 1

1.2.2 Notações _____________________________________________________________ 2

1.2.3 Observações Importantes ________________________________________________ 2

1.3 Formas de Representação de Conjuntos ________________________________________ 2

1.3.1 Por Extensão__________________________________________________________ 2

1.3.2 Por Compreensão ______________________________________________________ 3

1.3.3 Por Gráficos___________________________________________________________ 3

1.3.4 Por Diagramas de Venn _________________________________________________ 4

1.4 Conjunto Vazio & Conjunto Universo ___________________________________________ 4

1.4.1 Notações _____________________________________________________________ 4

1.4.2 Observações __________________________________________________________ 4

1.4.3 Uma Propriedade Importante _____________________________________________ 5

1.5 Intervalos ________________________________________________________________ 5

2 Relações Entre Conjuntos _______________________________________________________ 6

2.1 Inclusão _________________________________________________________________ 6

2.1.1 Exemplos_____________________________________________________________ 6

2.1.2 Propriedades __________________________________________________________ 6

2.1.3 Exemplos_____________________________________________________________ 7

2.1.4 Observações __________________________________________________________ 7

2.2 Inclusão Estrita ____________________________________________________________ 7

2.2.1 Exemplos_____________________________________________________________ 7

2.2.2 Propriedades __________________________________________________________ 7

2.3 Igualdade ________________________________________________________________ 7

2.3.1 Exemplos_____________________________________________________________ 8

2.3.2 Propriedades __________________________________________________________ 8

3 Operações Entre Conjuntos______________________________________________________ 9

3.1 União ___________________________________________________________________ 9

3.1.1 Exemplos_____________________________________________________________ 9

3.1.2 Propriedades __________________________________________________________ 9

3.1.3 Observação Importante __________________________________________________ 9

3.1.4 Exemplos____________________________________________________________ 10

3.2 Interseção_______________________________________________________________ 10

3.2.1 Exemplos____________________________________________________________ 10

3.2.2 Propriedades _________________________________________________________ 11 Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto

Estruturas Algébricas ii

3.2.3 Observação Importante _________________________________________________ 11

3.2.4 Exemplos____________________________________________________________ 11

3.3 Propriedades Comuns à União e à Interseção___________________________________ 12

3.4 Diferença _______________________________________________________________ 12

3.4.1 Exemplos____________________________________________________________ 12

3.4.2 Propriedades _________________________________________________________ 12


3.5 Complementação _________________________________________________________ 13

3.5.1 Exemplos____________________________________________________________ 13

3.5.2 Propriedades _________________________________________________________ 13

3.5.3 Exemplos____________________________________________________________ 14

3.5.4 Uma Identidade Fundamental ____________________________________________ 14

3.6 Leis de De Morgan ________________________________________________________ 14

3.7 Diferença Simétrica _______________________________________________________ 14

3.7.1 Exemplos____________________________________________________________ 15

3.7.2 Propriedades _________________________________________________________ 15

3.7.3 Exemplo_____________________________________________________________ 15

4 Produto Cartesiano ___________________________________________________________ 16

4.1 Seqüências Ordenadas de Elementos _________________________________________ 16

4.2 Produto Cartesiano de Dois Conjuntos_________________________________________ 17

4.2.1 Definição ____________________________________________________________ 17

4.2.2 Exemplos____________________________________________________________ 17

4.2.3 Propriedades _________________________________________________________ 18


4.2.5 Exemplos____________________________________________________________ 18

4.3 Observação: Produto Cartesiano de Três Conjuntos ______________________________ 19

5 Guia de Consulta Rápida_______________________________________________________ 20

5.1 Notação ________________________________________________________________ 20

5.2 Propriedades das Relações Entre Conjuntos____________________________________ 21

5.3 Propriedades Fundamentais das Operações Entre Conjuntos_______________________ 21

5.4 Propriedades Auxiliares das Operações Entre Conjuntos __________________________ 22

5.5 Propriedades do Produto Cartesiano __________________________________________ 22

6 Exercícios __________________________________________________________________ 23

7 Respostas dos Exercícios ______________________________________________________ 25

Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto

Estruturas Algébricas 1

11 IInnttrroodduuççããoo ee CCoonncceeiittooss BBáássiiccooss

11..11 CCoommeennttáárriiooss IInniicciiaaiiss

Conjuntos são fundamentais para a formalização de qualquer teoria. Uma teoria é normalmente construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a um conjunto de elementos primitivos (que não precisam ser definidos). A partir destes elementos, e utilizando um conjunto de regras de inferência (tais como as leis e propriedades da Lógica Matemática), é criado um conjunto de propriedades, enunciados e provados através de teoremas.

Em particular, em Informática e Ciência da Computação, a Teoria de Conjuntos apresenta-se das mais diversas formas:

Como fundamento para a construção das Álgebras Booleanas, cerne da Computação Digital;

Como fundamento teórico para o desenvolvimento e validação da Teoria de Bancos de Dados;

Como fundamento teórico para o desenvolvimento de Linguagens Formais;

Etc.

11..22 CCoonnjjuunnttoo,, EElleemmeennttoo && RReellaaççããoo ddee PPeerrtteennççaa

Os conceitos primitivos da Teoria de Conjuntos são:

Conjunto

Elemento

Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência)

Não se pode definir um destes conceitos sem fazer referência aos demais. Com efeito:

Um conjunto é uma reunião de elementos segundo uma característica comum;

Um elemento é uma entidade que pertence a um conjunto;

A relação de pertença indica se um elemento pertence a um conjunto ou não. Se o elemento pertence ao conjunto é porque possui a característica de define aquele conjunto, e vice-versa.

Todos estes conceitos podem ser resumidos em uma expressão:

um elemento pertence a um conjunto.

11..22..11 EExxeemmppllooss São exemplos de conjuntos:

(a). A = { a }

(b). B = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... }

(c). C = { 1, 2, 3, 4, 6, 12, ... }

(d). D = { Terra, Sol, Lua }



11..22..22 NNoottaaççõõeess A seguinte notação é a usual em Teoria de Conjuntos:

Elementos: são normalmente representados por letras latinas minúsculas

Exemplos: a, b, c, ...

Conjuntos: são normalmente representados por letras latinas MAIÚSCULAS

Exemplos: A, B, C, ...

Relação de Pertença: é representada pelo símbolo ∈, criado por Georg Cantor.

x ∈ A significa o elemento x pertence ao conjunto A

x ∉ A significa o elemento x não pertence ao conjunto A

11..22..33 OObbsseerrvvaaççõõeess IImmppoorrttaanntteess A definição de um conjunto é sempre feita através de uma igualdade “=”.

Quando definidos em termos de seus elementos, conjuntos são sempre representados por expressões entre chaves.

Exemplo: A = { 1, 2, 3 }

11..33 FFoorrmmaass ddee RReepprreesseennttaaççããoo ddee CCoonnjjuunnttooss

Há diversas formas de representação de conjuntos. Algumas são mais adequadas para a compreensão de propriedades e características. Outras, são necessárias para a demonstração de teoremas, comprovação de propriedades, ou mesmo, para simplificação da representação.

11..33..11 PPoorr EExxtteennssããoo Consiste em descrever, um a um, todos os elementos do conjunto. Em conjuntos com muitos ou mesmo infinitos elementos podem ser usadas expressões indicando a lei de formação dos elementos pertencentes ao conjunto.

11..33..11..11 EExxeemmppllooss (a). A = { C++, Delphi, Smalltalk, Java, ... }

(b). B = { análise, projeto, implementação, teste, correção, término }

(c). C = { 1, 3, 5 }

(d). D = { N, R, Q, I, C }

(e). E = { ( 2, sair da cama ), ( 4, acordar ), ( 3, escovar os dentes ), ( 1, abrir os olhos ) }

(f). F = { a, e, i, o, u }

(g). G = { (1, a), (3, b), (5, c) }

11..33..11..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: permite a visualização de todos os elementos do conjunto, facilitando

raciocínios de inspeção.

Pontos negativos: só é prática ao se trabalhar com conjuntos finitos e com poucos elementos.



11..33..22 PPoorr CCoommpprreeeennssããoo Consiste em descrever o conjunto através de uma propriedade lógica (uma proposição) comum a todos seus elementos.

11..33..22..11 EExxeemmppllooss

(a). C = { x / x ∈ N ∧ x é ímpar ∧ x ≤ 5 }

(b). F = { z / z é múltiplo de 4 }

(c). U = { T / T é conjunto }

(d). G = { ( x, y ) / x ∈ R ∧ y = x + 1 }

(e). Q = { x / x = nm ∧ m ∈ Z ∧ n ∈ Z* } = {

nm / m ∈ Z ∧ n ∈ Z* }

(f). S = { x / x ∈ N } ou, simplesmente, S = N

(g). P = { k / k = 2n ∧ n ∈ N }

11..33..22..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: sucinta, fácil de manipular, formal e útil para o desenvolvimento de raciocínios.

Permite representar conjuntos com muitos (ou infinitos) elementos.

Pontos negativos: não permite a visualização direta dos elementos, exige a determinação formal de uma proposição para a propriedade que define o conjunto.

11..33..33 PPoorr GGrrááffiiccooss Consiste em descrever o conjunto através de gráficos cartesianos.

11..33..33..11 EExxeemmppllooss

(a). A = { x ∈ R / -1 ≤ x < 2 }

R-1 2

R

-1-2 110

(b). B = { ( x, y ) / x ∈ Z ∧ y ∈ R }

Z

11..33..33..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: São úteis para a compreensão de propriedades gráficas.

Pontos negativos: Em geral são difíceis de construir.



11..33..44 PPoorr DDiiaaggrraammaass ddee VVeennnn Diagramas de Venn são representações esquemáticas de conjuntos.

11..33..44..11 EExxeemmppllooss A

3

21

(a). A = { 1, 2, 3 }

(b). B = { 1, 2, 4 } C

3

6

B

4

21C = { 2, 3, 4, 6 }

11..33..44..22 OObbsseerrvvaaççõõeess Pontos positivos: São úteis apenas para a compreensão de propriedades através de exemplos.

Pontos negativos: Não podem ser usados em provas formais, pois não são capazes de representar propriedades de forma abstrata. Somente podem representar conjuntos finitos e discretos1.

11..44 CCoonnjjuunnttoo VVaazziioo && CCoonnjjuunnttoo UUnniivveerrssoo

Outros elementos primitivos da Teoria de Conjuntos são

o conjunto universo

o conjunto vazio

O conjunto universo é definido como o conjunto que contém todos os conjuntos. Isto é, é um conjunto do qual são tirados todos os elementos usados para a criação dos conjuntos com os quais se está trabalhando. Sua existência é fundamental para garantir a coerência da Teoria de Conjuntos.

O conjunto vazio é definido como um conjunto que não possui elementos. Sua existência também é fundamental para a definição das operações entre conjuntos.

11..44..11 NNoottaaççõõeess

Conjunto Universo: usualmente representado pelo símbolo U.

Conjunto Vazio: usualmente representado pelos símbolos ∅ ou { }.

11..44..22 OObbsseerrvvaaççõõeess

Há muitas formas de se definir, por compreensão, estes conjuntos. Por exemplo:

U = { x / x = x } = { x / x existe }

1 Isto é, cujos elementos não necessitam ser dispostos de forma contígua, ou seja, podem ser “contados com os dedos”. Formalmente diz-se que a propriedade de densidade não é satisfeita, ou seja, que, chegará o momento que entre dois elementos quaisquer do conjunto não será possível encontrar outro elemento do mesmo conjunto. Por exemplo, no conjunto dos números naturais, N, não é possível encontrar outro número natural entre 2 e 3. O mesmo acontece com todos os naturais consecutivos...



∅ = { x / x ≠ x } = { x ∈ R / x > x+1 } = { x ∈ R / x2 < 0 }

Observe também que: ∅ ≠ { ∅ }. Por quê?

11..44..33 UUmmaa PPrroopprriieeddaaddee IImmppoorrttaannttee Proposição: O conjunto vazio é único.

Demonstração2:

Sejam A1 e A2 dois conjuntos vazios.

A1 ⊆ A2 , pois (∀x) (x ∈A1 → x ∈ A2) é verdadeira, já que x ∈ A1 é sempre falso.

Da mesma forma, (∀x) (x ∈ A2 → x ∈ A1) é verdadeira; assim A2 ⊆ A1.

Portanto, (∀x) (x ∈ A1 ↔ x ∈ A2).

Logo, A1 = A2.

11..55 IInntteerrvvaallooss

Intervalos são conjuntos de números reais. Devido a sua importância e para facilitar sua escrita, foi adotada a seguinte notação:

Notação de Conjunto Notação de Intervalo

{ x ∈ R / a ≤ x ≤ b } [ a ; b ]

{ x ∈ R / a < x ≤ b } ( a ; b ]

] a ; b ]

{ x ∈ R / a ≤ x < b } [ a ; b )

[ a ; b [

{ x ∈ R / a < x < b } ( a ; b )

] a ; b [

2 Explicação da Demonstração:

Vamos demonstrar isto através de um raciocínio denominado “por contradição” ou “redução ao absurdo”. A idéia da prova é simples, apesar de os detalhes poderem ser um pouco indigestos para o leitor de primeira viagem...

Queremos mostrar que o conjunto vazio é único. Pois bem:

Inicialmente, vamos supor, por mais absurdo que seja, que existam dois conjuntos vazios diferentes;

Em seguida, vamos chegar à conclusão de que isto não pode acontecer. Então estaremos mostrando que não há outra alternativa a não ser existir somente um conjunto vazio.



22 RReellaaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss

O relacionamento entre conjuntos é o que torna a Teoria de Conjuntos útil. Este tópico será oportunamente abordado de forma mais geral posteriormente. Por hora, será suficiente compreender as relações básicas apresentadas a seguir. No entanto, é fundamental compreender que o relacionamento entre conjuntos é sempre feito através de proposições. Isto é, uma relação entre dois entes sempre gera uma proposição.

22..11 IInncclluussããoo

Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está contido em B se e somente se qualquer elemento de A for também elemento de B. Nestas condições escreve-se A ⊆ B.

Em notação lógica:

A ⊆ B ⇔ (∀x) (x ∈ A → x ∈ B)

22..11..11 EExxeemmppllooss

(a). N ⊆ Z

(b). { x ∈ Z / (∃ y ∈ Z )( y = 6x ) } ⊆ { x ∈ Z / (∃ y ∈ Z )( y = 2x ) }

(c). { x / x é par } ⊆ { x / 2x∈ Z }

22..11..22 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:

∅ ⊆ A

A ⊆ A (Reflexividade)

( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (Transitividade)

Prova:

Seja A um conjunto. Então: ∅ ⊆ A

Pela definição de inclusão temos que (∀x)( x ∈ ∅ → x ∈ A ).

Como a primeira proposição é falsa, então a implicação é verdadeira.

Logo, ∅ ⊆ A.

(Reflexividade)

Seja A um conjunto. Então: A ⊆ A

(∀x)( x ∈ A → x ∈ A ), já que x ∈ A é uma proposição verdadeira, então a implicação é verdadeira.

(Transitividade)

Sejam A, B, C conjuntos. Então A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C

Seja x ∈ A. Como A ⊆ B, temos que x ∈ B. Da mesma forma, como x ∈ B e B ⊆ C, então x ∈ C.

Logo, podemos concluir que A ⊆ C.




(a). N ⊆ Z ∧ Z ⊆ Q ⇒ N ⊆ Q

(b). { x / x é par } ⊆ { x / 2x∈ Z } ∧ { x /

2x∈ Z } ⊆ { x / x é par } ⇔ { x / x é par } = { x /

2x∈ Z }

22..11..44 OObbsseerrvvaaççõõeess

Pode-se também dizer que B contém A, denotando por B ⊇ A.

Em Teoria da Computação é muito comum se utilizar a notação em vez de ⊆. Isto porque a intepretação da inclusão é feita de maneira diferente:

Ao se escrever A ⊆ B está-se dizendo que B contém todos os elementos de A e, provavelmente, mais alguns.

Ao se escrever A B, que matematicamente é a mesma coisa, está-se dando a interpretação de que A possui mais qualidade de informação que B, pois possui menos elementos que B.

22..22 IInncclluussããoo EEssttrriittaa

Dados dois conjuntos, A e B, diz-se que A está estritamente contido em B se e somente se qualquer elemento de A for também elemento de B, mas A for diferente de B. Nestas condições escreve-se A ⊂ B.


A ⊂ B ⇔ (∀x)( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃y ∈ B / y ∉ A )


(a). N ⊂ Z

(b). Z ⊂ R


A ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ A

( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (Transitividade)

Não provaremos as propriedades acima pelo fato de as demonstrações serem semelhantes às apresentadas para a relação de Inclusão.

22..33 IIgguuaallddaaddee

Dois conjuntos, A e B, são iguais se e somente se tiverem exatamente os mesmos elementos. Nestas condições escreve-se A = B.


A = B ⇔ (∀x)( x ∈ A ↔ x ∈B )




(a). { 3− , 3 } = { x / } 3x2 =

(b). { -4, -2, -1, 1, 2, 4 } = { x / x é divisor de 4 }

(c). { x / x é par } = { x / 2x∈ Z }


A = A (Reflexividade)

A = B ⇒ B = A (Simetria)

( A = B ) ∧ ( B = C ) ⇒ A = C (Transitividade)

Prova:

(Reflexividade)

Seja A um conjunto. Então: A = A

Para todo x, x ∈ A se e somente se x ∈ A. Como a primeira proposição é verdadeira, logo a equivalência é verdadeira.

(Simetria)

Sejam A e B conjuntos tais que A = B. Então: B = A

Como A = B para todo x, x ∈ A se e somente se x ∈ B. Pela equivalência lógica ( p ↔ q ) ⇔

⇔ ( p → q ) ∧ (q → p), vem que (∀x ) ( x ∈ A → x ∈ B ). Assim, temos que B ⊆ A. Desta forma,

A ⊆ B e B ⊆ A. Logo, B = A.

(Transitividade)

Sejam A, B, C conjuntos, tais que A = B e B = C ⇒ A = C

Como A = B, pela hipótese, então A ⊆ B e B ⊆ A. Tomando B = C, temos que B ⊆ C e C ⊆ B. Como A ⊆ B e B ⊆ C, pela propriedade transitiva da inclusão, vem que A ⊆ C e C ⊆ A. Logo, A = C.



33 OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss

Relações e Operações não são sinônimos. Enquanto que as relações ( igualdade, inclusão, ... ) são essencialmente formas de comparar conjuntos, as operações são formas de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes. Na verdade, a definição de operações entre conjuntos permite-nos construir uma Estrutura Algébrica de Conjuntos, de forma semelhante à Estrutura Algébrica das Proposições.

Finalmente, é importante notar que uma operação entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como resposta.

33..11 UUnniiããoo

Dados dois conjuntos, A e B, a operação de união gera um novo conjunto cujos elementos são provenientes tanto de A, como de B. O conjunto união de A e B é denotado por A ∪ B.


A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }


(a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A ∪ B = { a, b, c, d }

(b). Sejam A = ∅ e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∪ B = { 1, 2, 4 }

(c). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∪ B =U


A ∪ B = B ∪ A (Comutatividade)

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (Associatividade)

A ∪ A = A (Idempotência)

A ∪ ∅ = A (elemento neutro)

A ∪ U = U (elemento absorvente)

Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de união, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.

33..11..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C

pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a união de A com B como a de B com C.




33..11..44..11 EExxeemmpplloo

N ∪ Z = Z, pois N ⊆ Z

Seja x ∈ N ∪ Z. Então, x ∈ N, ou x ∈ Z. Como N ⊆ Z, então podemos concluir que x ∈ Z.

Por outro lado, se x ∈ Z, então x ∈ N ∪ Z.

Logo, N ∪ Z = Z


Mostre que, sendo A e B conjuntos, então A ⊆ A ∪ B.

Demonstração:

Sejam A e B conjuntos.

(∀x) (x∈A* ⇒ x∈A ∨ x∈B ⇔ x ∈ A ∪ B)

* p ⇒ p ∨ q


Mostre que ( ∀ A, B )( A ⊆ B → A ∪ B = B ).

Demonstração:

Sejam A e B conjuntos, tais que

Caso 1: Seja x ∈ A ∪ B.

Então x ∈ A ou x ∈ B.

Como x ∈ B, temos que A ∪ B ⊆ B.

Logo, A ∪ B = B

Caso 2: Seja x ∈ B.

Como B ⊆ A ∪ B e A ∪ B ⊆ B.

Logo, A ∪ B = B

Logo ( ∀ A, B )( A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B ).

33..22 IInntteerrsseeççããoo

Dados dois conjuntos, A e B, a operação de interseção gera um novo conjunto cujos elementos devem ser os comuns a A e B. O conjunto interseção de A e B é denotado por A ∩ B.


A ∩ B = { x ∈U / x ∈ A ∧ x ∈ B }


(a). Sejam A = { a, b, c } e B = { a, b, d }. Então A ∩ B = { a, b }

(b). Sejam A = { ☺, , } e B = { , }. Então A ∩ B = ∅

(c). Sejam A = ∅ e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∩ B = ∅

(d). Sejam A = U e B = { 1, 2, 4 }. Então A ∩ B = { 1, 2, 4 }




A ∩ B = B ∩ A (Comutatividade)

( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Associatividade)

A ∩ A = A (Idempotência)

A ∩ ∅ = ∅ (elemento absorvente)

A ∩ U = A (elemento neutro)

Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de interseção, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.

33..22..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que

( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩C

pois, pela propriedade de associatividade, tanto faz resolver primeiro a interseção de A com B como a de B com C.



Mostre que ( ∀ A )( A ∩ ∅ = ∅ ).

Demonstração:

Seja A um conjunto. Então A ∩ ∅ = ∅

Vamos supor que A ∩ ∅ ≠ ∅. Então existe x ∈ A ∩ ∅.

Assim, x ∈ A e x ∈ ∅. Porém, x ∈ ∅ é falso. Então x ∈ A ∩ ∅ é falso.

Logo, A ∩ ∅ = ∅


Mostre que ( ∀ A, B )( A ⊆ B → A ∩ B = A ).

Demonstração:

Sejam A e B conjuntos, tais que A ⊆ B. Mostraremos a tese observando que

A ∩ B = A ⇔ ( A ∩ B ⊆ A ) ∧ ( A ⊆ A ∩ B ).

Caso 1: Seja x ∈ A ∩ B. Então:

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A

Logo, A ∩ B ⊆ A

Caso 2: Seja x ∈ A.

Se x ∈ A, então, pela hipótese, x ∈ B, pois A ⊆ B ⇔ ∀x, x ∈ A → x ∈ B ⇔ V.

Logo, A ⊆ B ⇒ A ⊆ A ∩ B

Logo ( ∀ A, B )( A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A ).



33..33 PPrroopprriieeddaaddeess CCoommuunnss àà UUnniiããoo ee àà IInntteerrsseeççããoo

Sejam A, B e C conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:

( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (Distributividade – da união em relação à interseção)

( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (Distributividade – da interseção em relação à união)

( A ∪ B ) ∩ A = A (Absorção)

( A ∩ B ) ∪ A = A (Absorção)

Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da associação com propriedades dos operadores lógicos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.

33..44 DDiiffeerreennççaa

Dados dois conjuntos, A e B, a operação de diferença entre A e B gera um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a A, mas não pertencem a B. O conjunto diferença de A e B é denotado por A – B.


A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }

33..44..11 EExxeemmppllooss (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 4 }. Então A – B = { 1, 3 }

(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A – B = { 1, 2, 3 }

(c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { ♦, ♥, ♠, ♣ }. Então A – B = { 1, 2, 3 }

(d). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = ∅. Então A – B = { 1, 2, 3 }

(e). Sejam A = { x ∈ N / x é múltiplo de 5 } e B = { x ∈ N / x é par }. Então

A – B = { 5, 15, 25, 35, ... }


A – B ⊆ A

A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A

A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = C ⇔ A = C – B

( A – B ) ∩ B = ∅

( A – B ) ∪ B = A ∪ B

( A ∪ B ) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C ) (Distributividade)

( A ∩ B ) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C ) (Distributividade)

A – ∅ = A

A – U = ∅

∅ – A = ∅

Observação: As provas das propriedades acima são obtidas a partir da definição de diferença de conjuntos, não sendo apresentadas aqui, mas deixadas a título de exercício de aula ou extra-classe.



33..44..33 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos,

A – B ≠ B – A, em geral.

33..55 CCoommpplleemmeennttaaççããoo

Sejam A e E conjuntos tais que A ⊆ E. Então:

Define-se o conjunto complementar de A em relação a E como o conjunto formado por todos os elementos de E que não pertencem a A. Neste caso, o conjunto complementar é denotado por CEA , por AE’ ou por EA .


CEA = { x / x ∈ E ∧ x ∉ A }

Um caso particular, mas muito útil, é o conjunto complementar de A em relação ao conjunto universo. Neste caso, temos E = U. Então o conjunto complementar é denotado por CA , por A’ ou por A .


A’ = { x ∈ U / x ∉ A }

Observação: A Complementação é um caso particular (muito importante) da operação de diferença.


(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2 }. Então CBA não está definido, pois A ⊄ B.

(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 1,2, 3, 4, 5, 6 }. Então CBA = {4, 5, 6}

(c). Seja A = { 1, 2, 3 }. Então AN’ = { 0, 4, 5, 6, ...}

33..55..22 PPrroopprriieeddaaddeess

Sejam A, B e E conjuntos tais que A ⊆ E e B ⊆ E. Então são válidas as seguintes propriedades:

Propriedade geral Em particular

( AE’ )E’ = A. ( A’ )’ = A.

A ⊆ B ⇒ BE’ ⊆ AE’ A ⊆ B ⇒ B’ ⊆ A’

AE’ ∪ A = E A’ ∪ A = U

AE’ ∩ A = ∅ A’ ∩ A = ∅

( U )’ = ∅

( ∅ )’ = U






Mostre que ( U )’ = ∅.

Demonstração:

Pela definição de conjunto complementar, temos que ( U )' é o complementar de ( U )em relação ao conjunto Universo. Como U é o próprio conjunto universo.

Logo, só podemos ter ( U )' = ∅


Mostre que ( ∀ A, B )( A ∩ B ∩ A’ = ∅ )

Demonstração:

Seja x ∈ A ∩ B. Assim x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ A, pela definição de complementar, x ∉ A'. Assim, podemos concluir que se x ∈ A ∩ B, então x ∉ A'.

Logo, A ∩ B ∩ A' = ∅

33..55..44 UUmmaa IIddeennttiiddaaddee FFuunnddaammeennttaall

Sejam A e B conjuntos. Então A – B = A ∩ B’.

Demonstração:

Seja x ∈ A – B, então x ∈ A e x ∉ B. Assim, x ∈ B'. Como x ∈ A e x ∈ B', então x ∈ A ∩ B'.

33..66 LLeeiiss ddee DDee MMoorrggaann

Sejam A e B conjuntos. São válidas as seguintes propriedades:

( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’

( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’

Vamos demonstrar a primeira destas propriedades. A demonstração da outra é similar e poderá ser feita seguindo os passos aqui apresentados.

Demonstração:

Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ ( A ∪ B )’. Então: x ∈ A'∩B'

x ∈ ( A ∪ B )’ ⇔ x ∈ U ∧ x ∉ A ∪ B.

Seja x ∈ (A ∪ B)', pela definição de complementar, x ∉ A ∪ B. Então x ∈ U, mas x ∉ A e x ∉ B. Assim, x ∈ A' e x ∈ B'.

Logo, x ∈ A' ∩ B'.

33..77 DDiiffeerreennççaa SSiimmééttrriiccaa

Dados dois conjuntos, A e B, define-se a diferença simétrica entre A e B como o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a apenas um conjuntos. Isto é, o conjunto resultante da diferença simétrica entre A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, juntamente com os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. A notação utilizada para representar este conjunto é A ∆ B.




A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } = (A – B) ∪ (B – A)


(a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 3, 4 }. Então A ∆ B = { 1 } ∪ { 4 }

(b). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5, 6 }. Então A ∆ B = { 1, 2, 3 } ∪ { 4, 5, 6 }

(c). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 3, 6, 9 }. Então A ∆ B = {1, 2 } ∪ { 6, 9}


A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A )

A ∆ B = B ∆ A (Comutatividade)

( A ∆ B ) ∪ C = ( A ∆ C ) ∩ ( B ∆ C ) (Distributividade)

( A ∆ B ) ∩ C = ( A ∆ C ) ∪ ( B ∆ C ) (Distributividade)

A ∆ ∅ = A

A ∩ B = ∅ ⇔ A ∆ B = A ∪ B


33..77..33 EExxeemmpplloo Mostre que

( ∀ A, B )( ( A – B ) ∪ ( B – A ) = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A ) )

Demonstração:

Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ (A – B) ∪ (B – A). Então x ∈ (A – B) ou x ∈ (B – A).

Como x ∈ ( A – B ), então x ∈ A e x ∉ B. Assim, x ∈ A ∪ B e x ∉ B ∩ A.

Logo, x ∈ (A ∪ B) – (B ∩ A).

Um outro modo:

Demonstração:

Sejam A e B conjuntos. Seja x ∈ (A ∪ B) – (B ∩ A). Então x ∈ (A ∪ B) e x ∉ (B ∩ A).

Como x ∈ (A ∪ B), então x ∈ A ou x ∈ B. Porém, x ∉ (B ∩ A), então x ∉ B ou x ∉ A.

Logo, x ∈ (A – B) ∪ (B – A).



44 PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo

O produto cartesiano de conjuntos ocupa lugar de destaque dentre as operações definidas na Teoria de Conjuntos, principalmente no que toca as suas aplicações à Informática. Isto porque permite definir conjuntos de natureza diferente dos originais, através da associação ordenada de seus elementos. Aplicações comuns do produto cartesiano são, entre outras:

gráficos;

especificação de relações entre conjuntos de dados;

representação de regras lógicas através de relações.

44..11 SSeeqqüüêênncciiaass OOrrddeennaaddaass ddee EElleemmeennttooss

Seqüências ordenadas de elementos (ou n-uplas ordenadas) são arranjos de elementos de forma seqüencial. Há diversas formas de se representar tais seqüências, tais como vetores ou matrizes linha. Na Teoria de Conjuntos, a representação adequada para uma seqüência ordenada de n elementos é dada da seguinte forma:

( a1, a2, a3, ..., an )

Vale ressaltar que as seqüências ( a1, a2, a3, ..., an ) e ( a2, a1, a3, ..., an ) não são iguais, por exemplo. Além disso, observe-se que a natureza dos elementos ai (1 ≤ i ≤ n ) não precisa ser a mesma. Isto é, a1 pode ser um número, enquanto que a2 pode ser um nome, por exemplo. O importante é perceber que cada posição define a natureza do elemento que ali pode ser colocado.

O conceito de seqüência ordenada é fundamental em Informática, pois é usado como fundamento para a definição de listas ordenadas, de vetores e de registros de bancos de dados. Por exemplo, os registros de banco de dados

Número Nome Idade Cidade

1 João 20 Porto Alegre

2 Maria 19 Caxias do Sul

Podem ser conceitualmente representados pelas tetra-uplas:

( 1, João, 20, Porto Alegre )

(2, Maria, 19, Caxias do Sul )

Matematicamente, os tipos mais usados de seqüências ordenadas são:

Pares Ordenados: Um par ordenado é uma seqüência ordenada de dois elementos.

Exemplos: ( 1, 2 ),

( a, 1 ),

( Informática, 401 ),

( ( nome, endereço ), código )



Ternas Ordenadas: Uma terna ordenada é uma seqüência ordenada de três elementos.

Exemplos: ( 1, 2, 3 ),

( a, 1, v ), ( Informática, 401, PUCRS ),

( ( nome, endereço ), código, saldo )

44..22 PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo ddee DDooiiss CCoonnjjuunnttooss

44..22..11 DDeeffiinniiççããoo Sejam A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B é o conjunto formado por pares ordenados cujo primeiro elemento é proveniente de A e o segundo, de B. Este conjunto é denotado por A x B.


A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B }

44..22..22 EExxeemmppllooss (a). Sejam A = { 1, 2, 3 } e B = { 4, 5 }. Então:

A x B = { ( 1, 4 ), ( 1, 5 ), ( 2, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 4 ), ( 3, 5 ) }

B x A = { ( 4, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 3 ), ( 5, 1 ), ( 5, 2 ), ( 5, 3 ) }

Estes conjuntos podem ser representados pelos gráficos abaixo:

Em particular, observe que A x B ≠ B x A.

(b). Sejam A = [ 1, 2 ] e B = [ 3, 4 ). Então, o produto A x B pode ser representado pelo gráfico ao lado.



(c). O plano cartesiano é dado pelo conjunto R x R.

Observação: Uma outra notação para R x R é R2, mas isto nada tem a ver com elevar os números reais ao quadrado! É apenas uma notação!!!

(d). Sejam A = { -1, 1 } e B = [ -2, 3 ]. O produto cartesiano A x B é o conjunto representado no gráfico ao lado.

(e). Sejam A = ∅ e B = [ 2, 3 ]. Então:

A x B = ∅

B x A = ∅

44..22..33 PPrroopprriieeddaaddeess Sejam A, B, C e D conjuntos. Então são válidas as seguintes propriedades:

A x ( B ∪ C ) = ( A x B ) ∪ ( A x C )

A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )

A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C

( A x B ) ∩ ( C x D ) = ( A ∩ C ) x ( B ∩ D )

A x B = ∅ ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ )

A x B = B x A ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) ∨ ( A = B )


44..22..44 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee Note que, em geral a comutatividade não é válida. Isto é, para A e B conjuntos,

A x B ≠ B x A, em geral.



Determine { x ∈ N / ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 } x { x ∈ N / ( x – 2 )( x – 3 ) = 0 }.

Solução: { 1, 3 } x { 2, 3 } = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) }


Encontre o valor lógico da proposição ( ∀ A, B, C )( A x C = B x C → A = B )

Solução:

Seja ( x, y ) ∈ A x C. Então x ∈ A e y ∈ C. Como A x C = B x C, então ( x, y ) ∈ B x C. Assim, x ∈ B e y ∈ C.

Logo, A = B.

Logo, a proposição é verdadeira.




Represente graficamente o subconjunto do produto cartesiano R2 definido por S = { ( x, y ) / x+y ≥ 1 }.

Solução:

44..33 OObbsseerrvvaaççããoo:: PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo ddee TTrrêêss CCoonnjjuunnttooss

Sejam A, B e C conjuntos. O produto cartesiano de A, B e C é o conjunto formado por ternas ordenadas cujo primeiro elemento é proveniente de A, o segundo, de B e o terceiro, de C. Este conjunto é denotado por A x B x C.


A x B x C = { ( x, y, z ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C }

Note que ( A x B ) x C ≠ A x B x C

Da mesma forma A x ( B x C ) ≠ A x B x C

Por quê ? Observe que os elementos do conjunto gerado por A x ( B x C ) serão, na verdade, pares ordenados! No entanto, os elementos do conjunto gerado pela operação de produto cartesiano triplo, A x B x C, serão ternas ordenadas. Isto fica mais fácil de se entender se descrevermos os conjuntos em termos de seus elementos:

Utilizaremos, apenas por simplicidade, a variável x para referir aos elementos do conjunto A, a variável y para referir aos elementos do conjunto B e a variável z para referir aos de C. Isto é:

A = { x / x ∈ A }

B = { y / y ∈ B }

C = { z / z ∈ C }

Então: B x C = { ( y, z ) / y ∈ B ∧ z ∈ C }

Ora, mas

A x ( B x C ) = { ( x, w ) / x ∈ A ∧ w ∈ B x C }

= { ( x, ( y, z ) ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C }

Da definição acima, temos que

A x B x C = { ( x, y, z ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C }

Observe-se, então, que a proposição que define os conjuntos é a mesma, mas a estrutura dos elementos, não!



55 GGuuiiaa ddee CCoonnssuullttaa RRááppiiddaa

55..11 NNoottaaççããoo

Conjuntos

Representados sempre usando chaves. A única exceção é feita aos intervalos, que possuem notação própria.

Os nomes são dados por letras maiúsculas. A atribuição é feita pelo sinal de igualdade.

Exemplo: A = { 1, 2, 3 }.

Elementos Representados por letras minúsculas. Um elemento pertence a um conjunto.

Exemplo: x ∈ R.

∈ Relação de pertença. Um elemento pertence a um conjunto.

∉ Negação da relação de pertença. Indica que um elemento não pertence a um conjunto. Escrever x ∉ A é o mesmo que escrever ¬ ( x ∈ A ).

= Relação de igualdade.

A = B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A ↔ x ∈ B )

⊆ Relação de inclusão.

A ⊆ B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B )

⊂ Relação de inclusão estrita

A ⊂ B ⇔ ( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( ∃ y )( y ∈ B ∧ y ∉ A )

⊄ Negação da relação de inclusão.

A ⊄ B ⇔ ( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∉ B )

∪ Operação de união.

A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }

∩ Operação de Interseção.

A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }

– Operação de Diferença.

A – B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }

AE’ ou CEA Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto E.

A ⊆ E ⇒ AE’ = E – A = { x / x ∈ E ∧ x ∉ A }

A’ ou CA Operação de Complementação do conjunto A em relação ao conjunto Universo.

A’ = U – A = { x / x ∉ A }

∆ Operação de Diferença Simétrica.

A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) }

x Operação de Produto Cartesiano de dois conjuntos.

A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B }



55..22 PPrroopprriieeddaaddeess ddaass RReellaaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss

Sejam A, B e C conjuntos. Seja ∅ o conjunto vazio. Então:

(1). A = A (Reflexividade)

(2). A = B ⇒ B = A (Simetria)

(3). ( A = B ) ∧ ( B = C ) ⇒ A = C (Transitividade)

(4). ∅ ⊆ A

(5). A ⊆ A (Reflexividade)

(6). ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C (Transitividade)

(7). ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A ) ⇔ A = B (Anti-Simetria)

(8). A ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ A

(9). ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (Transitividade)

55..33 PPrroopprriieeddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddaass OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss

Sejam A, B e C conjuntos. Sejam ∅ o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então:

(1). A ∪ A = A (Idempotência ou Idemponência)

(2). A ∪ B = B ∪ A (Comutatividade)

(3). ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (Associatividade)

(4). A ∪ ∅ = A

(5). A ∪ U = U

(6). A ∩ A = A (Idempotência ou Idemponência)

(7). A ∩ B = B ∩ A (Comutatividade)

(8). ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (Associatividade)

(9). A ∩ ∅ = ∅

(10). A ∩ U = A

(11). ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (Distributividade – da união em relação à interseção)

(12). ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (Distributividade – da interseção em relação à união)

(13). ( A ∪ B ) ∩ A = A (Absorção)

(14). ( A ∩ B ) ∪ A = A (Absorção)

(15). A’ ∪ A = U

(16). A’ ∩ A = ∅

(17). ( A’ )’ = A

( U )’ = ∅

( ∅ )’ = U

(18). ( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’ (Lei de De Morgan)

(19). ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’ (Lei de De Morgan)



55..44 PPrroopprriieeddaaddeess AAuuxxiilliiaarreess ddaass OOppeerraaççõõeess EEnnttrree CCoonnjjuunnttooss

Sejam A, B e C conjuntos. Sejam ∅ o conjunto vazio e U o conjunto universo. Então:

(1). A – B ⊆ A

(2). A ∩ B = ∅ ⇔ A – B = A

(3). A ∩ B = ∅ ∧ A ∪ B = C ⇔ A = C – B

(4). ( A – B ) ∩ B = ∅

(5). ( A – B ) ∪ B = A ∪ B

(6). ( A ∪ B ) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C )

(7). ( A ∩ B ) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C )

(8). A – ∅ = A

(9). A – U = ∅

(10). ∅ – A = ∅

(11). ( AE’ )E’ = A.

(12). A ⊆ B ⇒ BE’ ⊆ AE’

(13). A ⊆ B ⇒ B’ ⊆ A’

(14). AE’ ∪ A = E

(15). AE’ ∩ A = ∅

(16). A ∆ B = ( A – B ) ∪ ( B – A )

(17). A ∆ B = ( A ∪ B ) – ( B ∩ A )

(18). A ∆ B = B ∆ A

(19). ( A ∆ B ) ∪ C = ( A ∆ C ) ∩ ( B ∆ C )

(20). ( A ∆ B ) ∩ C = ( A ∆ C ) ∪ ( B ∆ C )

(21). A ∆ ∅ = A

(22). A ∩ B = ∅ ⇔ A ∆ B = A ∪ B

55..55 PPrroopprriieeddaaddeess ddoo PPrroodduuttoo CCaarrtteessiiaannoo

Sejam A, B e C conjuntos. Seja ∅ o conjunto vazio. Então:

(1). A x ( B ∪ C ) = ( A x B ) ∪ ( A x C )

(2). A x ( B ∩ C ) = ( A x B ) ∩ ( A x C )

(3). A ⊆ B ⇒ A x C ⊆ B x C

(4). ( A x B ) ∩ ( C x D ) = ( A ∩ C ) x ( B ∩ D )

(5). A x B = ∅ ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ )

(6). A x B = B x A ⇔ ( A = ∅ ) ∨ ( B = ∅ ) ∨ ( A = B )



66 EExxeerrccíícciiooss

1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos :

(a) { x ∈ R / | x | < 2 }

(b) { x ∈ N / ( ∀ y ) ( y é par → x ≠ y ) }

2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A ∩ B = { d, e } e A ∪ B = { a, b, d, e, f }.

3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ C. Sejam a, b, c, d, e, f ∈ U tais que a ∈ A, b ∈ B-A, c ∈ C-B, d ∉ A, e ∉ B e f ∉ C. Quais das afirmações abaixo são corretas?

(a) a ∈ C (b) b ∈ A (c) c ∉ A

(d) b ∈ B (e) e ∉ A (f) f ∉ A

4. Sejam A = { ( x, y ) / ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ) } e B = { ( x, y ) / ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 ≤ 25 } .Prove que A ⊆ B.

Dica: Pense em termos de circunferências. As fórmulas você encontra no seu material de 2º Grau.

5. programa QUAD encontra e imprime soluções de equações quadráticas da forma a.x2 + b.x +c = 0. O programa PAR lista todos os inteiros da forma -2n a 2n, para cada n dado. Seja Q o conjunto dos valores de saída de QUAD e E o conjunto dos valores de saída de PAR. Mostre que para a = 1 , b = -2 ,c = -24 e n =50 , Q ⊆ E.

6. Para cada uma das sentenças a seguir, encontre as condições mais gerais possíveis para os conjuntos A e B de modo a tornar as sentenças verdadeiras:

(a) A ∪ B = A (b) A ∪ ∅ = ∅ (c) A ∪ B ⊆ A ∩ B

(d) A ∩ B = A (e) B - A = ∅

7. Sejam A e B dois conjuntos. Prove que: A ⊆ B → A ∩ B = A.

8. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que:

(a) A - B = B' - A'

(b) A ∪ ( B - C ) = ( A ∪ B ) - ( C - A )

(c) ( A - B )' = A' ∪ B

9. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta.

(a) A ∩ B = C ∩ B → B - A = B – C

(b) A ∪ ( B - A ) = A ∪ B



(c) A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C

(d) ( A' ∪ B' )' = A ∩ B

(e) ( A ∪ B ) - C = A ∪ ( B - C )

(f) ( A ∪ B )' = B' ↔ A ⊆ B

(g) ( A ∪ B ) ∩ B' = A ↔ A ∩ B = ∅

(h) A ∩ B = ∅ → A ⊆ B'

(i) A - B = A - C ↔ B = C

(j) A x B = B x A ↔ A = B

(k) ( A x C ) ∪ ( B x C ) = ( A ∪ B ) x C

(l) ( A ∪ B ) ∩ C = A ∪ ( B ∩ C )

(m) A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )

(n) A ∆ B ⊆ A ∪ B

10. Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B = [-2,1] e C = { x ∈ R / x2 + 3.x + 2 ≥ 0 }. Represente graficamente os produtos cartesianos:

(a) A x B (b) C x B

(c) C x C (d) B x C

Seja A um conjunto. Chamamos de Conjunto das Partes de A ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Notação: P(A)

Ex.: A = { 1, 2 } P(A) = { ∅, {1}, {2}, A }

11. Sejam os conjuntos A = { 1 } e B = { 2, 3 }. Determine:

(a) P( A × B ) (b) P( A × B ) × B (c) CDxD AxB onde D = { n ∈ N | n < 8 }

12. De acordo com o nosso uso da palavra conjunto, se A é um subconjunto do conjunto universo S, então qualquer elemento de S ou pertence ou não pertence a A. Em outras palavras, a probabilidade de um elemento x de S pertencer a A é 1 (quando x é um elemento de A) ou 0 (quando x não é um elemento de A) .A é um conjunto FUZZY se todo elemento de S tem a probabilidade p, 0 ≤ p ≤ 1, de ser um elemento de A. A probabilidade p associada a x é uma estimativa da possibilidade de que x possa pertencer a A quando a composição de A é desconhecida. Operações de conjuntos podem ser realizadas com conjuntos FUZZY da seguinte maneira: “Se o elemento x tem a probabilidade p1 de pertencer a A e a probabilidade p2 de pertencer a B, então a probabilidade de x ser um elemento de A ∪ B é dada por p1 + p2 – p1.p2.”

Seja S um conjunto de possíveis agentes causadores de doenças,

S = { genética, vírus, nutrição, bactéria, ambiente }.

Os conjuntos FUZZY "AIDS" e "mal de ALZHEIMER" são definidos como:

AIDS = { genética, 0.2; vírus, 0.8; nutrição, 0.1; bactéria, 0.4; ambiente, 0.3 } e

ALZHEIMER = { genética, 0.7; vírus, 0.4; nutrição, 0.3; bactéria, 0.3; ambiente, 0.4 }

Encontre o conjunto FUZZY AIDS ∪ ALZHEIMER



77 RReessppoossttaass ddooss EExxeerrccíícciiooss

1.

(a). ( -2; 2 ) = { x ∈ R / -2 < x < 2 }

(b). { 1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ... } = { x / x = 2n + 1, n ∈ N }

2. A = { a, b, d, e }, B = { d, e, f }

3. (a). V (b). F (c). F (d). V (e). V (f). V

4. Seja ( x ,y ) ∈ A. Então ( x, y ) está a três unidades do ponto ( 1, 4 ).

Neste caso temos que ( ( x –1 )2 + ( y – 4 )2 )1/2 = 3 ,

ou seja ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 = 9 ≤ 25.

Logo ( x, y ) ∈ B.

Temos então que ∀ ( x, y ), ( x, y ) ∈ A → ( x, y ) ∈ B ⇔ A ⊆ B.

5. Q = { -4 , 6 } ⊆ { x ∈ Z / -100 ≤ x ≤ 100 } = E

6. (a) B ⊆ A (b) A = ∅ (c) A = B (d) A ⊆ B (e) B ⊆ A

7. Sejam A, B conjuntos tais que A ⊆ B. Seja x ∈ A.

Como A ⊆ B ,temos que x ∈ B.

Então x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B. Portanto, A ⊆ A ∩ B.

Por outro lado, temos que: x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B. Portanto x ∈ A.

Temos então que A ∩ B ⊆ A. Desta forma podemos concluir que A ∩ B = A.

Logo, A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A.

8.

(a). Sejam A, B conjuntos.

Então: B' - A'= { x / x∈ B'∧ x ∉A'} = { x / x ∉B ∧ x ∈ A } = { x / x ∈ A ∧ x ∉B } = A - B

Logo, A – B = B’ - A'.

(b). Sejam A, B, C conjuntos. Então:

∀x, x ∈ A ∪ ( B - C ) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B - C) ⇔ x ∈A ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ C ) ⇔

⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( x ∈A ∨ x ∉ C ) ⇔ x ∈ (A ∪ B) - (C - A)

Logo, A ∪ ( B - C ) = (A ∪ B) - (C - A).



(c). Sejam A, B conjuntos.

∀x, x ∈ (A - B)' ⇔ x ∉ A - B ⇔ x ∉ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A' ∪ B

Logo, (A - B)' = A' ∪ B.

9.

OBSERVAÇÃO: Equivalências lógicas usadas em vários itens :

p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p )

( p ∧ q ) ∨ r ⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )

( p ∨ q ) ∧ r ⇔ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r )

p ∧ q ⇒ p

p ∨ f ⇒ p

p ⇒ p ∧ v

(a). A proposição é verdadeira. PROVA:

Sejam A e B conjuntos tais que A ∩ B = C ∩ B.

B - A = { x / x ∈ B ∧ x ∉ A }. Então:

Usando a equivalência lógica p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ), iremos separar a prova da proposição em duas etapas:

∀x, x ∈ B - A ⇔ x ∈ B ∧ x ∉ A ⇒ x ∉ A ∩ B, pois x ∉ A.

Como A ∩ B = C ∩ B ⇒ x ∉ C ∩ B.

Mas, como x ∈ B ⇒ x ∉ C. Portanto, x ∈ B ∧ x ∉ C ⇔ x ∈ B - C.

Temos então que ∀x, x ∈ B - A ⇒ x ∈ B - C. Logo B - A ⊆ B - C.

(Note que há implicações no raciocínio e, então, só vale a “ida”. Precisamos agora provar a “volta”!)

Por outro lado ∀x, x ∈ B - C ⇔ x ∈ B ∧ x ∉ C ⇒ x ∉ B ∩ C, pois x ∉ C.

Como A ∩ B = C ∩ B ⇒ x ∉ A ∩ B.

Mas, como x ∈ B ⇒ x ∉ A. Portanto, x ∈ B ∧ x ∉ A ⇔ x ∈ B - A.

Temos então que ∀x, x ∈ B - C ⇒ x ∈ B - A. Logo B - C ⊆ B - A.

Logo, A ∩ B = C ∩ B ⇒ B – A = B – C.

(b). A proposição é verdadeira. PROVA:


∀x, x ∈ A ∪ ( B - A ) ⇔ x ∈ A ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) ⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ (x ∈ A ∨ x ∉ A ) ⇔

⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ⇔ x ∈ A ∪ B.

Logo, A ∪ ( B - A ) = A ∪ B.

(c). A proposição é falsa. PROVA:

Existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 1, 5, 9 } tais que:

A ∩ B = { 1 } ∧ A ∩ C = { 1 }, ou seja: A ∩ B = A ∩ C.



Mas B ≠ C.

Logo, ¬ (A ∩ B = A ∩ C → B = C).

Logo, a proposição (A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C) é falsa.

(d). A proposição é verdadeira. PROVA:

Sejam A e B conjuntos. Então, usando uma das leis de De Morgan para conjuntos, temos:

( A' ∪ B' )' = ( A' )' ∩ (B' ) ' = A ∩ B.

Logo, ( A' ∪ B' )' = A ∩ B.

(e). A proposição é falsa. PROVA:

Existem os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5 } e C = { 1, 5 } tais que:

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e

(A ∪ B) - C = {2, 3, 4 }

Mas:

B - C = { 4, 5 } - { 1, 5 } = { 4 }

A ∪ ( B - C ) = { 1, 2, 3, 4 }

Então, neste caso, (A ∪ B) - C ≠ A ∪ ( B - C ).

Logo, a proposição é falsa.

(f). A proposição é verdadeira. PROVA:


Sabemos que ( A ∪ B )' = A' ∩ B'.

Então mostrar que A' ∩ B' = B' ↔ A ⊆ B é o mesmo que mostrar a proposição original.

Usando a equivalência lógica p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ), iremos separar a prova da proposição em duas etapas:

Parte 1: A' ∩ B' = B' → A ⊆ B.

Suponhamos que A' ∩ B' = B'.

∀ x, x ∈ A ⇔ x ∉ A' ⇒ x ∉ A' ∩ B'.

Como A' ∩ B' = B’ então x ∉ A' ∩ B' ⇔ x ∉ B' ⇔ x ∈ B.

Conclusão : ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Logo: A' ∩ B' = B' ⇒ A ⊆ B.

Parte 2: A ⊆ B → A' ∩ B' = B'

Suponhamos que A ⊆ B.

∀x, x ∈ B' ⇔ x ∉ B.

Como A ⊆ B então x ∉ B ⇒ x ∉ A ⇔ x ∈ A'.

Conclusão: x ∈ B' ⇒ x ∈ A' ∩ B'. Então B' ⊆ A' ∩ B'.

Por outro lado, ∀x, x ∈ A' ∩ B' ⇔ x ∈ A' ∧ x ∈ B' ⇒ x ∈ B'.

Conclusão: x ∈ A' ∩ B' ⇒ x ∈ B'. Então A' ∩ B' ⊆ B’.



Conclusão final : Por (1) e (2) vem que A' ∩ B' = B' ⇔ A ⊆ B.

(g). A proposição é verdadeira. PROVA:


Sabemos que dados conjuntos E, F e H quaisquer, temos ( E ∪ F ) ∩ H = ( E ∩ H ) ∪ ( F ∩ H ).

Usando esta propriedade, temos:

( A ∪ B ) ∩ B' = ( A ∩ B' ) ∪ ( B ∩ B' ) = ( A ∩ B' ) ∪ ∅ = A ∩ B'.

Então, a proposição A ∩ B' = A ↔ A ∩ B = ∅ diz o mesmo que a original.

Vamos prová-la dividindo-a em duas partes:

Parte 1: A ∩ B' = A → A ∩ B = ∅.

Iremos fazer esta prova usando a equivalência lógica p → q ⇔ ¬q → ¬p. Isto se chama prova por contraposição. Para isto, escreveremos a proposição na seguinte forma:

A ∩ B ≠ ∅ → A ∩ B' ≠ A.

PROVA:

Suponhamos que A ∩ B ≠ ∅. Então há pelo menos um elemento nesta intersecção. Isto é:

( ∃ x )( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∈ B ).

Mas: x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B' ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ A ∩ B'.

Então, A e A ∩ B’ têm pelo menos um elemento diferente.

Logo A - A ∩ B' ≠ A.

Logo A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A ∩ B' ≠ A.

Logo A ∩ B' = A ⇒ A ∩ B = ∅.

Parte 2: A ∩ B = ∅ → A ∩ B' = A

PROVA :

Suponhamos que A ∩ B = ∅.

x ∈ A ∩ B’ ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B' ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B.

Como A ∩ B = ∅ então x ∈ A ∧ x ∉ B ⇔ x ∈ A

Logo x ∈ A.

Logo A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B' = A.

Conclusão: A ∩ B' = A ⇔ A ∩ B = ∅

Conclusão geral: ( A ∪ B ) ∩ B' = A ⇔ A ∩ B = ∅

(h). A proposição é verdadeira. PROVA:

Sejam A e B conjuntos tais que A ∩ B = ∅. Então:

∀ x, x ∈ A ⇒ x ∉ B, pois A ∩ B = ∅.

Mas: x ∉ B ⇔ x ∈ B'.

Logo, ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B'.

Conclusão : A ⊆ B'.



(i). A proposição é falsa. PROVA:

Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica

p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ).

Assim, temos de mostrar duas partes:

Sejam A, B, C conjuntos.

Parte 1: A - B = A - C → B = C

Suponhamos que A – B = A – C.

Esta proposição é falsa. Com efeito, existem os conjuntos A = { 1, 2 }, B = { 2, 3 } e C = { 2, 4 } tais que

A - B = { 1 } e A - C = { 1 }

Mas B ≠ C.

Logo a proposição é falsa.

Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A - B = A - C ↔ B = C é falsa, em geral.

(Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.)

Parte 2: B = C → A - B = A - C

Suponhamos que B = C. Então:

A – B = A ∩ B’ = A ∩ C’ = A – C.

Logo, B = C → A - B = A - C.

(j). A proposição é falsa. PROVA:

Precisamos dividir a proposição em duas partes, usando a equivalência lógica

p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ).

Assim, temos de mostrar duas partes:

Sejam A, B conjuntos.

Parte 1: A x B = B x A → A = B

Suponhamos que A x B = B x A.

A proposição é falsa. Se escolhermos A = { 1, 2 } e B = ∅, teremos:

A x B = ∅ e B x A = ∅

Porém A ≠ B.

Logo, a proposição é falsa, em geral.

Note que isto é suficiente para mostrar que a proposição A x B = B x A ↔ A = B é falsa, em geral.

(Apenas como curiosidade, apresentamos uma prova para a validade da parte 2.)

Parte 2: A = B → A x B = B x A

Suponhamos que A = B. Então:

A x B = { ( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B } = { ( x, y ) / y ∈ B ∧ x ∈ A } = B x A

Logo, A = B ⇒ A x B = B x A.

(k). A proposição é verdadeira. PROVA:



Sejam A, B e C conjuntos. Então:

∀ ( x, y ), ( x, y ) ∈ (A x C) ∪ (B x C) ⇔

⇔ ( x, y ) ∈ (A x C) ∨ ( x, y ) ∈ (B x C) ⇔

⇔ ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ ( x ∈ B ∧ y ∈ C ) ⇔

⇔ ( ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ x ∈ B ) ∧ ( ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) ∨ y ∈ C ) ⇔

⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( y ∈ C ∨ x ∈ B ) ) ∧ ( x ∈ A ∨ y ∈ C ) ∧ ( y ∈ C ∨ y ∈ C ) ⇔

⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( y ∈ C ∨ x ∈ B ) ) ∧ ( x ∈ A ∨ y ∈ C ) ∧ y ∈ C ⇔

⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ y ∈ C ⇔

⇔ ( x, y ) ∈ ( A ∪ B ) x C.

Logo, ( A x C ) ∪ ( B x C ) = ( A ∪ B ) x C.

(l). A proposição é falsa. PROVA:

Existem A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, C = { 4, 5 }. Então:

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4 } e ( A ∪ B ) ∩ C ={ 4 }.

B ∩ C = { 4 } e A ∪ ( B ∩ C ) = {1,2,4 }.

Como { 4 } ≠ { 1, 2, 4 }, a proposição é falsa, em geral.

(m). A proposição é verdadeira. PROVA:

Sejam A e B conjuntos. Então:

A ∆ B = { x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } =

= { x / ( ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ x ∈ B ) ∧ ( ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ x ∉ A ) } =

= { x / ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ( x ∉ A ∨ x ∉ B ) } =

= { x / ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) ∧ ¬ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) } =

= { x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B } =

= ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ).

Logo, A ∆ B = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ).

(n). A proposição é verdadeira. PROVA:

Sejam A e B conjuntos. Então:

A ∆ B = ( A ∪ B ) - (A ∩ B ) = { x / x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B }

Mas: ∀ x, x ∈ A ∆ B ⇔ x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∪ B.

Então: ∀ x, x ∈ A ∆ B ⇒ x ∈ A ∪ B.

Conclusão: A ∆ B ⊆ A ∪ B.




10.

(a). (b).

(c). (d).

11.

(a). A x B = { ( 1, 2 ), ( 1, 3 ) }

P( A x B ) = { ∅, { ( 1, 2 ) }, { ( 1, 3 ) }, A x B }

(b). P( A x B ) x B = { ( ∅, 2 ), ( ∅, 3 ), ( { ( 1, 2 ) }, 2 ), ( { ( 1, 2 ) }, 3 ),

( { ( 1, 3 ) }, 2 ), ( { ( 1, 3 ) }, 3 ), ( A x B, 2 ), ( A x B, 3 ) }

(c). CDxD A x B = ∅

12.

AIDS ∪ ALZHEIMER = { genética, 0.76; vírus, 0.88; nutrição, 0.37; bactéria, 0.58; ambiente, 0.58 }

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